567675

2. Довжини відрізків
вимірюють у:
метрах, сантиметрах,
міліметрах, кілометрах,
футах, дюймах...
Кути
вимірюють у:
градусах, мінутах,
секундах, румбах .
Сума
суміжних кутів
дорівнює 180°.
ОЗНАКИ Дві прямі паралельні,
ПАРАЛЕЛЬНОСТІ якщо з січною вони утворюють:
ПРЯМИХ
1) рівні внутрішні
різносторонні
кути;
або
2) ріпні відповідні
кути;
ябо
3) внутрішні
односторонні
кути, сума яких
дорівнює 180°.
Вертикальні
кути рівні.

3. • види
ТРИКУТНИКІВ
гострокутні
різносторонні
рівнобедрені
рівносторонні
Ф Сума кутів трикутника
дорівнює 180°.
Ф Зовнішній кут трикутника
дорівнює сумі двох внутрішніх
кутів, не суміжних з ним.
к
ф ОЗНАКИ
РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
А А В С = ДАівіСі,
якщо:
АВ = АіВі, АС= А1 С1 , АА = АДг,
АВ = АіВі, /.А - ААі, £В = £ В ,‘,
АВ = АіВі, АС= АіСь ВС=ВіСі.
В В1
1 —трикутники
2 —рівнобедрені
3 —прямокутні
4 —прямокутні
рівнобедрені

4. !розділ Найпростіші геометричні фігури
§ 1. Точки і прямі
Геометрія — це наука про геометричні
фігури та їх властивості. Найпростіша геометрична фігура —
точка. Кожна інша геометрична фігура складається з точок.
Наприклад, коло — це фігура, що складається з усіх точок пло­
щини, рівновіддалених від даної точки (мал. 1). Відрізок також
складається з точок. Будь-яка множина точок є геометричною
фігурою. Частина геометричної фігури
чи об'єднання кількох фігур — теж гео­
метрична фігура (мал. 2).
Однією з геометричних фігур є пло­
щина. Уявлення про частину площини
дає поверхня стола, стелі, підлоги. В гео­
метрії площина вваж ається необм еж е­
ною, ідеально рівною і гладенькою.
Фігури, які можна розмістити в одній
площині, називають плоскими. Всі н азва­
ні вище геометричні фігури — плоскі. А от
куб, куля, прямокутний паралелепіпед —
неплоскі фігури (мал. 3). Частина геомет­
рії, в якій вивчаю ться плоскі фігури,
називається планіметрією (від латинсь­
кого слова «планум» — площина).
Ми починаємо вивчати планіметрію.
Н асамперед розглянемо, як можуть
бути розташовані на площині точки і прямі.
І Мал. З
6

5. Точки і прям* § 1
Ви вж е знаєте, як за допомогою
лінійки проводять прямі (мал, 4).
Пряма в геометрії — ідеально рів­
на і нескінченна в обидва боки. Як і
кожна інша фігура, пряма складається
з точок. Якщо точка А лежить на пря­
мій а, говорять, що пряма а проходить
через точку А. Символічно записують
це так: А Є а. Якщо точка В не лежить
на прямій а, пишуть: В £ а { мал. 5).
■ Мал. 4
1 ] Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.
Ч ерез одну точку можна провести
безліч прямих. На малюнку 6 зобра­
жено прямі а і Ь, які проходять через
точку Р. Це їх спільна точка, інших
спільних точок прямі а і Ь не мають.
Якщо дві прямі маю ть тільки одну
спільну точку, кажуть, що вони пере­
тинаються в цій точці. Прямі а і Ь
перетинаю ться в точці Р.
Якщо прямій належ ать точки А і В,
кажуть, що ця пряма проходить через
точки А і В. Позначають її: А В.
Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,
і тільки одну.
Чи можна провести пряму через
іри точки? Не завж ди. Якщо точки А, В
І С розміщені, як показано на малюн­
ку 7, через них пряму провести можна.
А через точки А, В і О — не можна.
Кажугь, що точки А, В і О не лежать
па одній прямій. Точки А, В, С
и-жать на одній прямій, причому
И — між А і С.
7

6. розділ і Найпростіші геометричні фігури
З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома
Якщо точка влеж и ть між А і С, кажуть,
що точки А і С лежать по різні боки від В,
а точки А і В — по один бік від С.
Надруковані вище жирним шрифтом три
речення, позначені знаком О ,— це основні
властивостірозміщення точок на прямій.
Будь-яка точка А прямої ділить цю пряму
на дві частини (мал. 8).. Кожну із частин
прямої разом із точкою А називаю ть
променем, який виходить з точки А Точку А
називаю ть початком променя. Якщо
кажуть «промінь АВ», то мають на увазі
промінь з початком у точці А (мал. 9).
Два промені, які мають спільний поча­
ток і доповнюють один одного до прямої,
називаються доповняльними. На малюн­
ку 10 зображено промінь ОК — доповняль­
ний для променя ОР і промінь ОР —
доповняльний для ОК.
Для допитливих
Геометрія — частина математики
(мал. 11). Геометрична наука багата
за змістом і методами дослідження.
До неї входять: елементарна геомет­
рія, виша геометрія, неевклідові гео­
метрії, топологія та ін. У школі вивча­
ють тільки елементарну геометрію.
Геометрія тісно пов’язана з багатьма іншими науками,
насамперед із фізикою. Проте фізика займається вивченням
матеріальних тіл (які мають масу, температуру, колір тощо),
а в геометрії абстрагуються від усього матеріального. Абстра­
гуватися — це означає подумки відриватися від конкретних
об’єктів, які нас оточують. Абстрагуючись від матеріальних
речей, ми уявно створюємо ідеальні об’єкти зі схожими вла­
стивостями. Кінець голки, натягнута струна —це матеріальні
МАТЕМАТИКА
І
А*г&Р4
Мал. 11
іншими.
■ Мал. 10
8

7. Точки і прямі § 1
об’єкти. Вони мають певну товщину, довжину, масу. Абстра­
гуючись від таких фізичних властивостей, людська уява ство­
рила абстрактні геометричні поняття тонка, пряма. У приро­
ді абстрактної прямої немає, але це поняття існує в людській
уяві. 1 дуже корисне поняття, бо всі властивості прямої і її
частин, виявлені в геометрії, переносяться на мільйони і
мільярди всіх натягнутих струн, прямолінійних рейок, труб,
стрічок тощо. Не існує в природі і геометрична площина —без
товщини, ідеально рівна і гладенька, нескінченна в кожному
її напрямі. Але для науки це ідеальне поняття дуже важливе,
бо властивості, встановлені в геометрії для площини і її час­
тин, можна переносити на властивості мільярдів конкретних
шибок, стін та інших предметів, які мають плоскі поверхні.
Кресліть красиво
Проводячи відрізок, вістрям
олівця не слід торкатися ниж­
нього ребра лінійки, а треба
трохи відступити від нього.
Геометричний відрізок не має тов­
щини. Але щоб зробити малюнок
зрозумілішим і красивішим, крес­
лярі іноді зображують його потов­
щеною лінією, іноді — штриховою
лінією або й іншим кольором:
тонка лінія
потовщена лінія
штрихова лінія
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Що таке геометрія? Що таке планіметрія?
2. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.
3. Що означають записи А Є а, В & Ь?
4. Опишіть поняття тонка, пряма, площина.
5. Наведіть приклади матеріальних об’єктів, моделями
яких є точка, пряма, площина.
6. Сформулюйте основні властивості розміщення точок
на прямій.
7. Що означає вислів «точка В лежить між А і С»?
8. Що таке промінь? Як позначають промені?
9. Які промені називають доповняльними?
9

8. [розділ і Найпростіші геометричні фігури
Виконаємо разом
На скільки частин можуть розбивати пло­
щину три її прямі?
Якщо прямі розташовані, як показано на
малюнку 12, то вони розбивають площи­
ну на 7 частин. Якщо вони розташовані,
як показано на малюнку 13, то вони роз­
бивають площину на 4 або 6 частин.
ВІДПОВІДЬ. Три прямі розбивають площи­
ну, якій вони належать, на 4, 6 або
7 частин.
1
2
3
4
а
■ Мал. 13
• Задачі і вправи
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО
1. Чи через кожні дві точки можна провести пряму? Чи існують
дві точки, через які можна провести пряму?
2. Чи через кожні три точки можна провести пряму? Чи існують
три точки, через які можна провести пряму?
3 . Провідміняйте слово: а) точка; б) пряма; в) площина.
4. Опишіть, як взаємно розташовані точ­
ки і прямі на малюнку 14.
5 . На скільки частин пряму ділить її точ­
ка? А дві точки?
6 . Чи можна вважати доповняльними
промені РК і АР(див. мал. 10)? А про­
мені ОР КР? Чому?
У а п Л Л
1 0

