ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β' ΓΕΛ

1. - 39 -
4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ – Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές Εξισώσεις
2α ΘΕΜΑΤΑ
14981: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 𝑥3
– 𝑥 + 6.
α) Να υπολογίσετε το 𝑃(−2). (Μονάδες 5)
β) Να αποδείξετε ότι το 𝑥 + 2 είναι παράγοντας του 𝑃(𝑥). (Μονάδες 5)
γ) Να παραγοντοποιήσετε το 𝑃(𝑥). (Μονάδες 15)
15012: Η διαίρεση ενός πολυωνύμου  
P x με το 3
x έχει πηλίκο 2
2
x  και υπόλοιπο 4.
α) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης. (Μονάδες 8)
β) Να δείξετε ότι 3 2
( ) 3 2 2
P x x x x
    . (Μονάδες 8)
γ) Είναι το 3
x  ρίζα του πολυωνύμου  
P x ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
15040: Δίνεται η εξίσωση   
3
x 7x 6 0.
α) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα της. (Μονάδες 5)
β) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner ή με όποιο άλλο τρόπο θέλετε, να βρείτε το πηλίκο της
διαίρεσης
  
3
(x 7x 6):(x 1)
και να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. (Μονάδες 10)
γ) Να λύσετε την εξίσωση   
3
x 7x 6 0. (Μονάδες 10)
15047: Δίνεται το πολυώνυμο     
4 3 2
P(x) x x 5x 7x 2 .
α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. (Μονάδες 10)
β) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα. (Μονάδες 15)
15096: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 2 𝑥3
+ 𝑥2
− 3𝑥 + 1.
α) Να αποδείξετε ότι το 1 και το −1 δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου. (Μονάδες 10)
β) Να κάνετε τη διαίρεση του 𝑃(𝑥):(𝑥2
+ 𝑥 − 1 ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
(Μονάδες15)
15113: Δίνονται τα πολυώνυμα:
3 2 3
2 4 2 – 1 9
( ) ( )
P x x
x x
   
 και 2
( ) 7
Q x x

  , 𝛼 ∈ ℝ.
α) Είναι το πολυώνυμο ( )
P x 3ου
βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε την τιμή του  , ώστε τα πολυώνυμα ( )
P x και ( )
Q x να είναι ίσα. (Μονάδες 12)
15175: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥 − 1.
α) Να αποδείξετε ότι το 1 είναι μία ρίζα του πολυωνύμου. (Μονάδες 5)
β) Να αποδείξετε ότι 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1 )∙ (𝑥2
+ 1). (Μονάδες 10)
γ) Να λύσετε την εξίσωση 𝑃(𝑥) = 0. (Μονάδες 10)
15176: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 3 𝑥 − 2.
α) Να αποδείξετε ότι το 𝑥 − 1 είναι παράγοντας του πολυωνύμου. (Μονάδες 12)
β)Αν 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1 ) ∙ (𝑥2
− 𝑥 + 2), να βρείτε για ποιες τιμές του 𝑥 είναι 𝑃(𝑥) > 0. (Μονάδες 13)

2. - 40 -
15246: Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
( ) 1
P x x x x
    .
α) Να παραγοντοποιήσετε το ( )
P x . (Μονάδες 10)
β) Αν    
2
( ) 1 1
P x x x
   να λύσετε την ανίσωση ( ) 0
P x  . (Μονάδες 15)
15247: Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
( ) 2 2 1
P x x x x
    .
α) Να παραγοντοποιήσετε το ( )
P x . (Μονάδες 10)
β) Αν 2
( ) (2 1)( 1)
P x x x
   να λύσετε την ανίσωση ( ) 0
P x  . (Μονάδες 15)
15248: Ένα πολυώνυμο ( )
P x διαιρούμενομετοπολυώνυμο 2 1
x  δίνειπηλίκο 2
2
x  και υπόλοιπο1.
α) Να βρείτε το πολυώνυμο ( )
P x . (Μονάδες 12)
β) Αν 3 2
( ) 2 4 3
P x x x x
   
i. να αποδείξετε ότι το ( )
P x έχει ρίζα το 1 και γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης
( ):( 1)
P x x  . (Μονάδες 7)
ii. να λύσετε την εξίσωση ( ) 0
P x  . (Μονάδες 6)
15618: α) Να γράψετε το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και
ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου. (Μονάδες 10)
β) Να λύσετε την εξίσωση 𝑃(𝑥) = 0. (Μονάδες 15)
15642: Δίνεται το πολυώνυμο      
20 10 2
2 1 3 1 5 3 2
P x x x x x
       .
α) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο  
P x έχει παράγοντα το 1
x  . (Μονάδες 10)
β)
i. Να υπολογίσετε την τιμή  
0
P . (Μονάδες 5)
ii. Είναι το x παράγοντας του πολυωνύμου  
P x ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
15653: Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
( ) 2 2
P x x x x
    .
α)
i. Να κάνετε τη διαίρεση του ( )
P x με το  
1
x . (Μονάδες 8)
ii. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης  
( ): 1
P x x  . (Μονάδες 5)
β) Aν   
2
( ) 1 2
P x x x
   , να λύσετε την ανίσωση ( ) 0
P x  . (Μονάδες 12)
15654: Δίνεται το πολυώνυμο 3
( ) 7 6
P x x x
   .
α) Να δείξετε ότι το 2
x είναι παράγοντας του ( )
P x . (Μονάδες 12)
β) Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0
P x  . (Μονάδες 13)
15674: Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
( ) 3 2
x x x x
     .
α) Να κάνετε τη διαίρεση ( ):( 1)
x x
  και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.

