567675

2. Довжини відрізків
вимірюють у:
метрах, сантиметрах,
міліметрах, кілометрах,
футах, дюймах...
Кути
вимірюють у:
градусах, мінутах,
секундах, румбах .
Сума
суміжних кутів
дорівнює 180°.
ОЗНАКИ Дві прямі паралельні,
ПАРАЛЕЛЬНОСТІ якщо з січною вони утворюють:
ПРЯМИХ
1) рівні внутрішні
різносторонні
кути;
або
2) ріпні відповідні
кути;
ябо
3) внутрішні
односторонні
кути, сума яких
дорівнює 180°.
Вертикальні
кути рівні.

3. • види
ТРИКУТНИКІВ
гострокутні
різносторонні
рівнобедрені
рівносторонні
Ф Сума кутів трикутника
дорівнює 180°.
Ф Зовнішній кут трикутника
дорівнює сумі двох внутрішніх
кутів, не суміжних з ним.
к
ф ОЗНАКИ
РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
А А В С = ДАівіСі,
якщо:
АВ = АіВі, АС= А1 С1 , АА = АДг,
АВ = АіВі, /.А - ААі, £В = £ В ,‘,
АВ = АіВі, АС= АіСь ВС=ВіСі.
В В1
1 —трикутники
2 —рівнобедрені
3 —прямокутні
4 —прямокутні
рівнобедрені

4. !розділ Найпростіші геометричні фігури
§ 1. Точки і прямі
Геометрія — це наука про геометричні
фігури та їх властивості. Найпростіша геометрична фігура —
точка. Кожна інша геометрична фігура складається з точок.
Наприклад, коло — це фігура, що складається з усіх точок пло­
щини, рівновіддалених від даної точки (мал. 1). Відрізок також
складається з точок. Будь-яка множина точок є геометричною
фігурою. Частина геометричної фігури
чи об'єднання кількох фігур — теж гео­
метрична фігура (мал. 2).
Однією з геометричних фігур є пло­
щина. Уявлення про частину площини
дає поверхня стола, стелі, підлоги. В гео­
метрії площина вваж ається необм еж е­
ною, ідеально рівною і гладенькою.
Фігури, які можна розмістити в одній
площині, називають плоскими. Всі н азва­
ні вище геометричні фігури — плоскі. А от
куб, куля, прямокутний паралелепіпед —
неплоскі фігури (мал. 3). Частина геомет­
рії, в якій вивчаю ться плоскі фігури,
називається планіметрією (від латинсь­
кого слова «планум» — площина).
Ми починаємо вивчати планіметрію.
Н асамперед розглянемо, як можуть
бути розташовані на площині точки і прямі.
І Мал. З
6

5. Точки і прям* § 1
Ви вж е знаєте, як за допомогою
лінійки проводять прямі (мал, 4).
Пряма в геометрії — ідеально рів­
на і нескінченна в обидва боки. Як і
кожна інша фігура, пряма складається
з точок. Якщо точка А лежить на пря­
мій а, говорять, що пряма а проходить
через точку А. Символічно записують
це так: А Є а. Якщо точка В не лежить
на прямій а, пишуть: В £ а { мал. 5).
■ Мал. 4
1 ] Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.
Ч ерез одну точку можна провести
безліч прямих. На малюнку 6 зобра­
жено прямі а і Ь, які проходять через
точку Р. Це їх спільна точка, інших
спільних точок прямі а і Ь не мають.
Якщо дві прямі маю ть тільки одну
спільну точку, кажуть, що вони пере­
тинаються в цій точці. Прямі а і Ь
перетинаю ться в точці Р.
Якщо прямій належ ать точки А і В,
кажуть, що ця пряма проходить через
точки А і В. Позначають її: А В.
Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,
і тільки одну.
Чи можна провести пряму через
іри точки? Не завж ди. Якщо точки А, В
І С розміщені, як показано на малюн­
ку 7, через них пряму провести можна.
А через точки А, В і О — не можна.
Кажугь, що точки А, В і О не лежать
па одній прямій. Точки А, В, С
и-жать на одній прямій, причому
И — між А і С.
7

6. розділ і Найпростіші геометричні фігури
З трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між двома
Якщо точка влеж и ть між А і С, кажуть,
що точки А і С лежать по різні боки від В,
а точки А і В — по один бік від С.
Надруковані вище жирним шрифтом три
речення, позначені знаком О ,— це основні
властивостірозміщення точок на прямій.
Будь-яка точка А прямої ділить цю пряму
на дві частини (мал. 8).. Кожну із частин
прямої разом із точкою А називаю ть
променем, який виходить з точки А Точку А
називаю ть початком променя. Якщо
кажуть «промінь АВ», то мають на увазі
промінь з початком у точці А (мал. 9).
Два промені, які мають спільний поча­
ток і доповнюють один одного до прямої,
називаються доповняльними. На малюн­
ку 10 зображено промінь ОК — доповняль­
ний для променя ОР і промінь ОР —
доповняльний для ОК.
Для допитливих
Геометрія — частина математики
(мал. 11). Геометрична наука багата
за змістом і методами дослідження.
До неї входять: елементарна геомет­
рія, виша геометрія, неевклідові гео­
метрії, топологія та ін. У школі вивча­
ють тільки елементарну геометрію.
Геометрія тісно пов’язана з багатьма іншими науками,
насамперед із фізикою. Проте фізика займається вивченням
матеріальних тіл (які мають масу, температуру, колір тощо),
а в геометрії абстрагуються від усього матеріального. Абстра­
гуватися — це означає подумки відриватися від конкретних
об’єктів, які нас оточують. Абстрагуючись від матеріальних
речей, ми уявно створюємо ідеальні об’єкти зі схожими вла­
стивостями. Кінець голки, натягнута струна —це матеріальні
МАТЕМАТИКА
І
А*г&Р4
Мал. 11
іншими.
■ Мал. 10
8

