.

1. Διαγώνισμα Πολυώνυμα Β Λυκείου
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω πολυωνυμική εξίσωση ν ν 1
ν ν 1 1 0α x α x ... α x α 0−
−+ + + + = με ακέραιους συντελεστές.
Αν ο ακέραιος ρ 0≠ είναι ρίζα της εξίσωσης να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του
σταθερού όρου 0α .
Μονάδες :5
Α2.i)Να αποδείξετε ότι για κάθε γωνία α ισχύει: = −2
συν2α 2συν α 1.
ii) Να αποδείξετε ότι =
+
ημ2α
εφα
1 συν2α
( + ≠1 συν2α 0)
ii) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο = − ⋅ − ⋅ − −3 2 2
P(x) συν2α x 2συν α x 2x 1 , ∈α ℝ έχει
παράγοντα το +(x 1) .
Μονάδες:5+5+5
Α3. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις προτάσεις που ακολουθούν:
α. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.
β. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων ισούται με το γινόμενο των
βαθμών των πολυωνύμων αυτών.
γ. Κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου 0α ενός πολυωνύμου ν ν 1
ν ν 1 1 0α x α x ... α x α−
−+ + + + είναι
ρίζα του.
δ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ− ισούται με P(ρ).
ε. Το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου −
−= + + + +ν ν 1
ν ν 1 1 0P(x) α x α x ... α x α ισούται
με το P(1).
Μονάδες :10
ΘΕΜΑ Β
Β1.Να αντιστοιχίσετε κάθε πολυώνυμο της στήλης Ι με τον βαθμό του στην στήλη
ΙΙ.
Στήλη Ι Στήλη ΙΙ
α. x3 + (λ + 1)x2 + 4 Α. 0
β. (λ – 1)x2 – λx2+x2 + λ + 2x Β. 1
γ. 3 Γ. 3
δ. x4 (x –1)+ x2 + 2 – 2 Δ. 5
Ε. 4
Μονάδες : 4
Β2.Με βάση το παρακάτω σχήμα Horner να βρείτε τους αριθμούς α, β, γ, δ, ε .
Μονάδες :5

2. Β3. Αν για τα πολυώνυμα 4 3
P(x) ( )x x 2x , Q(x) 2x 1, ,= κ − µ + λ + + µ = + κ λ ∈ℝ ισχύει P(x) Q(x)=
τότε να βρείτε τις τιμές των κ,λ,μ.
Μονάδες:5
Β4. Έστω το πολυώνυμο ( ) 3
P x 2x αx β= − + . Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το
2
x 4− είναι 3x 2− .
α. Να δείξετε ότι α=5 και β= -2
β. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης.
γ. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )≤ −P x 3x 2 .
Μονάδες: 5+2+2+2
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( )3 2
f x 1 x 2 1 x x 3= κ − + κ + −κ − ,με κ∈ℝ ,η οποία διέρχεται από το
σημείο ( )3,0Α .
Γ1.Να δείξετε ότι
1
2
κ =
Γ2.Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες.
Γ3.Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η fC δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x .
Γ4.Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g με τύπο
( )
x
g x 3
2
= − − , x∈ℝ .
Μονάδες:5+5+5+5
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης + − + − =4 3 2
x 2x 2x 2x 3 0
Δ2. Να λυθούν οι ανισώσεις:
α. 3 2
5 8 12 0x x x+ − − < .
β. 2 2 3 2
( 1) (2 )( 2 13 10) 0x x x x x x− − − + − + ≤ .
Δ3. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( ) ( )= − − + + −
2017 2019
2 2
P x x x 1 x x 1
α. Να βρεθεί το άθροισμα των συντελεστών και ο σταθερός όρος του πολυωνύμου P(x).
Β. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το ( )+x 1 .
Μονάδες:5+10+5+5