9. Точки і прямі
ш ш а н н ш н н в н в н а н
7. Позначте в зошиті точки А і В та проведіть через них пряму.
Назвіть цю пряму.
8 . Проведіть пряму. Позначте кілька точок, що належать цій
прямій, і кілька точок, що їй не належать.
9. Дано точку А. Проведіть через неї три прямі. Чи можна
через точку А провести десять прямих? А мільйон прямих?
1 0 . Пряма а і точки А, В такі, що А Є а і В$. а. Зобразіть це на
малюнку.
1 1 . Прямі к і р перетинаються в точці X. Зобразіть це на ма­
люнку. Чи правильно, щ о / Є /с і X Є р ?
1 2 . Пряма АВ перетинає пряму АС у точці А, а пряму ВС —
у точці В. Чй належить точка С прямій АВ1
1 3 . Позначте точки К, Р і Т так, щоб через них можна було про­
вести пряму. Як можна назвати цю пряму?
14. Позначте на прямій точки А, В, С так, щоб А і В лежали по
один бік від С, а А і С — по один бік від В.
1 5 . Дано пряму а. Позначте точки А, В і Стак, щоб прямі АВ і а
перетинались у точці С, яка лежить між А і В.
1 6 . Прямі а і Ь перетинаються в точці Р. Скільки променів утво­
рилось?
17. На скільки частин площину ділить її пряма? А дві прямі?
Зобразіть усі випадки.
1 8 . Позначте точки А, В, С і Отак, щоб прямі АВ і Сй перети­
нались, а промені АВ і СО не перетинались.
19. Чи можна розмістити точки А, В, С і О так, щоб промені АВ
і СО перетинались, а промені АС і ВО не перетинались?
2 0 . Накресліть три прямі АВ, ВСІ АС. На скільки частин розби­
вають ці прямі площину?
с
2 1*. Позначте чотири точки так, щоб жодні три • В
з них не лежали на одній прямій (мал. 15).
Скільки існує прямих, Щ О проходять через А £)
будь які дві з цих точок? На скільки частин * •
розбивають ці прямі площину? ■ Мал. 15
11

10. Найпростіші геометричні фігури
22. Учень провів спочатку одну пряму, а потім, перевернувши
лінійку, — другу й одержав лінії, що перетинаються в двох
точках (мал. 16). Що можна сказати про його лінійку? Чому?
23. Щоб перевірити лінійку, дивляться вподовж її ребра (мал. 17).
Що бачать, якщо лінійка викривлена?
■ Мал. 16 ■ Мал. 17
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ И И Н
24. Покажіть, як, перегнувши аркуш паперу, можна одержати
«лінійку» для проведення прямих.
■ ■ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н
2 5 . Назвіть і зобразіть геометричні фігури, які ви розглядали
в попередніх класах.
2 6 . Накресліть відрізок завдовж ки 4 см і відрізок удвічі
довший.
27. Накресліть кути: гострий, прямий, тупий, розгорнутий.
Зафарбуйте їх внутрішні області.
28. Знайдіть периметр трикутника, сторони якого дорівнюють
5 см, 7 см і 8,5 см.
29. Знайдіть периметр квадрата, якщо
він більший за довжину однієї сто­
рони на 6 см.
3 0 . Перемалюйте в зошит частину дав­
ньогрецького орнаменту (мал. 18).
Зробіть стрічку з ним,удвічі довшою.
■ Мал. 18
1 2

11. Відрізки і їх довжини § 2
в
§ 2. Відрізки і їх довжини
Д в і точки прямої розділяють цю пряму на
три частини: два промені і відрізок.
Відрізком АВ називається частина прямої, яка складається
з точок А і В та всіх точок, що лежать між ними.
Точки А і В називають кінцями відрізка А В. Усі інші точки
цього відрізка — його внутрішні точки.
На малюнку 19 зображ ено відрізок АВ.
Точки А і В — його кінці, а будь-яка точка,
що лежить між А і В, — внутрішня точка від­
різка АВ.
Два відрізки перетинаються, якщо вони
мають тільки одну спільну внутрішню точку.
Щоб виміряти відрізки, треба мати одинич­
ний відрізок (одиницю вимірювання). Відрізок,
зображений на малюнку 20, вважатимемо
одиничним. Його довжина дорівнює 1 см.
Якщо на відрізку АВ одиничний відрізок
відкладається рівно 3 рази, то це означає, що
довжина відрізка АВ дорівнює 3 см (мал. 21).
Якщо на відрізку ЕР одиничний відрізок
відкладається два рази з остачею, а в остачі
десята частина одиничного відрізка відклада­
ється 7 разів, то довжина відрізка ЕР дорів­
нює 2,7 см. Пишуть: АВ = 3 см, ЕР = 2,7 см.
За одиничний відрізок можна брати відрі­
зок завдовжки 1 м, 1 км, 1 фут, 1 дюйм тощо.
І Мал. 20
В
Кожний відрізок має певну довжину.
Два відрізки називають рівними, якщо рівні їх довжини.
З двох відрізків більшим вважається той, довжина якого
більша.
У сантиметрах вимірюють порівняно невеликі відрізки.
Ііільші відрізки вимірюють у дециметрах, метрах, кілометрах;
менші — в міліметрах. Нагадаємо, що
1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.
1 3

12. Довжину відрізка називають також від­
станню між його кінцями. Якщо ХУ= 18 см,
то це означає, що відстань між точками
X і У дорівнює 18 см. Відстань між X і У
завжди дорівнює відстані між У і X.
Якщо точка С відрізка АВ розбиває його
на дві частини, довжини яких дорівнюють,
наприклад, 2 см і 1,2 см, то довжина відріз­
ка АВ дорівнює 3,2 см (мал. 22).
Довжина відрізка д о р ів н ю є с у м і д о в ж и н .частин, на які
його розбиває будь-яка його внутрішня точка.
розділ і Найпростіші геометричні фігури__________________________________________
В
Надруковані вище жирним шрифтом два речення, позначені
знаком Н , — це основні властивості вимірювання відрізків.
Серединою відрізка називається його
внутрішня точка, яка розбиває цей відрізок
на дві рівні частини.
Якщо точка С — середина відрізка А В,
зо АС = СВ(мал. 23).
Якщо точка С не належить відрізку А В, то
сума довжин відрізків АС і СВ більша від
АВ. Отже, для будь-яких трьох точок А, В і С
завж ди АВ +В С А С .
Вимірювати довжини відрізків доводиться багатьом фахів­
цям. Креслярі вимірюють відрізки масштабними лінійками,
столяри — складними метрами, кравці — клейончастими санти­
метрами, будівельники — рулетками (мал. 24).
Мал. 23
1 4

13. Відрізки і їх довжини § 2
Для ДОПИТЛИВИХ • • • • • • • • • • • • • • «
Вимірювальні прилади забезпечують ту чи іншу точ­
ність. Відстань між містами звичайно визначають з точністю
до кілометра, між берегами річки — з точністю до метра,
довжину олівця — з точністю до міліметра, діаметр деталі
ручного годинника —з точністю до десятої чи й сотої части­
ни міліметра. Зрозуміло, що для вимірювань різних довжин
і відстаней застосовують відповідні вимірювальні засоби:
крім уже названих, циркулі, кронциркулі, штангенциркулі,
далекоміри тощо. З деякими з них ви ознайомитесь пізніше.
Одиниці довжини бувають різні. Вангломовних країнах най­
частіше використовують такі: фут, дюйм, миля. Докладні­
ше про них —далі.
На практиці для різних відстаней існують різні назви:
довжина, ширина, висота, глибина, дистанція, інтер­
вал (мал. 25).
ДИСТАНЦІЯ
Мал. 25
Ц Запитання і завдання для самоконтролю
1
1. Що таке відрізок? Що таке кінці відрізка?
2. Що таке відстань між двома точками?
3. Що означає вислів «два відрізки перетинаються»?
4. Сформулюйте основні властивості вимірювання
відрізків.
1 5

14. • Виконаємо разом
О**“ Промінь — частина прямої. Чи правильно говорити, що
промінь коротший за пряму?
■ Пряма і промінь не мають довжин, тому порівнювати їх
довжини немає сенсу.
ВІДПОВІДЬ. НІ.
И » Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. Знайдіть відстань
між Р і Т, якщо КР= 1,7 м, КТ= 4,8 м. Скільки розв’язків
має задача?
■ Позначимо точки К і Т такі, що КТ= 4,8 м. Точка Р прямої КТ
віддалена від К на 1,7 м. Можливі два випадки (мал. 26):
а) /(леж ить між Р і Т: РТ = 1,7м + 4,8 м= 6,5 м;
б) Ялежить між К і Т: РТ = 4,8м - 1,7 м= 3,1 м.
Р К Т К__ Я____ т
Я Мал. 26
ВІДПОВІДЬ. Задача має два розв’язки: 6,5 м; 3,1 м.
'Задачі і вправи
Я Ш ВИКОНАЙТЕ УСНО ■ ■ ■ ■ ■
31. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо
точка С — його середина і СВ = 5 дм.
32. Знайдіть довжину відрізка, який
довший за свою половину на 35 см. V.-— ■ Мал. 27
3 3 . Точка Сділить відрізок АВ у відношенні 1 : 2 (мал. 27).
Знайдіть: 1) СВ, якщо АС дорівнює 1 см; 3 дм; 10 км;
2) АВ, якщо >4Сдорівнює 2 см; 5 дм; ЗО м;
3) АВ, якщо С в дорівнює 2 см; 6 м; 12 км.
34. Знайдіть довжину відрізка, якщо точки К і Р ділять його на
три рівні частини і КР= 7 см.
35. Точки А і Єлежать по різні боки від прямої а. Чи перетинає
відрізок АВ пряму а ?
36. Точки К і Я лежать по один бік від прямої с. Чи перетинає
відрізок КР пряму с ? А пряма с перетинає пряму КР?
37. Точка А лежить між В і С. Чи є точка Є внутрішньою точкою
. відрізка >4С?
Найпростіші геометричні фігури
1 6