7. Точки і прямі § 1
об’єкти. Вони мають певну товщину, довжину, масу. Абстра­
гуючись від таких фізичних властивостей, людська уява ство­
рила абстрактні геометричні поняття тонка, пряма. У приро­
ді абстрактної прямої немає, але це поняття існує в людській
уяві. 1 дуже корисне поняття, бо всі властивості прямої і її
частин, виявлені в геометрії, переносяться на мільйони і
мільярди всіх натягнутих струн, прямолінійних рейок, труб,
стрічок тощо. Не існує в природі і геометрична площина —без
товщини, ідеально рівна і гладенька, нескінченна в кожному
її напрямі. Але для науки це ідеальне поняття дуже важливе,
бо властивості, встановлені в геометрії для площини і її час­
тин, можна переносити на властивості мільярдів конкретних
шибок, стін та інших предметів, які мають плоскі поверхні.
Кресліть красиво
Проводячи відрізок, вістрям
олівця не слід торкатися ниж­
нього ребра лінійки, а треба
трохи відступити від нього.
Геометричний відрізок не має тов­
щини. Але щоб зробити малюнок
зрозумілішим і красивішим, крес­
лярі іноді зображують його потов­
щеною лінією, іноді — штриховою
лінією або й іншим кольором:
тонка лінія
потовщена лінія
штрихова лінія
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Що таке геометрія? Що таке планіметрія?
2. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.
3. Що означають записи А Є а, В & Ь?
4. Опишіть поняття тонка, пряма, площина.
5. Наведіть приклади матеріальних об’єктів, моделями
яких є точка, пряма, площина.
6. Сформулюйте основні властивості розміщення точок
на прямій.
7. Що означає вислів «точка В лежить між А і С»?
8. Що таке промінь? Як позначають промені?
9. Які промені називають доповняльними?
9

8. [розділ і Найпростіші геометричні фігури
Виконаємо разом
На скільки частин можуть розбивати пло­
щину три її прямі?
Якщо прямі розташовані, як показано на
малюнку 12, то вони розбивають площи­
ну на 7 частин. Якщо вони розташовані,
як показано на малюнку 13, то вони роз­
бивають площину на 4 або 6 частин.
ВІДПОВІДЬ. Три прямі розбивають площи­
ну, якій вони належать, на 4, 6 або
7 частин.
1
2
3
4
а
■ Мал. 13
• Задачі і вправи
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО
1. Чи через кожні дві точки можна провести пряму? Чи існують
дві точки, через які можна провести пряму?
2. Чи через кожні три точки можна провести пряму? Чи існують
три точки, через які можна провести пряму?
3 . Провідміняйте слово: а) точка; б) пряма; в) площина.
4. Опишіть, як взаємно розташовані точ­
ки і прямі на малюнку 14.
5 . На скільки частин пряму ділить її точ­
ка? А дві точки?
6 . Чи можна вважати доповняльними
промені РК і АР(див. мал. 10)? А про­
мені ОР КР? Чому?
У а п Л Л
1 0

9. Точки і прямі
ш ш а н н ш н н в н в н а н
7. Позначте в зошиті точки А і В та проведіть через них пряму.
Назвіть цю пряму.
8 . Проведіть пряму. Позначте кілька точок, що належать цій
прямій, і кілька точок, що їй не належать.
9. Дано точку А. Проведіть через неї три прямі. Чи можна
через точку А провести десять прямих? А мільйон прямих?
1 0 . Пряма а і точки А, В такі, що А Є а і В$. а. Зобразіть це на
малюнку.
1 1 . Прямі к і р перетинаються в точці X. Зобразіть це на ма­
люнку. Чи правильно, щ о / Є /с і X Є р ?
1 2 . Пряма АВ перетинає пряму АС у точці А, а пряму ВС —
у точці В. Чй належить точка С прямій АВ1
1 3 . Позначте точки К, Р і Т так, щоб через них можна було про­
вести пряму. Як можна назвати цю пряму?
14. Позначте на прямій точки А, В, С так, щоб А і В лежали по
один бік від С, а А і С — по один бік від В.
1 5 . Дано пряму а. Позначте точки А, В і Стак, щоб прямі АВ і а
перетинались у точці С, яка лежить між А і В.
1 6 . Прямі а і Ь перетинаються в точці Р. Скільки променів утво­
рилось?
17. На скільки частин площину ділить її пряма? А дві прямі?
Зобразіть усі випадки.
1 8 . Позначте точки А, В, С і Отак, щоб прямі АВ і Сй перети­
нались, а промені АВ і СО не перетинались.
19. Чи можна розмістити точки А, В, С і О так, щоб промені АВ
і СО перетинались, а промені АС і ВО не перетинались?
2 0 . Накресліть три прямі АВ, ВСІ АС. На скільки частин розби­
вають ці прямі площину?
с
2 1*. Позначте чотири точки так, щоб жодні три • В
з них не лежали на одній прямій (мал. 15).
Скільки існує прямих, Щ О проходять через А £)
будь які дві з цих точок? На скільки частин * •
розбивають ці прямі площину? ■ Мал. 15
11

