2. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
2
Ηµεροµηνία: / / .
65 Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Παράδειγµα 1
∆ίνεται πολυώνυµο P(x) τρίτου βαθµού. Αν οι αριθµητικές τιµές του P( 1),P(1),P(2)− είναι
ανάλογες των αριθµών 2,3,4 και έχουν άθροισµα 9 ενώ ο αριθµός 0 είναι ρίζα του P(x) ,
να βρείτε το πολυώνυµο P(x) .
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Παράδειγµα 2
∆ίνεται η συνάρτηση
x
x
49 1
f (x) log
7 5
−
=
+
α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f .
β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) log 4= .
γ) Να βρείτε τις τιµές του x A∈ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται
«κάτω» από τον άξονα x΄x.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
4. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
4
Η σχέση [ ]2
P(x) 9 6P(x)+ ≤ γίνεται
[ ] [ ]2 2
P(x) 6P(x) 9 0 P(x) 3 0 P(x) 3 0 P(x) 3− + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − = ⇔ = ,δηλαδή το πολυώνυµο P(x) είναι
σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο, οπότε όλες οι αριθµητικές τιµές
P(1),P(2),P(3),...,P(2013) είναι ίσες µε 3 δηλαδή θετικές .Οπότε το γινόµενο
P(1) P(2) P(3) ... P(2013)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ είναι θετικό.
65-3
Αν 2
P(3x 2) 9x 3x 5+ = − + ,για κάθε x∈ ℝ , να προσδιορίσετε τον τύπο του πολυωνύµου.
Λύση
Από την σχέση που µας δίνεται 2
P(3x 2) 9x 3x 5+ = − + και ισχύει για κάθε x ∈ ℝ ,θέτουµε όπου
x το
x 2
3
−
και παίρνουµε:
2
2
2
x 2 x 2 x 2
P(3 2) 9 3 5
3 3 3
x 4x 4
9 x 2 5 x 5x 11
9
− − −
+ = − + =
− +
− + + = − +
65-4
Να προσδιορίσετε πολυώνυµο P(x) δευτέρου βαθµού για το οποίο θα ισχύει
2
P(x 1) P(x 1) 2x 6x 4− + + = − + για κάθε x∈ ℝ .
Λύση
Αφού το P(x) είναι δευτέρου βαθµού , θα έχει την µορφή 2
P(x) x x , 0= α + β + γ α ≠ .
Υπολογίζουµε τα P(x 1)+ και P(x 1)− ,και τα αντικαθιστούµε στην σχέση (1)
2 2 2
P(x 1) (x 1) (x 1) x 2 x x x (2 )x+ = α + + β + + γ = α + α + α + β + β + γ = α + α + β + α + β + γ
2 2 2
P(x 1) (x 1) (x 1) x 2 x x x ( 2 )x− = α − + β − + γ = α − α + α + β − β + γ = α + − α + β + α − β + γ Έτσι η (1):
2 2 2
x ( 2 )x x (2 )x 2x 6x 4α + − α + β + α − β + γ + α + α + β + α + β + γ = − + ⇔
2 2
2 x 2 x 2 2 2x 6x 4α + β + α + γ = − + ,για κάθε x ∈ ℝ ( ίσα πολυώνυµα)
2 2 1
2 6 3
2 2 4 1
α = α =
β = − ⇔ β = −
α + γ = γ =
Άρα 2
P(x) x 3x 1= − + .
65-5
Τα πολυώνυµα P(x) καιQ(x) έχουν βαθµούς 4 και 3 αντίστοιχα. Αν (x)π είναι το πηλίκο της
διαίρεσης [ ] [ ]
3 2
P(x) : Q(x) .Να βρείτε το βαθµό του (x)π .
Λύση
Το P(x) είναι τέταρτου βαθµού άρα το[ ]3
P(x) είναι 12ου βαθµού .Το Q(x) είναι τρίτου βαθµού
άρα το[ ]2
Q(x) είναι έκτου βαθµού. Αφού λοιπόν ο διαιρετέος είναι 12ου βαθµού , τότε το
πηλίκο θα είναι 6ου βαθµου(12-6=6).