15. Відрізки і їх довжини § 2
ШШ А
38. Позначте на прямій точки А і В. Який відрізок утворився?
Зобразіть його середину.
3 9 . Позначте точки А, В, С, Д так, щоб ніякі три з них не лежали
на одній прямій. Побудуйте відрізки АВ, АС. А й. ВС, В О, СО.
40. Позначте на прямій точки А, В, С, О так, щоб відрізки АС і
ВО не мали спільних точок і щоб точки С іВ лежали між А іО.
Знайдіть спільну частину відрізків АВ і СД.
41. Прямі АВ і СО перетинаються. С — внутрішня точка відрізка
АВ. Чи перетинаються відрізки АВ СО?
42. Відрізок А В перетинає пряму а, а відрізок ВС не перетинає
її, причому Сф о. Чи перетинає пряму а відрізок АС?
43. Накресліть відрізки АВ, АС. А О. СВ, СО, ВО такі, щоб точка
С леж ала між А і В, а точка В — між Сі Д. Скільки спільних
точок мають відрізки АС і ВО, АС і СВ, А В СО?
44. Точка влеж ить між А іВ. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:
а) А Х = 2,5 см, ХВ= 3 ,4 см.
б) АХ= 5,3 м, ХВ = 4,2 м.
в ) > 4 Л '= 2 |д м , ХВ= б |д м .
45. Точка /влеж ить між КР. Знайдіть відстань між МР, якщо:
а ) /С Р = 0 ,9 д м , Д 'М = 0 ,З д м .
б) КР = 2,6 дм, КМ= 1,4 дм. ' Т
в) КР = 2 | дм, КМ= д дм.
46. Точка Слежить м іж /4 і В. АС= 5 см, відстань ВС — на 3 см
більша. Знайдіть АВ.
47. Чи леж ать точки А, В і С на одній прямій, якщо:
а) АВ= 2,5 см, ВС = 3,8 см, АС = 1,3 см;
б) А В - 1,9 дм, ВС - 2,9 дм ,/4С = 4,9 дм?
48. Точки А, В, С, К лежать на одній прямій. АВ = ВС = СК.
Знайдіть СК, якщо АС = 12 см.
49. Чи можна розмістити точки А, В і С так, щоб виконувались
рівності: а) А В _ 2 3 см в с = 3 5 см А с= 6,3 см;
б) АВ= 5,1 см, ВС = 3,5 см,АС = 6,8 см;
в) АВ= 3,1 см, ВС = 7,2 см, АС = 10,3 см?
1 7

16. розділ Найпростіші геометричні фігури
50. Чи може відрізок 5С леж ати на промені АВ, якщо:
а) АВ= 9,2 см, ВС= 3,8 см, АВ= 13 см;
б ) /4 5 = 9,2 см, 5 С = 3,8 см, АВ= 5,4 см;
в) АВ = 9,2 см, ВС = 13,8 см, АВ = 4,6 см?
51. На відрізку ЛУ завдовжки 4,8 дм лежить точка С. Знайдіть
відстані Х С і СУ, якщо:
а) Х С - СУ= 1,3 дм; б) СУ = 2ХС; в) Х С : СУ = 1 : 5 .
52. Точки А, В і Слежать на одній прямій,/4 5 = 1 0 д м ,5 С = 3 дм.
Знайдіть АС. Розгляньте всі можливі випадки.
53. Точки А, В, С, О леж ать на одній прямій, В — середина АС,
ВС = 7 м, СО = 10 м. Знайдіть Ай.
54. Точки А, В, С, О леж ать на одній прямій. Знайдіть СО, якщо
АВ = 10 см, АС = 3 см, ВО = 4 см. Розгляньте всі можливі
випадки.
55. Дано відрізок АВ. Побудуйте відрізок КР:
а) втричі довший за АВ;
б) вдвічі коротший за АВ;
в) якщо КР= 2,5 АВ.
56. Як за допомогою півметрової
лінійки побудувати двометро­
вий відрізок? и Мал- 28
57. Поясніть, як провішують прямі за допомогою віх (мал. 28).
■ ■ і ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ
58. Виміряйте довжину і ширину своєї парти.
■ ■ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
5 9 . Накресліть коло радіуса 4 см. Поділіть його
на 4 рівні дуги ізнайдіть довжину однієї з них.
60: На скільки частин можуть поділити площину
два кола, розташовані на ній?
6 1 , .іиаидіть довжину ребра куба, якщо сума
Ді НІ ЖИН уих його ребер дорівнює 6 м.
6 2 . 11.1!її»м.тиіцге в зошит фігуру, зображену на
митнику ."і, імайдіть її площу, прийнявши
имніду один і іоіііинки за 0,25 см2. ■ Мал. 29
1 8

17. Кути і їх міри § З
§ 3. Кути і їх міри
Д в а промені, що мають спільний початок,
розбиваю ть площину на дві частини.
Частину площини, обмежену двома променями із спільним
початком, називаю ть кутом.
Промені, що обмежують кут, називаю ть
сторонами, а їх спільний початок — верши­
ною кута (мал. ЗО, а). Такий кут називаю ть
кутом АОВ, або кутом ВОА, або кутом О
і записують відповідно: L A O B , або /.ВОА,
або LO. Усі точки кута, які не належать
його сторонам, утворюють внутрішню об­
ласть цього кута. Внутрішню область кута
на малюнку ЗО, а заф арбовано. Іноді внут­
рішню область кута позначаю ть дугою, іноді
ніяк не позначають, а тільки уявляють. На
малюнку ЗО, б і в зображ ено кути з верш и­
ною О і сторонами ОА і ОВ.
Кут, сторони якого — доповняльні промені,
називається розгорнутим кутом (мал. 31).
Щоб вимірювати кути, треба мати одини­
цю вимірювання. За таку одиницю прийма­
ють кут в 1 градус (скорочено 1°). У розгорну-
юму куті він вміщується 180 разів. Уявімо
півколо, поділене на 18 рівних дуг (мал. 32).
Коли з його центра О через усі точки поділу
і кінці півкола провести промені, вони поді­
ли іь розгорнутий кут на 18 кутів по 10°. Один
11 іаких кутів {АОВ) ділимо на 10. Міра кута
АОС дорівнює 1°.
Мал. ЗО
А
Я Мал. 31

18. розділ Найпростіші геометричні фігури
■ Мал. 33
■ Мал. 34
■ Мал. 35
Кожний кут має певну міру.
Міра розгорнутого кута дорівню є
180°.
Міру кута позначають так само, як і кут.
Наприклад, якщо міра кута АВС дорівнює
6 0 градусів, пишуть: LA B C - 60°. Дуже
малі кути вимірюють у мінутах і секундах.
М інутою називають частину граду­
са, а секундою — ^ частину мінути.
Записують: 1° = 60', Г = 60".
Кути в зошиті та на класній дошці ви­
мірюють транспортиром (мал. 33), а на
місцевості — астролябією (мал. 34),
теодолітом (мал. 35) чи іншими кутомір­
ними приладами.
Д ва кути називаю ться рівними, якщо
їх міри рівні.
З двох кутів більшим вваж ається той,
міра якого більша.
Кут називається прямим, якщо його
міра дорівнює 90°, гострим — якщо він
менший прямого, тупим — якщо він
більший прямого, але менший розгорну­
того (мал. 36).
Прямі кути на малюнках частіше позна­
чають не дугами, а квадратиками.
Кути, більші від розгорнутого (див.
мал. ЗО,в), поки що не розглядатимемо.
2 0

19. Кути і їх міри § а
Промінь, який виходить з вершини
кута ілежить у його внутрішній області,
називаю ть внутріш нім променем
кута. Внутрішній промінь розбиває
даний кут на два менші кути. Наприк­
лад, внутрішній промінь ОК кута АОВ
розбиває цей кут на кути АО К і КОВ
(мал. 37). При цьому І. АО К +^К О В =
= LAOB. Говорять, що кут АОВ дорів­
нює сумі кутів АО К і КО В.
Міра кута дорівнює сумі мір ку­
тів, на які даний кут розбиваєть­
ся його внутрішнім променем.
Два виділені вище речення, позна­
чені знаком В, називають основними
властивостями вимірювання кутів.
Внутрішній промінь, який розбиває
кут на два рівні кути, називається бі­
сектрисою цього кута. На малюнку 38
промінь ОС — бісектриса кута АОВ.
Для допитливих в •
Кутом часто називають також фігуру, складену з двох
променів, шо мають спільний початок. Таким чином,
кутом називають і деяку лінію. Але поділити такий кут на
два чи більше рівних кутів не можна. То ж коли говорять
про додавання, віднімання чи ділення кутів, то кут розгля­
дають разом з його внутрішньою областю.
Хоча далі ми розглядатимемо здебільшого кути менші
від розгорнутого, слід пам’ятати, що кути бувають і більші
від розгорнутого. Вони мають більше 180°. Таким, на­
приклад, є кут О чотирикутника АВСО (мал. 39). існують
і спеціальні транспортири, якими вимірюють кути, більші
від розгорнутого (мал. 40). Звичайно в геометрії розгляда­
ють кути не більші від 360°. Поняття кута застосовують
часто також для характеристики поворотів. Наприклад, *
велосипедне колесо можна повернути на 100°, можна на «
21

