2. Лекція 11.
Криволінійні інтеграли ІІ роду.
1. Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах). Фізичний зміст
2. Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду
3. Два застосування криволінійного інтеграла другого роду.
1. Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах). Фізичний зміст
Нехай у площині Оху задано гладку чи кусково-гладку криву АВ (рис. 1) і на цій кривій
визначено обмежену функцію
Рис. 1
Вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки А та В є відповідно початковою та
кінцевою точками. Розіб'ємо криву АВ точками:
А на п довільних частин, на кожній частинній дузі
виберемо точку і складемо суму
(1)
3. де — проекція вектора на вісь Ох.
Якщо при
розбиття кривої АВ, ні від вибору точок Мі, то цю границю називають криволінійним інтегралом
від функції
інтегральні суми (5) мають скінченну границю, яка не залежить ні від
по координаті х вздовж кривої АВ і позначають :
Таким чином,
(2)
Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції по координаті у:
(3)
де — проекція вектора на вісь Оу (рис. 1).
Означення.
Суму:
криволінійним інтегралом другого роду від функцій
називають криволінійним інтегралом по координатах або
по кривій АВ і позначають символом
Функції іноді позначатимемо через
4. а криволінійний інтеграл записуватимемо у вигляді
Для того щоб дати фізичну інтерпретацію криволінійного інтеграла другого роду, розглянемо
задачу про роботу змінної сили на криво лінійному шляху.
Нехай матеріальна точка під дією змінної сили
— проекції сили на осі Ох та Оу, рухається на площині Оху вздовж кривої ВС. Треба обчислити
роботу А сили при переміщенні точки М з точки В в точку С (рис. 2).
Рис. 2
Розіб'ємо криву ВС точками на п частин і на кожній окремій дузі
візьмемо довільну точку На цю точку діє сила
Роботу яку виконує ця сила при переміщенні точки по вектору
можна знайти за допомогою скалярного добутку
Ця робота наближено дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки по дузі
довжиною
Робота сили вздовж усієї ламаної дорівнює
5. Цей вираз дає наближене значення шуканої роботи А. Перейшовши до границі при
знайдемо точне її значення:
(4)
Отже, з погляду фізики криволінійний інтеграл другого роду вздовж деякої кривої дорівнює
роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж цієї кривої.
2. Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду
Зведемо криволінійний інтеграл другого роду до визначеного інтеграла. Нехай крива АВ задана
параметричними рівняннями
разом
неперервні
із своїми похідними причому точці А кривої відповідає параметр
а точці В — параметр Припустимо, що функція неперервна на кривій АВ, тоді за означенням
Але, згідно з формулою Лагранжа,
Виберемо точку Тоді інтегральна сума у формулі набере вигляду
(5)
6. Це інтегральна сума для функції на проміжку тому
Аналогічно доводяться формули
Зокрема, якщо крива АВ задана рівнянням де функція у (х) і її похідна
неперервні на проміжку то з формули (8) дістанемо
Аналогічно, якщо крива АВ задана рівнянням причому функції
неперервні на проміжку то
Поняття криволінійного інтеграла другого роду можна поширити й на просторові криві. Нехай
функції визначені і неперервні на просторовій кривій АВ, яку задано
рівняннями
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
7. де функції і їхні похідні неперервні на проміжку
Тоді існує криволінійний інтеграл
І справджується формула
Формули (6)-(11) використовуються для обчислення криволінійних інтегралів. З цих формул
випливає, що криволінійний інтеграл другого роду має властивості, аналогічні властивостям
визначеного інтеграла.
Криволінійний інтеграл другого роду залежить від напряму шляху інтегрування і при зміні цього
напряму змінює свій знак. Це пов'язано з тим, що при зміні напряму руху по кривій, змінюються
знаки проекцій в сумах (2) і (3).
Часто доводиться розглядати криволінійні інтеграли по замкненому контуру, тобто контуру
інтегрування, в якому початкова та кінцева точки збігаються (мова йде про замкнені контури без
точок самоперетину).
Для замкненого контуру існує лише два напрями обходу: проти стрілки годинника (додатна
орієнтація контуру) та за стрілкою годинника (від'ємна орієнтація контуру). Іншими словами,
контур вважається додатно орієнтованим, якщо при його обході область, обмежена цим контуром,
залишається зліва. Криволінійний інтеграл по додатно орієнтованому контуру L, позначають так:
(11)
8. 3. Два застосування криволінійного інтеграла другого роду.
1°, Обчислення площі плоскої фігури. Нехай на площині (рис.3) задана правильна область
Рис.3
Межу області D, тобто криву
Розглянемо інтеграл
позначимо через L і вважатимемо додатно орієнтованою
і зведемо його до визначених інтегралів:
де S — площа області D.
Отже, площу S правильної області D обмеженої кривою L, знаходять за формулою
Аналогічно можна довести, що
(12)
9. Додаючи формули (12) і (13) почленно, дістаємо ще одну формулу для обчислення площі:
2°. Обчислення роботи. Нехай сила
матеріальної точки вздовж кривої L, причому функції
виконує роботу А при переміщенні
неперервні на кривій L; тоді,
Приклади
1.Обчислити криволінійний інтеграл — замкнений контур,утворений лініями
(рис. 4).
(рис. 4).
Застосовуючи адитивність криволінійного інтеграла, маємо
З рівняння лінії ОА дістаємо тому
(13)
(14)
(15)
10. з рівняння у = 1 лінії АВ дістаємо
з рівняння х = 0 лінії ВО дістаємо
2.Знайти площу області, обмеженої еліпсом
За формулою (14) :
3.Знайти роботу сили
О (0; 0) в точку В (1; 1).
при переміщенні матеріальної точки по прямій у = х із точки
О За формулою (15)
4. Обчислити криволінійний інтеграл від точки А (0; 0) до точки В(1; 1) по
лінії: (рис. 5).
12. Запитання для самоконтролю.
1. Дайте означення криволінійного інтеграла другого роду. У чому полягає
його фізичний зміст?
2. Як обчислюється криволінійний інтеграл другого роду за допомогою
визначеного інтеграла? Вивести відповідні формули.
3. Як за допомогою криволінійного інтеграла другого роду обчислити площу
плоскої фігури?