65-6
Το πολυώνυµο 3 2
P(x) x 3x 2x 1= − + + .Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P(x) µε το πολυώνυµο 2
x 2− , χωρίς να εκτελέσετε την διαίρεση.
Λύση
5. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
5
Θα προσπαθήσουµε να εµφανίσουµε στο P(x) τον όρο 2
x 2− σε µορφή παράγοντα.
3 2 2
2 2
P(x) x 3x 2x 1 x (x 3) 2x 4x 6 5
x (x 3) 2(x 3) 4x 5 (x 3)(x 2) 4x 5
= − + + = − − + + − =
= − − − + − = − − + −
Φέραµε το πολυώνυµο P(x) σε µορφή ταυτότητας διαίρεσης .Επειδή ο διαιρέτης 2
x 2− είναι
δευτέρου βαθµού το υπόλοιπο πρέπει να είναι το πολύ πρώτου βαθµού. Το πολυώνυµο
4x 5− είναι πρώτου βαθµού άρα είναι το υπόλοιπο (x)υ και το πηλίκο (x) x 3π = − .
65-7
∆ίνεται πολυώνυµο 32 16
P(x) x 2x 4= − + να προσδιορίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P(x) µε το πολυώνυµο 4
x 1+ .
Λύση
Σε αυτό το παράδειγµα θα ακολουθήσουµε έναν διαφορετικό τρόπο προσέγγισης θέτουµε
16
y x= , οπότε 32 2
x y= .
Η παράσταση
32 16 2 2 2 16 2 8 2 2
2 28 8 4 4 8 4 2 4 2 8 2
4 4 2 4 8 2
x 2x 4 y 4y 4 y 2y 1 3 (y 1) 3 (x 1) 3 ((x ) 1) 3
(x 1)(x 1) 3 (x 1)(x 1)(x 1) 3 (x 1) (x 1) (x 1) 3
(x 1) (x 1) (x 1)(x 1) 3
− + = − + = − + + = − + = − + = − + =
= − + + = − + + + = − + + + =
= + − + + +
Άρα το πηλίκο (x)π της
διαίρεσης του P(x) µε το 4
x 1+ είναι 4 2 4 8 2
(x) (x 1) (x 1)(x 1)π = − + + και το υπόλοιπο 3υ = .
65-8
∆ίνεται πολυώνυµο P(x) µε την ιδιότητα
2 2
P (1) 4P(1) P (3) 2P(3) 5 0− − + + =
α) Να υπολογίσετε τις τιµές µε το πολυώνυµο P(1) και P(3) .
β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το πολυώνυµο 2
x 4x 3− + .
Λύση
α) Στην σχέση που δίνεται είναι «κρυµµένες» δυο ταυτότητες .Γράφουµε αρχικά το 5 ως
4+1 και έχουµε:
2 2 2 2
P (1) 4P(1) P (3) 2P(3) 5 0 P (1) 4P(1) P (3) 2P(3) 4 1 0− + − + = ⇔ − + − + + = ⇔
( ) ( )2 2
P(1) 2 P(3) 1 0 P(1) 2− + − = ⇔ = και P(3) 1= .
β) Αν (x)π και (x)υ είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο αντίστοιχα της διαίρεσης του P(x) µε το
2
x 4x 3− + , τότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε:
2
P(x) (x 4x 3) (x) (x)= − + π + υ (1)
Όµως ο διαιρέτης είναι δεύτερου βαθµού , οπότε το υπόλοιπο είναι το πολύ πρώτου
βαθµού, δηλαδή της µορφής (x) xυ = α + β , ,α β∈ℝ .Οπότε η σχέση (1) γίνεται:
2
P(x) (x 4x 3) (x) x= − + π + α + β (2)
Αντικαθιστώντας στην σχέση αυτή τις τιµές x 1,x 3= = παίρνουµε
2 P(1) 2
2 P(3) 1
P(1) (1 4 1 3) (1) 1 P(1) 2
P(3) 3 3 1P(3) (3 4 3 3) (3) 3
=
=−
= − ⋅ + π + α ⋅ + β = α + β α + β =
⇔ ⇔
= α + β α + β = −= − ⋅ + π + α ⋅ + β
Λύνουµε το σύστηµα και προκύπτει
3 7
,
2 2
α = − β = .