20. 1 Найпростіші геометричні фігури
■ Мал. 39
300. А коли колесо зробило півтора
оберти? Вважають, що воно поверну­
лося на 360° і ще на 180°, а разом —
на 540°.
Крім градусів, мінут і секунд, є й
інші міри кутів. Моряки кути вимірю­
ють у румбах. Румбом називають
восьму частину прямого кута, 1румб =
= 11,25° (мал. 41). Науковці найчасті­
ше вимірюють кути врадіанах. Що це
таке, дізнаєтесь у старших класах.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Яка фігура називається кутом? Як позначають кути?
2. Який кут називають:
а) гострим;
б) тупим;
в) прямим;
г) розгорнутим?
3. Якими приладами і в яких одиницях вимірюють кути?
4. Що таке внутрішня область кута? Внутрішній промінь
кута?
5. Що таке бісектриса кута?
6. Які кути називають рівними?
7. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
2 2

21. Кути і їх міри § З
• В иконаєм о р а зо м
Знайдіть міру кута АОВ, якщо промені ОС і ОК ділять
його на три рівні кути і ССОК = 40°.
■ Кут СОК — третя частина кута АОВ. Тому /.АО В = 40° ■3 =
= 120°.
ВІДПОВІДЬ. 120°.
0 К Знайдіть міри кутів, утворених стрілками годинника:
о 3-й годині; о 5-й годині (мал. 42).
■ На циферблаті годинника півколо
відповідає 6 годинам. Тому одній
годині відповідає | частина розгор­
нутого кута, тобто 30°. Коли на годин­
нику 3-тя година, кут між годинною
і хвилинною стрілками дорівню є
30° ■ 3 = 90°. Коли на годиннику
5-та година, кут між його стрілками
дорівню є 30° ■5 = 150°.
ВІДПОВІДЬ. 90°; 150°.
• З а д а ч і і вп рави
ВИКОНАЙТЕ УСНО
63. Скільки мінут мають 2 °? А півтора градуси?
64. 1) Назвіть усі кути, що є на малю н­
ку 43. Які з них гострі, прямі, тупі?
2) Нехай СМОА = 25°, ССОй =
= СООВ = 30°, /. АОВ — прямий.
Знайдіть /.МОВ і /.АОС.
3) Порівняйте кути МОС АОй, А О й
і СОВ.
65. Знайдіть кут між променями, які ділять
прямий кут на 3 рівні частини. Мал. 43
66. Промені, проведені з центра кола,
ділять його на 4 рівні частини. Знайдіть
кут між двом а сусідніми променями.
2 3

22. розрл 1 Найпростіші геометричні фігури
■ і А ш ш вш иш ш ш ш яш ш ш ш ш ш ш яш ш
67. Накресліть гострий кут. Позначте буквами його вершину
і сторони. Заштрихуйте його внутрішню область.
6 8 . Накресліть тупий кут. Позначте його сторони буквами, а
внутрішню область — дугою.
69. Накресліть розгорнутий кут КРТ. Назвіть його вершину і
сторони. Позначте внутрішню область кута дугою.
70. Позначте три точки А, В. С, що не лежать на одній прямій.
Побудуйте кутАВС. Чи може цей кут бути розгорнутим?
71. Користуючись транспортиром, побудуйте кути, міри яких
дорівнюють 50°, 90°, 120°. Проведіть бісектриси побудова­
них кутів.
72. Побудуйте на око кути, міри яких 30°, 45°, 60°, і проведіть
їх бісектриси. Перевірте точність побудови транспортиром.
73. Виразіть у градусах і мінутах міри кутів: 135'; 5000'.
74. Виразіть у мінутах: 6° 15'; 2°; 11,5°.
7 5 . Виконайте дії: а) 5° 4 8 ' + 7° 35'; б) 32° 17' - 8° 45'.
76. Виконайте дії: а) 33° 3 3 ' + 15° 15'; б) 145° 5 4 ' - 41° 41'.
в) 123° 4 5 ' + 54° 32'; г) 44° 1 4 ' - 14° 44'.
77. Заповніть таблицю, в якій А — міра даного кута, В — міра
кута між його бісектрисою і стороною.
А
Оо
60° 100° 180°
В 50° 45°
78. Знайдіть міру кута АОВ, якщо ОС — його внутрішній промінь
і ААОС= 60°, LCOB= 30°.
79. Чи є промінь РМ внутрішнім променем кута КРТ, якщо
LK PT = 70°, /-КРМ = 80°? А якщо LKPM = 20°?
80. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника про­
тягом 20 хв; ЗО хв?
81. На який кут повертається годинна стрілка годинника протя­
гом 0,5 год; п’яти хвилин?
82. Знайдіть кут МОВ, якщо /_АОМ= 25° і ^АОМ І.М ОВ=А :5.
83. Знайдіть кут АОВ, якщо і'.АОМ = 30°, / .МОВ = 60° і всі ці
кути розташовані в одній площині.
2 4

23. 8 4 . Дано кути АОВ і МОВ однієї площини, що містять відповідно
120° і 60°. Знайдіть міру кута АОМ. Розгляньте два випадки.
8 5 . Накресліть кутАОВ і його внутрішні промені ОК іОМ так, щоб
/.АО В = 90°, /.АО К= 40°, /.МОВ = 30°. Знайдіть /.КОМ.
8 6 . ОМ — бісектриса кута АОВ, ОК — бісектриса кута АОМ.
У скільки разів 4 КОМ менший від /.А О В ?
87. ОМ— бісектриса прямого кута АОВ ОК ОР — бісектриси*
кутів АОМ і МОВ. Знайдіть міру кута КОР.
8 8 . /.АО М = 30°, а 4 ВОМ на 20° більший. Знайдіть /.АОВ.
Розгляньте усі можливі випадки.
8 9 . ОМ і ОК — внутрішні промені куга АОВ, ОК — бісектриса
кута МОВ, /,АО В= 150°, 4 КОВ на 40° менший за /.МОВ.
Знайдіть 4 АОМ і /іМОК.
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ НЯНИН
90. а) Виріжте з паперу гострий, прямий і тупий кути. Виміряй­
те їх транспортиром.
б) Перегинаючи аркуші паперу, зробіть моделі кутів, міри
яких дорівнюють 180°, 90°, 45°, 30°, 60°.
_______ _______ Кути і їх міри § З
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ШШ
9 1 . Площа квадрата дорівнює 16 см2. Знайдіть його периметр.
92. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорів­
нює 40 см2, а одна із сторін 5 см.
93. Чи на одній прямій розташовані точки А, В і С, якщо:
а) АВ = 5 дм, ВС= 7 дм, АС = 10 дм;
б) АВ = 35 см, ВС = 45 см, АС = 1 дм;
в) АВ =-|- дюйма, ВС = ^ дюйма, АС = ^ дюйма?
94. Як знайти площу прямокутного три­
кутника, сторони якого дорівнюють
З, 4 і 5 см?
95. Перемалюйте в зошит фігуру, зобра­
жену на малюнку 44. Розфарбуйте ЇЇ
двома кольорами.
Мал. 44
2 5

24. | розділ 1 Найпростіші геометричні фігури
• Задач і за готовими малюнками
2 6

25. • Самостійна робота 1
От: Варі ант 1
1°.С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 6 см, ВС на
2 см менший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. а АОВ= 130°, ОС — його бісектриса. Знайдіть 4 50С .
З! Точки А, В і С леж ать на одній прямій. АВ = 9 см,
ВС = 4 см. Знайдіть довжину відрізка АС. Розгляньте два
випадки.
4? Промінь ОС ділить 4 /4 0 5 = 80° на два кути так, що один з
них у 3 рази більший за другий. Знайдіть А АОС і 4 ВОС.
Варіант 2
1° С — внутрішня точка відрізка АВ, ВС = 4 см, АС у 2 рази
більший за ВС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. ОС — бісектриса 4 АОВ, 4 А О С - 50°. Знайдіть 4 АОВ.
З? Точки М, N і К лежать на одній прямій. МА/ = 6 см,
ИК = 10 см. Знайдіть довжину відрізка МК. Розгляньте
два випадки,
4! Промінь ОС ділить 4 АОВ = 70° на два кути так, що один
3 них на 20° більший за другий. Знайдіть 4 /4 0 С і 4 ВОС.
Варіант З
1°. С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 4 см, ВС на
3 см більший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. 4 /4 0 5 = 6 0 °, О С — його бісектриса. Знайдіть 4 АОС.
З! Точки Е, Е Р леж ать на одній прямій. ЕЕ = 7 см,
РР= 3 см. Знайдіть довжину відрізка ЕР. Розгляньте два
д випадки.
С ~43 4 . промінь ОС ділить 4 АОВ = 100° на два кути так, що
4 АО С : 4 В О С - 2 : 3. Знайдіть 4 АОС і 4 ВОС.
Варіант 4
1°. С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 9 см, ВС у 3 рази
менший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. ОС — бісектриса 4 АОВ. 4 ВОС = 40°. Знайдіть 4 АОВ.
З? Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. КР = 12 см, РТ =
= 5 см. Знайдіть довжину відрізка КТ. Розгляньте два
випадки.
4! Промінь ОС ділить 4 АОВ= 120° на два кути так, що один
з них на 30° менший за другий. Знайдіть 4 АОС і 4 ВОС.