10. Найпростіші геометричні фігури
22. Учень провів спочатку одну пряму, а потім, перевернувши
лінійку, — другу й одержав лінії, що перетинаються в двох
точках (мал. 16). Що можна сказати про його лінійку? Чому?
23. Щоб перевірити лінійку, дивляться вподовж її ребра (мал. 17).
Що бачать, якщо лінійка викривлена?
■ Мал. 16 ■ Мал. 17
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ И И Н
24. Покажіть, як, перегнувши аркуш паперу, можна одержати
«лінійку» для проведення прямих.
■ ■ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н
2 5 . Назвіть і зобразіть геометричні фігури, які ви розглядали
в попередніх класах.
2 6 . Накресліть відрізок завдовж ки 4 см і відрізок удвічі
довший.
27. Накресліть кути: гострий, прямий, тупий, розгорнутий.
Зафарбуйте їх внутрішні області.
28. Знайдіть периметр трикутника, сторони якого дорівнюють
5 см, 7 см і 8,5 см.
29. Знайдіть периметр квадрата, якщо
він більший за довжину однієї сто­
рони на 6 см.
3 0 . Перемалюйте в зошит частину дав­
ньогрецького орнаменту (мал. 18).
Зробіть стрічку з ним,удвічі довшою.
■ Мал. 18
1 2

11. Відрізки і їх довжини § 2
в
§ 2. Відрізки і їх довжини
Д в і точки прямої розділяють цю пряму на
три частини: два промені і відрізок.
Відрізком АВ називається частина прямої, яка складається
з точок А і В та всіх точок, що лежать між ними.
Точки А і В називають кінцями відрізка А В. Усі інші точки
цього відрізка — його внутрішні точки.
На малюнку 19 зображ ено відрізок АВ.
Точки А і В — його кінці, а будь-яка точка,
що лежить між А і В, — внутрішня точка від­
різка АВ.
Два відрізки перетинаються, якщо вони
мають тільки одну спільну внутрішню точку.
Щоб виміряти відрізки, треба мати одинич­
ний відрізок (одиницю вимірювання). Відрізок,
зображений на малюнку 20, вважатимемо
одиничним. Його довжина дорівнює 1 см.
Якщо на відрізку АВ одиничний відрізок
відкладається рівно 3 рази, то це означає, що
довжина відрізка АВ дорівнює 3 см (мал. 21).
Якщо на відрізку ЕР одиничний відрізок
відкладається два рази з остачею, а в остачі
десята частина одиничного відрізка відклада­
ється 7 разів, то довжина відрізка ЕР дорів­
нює 2,7 см. Пишуть: АВ = 3 см, ЕР = 2,7 см.
За одиничний відрізок можна брати відрі­
зок завдовжки 1 м, 1 км, 1 фут, 1 дюйм тощо.
І Мал. 20
В
Кожний відрізок має певну довжину.
Два відрізки називають рівними, якщо рівні їх довжини.
З двох відрізків більшим вважається той, довжина якого
більша.
У сантиметрах вимірюють порівняно невеликі відрізки.
Ііільші відрізки вимірюють у дециметрах, метрах, кілометрах;
менші — в міліметрах. Нагадаємо, що
1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.
1 3

12. Довжину відрізка називають також від­
станню між його кінцями. Якщо ХУ= 18 см,
то це означає, що відстань між точками
X і У дорівнює 18 см. Відстань між X і У
завжди дорівнює відстані між У і X.
Якщо точка С відрізка АВ розбиває його
на дві частини, довжини яких дорівнюють,
наприклад, 2 см і 1,2 см, то довжина відріз­
ка АВ дорівнює 3,2 см (мал. 22).
Довжина відрізка д о р ів н ю є с у м і д о в ж и н .частин, на які
його розбиває будь-яка його внутрішня точка.
розділ і Найпростіші геометричні фігури__________________________________________
В
Надруковані вище жирним шрифтом два речення, позначені
знаком Н , — це основні властивості вимірювання відрізків.
Серединою відрізка називається його
внутрішня точка, яка розбиває цей відрізок
на дві рівні частини.
Якщо точка С — середина відрізка А В,
зо АС = СВ(мал. 23).
Якщо точка С не належить відрізку А В, то
сума довжин відрізків АС і СВ більша від
АВ. Отже, для будь-яких трьох точок А, В і С
завж ди АВ +В С А С .
Вимірювати довжини відрізків доводиться багатьом фахів­
цям. Креслярі вимірюють відрізки масштабними лінійками,
столяри — складними метрами, кравці — клейончастими санти­
метрами, будівельники — рулетками (мал. 24).
Мал. 23
1 4