Άρα το υπόλοιπο είναι
3 7
(x) x
2 2
υ = − + .
6. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
6
65-9
Αν το x 1+ είναι παράγοντας του P(x) ,να δείξετε ότι το x 2− είναι παράγοντας
P(2x 5)− .
Λύση
Αφού το x 1+ είναι παράγοντας του P(x) , τότε P( 1) 0− = (1).Θετουµε Q(x) P(2x 5)= − . Για να
είναι το (x 2)− παράγοντας του P(2x 5)− , αρκεί να είναι παράγοντας του Q(x) , δηλαδή αρκεί
Q(2) 0= .Έτσι
(1)
Q(2) P(2 2 5) P( 1) 0= ⋅ − = − = , άρα Q(2) 0= .
65-10
∆ίνεται το πολυώνυµο 2
(x) x 5x∆ = − + γ .Αν το πολυώνυµο x 1− είναι κοινός παράγοντας στα
πολυώνυµα 2
P(x) x x 3= + α + , 3 2
Q(x) x 3x x 6= + + β − , να βρείτε την τιµή του γ, ώστε οι αριθµοί
α,β,γ µε την σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.
Λύση
Το x 1− είναι κοινός παράγοντας του πολυωνύµου P(x) και Q(x) ,άρα
2
3 2
P(1) 0 1 1 3 0 4
Q(1) 0 21 3 1 1 6 0
= + α⋅ + = α = −
και ⇔ και ⇔ και
= β =+ ⋅ + β⋅ − =
Για να είναι οι αριθµοί α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, αρκεί
2 2 2 4 8β = α + γ ⇔ ⋅ = − + γ ⇔ γ = .
65-11
Θεωρούµε πολυώνυµο P(x) δεύτερου βαθµού και γεωµετρική πρόοδος µε πρώτο όρο 1α και
λόγο 2 .Αν τα υπόλοιπα των διαιρετών του P(x) µε τα πολυώνυµα x, x 1, x 2− − είναι οι τρεις
πρώτοι όροι της γεωµετρικής προόδου και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x 2−
είναι 4 1α + , να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x 4− .
Λύση
Αφού το πολυώνυµο P(x) είναι δευτέρου βαθµού, τότε 2
P(x) x x , 0= α + β + γ α ≠ .Οι τέσσερεις
πρώτοι όροι της προόδου είναι
1α , 2 12α = α , 3 2 1 12 2 2 4α = α = ⋅ α = α , 4 3 1 12 2 4 8α = α = ⋅ α = α
Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του P(x) µε τα x,x 1,x 2− − είναι οι τρεις πρώτοι όροι της
προόδου και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x 3− είναι 4 1α + , τότε :
2
11 1
2
2 1 1
2
3 11
2
14
1
0 0P(0)
P(1) 1 1 2 2
P(2) 4 2 82 2 4
9 3 8 1P(3) 1 3 3 8 1
α⋅ +β⋅ + γ = α= α γ = α
= α α⋅ +β⋅ + γ = α α +β + γ = α
⇔ ⇔
= α α + β + γ = αα⋅ +β⋅ + γ = α
α + β + γ = α += α + α⋅ + β⋅ + γ = α +
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
4 2 3 4( ) 2 3 4 4 2 3
9 3 7 1 9 3 7 1 9 3 7 1
γ = α γ = α γ = α
α + β = α α = α −β α = α −β
⇔ ⇔ ⇔
α + β = α α −β + β = α α − β + β = α
α + β = α + α + β = α + α + β = α +
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
22
1
2
22
9 3 7 1
11
γ = α γ = − γ = α α α = α −β α = −α =
⇔ ⇔ α
αβ = β = −β =
α + β = α + α = −α = −
7. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
7
Άρα το πολυώνυµο P(x) είναι 21 1
P(x) x x 1
2 2
= − − − , οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x)
µε το x 4− είναι : 21 1
P(4) 4 4 1 8 2 1 11
2 2
υ = = − ⋅ − ⋅ − = − − − = − .