26. Найпростіші геометричні фігури
• Тестові завдання 1
1. Прямі а і b п еретинаю ться
в точці 0. Якій прямій належ ить
точка О ?
а) а; б) b; в) а і Ь;
г) не належ ить жодній.
2 . На скільки частин
ділять площ ину дві прямі,
щ о перети н аю ться?
а) на 2;
в) на 4;
б) на 3;
г) на 6.
3 . Яка з трьох точок
леж ить між д в о м а іншими,
якщ о XY= 3, YZ= 7, XZ = 4?
а)Х,
в) Z;
б) Y;
г) ж одна.
4. М — с ер ед и н а відрізка АВ,
АМ= 7 см.
Знайдіть довж ину АВ.
а) 14 см; б) 21 см;
в) 3,5 см; г ) 7 с м .
5 . К — внутрішня точка відрізка АВ,
АК = 3 см, АВ = 10 см.
Знайдіть довж ину КВ.
а) 13 см;
в) ЗО см
; б) 7 см;
; г) 8 см.
6 . Знайдіть міру кута,
якщ о його бісектриса утворю є
зі стороною кут 20°.
а) 20°;
в) 30°;
б) 10°;
г) 40°.
7. L A O B = 110°, ОМ — його
внутрішній промінь, L ВОМ = 60°.
Знайдіть LAOM.
а) 50°;
в) 90°;
б) 170°;
г) 7 0 а.
8. О М — внутрішній промінь
LAO B. LA O M = 40°, L ВОМ
на 10° більший. Знайдіть АОВ.
а) 70°;
в) 90°;
б) 50°;
г) 44°.
9. Точки-Д В і С леж ать на одній
прямій, АВ = 5 см, ВС = 12 см.
Знайдіть АС.
а) 17 см; б) 7 см;
в) 17см або 7 см;
г) 18 см або 8 см.
10. LA O B = 50°, L ВОС = 20°.
Знайдіть LAOC.
а) 70°;
в) 30°;
б) 30° або 70°;
г) 70° або 40°.

27. • Запитання і завдання
д л я самоконтролю
1. Що таке геометрія?
2. Що таке планіметрія?
3. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.
4. Опишіть поняття точка.
5. Опишіть поняття пряма.
6. Опишіть поняття площина.
7. Наведіть приклади матеріальних о б ’єктів, моделями
яких є тонка, пряма, площина.
8. Що означають записи А Є а, А&. Ь7
9. Що означає вислів «точка /Злежить між А і С »?
10. Сформулюйте основні властивості розміщ ення точки
на прямій.
11. Що таке промінь?
12. Як позначають промені?
13. Які промені називаю ть доповняльними?
14. Що таке відрізок?
15. Що таке кінці відрізка?
16. В яких одиницях вимірюють відрізки?
17. Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.
18. Що таке середина відрізка?
19. Яка нерівність виконується для будь-яких трьох точок?
20. Що таке відстань між двом а точками?
21. Яка фігура називається кутом?
22. Як позначають кути?
23. Який кут називаю ть гострим?
24. Який кут називають тупим?
25. Який кут називають прямим?
26. Який кут називають розгорнутим?
27. В яких одиницях вимірюють кути?
28. Що таке внутрішня область кута?
29. Що таке внутрішній промінь кута?
30. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
31. Що таке бісектриса кута?
32. Які кути називають рівними?
2 9

28. Головне в розділі 1
Геометрія — наука про геометричні фігури і їх властивості.
Найпростіша геометрична фігура — точка. Кожна інша геом е­
трична фігура складається з точок, тобто є деякою множиною
точок. Інші фігури — пряма, площина. їх зміст розкриваю ть
не означеннями, а описуючи їх основні властивості. Фігури,
які можна розмістити в одній площині, називаю ть плоскими
фігурами. Частина геометрії, в якій досліджую ться фігури
тільки однієї площини, називається планіметрією.
Основні властивості розміщення точок на прямій
• Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.
• Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,
і тільки одну.
• 3 трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
Частини прямої — відрізок і промінь. Відрізок АВ — це
частина прямої, що містить точки А, В і всі точки, що лежать між
ними. Кожному відрізку ставиться у відповідність його довжина.
Довжина відрізка — відстань між його кінцями. Відстані і д ов­
жини вимірюють метрами, сантиметрами, міліметрами, кіло­
метрами, футами, дюймами та іншими одиничними відрізками.
Основні властивості вимірювання відрізків
• Кожний відрізок має певну довжину.
• Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин,
на які його розбиває будь-яка внутрішня точка.
Частину площини, обмежену двом а променями із спільним
початком, називаю ть кутом. Кути бувають гострі, прямі, тупі,
розгорнуті і більші від розгорнутих. Міри кутів визначають
у градусах, мінутах, секундах, румбах та деяких інших кутових
одиницях вимірювання.
Основні властивості вимірювання кутів
• Кожний кут має певну міру.
• Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут
розбивається його внутрішнім променем.
Бісектриса кута — внутрішній промінь, який .розбиває
даний кут на два рівні кути.
ЗО

29. Розділ ВЗАЄМНЕ
РОЗТАШУВАННЯ
ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
У цьому розділі підручника
ви розш ирите і поглибите свої знання
про прямі і промені однієї площини,
ознайом итеся з дуже важливими
поняттями: суміжні кути,
вертикальні кути, перпендикулярні
прямі, паралельні прямі тощ о,
а також із важливими загально-
математичними поняттями:
аксіома, теорема, наслідок,
доведення, ознака, означення.
СУМІЖНІ і ВІ
ПЕРПЕНДИК
ОЗНАКИ ПАЇ
ВПАСТИВОС'
ТИКАЛЬНІКУТИ
1ЯРНІ І ПАРАДЕ ЬНІ І
ЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ
ПАРАЛЕЛЬНИХ; £ЧІ*Я*
ЬНІ ПРЯМІ
V
> **кавам
Основна ідея, якою пройнята
вся математика, —
це ідея рівності.
Г. Спенсер

30. розділ Z Взаєм не розташування прямих на площині
§ 4 .
■ Мал. 45
Суміжні і вертикальні кути
Д в а кути, на які розбивається розгор­
нутий кут його внутрішнім променем, на­
зивають суміжними.
Одна сторона у суміжних кутів спільна, а
дві інші — доповняльні промені. Якщо точ­
ки А, О, влеж ать на одній прямій, а С —
довільна точка, яка не належить прямій
АВ, то кути АОСі СОВ— суміжні (мал. 45).
Властивість суміжних кутів сформу­
люємо у вигляді теореми.
У математиці теоремою називаю ть кожне твердж ення,
істинність якого обґрунтовується за допомогою логічних мірку­
вань. Ланцюжок таких міркувань називають доведенням.
У нашому підручнику теореми надруковано жирним шриф­
том і занумеровано.
I ТЕОРЕМА 1 Сума мір двох суміжних кутів дорівню є 180°.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Об’єднання двох суміжних кутів є розгорнутим кутом. Міра
розгорнутого кута дорівнює 180°. Отже, якими б не були суміжні
кути, сума їх мір дорівнює 180°. А
Два кути називають вертикальними,
якщо сторони одного є доповняльними
променями сторін другого.
Наприклад, якщо прямі АС і BD перети­
наються в точці О, то кути AOD і ВОС —
вертикальні (мал. 46). Кожний з них суміж­
ний із кутом АОВ. Кути АОВ і COD також
вертикальні.
Вертикальні кути рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АОО і ВОС — довільні вертикальні кути (див. мал. 46).
Кожний з них суміжний із кутом АОВ. За теоремою про суміжні
кути
/.АО О +/.АОВ = 180° і /.ВОС +А АОВ = 180°,
3 2

31. Суміжні і вертикальні кути § 4
звідки
4 /1 0 0 = 1 8 0 °-САОВ і 4 в О С = 1 8 0 ° - 4 АОВ.
Праві частини цих рівностей однакові, тому
4 АОО = 4 ВОС. А це й треба було довести. *
Для допитливих
*
«
0
»
«
-*
*
«
«
■т
*
«
-»
«
Слово суміжні вживають не тільки
щодо кутів. Суміжний — той, що має
спільну межу, прилеглий до чогось,
сусідній. Можна говорити про суміжні
кімнати, суміжні поля тощо. Стосовно
кутів це поняття має особливий зміст.
Не будь-які два кути зі спільною межею
називають суміжними. Наприклад,
зображені на малюнку 47 кути АОВ і
ВОС мають спільну сторону ОВ, але
не є суміжними кутами.
Суміжні кути — це два кути, які
перебувають у певному відношенні.
Один кут не може бути суміжним. Як­
що говоримо, що якийсь кут суміж­
ний, то обов’язково маємо закінчити
думку: суміжний з яким кутом? Відно­
шення суміжності кутів має таку властивість: якщо кут А
суміжний з кутом В, то і кут В суміжний з кутом А .
Нехай кут А суміжний з кутом В, а кут В суміжний
з кутом С. Що можна сказати про кути А і С? Вони або
вертикальні, або кут С —той самий кут А (мал. 48).
Слово вертикальні також стосується не тільки кутів.
Здебільшого вертикально розміщеним вважають продов­
гуватий предмет, розташований в напрямі виска (перпен­
дикулярно до горизонту).
Завжди правильна властивість: якщо кут А вертикаль­
ний куту С, то і кут Свертикальний куту А.
■ Мал. 47
« » « $
А
ф
£
*
$
#
$
ш
т
т
#
т
ш
ш
т
ш
#
т
ш
т
#
#
Ц Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Які кути називають суміжними?
2. Сформулюйте і доведіть властивість суміжних кутів.
3. Які кути називають вертикальними?
4. Сформулюйте і доведіть властивість вертикальних
________ кутів.___________________________________________
3 3