13. Відрізки і їх довжини § 2
Для ДОПИТЛИВИХ • • • • • • • • • • • • • • «
Вимірювальні прилади забезпечують ту чи іншу точ­
ність. Відстань між містами звичайно визначають з точністю
до кілометра, між берегами річки — з точністю до метра,
довжину олівця — з точністю до міліметра, діаметр деталі
ручного годинника —з точністю до десятої чи й сотої части­
ни міліметра. Зрозуміло, що для вимірювань різних довжин
і відстаней застосовують відповідні вимірювальні засоби:
крім уже названих, циркулі, кронциркулі, штангенциркулі,
далекоміри тощо. З деякими з них ви ознайомитесь пізніше.
Одиниці довжини бувають різні. Вангломовних країнах най­
частіше використовують такі: фут, дюйм, миля. Докладні­
ше про них —далі.
На практиці для різних відстаней існують різні назви:
довжина, ширина, висота, глибина, дистанція, інтер­
вал (мал. 25).
ДИСТАНЦІЯ
Мал. 25
Ц Запитання і завдання для самоконтролю
1
1. Що таке відрізок? Що таке кінці відрізка?
2. Що таке відстань між двома точками?
3. Що означає вислів «два відрізки перетинаються»?
4. Сформулюйте основні властивості вимірювання
відрізків.
1 5

14. • Виконаємо разом
О**“ Промінь — частина прямої. Чи правильно говорити, що
промінь коротший за пряму?
■ Пряма і промінь не мають довжин, тому порівнювати їх
довжини немає сенсу.
ВІДПОВІДЬ. НІ.
И » Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. Знайдіть відстань
між Р і Т, якщо КР= 1,7 м, КТ= 4,8 м. Скільки розв’язків
має задача?
■ Позначимо точки К і Т такі, що КТ= 4,8 м. Точка Р прямої КТ
віддалена від К на 1,7 м. Можливі два випадки (мал. 26):
а) /(леж ить між Р і Т: РТ = 1,7м + 4,8 м= 6,5 м;
б) Ялежить між К і Т: РТ = 4,8м - 1,7 м= 3,1 м.
Р К Т К__ Я____ т
Я Мал. 26
ВІДПОВІДЬ. Задача має два розв’язки: 6,5 м; 3,1 м.
'Задачі і вправи
Я Ш ВИКОНАЙТЕ УСНО ■ ■ ■ ■ ■
31. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо
точка С — його середина і СВ = 5 дм.
32. Знайдіть довжину відрізка, який
довший за свою половину на 35 см. V.-— ■ Мал. 27
3 3 . Точка Сділить відрізок АВ у відношенні 1 : 2 (мал. 27).
Знайдіть: 1) СВ, якщо АС дорівнює 1 см; 3 дм; 10 км;
2) АВ, якщо >4Сдорівнює 2 см; 5 дм; ЗО м;
3) АВ, якщо С в дорівнює 2 см; 6 м; 12 км.
34. Знайдіть довжину відрізка, якщо точки К і Р ділять його на
три рівні частини і КР= 7 см.
35. Точки А і Єлежать по різні боки від прямої а. Чи перетинає
відрізок АВ пряму а ?
36. Точки К і Я лежать по один бік від прямої с. Чи перетинає
відрізок КР пряму с ? А пряма с перетинає пряму КР?
37. Точка А лежить між В і С. Чи є точка Є внутрішньою точкою
. відрізка >4С?
Найпростіші геометричні фігури
1 6