65-12
Να λύσετε την εξίσωση x(x 1)(x 2) 11 12 13+ + = ⋅ ⋅
Λύση
Μια προφανής λύση της εξίσωσης είναι x 11= , αφού την επαληθεύει .Η εξίσωση µπορεί να
έχει και άλλες λύσεις, τις οποίες θα προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε, κάνοντας πράξεις
και γράφοντας την σε µορφή πολυωνυµικής .Οπότε µε το σχήµα Horner θα δούµε αν
υπάρχουν και άλλες λύσεις 2 3 2 2
x(x 1)(x 2) 11 12 13 (x x)(x 2) 1716 x 2x x 2x 1716 0+ + = ⋅ ⋅ ⇔ + + = ⇔ + + + − =
∆εν χρειάζεται να υπολογίσουµε τους διαιρετές του 1716.Που οµολογουµένως είναι
«αρκετοί», αφού έχουµε ήδη βρει µια λύση την x 11= .Θέτουµε 3 2 2
P(x) x 2x x 2x 1716= + + + − ,
άρα η εξίσωση γίνεται P(x) 0= (1)
Οπότε το 11 είναι ρίζα του P(x) και ο x 11− είναι παράγοντας και το πηλίκο είναι δευτέρου
βαθµού 2
(x) x 14x 156π = + + , οπότε η εξίσωση (1) γίνεται
2
2
x 11 0 x 11
(x 11)(x 14x 156) 0
428 0, ύx 14x 156 0
− = =
− + + = ⇔ ⇔
∆ = − < αδ νατη+ + =
Κατά συνέπεια η αρχική εξίσωση έχει τελικά ως λύση µόνο την προφανή x 11= .
65-13
Να φτιάξετε στο ίδιο σχήµα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3
y x 1= + και
y 3x 1= − .Με χρήση του σχήµατος να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
3
x 3x 1= − .Να διαπιστώσετε τον παραπάνω ισχυρισµό και αλγεβρικά.
Λύση
8. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
8
Η εξίσωση 3
x 3x 2= − , γίνεται 3 3
x 3x 1 1 x 1 3x 1= − − ⇔ + = − , δηλαδή θέλουµε να βρούµε το
πλήθος των σηµείων τοµής της γραφικής παράστασης της y 3x 1= − και 3
y x 1= + .Από το
σχήµα βλέπουµε ότι έχουµε δυο σηµεία τοµής, το σηµείο Α και το σηµείο Β, στο οποίο η
ευθεία y 3x 1= − , εφάπτεται της καµπύλης της συνάρτησης 3
y x 1= + ( διπλή ρίζα) .Άρα η
εξίσωση 3
x 3x 2= − έχει δυο λύσεις , από τις οποίες η µια είναι διπλή .Ας το διαπιστώσουµε
και αλγεβρικά.
3 3 3 2
x 3x 2 x 3x 2 0 x x 2x 2 0 x(x 1) 2(x 1) 0= − ⇔ − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔
2
x(x 1)(x 1) 2(x 1) 0 (x 1)(x(x 1) 2) 0 (x 1)(x x 2) 0− + − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
x 1 0 x 1, ή ί ( (1,2))
x 1,x 2 ( ( 2, 7))x x 2 0
− = = διπλ ρ ζα σηµειοΒ
⇔ ⇔
= = − σηµειοΑ − −+ − =
65-14
∆ίνονται πολυώνυµα 3 2
P(x) x x= α + β + γ και 3 2
Q(x) x x= γ + β + α µε 0αγ ≠ και α ≠ γ .
α) Να αποδείξετε ότι έχουν αντίστροφες ρίζες ,
β) Αν 0x είναι η κοινή ρίζα τους να βρείτε την σχέση που συνδέει τα α,β,γ.