32. розділ Л Взаєм не розташування прямих на площині
• Виконаємо р азом
Ц рН Знайдіть міри суміжних кутів, якщо один з них на 50° біль­
ший, ніж другий.
■ Нехай міра меншого із суміжних кутів дорівнює х, тоді
міра більшого кута х + 50°. За властивістю суміжних кутів
х+ х+ 50° = 180°, звідки х= 65°, а х + 50° = 115°.
ВІДПОВІДЬ. 65° і 115°.
|Щ Один із чотирьох кутів, які утворилися при перетині двох
прямих, удвічі більший від другого. Знайдіть міру кожного
з утворених кутів.
■ При перетині двох прямих утворюються вертикальні і су­
міжні кути. Оскільки вертикальні кути рівні, то вони умову
задачі не задовольняють. Робимо висновок: один із суміжних
кутів удвічі більший від другого, їх міри х і 2 х . За властивістю
суміжних кутів х + 2 х = 180°, звідки х = 60°, а 2 х = 120°.
Відповідні їм вертикальні кути також дорівнюють 60° і 120°.
ВІДПОВІДЬ. 60°, 120°, 60°, 120°.
• Задачі і вправи
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО М І Н
96. Назвіть пари суміжних кутів, зобра­
жених на малюнку 49.
97. Чи можна вважати суміжними кути
КОВ і КОА, зображені на малюн­
ку 4 9 ? А кути АОС і АОО ?
98. Дано гострий кут А Чи може бути
гострим суміжний з ним кут? А пря­
мим?
99. Дано тупий кут. Яким є суміжний з ним кут?
100. Сума кутів А і £?дорівнює 180°. Чи суміжні вони?
101. Розгорнутий кут двома внутрішніми променями розбито на
три менші кути. Чи можна їх вважати суміжними кутами?
102. Чи вертикальні кути АОВ і СОД зображені на малюн­
ку 50?
3 4

33. 103. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, дорів­
нює 100°. Знайдіть міри трьох інших кутів (мал. 51).
Суміжні і вертикальні кути § 4
А
104. Міра одного з двох суміжних кутів дорівнює 50°. Знайдіть
міру другого кута. Побудуйте ці кути.
105. Дано кут, міра якого 160°. Знайдіть міру суміжного кута.
Побудуйте ці кути. Зафарбуйте їх різними кольорами.
106. Знайдіть міру кута, суміжного з 4 АВС, якщо:
а) 4 АВС= 34°; б ) 4 4 £ С = 1 1 1 ° ;
в) 4 4 Я С = 13°13'; г) 4 4 Д С = 135°47'.
107. Доведіть, що коли суміжні кути рівні, то вони прямі.
108. Знайдіть міри суміжних кутів, якщо один з них:
а) на 30° більший від другого;
б) у два рази менший від другого.
109. Знайдіть міри суміжних кутів, що відносяться як:
а) 4 : 5; б) 3 : 2.
1 1 0 . Накресліть кут, що має 45°. Побудуйте вертикальний йому кут.
1 1 1 . Сума мір двох вертикальних кутів дорівнює 120°. Знайдіть
міру кожного з цих кутів.
112. Знайдіть міри кутів, утворених перетином двох прямих,
якщо міра одного з них дорівнює:
а) 50°; б) 110°; в) п°.
1 1 3 . Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її.
Даний кут 10°
о
О
ю
о
о
со
со
оо
120° 170°
Вертикальний йому кут
Суміжний з ним кут
3 5

34. розділ Л В заєм не розташування прямих на площині
114. Перемалюйте в зошит малюнок 4 6 і подану нижче табли­
цю. Використовуючи малюнок, заповніть порожні клітинки
таблиці.
/.АО О 66° 50°5'
4 АОВ 135° 177°
4 ВОС
о
О)
со
33°33'
4 ООС 97° / 99°9'
115. Чи можуть кути, що утворилися при перетині двох прямих,
бути пропорційними числам:
а) 2, 3, 4 і 5; 6 )5 , 5, 5 і 8; в) 2, 3, 2 і 3; г) 1, 4, 2 і 8 ?
1 1 6 . Доведіть, що кути, суміжні з рівними кутами, рівні.
117. Намалюйте три прямі так, щоб вони перетиналися в одній
точці. Скільки пар вертикальних кутів утворилося?
118. Скільки пар вертикальних кутів і скільки пар суміжних
кутів зображ ено на малюнку 5 2 ?
119. На малюнку 53 зображено три прямі, що перетинаються
в точці О. Доведіть, щ о /.1 + /:2 + ^ 3 = 180°.
Мал. 53
120. Знайдіть міри кутів, утворених при перетині двох прямих,
якщо. один з них на 2 0 ° більший від другого;
б) один з них дорівнює половині другого;
в) сума мір двох із цих кутів дорівнює 100°.
1 2 1 . Кут АОВ має 180°, промінь ОМ ділить його на два кути,
один з яких більший від другого на 20°. Знайдіть міри
цих двох кутів, а також кут між їх бісектрисами.
3 6

35. Суміжні і вертикальні кути § 4
122. Кути АОВ і ВОС суміжні, О М — бісектриса кута ВОС.
Знайдіть LAOB, якщо:
a) L МОС = 30°; б) LM OC = 45°; в) 4 МОЄ = 60°.
1 2 3 . Накресліть куб ABCDAB О Du Чи можна вважати суміж­
ними його кути АВВ і В уВС'? Чому? Чому дорівнює міра
кута, суміжного з кутом A B B і?
124. Знайдіть міру кута, якщо сума двох суміжних з ним кутів
дорівнює 100°.
1 2 5 . Кути АОВ і ВОС суміжні, ОМ—
бісектриса кута АОВ (мал. 54).
Знайдіть /LMOB, якщо:
а) L A O B - L ВОС = 40°;
б) L A O B : L ВОС = 5;
в) L АОВ : L ВОС = 5 : 4;
г) 4 ВОС становить LAOB.
Ш Я ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ШЯЯЯІШШ
1 2 6 . Перегинаючи аркуш паперу, утворіть пару суміжних кутів
і пару вертикальних кутів.
ШШ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н В
1 2 7 . Ребра двох кубів відносяться як 1 : 2. Як відносяться їх
об’єми? А площі поверхонь?
1 2 8 . Позначте на координатній площині точки 4 (1 ; -1 ), В( 1; 3),
С (5; 3); D (5; -1 ) і сполучіть їх послідовно відрізками.
Як називається утворена фігура ABCD? Які з її сторін па­
ралельні, а які — перпендикулярні?
1 2 9 . Круг радіуса 3 см поділіть радіусами
на 6 рівних секторів. Знайдіть площу
одного такого сектора. На скільки во­
на менша від площі всього круга?
1 3 0 . Фігура, зображ ена на малюнку 55,
складається з 9 рівних листків. З н а­
йдіть площу одного листка, якщо А, В,
С, D — вершини квадрата площі 5.
А В
• •
• •
о с
■ Мал. 55
3 7

36. розділ А В заєм не розташування прямих на площині
• Задач і за готовими малюнками
3 8

37. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
§ 5. Перпендикулярні
і паралельні прямі
П ригадайте, як можуть розташову­
ватися на площині дві прямі. Якщо
вони перетинаються, то утворюють
чотири кути •— дві пари вертикальних
кутів. Йдеться про кути, менші від
розгорнутого. Менший із цих кутів
вважають кутом між даними прями­
ми. Наприклад, на малюнку 56 прямі
АВ і СО перетинаються під кутом 50°.
Кажуть також, що кут між прямими
АВ і СО дорівнює 50°. Якщо дві пря­
мі, перетинаючись, утворюють чотири
прямі кути, кажуть, що вони перети­
наються під прямим кутом.
Дві прямі, які перетинаються під
прямим кутом, називаю ть перпен­
дикулярними прямими. Прямі а і Ь
на малюнку 57 перпендикулярні
одна до одної. Коротко пишуть: а 1 Ь,
або Ь ± а.
Відрізки або промені називають
перпендикулярними, якщо вони ле­
жать на перпендикулярних прямих.
Якщо відрізок АВ лежить на пря­
мій, перпендикулярній до прямої а.
кажуть, що відрізок АВ перпенди­
кулярний до прямої а. Якщо при
цьому точка В належить прямій а, то
відрізок АВ називаю ть перпендику­
ляром, проведеним з точки А на пря­
му а (мал. 58). Точку В називають
основою перпендикуляра, а довжину
перпендикуляра АВ — відстанню
від точки А до прямої а.
а
Ь
Я Мал. 57
А
_ □ _______ £_
в
■ Мал. 58
3 9