15. Відрізки і їх довжини § 2
ШШ А
38. Позначте на прямій точки А і В. Який відрізок утворився?
Зобразіть його середину.
3 9 . Позначте точки А, В, С, Д так, щоб ніякі три з них не лежали
на одній прямій. Побудуйте відрізки АВ, АС. А й. ВС, В О, СО.
40. Позначте на прямій точки А, В, С, О так, щоб відрізки АС і
ВО не мали спільних точок і щоб точки С іВ лежали між А іО.
Знайдіть спільну частину відрізків АВ і СД.
41. Прямі АВ і СО перетинаються. С — внутрішня точка відрізка
АВ. Чи перетинаються відрізки АВ СО?
42. Відрізок А В перетинає пряму а, а відрізок ВС не перетинає
її, причому Сф о. Чи перетинає пряму а відрізок АС?
43. Накресліть відрізки АВ, АС. А О. СВ, СО, ВО такі, щоб точка
С леж ала між А і В, а точка В — між Сі Д. Скільки спільних
точок мають відрізки АС і ВО, АС і СВ, А В СО?
44. Точка влеж ить між А іВ. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:
а) А Х = 2,5 см, ХВ= 3 ,4 см.
б) АХ= 5,3 м, ХВ = 4,2 м.
в ) > 4 Л '= 2 |д м , ХВ= б |д м .
45. Точка /влеж ить між КР. Знайдіть відстань між МР, якщо:
а ) /С Р = 0 ,9 д м , Д 'М = 0 ,З д м .
б) КР = 2,6 дм, КМ= 1,4 дм. ' Т
в) КР = 2 | дм, КМ= д дм.
46. Точка Слежить м іж /4 і В. АС= 5 см, відстань ВС — на 3 см
більша. Знайдіть АВ.
47. Чи леж ать точки А, В і С на одній прямій, якщо:
а) АВ= 2,5 см, ВС = 3,8 см, АС = 1,3 см;
б) А В - 1,9 дм, ВС - 2,9 дм ,/4С = 4,9 дм?
48. Точки А, В, С, К лежать на одній прямій. АВ = ВС = СК.
Знайдіть СК, якщо АС = 12 см.
49. Чи можна розмістити точки А, В і С так, щоб виконувались
рівності: а) А В _ 2 3 см в с = 3 5 см А с= 6,3 см;
б) АВ= 5,1 см, ВС = 3,5 см,АС = 6,8 см;
в) АВ= 3,1 см, ВС = 7,2 см, АС = 10,3 см?
1 7

16. розділ Найпростіші геометричні фігури
50. Чи може відрізок 5С леж ати на промені АВ, якщо:
а) АВ= 9,2 см, ВС= 3,8 см, АВ= 13 см;
б ) /4 5 = 9,2 см, 5 С = 3,8 см, АВ= 5,4 см;
в) АВ = 9,2 см, ВС = 13,8 см, АВ = 4,6 см?
51. На відрізку ЛУ завдовжки 4,8 дм лежить точка С. Знайдіть
відстані Х С і СУ, якщо:
а) Х С - СУ= 1,3 дм; б) СУ = 2ХС; в) Х С : СУ = 1 : 5 .
52. Точки А, В і Слежать на одній прямій,/4 5 = 1 0 д м ,5 С = 3 дм.
Знайдіть АС. Розгляньте всі можливі випадки.
53. Точки А, В, С, О леж ать на одній прямій, В — середина АС,
ВС = 7 м, СО = 10 м. Знайдіть Ай.
54. Точки А, В, С, О леж ать на одній прямій. Знайдіть СО, якщо
АВ = 10 см, АС = 3 см, ВО = 4 см. Розгляньте всі можливі
випадки.
55. Дано відрізок АВ. Побудуйте відрізок КР:
а) втричі довший за АВ;
б) вдвічі коротший за АВ;
в) якщо КР= 2,5 АВ.
56. Як за допомогою півметрової
лінійки побудувати двометро­
вий відрізок? и Мал- 28
57. Поясніть, як провішують прямі за допомогою віх (мал. 28).
■ ■ і ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ
58. Виміряйте довжину і ширину своєї парти.
■ ■ І ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
5 9 . Накресліть коло радіуса 4 см. Поділіть його
на 4 рівні дуги ізнайдіть довжину однієї з них.
60: На скільки частин можуть поділити площину
два кола, розташовані на ній?
6 1 , .іиаидіть довжину ребра куба, якщо сума
Ді НІ ЖИН уих його ребер дорівнює 6 м.
6 2 . 11.1!її»м.тиіцге в зошит фігуру, зображену на
митнику ."і, імайдіть її площу, прийнявши
имніду один і іоіііинки за 0,25 см2. ■ Мал. 29
1 8

17. Кути і їх міри § З
§ 3. Кути і їх міри
Д в а промені, що мають спільний початок,
розбиваю ть площину на дві частини.
Частину площини, обмежену двома променями із спільним
початком, називаю ть кутом.
Промені, що обмежують кут, називаю ть
сторонами, а їх спільний початок — верши­
ною кута (мал. ЗО, а). Такий кут називаю ть
кутом АОВ, або кутом ВОА, або кутом О
і записують відповідно: L A O B , або /.ВОА,
або LO. Усі точки кута, які не належать
його сторонам, утворюють внутрішню об­
ласть цього кута. Внутрішню область кута
на малюнку ЗО, а заф арбовано. Іноді внут­
рішню область кута позначаю ть дугою, іноді
ніяк не позначають, а тільки уявляють. На
малюнку ЗО, б і в зображ ено кути з верш и­
ною О і сторонами ОА і ОВ.
Кут, сторони якого — доповняльні промені,
називається розгорнутим кутом (мал. 31).
Щоб вимірювати кути, треба мати одини­
цю вимірювання. За таку одиницю прийма­
ють кут в 1 градус (скорочено 1°). У розгорну-
юму куті він вміщується 180 разів. Уявімо
півколо, поділене на 18 рівних дуг (мал. 32).
Коли з його центра О через усі точки поділу
і кінці півкола провести промені, вони поді­
ли іь розгорнутий кут на 18 кутів по 10°. Один
11 іаких кутів {АОВ) ділимо на 10. Міра кута
АОС дорівнює 1°.
Мал. ЗО
А
Я Мал. 31