Λύση
α) Έστω 0ρ ≠ µια ρίζα του P(x) , αρκεί να αποδείξουµε ότι και ο
1
ρ
είναι ρίζα του Q(x) . Αφού
ρ είναι ρίζα του P(x) τότε 3 2
P( ) 0 0ρ = ⇔ αρ + βρ + γ = (1)
Για να είναι
1
ρ
ρίζα του Q(x) αρκεί
1
Q 0
=
ρ
, έτσι
9. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
9
3 2
1 1 1
Q
= γ + β + α =
ρ ρ ρ
3 2 2 3 (1)
3 2 3 3
1 1 0
0
γ β γ + β⋅ρ + α ⋅ρ
γ + β + α = + + α = = =
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
β) Αφού 0x είναι η κοινή τους ρίζα τότε
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0
P(x ) 0 x x 0 (2)
Q(x ) 0 x x 0
= α + β + γ =
και ⇔ και
= γ + β + α =
Αφαιρώντας κατά µέλη τις δυο αυτές σχέσεις παίρνουµε
3 2 3 2 3 3
0 0 0 0 0 0x x x x 0 ( )x ( ) 0 ( )(x 1) 0α + β + γ − γ −β − α = ⇔ α − γ − α − γ = ⇔ α − γ − = και επειδή α ≠ γ ,
προκύπτει ότι 3 3
0 0 0x 1 0 x 1 x 1− = ⇔ = ⇔ = . Οπότε η κοινή ρίζα τους είναι το 0x 1= και
αντικαθιστώντας στην σχέση (2) προκύπτει ότι 0α + β + γ = .
65-15
Να λύσετε την εξίσωση 2
x 5x 6 x ,− + = − λ λ ∈ ℝ .
Λύση
∆ιακρίνουµε δυο περιπτώσεις
1η x 0− λ < ,η εξίσωση είναι αδύνατη.
2η x 0 x− λ ≥ ⇔ ≥ λ , πρέπει ( ] [ )2
x 5x 6 0 x ,2 3,− + ≥ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ και υψώνουµε και τα δυο µέλη
στο τετράγωνο
( ) ( )
2
22 2 2 2 2 2
x 5x 6 x x 5x 6 x 2 x 2 x 5x 6 (2 5)x 6− + = − λ ⇔ − + = − λ + λ ⇔ λ − = λ − ⇔ λ − = λ − •Αν
5
2 5 0
2
λ − = ⇔ λ = η εξίσωση γίνεται :
1
0x
4
= , αδύνατη.
•Αν
5
2 5 0
2
λ − ≠ ⇔ λ ≠ η εξίσωση έχει µοναδική λύση:
2
6
x
2 5
λ −
=
λ −
.
Η λύση αυτή πρέπει να ικανοποίει τους αρχικούς περιορισµούς :
•Αν
2
6
x
2 5
λ −
≥ λ ⇔ ≥ λ
λ −
(1)
• ( ] [ )
2 2
6 6
x ,2 3, 2 (2) ή 3 (3)
2 5 2 5
λ − λ −
∈ −∞ ∪ +∞ ⇔ ≤ ≥
λ − λ −
(1):
2 2 2 2 2
6 6 6 2 5 5 6
0 0 0
2 5 2 5 2 5 2 5
λ − λ − λ − − λ + λ λ − λ +
≥ λ ⇔ − λ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤
λ − λ − λ − λ −
( ]
5
,2 ,3
2
λ∈ −∞ ∪
(4)
(2)
2 2
6 4 4
2 ... 0
2 5 2 5
λ − λ − λ +
≤ ⇔ ⇔ ≤
λ − λ −
10. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
10
5
,
2
λ∈ −∞
(5)
(3):
2 2
6 6 9
3 .. 0
2 5 2 5
λ − λ − λ +
≥ ⇔ ⇔ ≥
λ − λ −
5
,
2
λ∈ +∞
(6). Βρίσκουµε την ένωση των (5) ,(6) άρα
5 5
, ,
2 2
λ∈ −∞ ∪ +∞
και
συναληθεύουµε µε την (4).
Άρα ( ]
5
,2 ,3
2
λ∈ −∞ ∪
.
65-16
Αν οι αριθµοί ,α β µε α < β είναι ρίζες της εξίσωσης 3
x 3x 2 0− + = να βρείτε µια εξίσωση που
έχει ως ρίζες της τους αριθµούς 3, 5α + β + .