38. розділ 2 В заєм не розташування прямих на площині
Р
а
а
Р ь
3
с
1 О
б
■ Мал. 63
Через довільну точку Р завжди мож­
на провести пряму, перпендикулярну
до даної прямої а. Це можна зробити,
користуючись косинцем {мал. 59) або
транспортиром (мал. 60). Згодом дізна­
єтесь, як можна виконати потрібну по­
будову за допомогою лінійки і циркуля.
Можна довести, що існує тільки одна
пряма, яка перпендикулярна до даної
прямої і проходить через дану точку.
Не кожні дві прямі перетинаються.
Особливої уваги заслуговують прямі,
які не перетинаються і лежать в одній
площині.
Дві прямі на площині називаю ть
паралельними, якщо вони не перети­
наються. Якщо прямі а і Ь паралельні,
пишуть: а II &{мал. 61).
Уявлення про паралельні прямі
дають лінії в зошиті, лінії нотного стану
(мал. 62), протилежні ребра бруска.
Два відрізки або промені називають
паралельними, якщо вони лежать на
паралельних прямих. Наприклад, якщо
АВСй — прямокутник, то АВ || ОС
іде їїАа
Через будь-яку точку Р, яка не л е­
жить на прямій а, можна провести пря­
му, паралельну прямій а (мал. 6 3 , а).
Для цього можна через точку Р провес­
ти пряму с, перпендикулярну до прямої
а, а потім пряму Ь, перпендикулярну до
прямої с(мал. 63, б). За такої побудови
завж ди Ь II а. Можна скористатися
також лінійкою і косинцем.
Як провадити паралельні прямі,
користуючись лінійкою і циркулем,
дізнаєтесь пізніше.
40

39. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
Для допитливих
£>, С,
Мал. 64
Можна довести (спробуйте!),
що дві прямі однієї площини,
які перпендикулярні до третьої
прямої, паралельні. Тобто, якщо
с?1с і Ь і. с, то а І! Ь.
Але якщо прямі а і Ь не на­
лежать одній площині, то таке
твердження неправильне. Наприк­
лад, якщо А В С О А їВ , —
куб, то АВ _1_ В В , і В^ С, 1 В В и
але прямі АВ і В іС, не паралельні
(мал. 64).
Слово паралельні походить від грецького слова «па-
раллелос», яке означає: ті, що йдуть поруч. Якщо говорять,
що якась пряма паралельна, то обов’язково слід сказати,
якій саме прямій вона паралельна. Отже, паралельність
прямих — це своєрідне відношення між двома прямими.
Відношення паралельності прямих має таку властивість:
якщ о а II Ь, то і Ь II а. Іншими відношеннями є перпенди­
кулярність прямих, рівність кутів тощо. Знаки цих відно­
шень: II , ±, =.
Згодом ви дізнаєтеся про інші відношення між гео­
метричними об’єктами.
• а * • • # « * » • « # • • • • * * • « т » • • •
ВЗапитання і завдання для самоконтролю
1. Що таке кут між прямими?
2. Сформулюйте означення перпендикулярних прямих.
3. Які відрізки називаються перпендикулярними?
4. Які дві прямі називаються паралельними?
5. Які відрізки називаються паралельними?
6. За допомогою яких креслярських інструментів можна
провести пряму, перпендикулярну до даної прямої?
Як це роблять?
7. Як можна провести пряму, паралельну даній прямій?

40. розділ 2, В заєм не розташування прямих на площині
• Виконаєм о р а зо м
ЕШ вДоведіть, що бісектриси суміжних кутів перпендикулярні.
■ Нехай а’.ЛОВ і АВОС — суміжні кути. ОК і ОР — їх
бісектриси (мал. 65). А КОР = А КОВ + А ВОР. Оскільки
ОК і ОР — бісектриси, то
■ Мал. 65
АКОВ = І ААОВ,
АВОР = І АВОС.
Тоді А КОР = а а о в + а в о с =
= І (А А ОБ + А ВОС) = І • 180° =
= 90°.
Отже, ОК±ОР.
УЫ П означте на координатній площині точки А (2; 3) і
В (-4 ; -3 ). Знайдіть відстань від цих точок до осей коор­
динат, якщо довжина одиничного відрізка дорівнює 1 см.
■ 3 точок А і В опустимо перпенди­
куляри на осі координат (мал. 66).
Довжина відрізка АМ — відстань
від точки А до осі ОХ, а довжина
відрізка А И — відстань від точки А
до осі ОУ. З малюнка видно, що
АМ - 3 см, а АИ= 2 см.
Аналогічно встановлюємо, що від­
стань від точки В до осей коорди­
нат дорівнює З см і 4 см.
■ Мал. 66
• Задач і і вправи
ВИКОНАЙТЕ УСНО
1 3 1 . Наведіть приклади матеріальних моделей:
а) перпендикулярних прямих;
б) паралельних прямих.
4 2

41. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
1 3 2 . Які з прямих, зображених
на малюнку 67:
а) перпендикулярні;
б) паралельні?
1 3 3 . Користуючись клітинками
зошита (мал. 68), вкажіть:
1) через я куточку пройде
пряма, що:
а) перпендикулярна
до прямої а і проходить
через точку А ;
б) перпендикулярна
до прямої а і проходить
через точку О ;
в) паралельна прямій а
і проходить через точку Р
г) паралельна прямій а
і проходить через точку К ;
2) яке з тверджень правильне:
а) АВ 1 а ; б) ВМ 1 а ;
в) К Р іа -, г) РК а;
ґ) В С II а; д) КР а.
1 3 4 . АВСОАлВ, С, Ц — прямокут­
ний паралелепіпед (мал.69).
1) Назвіть відрізки:
а) паралельні ААй
б) паралельні А й
в) перпендикулярні до ААй
г) перпендикулярні до А й .
2) Яке з тверджень правильне:
АА ЩАО", В С А. А В ;
О С ± А В ; А, О, II АО;
СО II С<Ой 0 0 1 II А, Ой
СО II АВ?
В С О К
М А Й
Мал. 68
О, С,
4 3

42. роздш*£ Взаємне розташування прямих на площині
135. Проведіть пряму а і позначте точки М і Л/такі, що А/ Є о,
N£<3. Користуючись клітинками зошита, проведіть через
точки М і N прямі, перпендикулярні до прямої а.
ШИК Точки М і N лежать по різні боки від прямої а. Корис­
туючись клітинками зошита, через точки М і N проведіть
прямі, паралельні прямій а.
137. Точка А не лежить на прямій с. Скільки прямих, перпенди­
кулярних до с, можна провести через точку А? Чому?
138. Точка К не лежить на прямій а. Користуючись косинцем,
побудуйте перпендикуляр, проведений із /Сдо а.
139* Назвіть десять пар перпенди­
кулярних відрізків, що є на
малюнку 70. Чи є перпендику­
лярами до прямої КР відрізки
АН; ВН, СН, АВ, ВС?
140. Відомо, що а II Ь. Чи правиль­
но, що дії о?
л
141. Промені АВ і СОне перетина­
ються. Чи можна стверджува­
ти, що вони паралельні?
142. Використовуючи малюнок 67 і символи 1 і II , заповніть
пропуски:
а )а ...Ь б)т ...п ; в) л ...с ;
г) о ... с/; г) т ... с; д) Ь ... д.
143. Перпендикулярні прямі АВ та Сй перетинаються в точці О.
ОМ — бісектриса /.СОВ. Знайдіть /. АОМ і /. МОй.
144. Позначте на координатній площині точки А (-3 ; 4), В (1; 8),
С (4; 5), О (-2 ; -1). Перевірте, чи перпендикулярні прямі
А й і йС, АВ ВС. Чи паралельні прямі АВ і СД АО і ВС?
143- Позначте на координатній площині точки А (—3; —1) і В(2; 4).
Через ці точки проведіть прямі, перпендикулярні до прямої
АВ. Знайдіть координати точок перетину побудованих пря­
мих з осями координат. Чи паралельні побудовані прямі?
4 4

43. 1 4 6 .3 а допомогою транспортира побудуйте 4 АОВ = 30°.
Позначте точку Мтаку, що М Є ОА і ОМ = 4 см. Із точки М
опустіть перпендикуляр на пряму ОВ. Виміряйте відстань
від точки Мр,о ОВ.
1 4 7 . За допомогою транспортира побудуйте 4 АОВ = 130°. По­
значте МЄОА. З точки /допустіть перпендикуляр на пряму
ОВ. Чи лежатиме основа перпендикуляра на промені ОВ?
А на прямій ОВ?
1 4 8 . 4АО В = 90°, М— внутрішня точка 4 АОВ. Через точку М
проведіть прямі, паралельні сторонам кута. Переконай­
теся, що побудовані прямі перпендикулярні.
1 4 9 . 4 АОВ = 90°, М — довільна точка бісектриси 4 АОВ.
Виміряйте відстані від точки М до променів ОВ і ОА.
Порівняйте ці відстані.
ШШ Б Н Н Я И М В М І Ш Н Б
1 5 0 . 4 АОВ і 2. ВОС— суміжні кути. ОМ— внутрішній промінь
кута АОВ, О М І АС. Чому дорівнює ^ МОВ, якщо:
а) 4 ВОС = 40°; б) 4 АОВ - 4 ВОС = 30°;
в) 4 АОВ :4 ВОС = 3 : 2 ; г) 4 ВОС = | 4 АОВ?
1 5 1 . Три прямі АВ, СЦ МН перетинаються в точці О (мал. 71).
Доведіть, що СО їМ Н , якщо:
а) 4А 0М = 130°, 4 СОВ - 140°;
б) 4 СОМ = 4АОС + 4 МОВ;
в) 4АОМ= 135°, ОВ — бісектриса
4М ОО.
1 5 2 . 4 АОВ - 90°. Побудуйте точку М,
яка лежить у внутрішній області
4 АОВ на відстані 2 см від кожної
сторони кута.
1 5 3 ч Побудуйте перпендикулярні прямі а, сіточку М, що лежить
на відстані 3 см від прямої а і на відстані 1 см від прямої с.
1 5 4 . За допомогою транспортира побудуйте 4АОВ= 80° і про­
ведіть його бісектрису ОМ. Через довільну точку К цієї бі­
сектриси проведіть прямі, перпендикулярні до сторін кута.
Виміряйте відстані від точки Кдо сторін кута і порівняйте їх.
Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
4 5