18. розділ Найпростіші геометричні фігури
■ Мал. 33
■ Мал. 34
■ Мал. 35
Кожний кут має певну міру.
Міра розгорнутого кута дорівню є
180°.
Міру кута позначають так само, як і кут.
Наприклад, якщо міра кута АВС дорівнює
6 0 градусів, пишуть: LA B C - 60°. Дуже
малі кути вимірюють у мінутах і секундах.
М інутою називають частину граду­
са, а секундою — ^ частину мінути.
Записують: 1° = 60', Г = 60".
Кути в зошиті та на класній дошці ви­
мірюють транспортиром (мал. 33), а на
місцевості — астролябією (мал. 34),
теодолітом (мал. 35) чи іншими кутомір­
ними приладами.
Д ва кути називаю ться рівними, якщо
їх міри рівні.
З двох кутів більшим вваж ається той,
міра якого більша.
Кут називається прямим, якщо його
міра дорівнює 90°, гострим — якщо він
менший прямого, тупим — якщо він
більший прямого, але менший розгорну­
того (мал. 36).
Прямі кути на малюнках частіше позна­
чають не дугами, а квадратиками.
Кути, більші від розгорнутого (див.
мал. ЗО,в), поки що не розглядатимемо.
2 0

19. Кути і їх міри § а
Промінь, який виходить з вершини
кута ілежить у його внутрішній області,
називаю ть внутріш нім променем
кута. Внутрішній промінь розбиває
даний кут на два менші кути. Наприк­
лад, внутрішній промінь ОК кута АОВ
розбиває цей кут на кути АО К і КОВ
(мал. 37). При цьому І. АО К +^К О В =
= LAOB. Говорять, що кут АОВ дорів­
нює сумі кутів АО К і КО В.
Міра кута дорівнює сумі мір ку­
тів, на які даний кут розбиваєть­
ся його внутрішнім променем.
Два виділені вище речення, позна­
чені знаком В, називають основними
властивостями вимірювання кутів.
Внутрішній промінь, який розбиває
кут на два рівні кути, називається бі­
сектрисою цього кута. На малюнку 38
промінь ОС — бісектриса кута АОВ.
Для допитливих в •
Кутом часто називають також фігуру, складену з двох
променів, шо мають спільний початок. Таким чином,
кутом називають і деяку лінію. Але поділити такий кут на
два чи більше рівних кутів не можна. То ж коли говорять
про додавання, віднімання чи ділення кутів, то кут розгля­
дають разом з його внутрішньою областю.
Хоча далі ми розглядатимемо здебільшого кути менші
від розгорнутого, слід пам’ятати, що кути бувають і більші
від розгорнутого. Вони мають більше 180°. Таким, на­
приклад, є кут О чотирикутника АВСО (мал. 39). існують
і спеціальні транспортири, якими вимірюють кути, більші
від розгорнутого (мал. 40). Звичайно в геометрії розгляда­
ють кути не більші від 360°. Поняття кута застосовують
часто також для характеристики поворотів. Наприклад, *
велосипедне колесо можна повернути на 100°, можна на «
21

20. 1 Найпростіші геометричні фігури
■ Мал. 39
300. А коли колесо зробило півтора
оберти? Вважають, що воно поверну­
лося на 360° і ще на 180°, а разом —
на 540°.
Крім градусів, мінут і секунд, є й
інші міри кутів. Моряки кути вимірю­
ють у румбах. Румбом називають
восьму частину прямого кута, 1румб =
= 11,25° (мал. 41). Науковці найчасті­
ше вимірюють кути врадіанах. Що це
таке, дізнаєтесь у старших класах.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Яка фігура називається кутом? Як позначають кути?
2. Який кут називають:
а) гострим;
б) тупим;
в) прямим;
г) розгорнутим?
3. Якими приладами і в яких одиницях вимірюють кути?
4. Що таке внутрішня область кута? Внутрішній промінь
кута?
5. Що таке бісектриса кута?
6. Які кути називають рівними?
7. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
2 2

21. Кути і їх міри § З
• В иконаєм о р а зо м
Знайдіть міру кута АОВ, якщо промені ОС і ОК ділять
його на три рівні кути і ССОК = 40°.
■ Кут СОК — третя частина кута АОВ. Тому /.АО В = 40° ■3 =
= 120°.
ВІДПОВІДЬ. 120°.
0 К Знайдіть міри кутів, утворених стрілками годинника:
о 3-й годині; о 5-й годині (мал. 42).
■ На циферблаті годинника півколо
відповідає 6 годинам. Тому одній
годині відповідає | частина розгор­
нутого кута, тобто 30°. Коли на годин­
нику 3-тя година, кут між годинною
і хвилинною стрілками дорівню є
30° ■ 3 = 90°. Коли на годиннику
5-та година, кут між його стрілками
дорівню є 30° ■5 = 150°.
ВІДПОВІДЬ. 90°; 150°.
• З а д а ч і і вп рави
ВИКОНАЙТЕ УСНО
63. Скільки мінут мають 2 °? А півтора градуси?
64. 1) Назвіть усі кути, що є на малю н­
ку 43. Які з них гострі, прямі, тупі?
2) Нехай СМОА = 25°, ССОй =
= СООВ = 30°, /. АОВ — прямий.
Знайдіть /.МОВ і /.АОС.
3) Порівняйте кути МОС АОй, А О й
і СОВ.
65. Знайдіть кут між променями, які ділять
прямий кут на 3 рівні частини. Мал. 43
66. Промені, проведені з центра кола,
ділять його на 4 рівні частини. Знайдіть
кут між двом а сусідніми променями.
2 3