Λύση
Η εξίσωση 3
x 3x 2 0− + = έχει ρίζες x 2= − , x 1= , άρα 2α = και 1β = .Οι αριθµοί 3, 5α + β + γίνονται
3 2 3 1α + = − + = και 5 1 5 6β + = + = .Άρα θέλουµε εξίσωση που έχει ρίζες τους 1 και 6. Μια τέτοια
εξίσωση είναι η 2
x Sx P 0− + = , όπου S το άθροισµα των ριζών και P το γινόµενο .Έτσι
S 1 6 7= + = , P 1 6 6= ⋅ = .Άρα η εξίσωση είναι 2
x 7x 6 0− + = .
Ασκήσεις Για Λύση
65-27
∆ίνεται η συνάρτηση f (x) 2 2x ,= συν − λ λ ∈ ℝ
α) Αν η f έχει µέγιστο το 1, να βρείτε την τιµή του λ καθώς και την ελάχιστη τιµή της.
β) Για 1λ = , να βρείτε την περίοδο της f .
γ) Να βρείτε σε ποια σηµεία τέµνει η γραφική παράσταση της f την ευθεία y 2= −
δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) f( x)
4
π
= − στο διάστηµα 0,
2
π
.
ε) Να δείξετε ότι log 6 f log 4 f log 2 f log6
6 12 12
π π π
+ + + + − =
.
στ) Αν το πολυώνυµο 2 2 3 2
P(x) ( 4 )x 4( )x 5= α + β − β − α + έχει παράγοντα το x f(0)− να βρείτε τις
πραγµατικές τιµές των ,α β.
12. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
12
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-28
Έστω A,B ,τα ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω που αποτελείται από απλά ισοπίθανα
ενδεχόµενα . Αν
2
P(A B)
3
∪ = και τα πολυώνυµα
3 2
(x) 4P(A)x 7x 5xΠ = − + , 3 2
Q(x) x 8x 10x 4P( ) 5= − + − − Β + αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο αν διαιρεθούν µε
το πολυώνυµο x 1− .
α) Να υπολογίσετε το P(A B)∩ .
β) Αν ισχύει η σχέση ( ) P(A)
1 P(B) log 25 log(1 4 ) 2P(A) log6− − + = − .
να βρείτε τα P(A),P(B) .
γ) Αν
1
P(A) P(B)
2
= = ,να λυθεί η ανίσωση (x) Q(x)Π > .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
13. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
13
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-29
∆ίνεται το σύστηµα:
2
3x y 9
x 3y
+ λ =
λ + = λ
, λ ∈ℤ
α) Αν 0 o(x , y )Α η µοναδική λύση του συστήµατος , να βρείτε την τιµή του λ αν ισχύει
0 o
5
x y
2
+ = .
β) Για 1λ = ,να βρείτε τις συντεταγµένες του Α, κατόπιν να βρείτε την µέγιστη τιµή της
συνάρτησης
x
f (x)
13
π
= ρηµ
αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το
Α.
γ) Αν µ είναι η µέγιστη τιµή της f να λύσετε την ανίσωση x x 4 2
e e
3
−
+ ≤ µ .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
14. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
14
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-30
α) Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυµο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x −α και x − β ( µε α ≠ β ), τότε
έχει παράγοντα και το ( )( )x x− α −β .
β) Έστω το πολυώνυµο 5 4 2
P(x) x x 5x 9x , ,= + κ − + + λ µε κ λ∈ℝ .
i) Να βρείτε τους αριθµούς κ, λ ώστε το πολυώνυµο 2
Q(x) x 2x 3= − − να είναι παράγοντας
του Ρ(x).
ii) Για 3κ = − και 18λ = να λύσετε την εξίσωση P(x) 0=
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
16. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
16
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-31
α)Θεωρούµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, η οποία είναι περιττή και 0∈ Α .Να
δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) ∆ίνεται η περιττή πολυωνυµική συνάρτηση 3
f (x) x x 1, µε , .= α + −β + α β∈ℝ Αν το υπόλοιπο της
διαίρεσης του f(x) µε το x 1+ είναι -3 να βρείτε τα ,α β∈ ℝ .