44. 155. Розв’яжіть попередню задачу, якщо L АОВ дорівнює 60°,
90° і 130°. Сформулюйте припущення про відстань від
точок бісектриси кута до сторін цього кута.
156. За допомогою транспортира побудуйте LAO B = 60° і про­
ведіть його бісектрису ОМ. Через довільну точку К цієї
бісектриси проведіть пряму EF, перпендикулярну до ОМ.
Порівняйте довжини відрізків ОЕ і OF, якщо ЕЄОА, FE.OB.
157. Розв’яжіть попередню задачу,
якщо L АОВ дорівнює 80°,
90° і 120°. Сформулюйте
припущення про властивість
прямої, перпендикулярної до
бісектриси кута.
158. Прикладаючи косинець то
одним, то другим боком,
учень через точку А провів
два перпендикуляри до пря- а
мої а (мал. 72). Що можна
сказати про такий косинець?
розділ Z Взаємне розташування прямих на площині
А
■ Мал. 72
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ШШШШ
1 5 9 . Перегинаючи аркуш паперу, утворіть моделі перпендику­
лярних і паралельних прямих.
Н ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ■ ■
160. Позначте на прямій а точки А, В, С. Д М так, щоб точка В
леж ала між точками А і Д точка М — між А і В, а С —
між В і Д
1 6 1 . Чи належить точка К відрізку АВ, якщо АК = 3 см, ВК =
= 5 см, АВ = 7 см ?
162: Знайдіть міри суміжних кутів, якщо вони пропорційні числам:
а) 1 і 2; б) 1 і 4; в) 4 і 5; г) | і | .
163. Периметр чотирикутника дорівнює Я. Знайдіть довжини
його сторін, якщо вони пропорційні числам:
а) 1; 2; З І 4; б) 3; 5; З і 7; в) | і 1 .
4 6

45. Ознаки паралельності прямих § 6
§ 6. Ознаки
паралельності прямих
В аж ливу роль у дослідженні паралель­
них прямих відіграють поняття січної та
деяких пар кутів.
Нехай а і Ь — дві довільні прямі пло­
щини. Пряма с, що їх перетинає, нази­
вається січною прямих а і Ь (мал. 73).
Прямі а і Ь з їх січною с утворюють
8 кутів. На малюнку 73 їх занумеровано.
Деякі пари цих кутів мають спеціальні
назви:
внутрішнірізносторонні кути: 1 і 3, 2 і4;
внутрішні односторонні кути-. 1 і 4, 2 і 3;
відповідні кути'. 1 і 8, 2 і 7, З і 6, 4 і 5.
Зверніть увагу! Якщо два які-небудь
внутрішні різносторонні кути рівні, то
рівні також внутрішні різносторонні
кути другої пари (мал. 74). Якщо, на­
приклад, 4 1 = 4 3 , то 4 2 = 4 4 , бо кути,
суміжні з рівними, рівні.
Випадок, коли внутрішні різносто­
ронні кути рівні, заслуговує особливої
уваги, тому що сам е за цієї умови прямі
а і Ь паралельні.
(ознака паралельності прямих).
Дві прямі паралельні, якщо із січною вони утворюють
рівні внутрішні різносторонні кути.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай січна АВ перетинає прямі а і Ь так, що утворені при
цьому внутрішні різносторонні кути 1 і 3 дорівнюють один одно­
му. Тоді, як показано вище, кути 2 і 4 також рівні. Припустимо,
що за такої умови прямі а і Ь перетинаються в якійсь віддаленій
точці С. У результаті утвориться трикутник АВС (на малюнку 75
4 7

46. оозділ Л Взаємне розташування прямих на площині
схематично його зображ ено у вигляді п’ятикутника). Уявимо, що
цей трикутник повернуто навколо точки О — середини відрізка
АВ — так, щоб відрізок ОА зайняв положення ОВ. Тоді, оскіль­
ки 4 1 = 113 і 4 2 = £.4, промінь4Ссуміститься з променем ВК,
а промінь ВС — з променем АР. Оскільки промені А С і ВС (за
припущенням) мають спільну точку С, то промені ВК АРтакож
мають якусь спільну точку СУ А це означає, що через дві точки С
і С, проведено дві різні прямі. Такого не може бути.
Отже, якщо £.1 = £.3, то прямі а і Ь не можуть перетинатися.
А оскільки вони лежать в одній площині і не перетинаються, то
вони паралельні: а Іі Ь. Це й треба було довести .*
Зверніть увагу на спосіб доведення теореми 3. Щоб довести,
що прямі а і Ь паралельні, ми показували, що вони не можуть
перетинатися. Тобто припускали супротивне тому, що треба було
довести. Такий спосіб міркувань називаю ть методом доведення
від супротивного.
На основі доведеної теореми 3 неваж ко довести й інші озн а­
ки паралельності прямих.
ТЕОРЕМА 4 Дві прямі паралельні, якщо при перетині з січ­
ною вони утворюють внутрішні односторонні кути, сума
яких дорівнює 180°.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай, наприклад, на малюнку 76 сума
внутрішніх односторонніх кутів 1 і 4 дорів­
нює 180°. Сума суміжних кутів 3 і 4 також
дорівнює 180°. Тому £.1 = АЗ. Це —
внутрішні різносторонні кути; якщо вони
рівні, то прямі о і Ь паралельні. *
4 8

47. Ознаки паралельності прямих § 6
Дві прямі паралельні, якщо, перетинаючись
із січною, вони утворюють рівні відповідні кути.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай січна с перетинає прямі а і Ь
так, що утворені при цьому відповідні
кути 1 і 8 рівні (мал. 77). Кути 8 і 3 рівні,
бо вертикальні. Тому якщо
4 1 = /18, 4 8 = 4 3 , то і 4 1 = АЗ,
звідки випливає, що о II Ь.±
Заслуговує на увагу такий наслідок
із теореми 3.
« НАСЛІДОК.
Дві прямі, перпендикулярні до тре­
тьої прямої, паралельні.
Адже якщо кожна з прямих а і Ь пер­
пендикулярна до с, то утворені при цьо­
му внутрішні різносторонні кути рівні,
бо прямі (мал. 78). Отже, прямі а і Ь
паралельні. ■ Мал. 78
Для допитливих • » • * # • * • * * » * • • * •
Кути 5 і 7 (а також 6 і 8) називають
зовнішнімирізносторонніми, а 5 і 8 (а та­
кож 6 і 7) —зовнішніми односторонніми
кутами (мал. 79). Використовуючи ці
поняття, спробуйте сформулювати і
довести ще дві ознаки паралельності
прямих.
Корисно краще зрозуміти сутність
методу доведення від супротивного.
Якщо твердження А заперечує
твердження В, то такі два твердження називають супереч­
ливими або супротивними одне одному. Із двох взаємно
суперечливих тверджень завжди одне правильне, а друге
4 9

48. хибне. Тому якщо переконаємося, що твердження А і В су- *
перечливі одне одному і, наприклад, що В неправильне, то #
можемо бути певні, що твердження А правильне.
Не слід плутати твердження супротивні з протилежна- •
ми. Наприклад, якщо йдеться про числові вирази і нату­
ральні числа, то твердження: «вираз А додатний» і «вираз А
* від’ємний» або «число п просте» і «число п складене» —
протилежні, але не супротивні, адже кожне з них може
бути неправильним. А от твердження «вираз А додатний»
і «вираз А недодатний» або «число п просте» і «число п
непросте» — взаємно суперечливі. Непросте — означає т
• складене або дорівнює 1; недодатне — від’ємне або до- •
« рівнює нулю. «
Доводячи методом від супротивного, спростовувати
• треба не протилежне твердження, а супротивне даному.
Спростувати що-небудь — означає показати, що воно
# неправильне. •
розділ 2, Взаємне розташування прямих на площині
Ц з апитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення паралельних прямих.
2. Що таке січна двох прямих?
3. Які кути називають внутрішніми різносторонніми?
А внутрішніми односторонніми? Покажіть на малюнку.
4. Які кути називають відповідними? Покажіть на малюнку.
5. Сформулюйте і доведіть ознаки паралельності прямих.
• Виконаєм о р а зо м
D » Як побудувати паралельні прямі, користуючись лиш е лі­
нійкою і транспортиром?
■ Н акреслимо довільний промінь АВ
і відкладемо рівні кути ВАС і АСР, як
п оказан о на малю нку 80. Прямі АВ
і СЯ паралельні, адж е кути ВАС і АСР
внутрішні різносторонні, а за побудо-
М ал.80 вою вони рівні.
5 0