22. розрл 1 Найпростіші геометричні фігури
■ і А ш ш вш иш ш ш ш яш ш ш ш ш ш ш яш ш
67. Накресліть гострий кут. Позначте буквами його вершину
і сторони. Заштрихуйте його внутрішню область.
6 8 . Накресліть тупий кут. Позначте його сторони буквами, а
внутрішню область — дугою.
69. Накресліть розгорнутий кут КРТ. Назвіть його вершину і
сторони. Позначте внутрішню область кута дугою.
70. Позначте три точки А, В. С, що не лежать на одній прямій.
Побудуйте кутАВС. Чи може цей кут бути розгорнутим?
71. Користуючись транспортиром, побудуйте кути, міри яких
дорівнюють 50°, 90°, 120°. Проведіть бісектриси побудова­
них кутів.
72. Побудуйте на око кути, міри яких 30°, 45°, 60°, і проведіть
їх бісектриси. Перевірте точність побудови транспортиром.
73. Виразіть у градусах і мінутах міри кутів: 135'; 5000'.
74. Виразіть у мінутах: 6° 15'; 2°; 11,5°.
7 5 . Виконайте дії: а) 5° 4 8 ' + 7° 35'; б) 32° 17' - 8° 45'.
76. Виконайте дії: а) 33° 3 3 ' + 15° 15'; б) 145° 5 4 ' - 41° 41'.
в) 123° 4 5 ' + 54° 32'; г) 44° 1 4 ' - 14° 44'.
77. Заповніть таблицю, в якій А — міра даного кута, В — міра
кута між його бісектрисою і стороною.
А
Оо
60° 100° 180°
В 50° 45°
78. Знайдіть міру кута АОВ, якщо ОС — його внутрішній промінь
і ААОС= 60°, LCOB= 30°.
79. Чи є промінь РМ внутрішнім променем кута КРТ, якщо
LK PT = 70°, /-КРМ = 80°? А якщо LKPM = 20°?
80. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника про­
тягом 20 хв; ЗО хв?
81. На який кут повертається годинна стрілка годинника протя­
гом 0,5 год; п’яти хвилин?
82. Знайдіть кут МОВ, якщо /_АОМ= 25° і ^АОМ І.М ОВ=А :5.
83. Знайдіть кут АОВ, якщо і'.АОМ = 30°, / .МОВ = 60° і всі ці
кути розташовані в одній площині.
2 4

23. 8 4 . Дано кути АОВ і МОВ однієї площини, що містять відповідно
120° і 60°. Знайдіть міру кута АОМ. Розгляньте два випадки.
8 5 . Накресліть кутАОВ і його внутрішні промені ОК іОМ так, щоб
/.АО В = 90°, /.АО К= 40°, /.МОВ = 30°. Знайдіть /.КОМ.
8 6 . ОМ — бісектриса кута АОВ, ОК — бісектриса кута АОМ.
У скільки разів 4 КОМ менший від /.А О В ?
87. ОМ— бісектриса прямого кута АОВ ОК ОР — бісектриси*
кутів АОМ і МОВ. Знайдіть міру кута КОР.
8 8 . /.АО М = 30°, а 4 ВОМ на 20° більший. Знайдіть /.АОВ.
Розгляньте усі можливі випадки.
8 9 . ОМ і ОК — внутрішні промені куга АОВ, ОК — бісектриса
кута МОВ, /,АО В= 150°, 4 КОВ на 40° менший за /.МОВ.
Знайдіть 4 АОМ і /іМОК.
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ НЯНИН
90. а) Виріжте з паперу гострий, прямий і тупий кути. Виміряй­
те їх транспортиром.
б) Перегинаючи аркуші паперу, зробіть моделі кутів, міри
яких дорівнюють 180°, 90°, 45°, 30°, 60°.
_______ _______ Кути і їх міри § З
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ШШ
9 1 . Площа квадрата дорівнює 16 см2. Знайдіть його периметр.
92. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорів­
нює 40 см2, а одна із сторін 5 см.
93. Чи на одній прямій розташовані точки А, В і С, якщо:
а) АВ = 5 дм, ВС= 7 дм, АС = 10 дм;
б) АВ = 35 см, ВС = 45 см, АС = 1 дм;
в) АВ =-|- дюйма, ВС = ^ дюйма, АС = ^ дюйма?
94. Як знайти площу прямокутного три­
кутника, сторони якого дорівнюють
З, 4 і 5 см?
95. Перемалюйте в зошит фігуру, зобра­
жену на малюнку 44. Розфарбуйте ЇЇ
двома кольорами.
Мал. 44
2 5