γ) Για 2α = και 1β =
i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ
ii) Να υπολογίσετε το f(2) και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση
( )
3
x x
2 e 3 1 e 3 17− + + − <
iii) Αν ρ είναι ο ακέραιος αριθµός που είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (ii) να
λύσετε το σύστηµα
2x y
x 1
y 1
3 2 2 3 4 2
1
4 30 5
3
−
+
−
⋅ − ⋅ = + ρ
+ = − ρ
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
17. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
17
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-32
Για τις ορίζουσες D, xD και yD ενός συστήµατος δυο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους
x, y ισχύει 4D 2 2D 1 2
y ye D 4D 4 2e e+
+ − + = − και xln(D e) 1 ln3− = + . Να βρείτε τη λύση του συστήµατος
(αν υπάρχει).
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
18. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
18
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-33
∆ίνεται η συνάρτηση
2
x 1
f (x) ln
x
+
=
α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της f.
β) Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστη τιµή το ln 2 .
γ) Να βρείτε την τιµή του x για την οποία η f έχει ελάχιστο.
δ) Να λύσετε την ανίσωση
5
f(x) ln
2
< .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
19. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
19
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-34
∆ίνονται τα πολυώνυµα 4 3
P(x) (3e 1)x xλ
= − + , 2
Q(x) x 2x 1= − + εϕθ − , 0,
2
π
θ∈
. Αν το πολυώνυµο
P(x) είναι 3ου βαθµού και το πολυώνυµο Q(x) έχει ρίζα το 1.
α) Να βρείτε τα λ, θ.
β) Για
1
ln
3
λ = και
4
π
θ = ,να λύσετε την ανίσωση P(x) Q(x)> .
20. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
20
γ) ∆ίνονται οι συναρτήσεις 3x
f (x) e= και 2x x
g(x) e 2e= − να δείξετε ότι για κάθε x ∈ ℝ , η γραφική
παράσταση της f είναι «πάνω» από την γραφική παράσταση της g.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
21. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
21
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-35
∆ίνεται το πολυώνυµο 3
P(x) ( 1)x ( 2)x 2, ,= α + + β − − β − α β∈ ℝ και το 2
x 1− είναι παράγοντας του
πολυωνύµου .
α) Να βρείτε τις τιµές των α και β.
β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0≤ .
γ) Να λύσετε την εξίσωση 2
P(log x) log x 1= − .
δ) Να λύσετε την εξίσωση ( )2
P( x) x, x 0,ηµ = συν ∈ π .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
22. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
22
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-36
∆ίνεται το πολυώνυµο 2 2
P(x) x (2 )x= − ηµθ − συν θ , θ∈ℝ.
α) Να δείξετε ότι η εξίσωση P(x) 0= έχει δυο πραγµατικές και άνισες ρίζες .
β) Αν 1 2x ,x οι δυο ρίζες της εξίσωσης P(x) 0= τότε να δείξετε ότι :
1 2 1 2x x x x 2 1− − + = − ηµθ
γ) Αν το πολυώνυµο
1
x
2
− είναι παράγοντας του P(x) να βρείτε την τιµή του θ στο διάστηµα
( )2 ,3π π .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
26. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
26
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-39
∆ίνονται οι συναρτήσεις:
2
f (x) 6x (8 4ln )x, 0= + + α α > , 2
g(x) 2x 9 ,= − β β∈ ℝ
Αν η γραφική παράσταση της g τέµνει την ευθεία y 7= − στο σηµείο µε τετµηµένη 1,και οι
γραφικές παραστάσεις των f και g τέµνονται σε ένα ακριβώς σηµείο ,να βρείτε τις τιµές των α
και β.
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
27. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Άλγεβρα Β’ Λυκείου Γενική Επανάληψη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
27
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
65-40
∆ίνεται η συνάρτηση
x
5
f (x) ,
3
α +
= α ∈
− α
ℤ
α) Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή του ακέραιου α ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται για κάθε
x ∈ℝ .
β) Για 2α = να λύσετε τις εξισώσεις :
i) f (3x) f (2x) 49f (x) f (2)+ = +
ii) f ( x) 7ηµ =
γ) *Αν το πολυώνυµο 7 5
P(x) x x x 2= α + β + γ + διαιρούµενο µε το x 3− δίνει υπόλοιπο f (1) . Να
υπολογίσετε την τιµή P( 3)− .
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