3. - 41 -
(Μονάδες 10 )
β) Αν 2
( ) ( 1)(3 2 1) 3
x x x x
      να λύσετε την ανίσωση ( ) 3
x
  . (Μονάδες 15 )
15695: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 2𝑥 – 3, 𝑥 ∈ 𝑅.
α) Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του 𝑃(𝑥)με το (𝑥 + 1) και να γράψετε την
ταυτότητα της διαίρεσης. (Μονάδες 13)
β) Να λύσετε την εξίσωση 𝑃(𝑥) + 6 = 0. (Μονάδες 12)
17241: Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥 + 2.
α)
I. Να αποδείξετε ότι το 𝑃(𝑥) έχει παράγοντα το (𝑥 + 1). (Μονάδες 7)
II. Να κάνετε τη διαίρεση 𝑃(𝑥):(𝑥 + 1). (Μονάδες 10)
β) Αν 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥2
− 𝑥 + 2), να λύσετε την ανίσωση 𝑃(𝑥) < 0. (Μονάδες 8)
18230: Δίνεται το πολυώνυμο 3 2
P(x) 2x x 8x 4
    .
α) Να αποδείξετε ότι έχει παράγοντα το (x 2)
 . (Μονάδες 9)
β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο. (Μονάδες 9)
γ) Να λύσετε την εξίσωση P(x) 0
 . (Μονάδες 7)
4α ΘΕΜΑΤΑ
15066: Θεωρούμε το πολυώνυμο     
4 3 2
P(x) 2x 5x 4x 5x 2 .
α) Να αποδείξετε ότι:
i. Ο αριθμός 0 δεν είναι ρίζα του.
ii. Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα του, τότε και ο αριθμός
1
ρ
είναι επίσης ρίζα του. (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε ένα θετικό ακέραιο αριθμό που να είναι ρίζα του. (Μονάδες 5)
γ) Να λύσετε την εξίσωση 
P(x) 0. (Μονάδες 7)
δ) Να λύσετε την ανίσωση 
P(x) 0 . (Μονάδες 5)
15174: Δίνονται τα πολυώνυμα 𝑃(𝑥) = 𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝛼 𝑥 − 4 και 𝛿(𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 + 2. Το υπόλοιπο
της διαίρεσης του 𝑃(𝑥) με το 𝛿(𝑥), είναι το πολυώνυμο 𝜐(𝑥) = 24𝑥 − 24.
α) Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού 𝛼. (Μονάδες 8)
β) Για 𝛼 = 2,
i. να υπολογίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 𝑃(𝑥) με το 𝑥 − 1. (Μονάδες 2)
ii. να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα 𝑥΄𝑥 με την γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης 𝑃(𝑥). (Μονάδες 8)
iii. να βρείτε τις τιμές του 𝑥 για τις οποίες, η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής
συνάρτησης 𝑃(𝑥) βρίσκεται κάτω από τον άξονα 𝑥΄𝑥. (Μονάδες 7)

4. - 42 -
15250: Δίνεται το πολυώνυμο 5 3 2
( ) 4
x x x x x
 
      το οποίο διαιρούμενο με το 2
4
x  δίνει
υπόλοιπο 4 1
x  .
α) Να κάνετε τη διαίρεση 2
( ) :( 4)
x x
  . (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε τις τιμές των  και  . (Μονάδες 7)
γ) Έστω 4
  και 5
  . Αν το πηλίκο της διαίρεσης 2
( ) :( 4)
x x
  είναι το 3
( ) 1
x x
   , τότε:
i. να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης 2
( ) :( 4)
x x
  . (Μονάδες 4)
ii. να λύσετε την ανίσωση ( ) 4 1
x x
   . (Μονάδες 7)
15431: α) Δίνεται το πολυώνυμο 𝑃(𝑥) = 2𝑥3
+ 𝛼𝑥2
+ 𝛽𝑥 − 5, με 𝑥 ∈ ℝ.
i. Αν το πολυώνυμο έχει παράγοντα το (𝑥 − 1)και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με (𝑥 − 2)
είναι −1, να δείξετε ότι:
{
2𝛼 + 𝛽 = −6
και
𝛼 + 𝛽 = 3
. (Μονάδες 6)
ii. Να δείξετε ότι 𝛼 = −9 και 𝛽 = 12. (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε τις τιμές του 𝑥 ∈ ℝ, για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης
𝑃(𝑥) = 2𝑥3
− 9𝑥2
+ 12𝑥 − 5 είναι κάτω από τον άξονα 𝑥′𝑥. (Μονάδες 10)
γ) Αν η γραφική παράσταση της 𝑃(𝑥) είναι η ακόλουθη, να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της.
(Μονάδες 4)
15677: Δίνεται το πολυώνυμο 4 3 2
( ) 2
P x x x x x
 
     , όπου 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
α) Να βρείτε τις τιμές των ,
  , αν είναι γνωστό ότι το ( )
P x διαιρείται με το πολυώνυμο
2
( ) 2 1
Q x x x
   . (Μονάδες 8)
β) Για 4, 2
 
  
i. Να κάνετε τη διαίρεση 2
( ) :( 5)
P x x  και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
(Μονάδες 8)
ii. Αν  
2 2
( ) 5 ( 2 6) 14 28
P x x x x x
      να λύσετε την εξίσωση ( ) 14( 2)
P x x
  .
(Μονάδες 9)