24. | розділ 1 Найпростіші геометричні фігури
• Задач і за готовими малюнками
2 6

25. • Самостійна робота 1
От: Варі ант 1
1°.С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 6 см, ВС на
2 см менший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. а АОВ= 130°, ОС — його бісектриса. Знайдіть 4 50С .
З! Точки А, В і С леж ать на одній прямій. АВ = 9 см,
ВС = 4 см. Знайдіть довжину відрізка АС. Розгляньте два
випадки.
4? Промінь ОС ділить 4 /4 0 5 = 80° на два кути так, що один з
них у 3 рази більший за другий. Знайдіть А АОС і 4 ВОС.
Варіант 2
1° С — внутрішня точка відрізка АВ, ВС = 4 см, АС у 2 рази
більший за ВС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. ОС — бісектриса 4 АОВ, 4 А О С - 50°. Знайдіть 4 АОВ.
З? Точки М, N і К лежать на одній прямій. МА/ = 6 см,
ИК = 10 см. Знайдіть довжину відрізка МК. Розгляньте
два випадки,
4! Промінь ОС ділить 4 АОВ = 70° на два кути так, що один
3 них на 20° більший за другий. Знайдіть 4 /4 0 С і 4 ВОС.
Варіант З
1°. С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 4 см, ВС на
3 см більший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. 4 /4 0 5 = 6 0 °, О С — його бісектриса. Знайдіть 4 АОС.
З! Точки Е, Е Р леж ать на одній прямій. ЕЕ = 7 см,
РР= 3 см. Знайдіть довжину відрізка ЕР. Розгляньте два
д випадки.
С ~43 4 . промінь ОС ділить 4 АОВ = 100° на два кути так, що
4 АО С : 4 В О С - 2 : 3. Знайдіть 4 АОС і 4 ВОС.
Варіант 4
1°. С — внутрішня точка відрізка АВ, АС = 9 см, ВС у 3 рази
менший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.
2°. ОС — бісектриса 4 АОВ. 4 ВОС = 40°. Знайдіть 4 АОВ.
З? Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. КР = 12 см, РТ =
= 5 см. Знайдіть довжину відрізка КТ. Розгляньте два
випадки.
4! Промінь ОС ділить 4 АОВ= 120° на два кути так, що один
з них на 30° менший за другий. Знайдіть 4 АОС і 4 ВОС.

26. Найпростіші геометричні фігури
• Тестові завдання 1
1. Прямі а і b п еретинаю ться
в точці 0. Якій прямій належ ить
точка О ?
а) а; б) b; в) а і Ь;
г) не належ ить жодній.
2 . На скільки частин
ділять площ ину дві прямі,
щ о перети н аю ться?
а) на 2;
в) на 4;
б) на 3;
г) на 6.
3 . Яка з трьох точок
леж ить між д в о м а іншими,
якщ о XY= 3, YZ= 7, XZ = 4?
а)Х,
в) Z;
б) Y;
г) ж одна.
4. М — с ер ед и н а відрізка АВ,
АМ= 7 см.
Знайдіть довж ину АВ.
а) 14 см; б) 21 см;
в) 3,5 см; г ) 7 с м .
5 . К — внутрішня точка відрізка АВ,
АК = 3 см, АВ = 10 см.
Знайдіть довж ину КВ.
а) 13 см;
в) ЗО см
; б) 7 см;
; г) 8 см.
6 . Знайдіть міру кута,
якщ о його бісектриса утворю є
зі стороною кут 20°.
а) 20°;
в) 30°;
б) 10°;
г) 40°.
7. L A O B = 110°, ОМ — його
внутрішній промінь, L ВОМ = 60°.
Знайдіть LAOM.
а) 50°;
в) 90°;
б) 170°;
г) 7 0 а.
8. О М — внутрішній промінь
LAO B. LA O M = 40°, L ВОМ
на 10° більший. Знайдіть АОВ.
а) 70°;
в) 90°;
б) 50°;
г) 44°.
9. Точки-Д В і С леж ать на одній
прямій, АВ = 5 см, ВС = 12 см.
Знайдіть АС.
а) 17 см; б) 7 см;
в) 17см або 7 см;
г) 18 см або 8 см.
10. LA O B = 50°, L ВОС = 20°.
Знайдіть LAOC.
а) 70°;
в) 30°;
б) 30° або 70°;
г) 70° або 40°.

27. • Запитання і завдання
д л я самоконтролю
1. Що таке геометрія?
2. Що таке планіметрія?
3. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.
4. Опишіть поняття точка.
5. Опишіть поняття пряма.
6. Опишіть поняття площина.
7. Наведіть приклади матеріальних о б ’єктів, моделями
яких є тонка, пряма, площина.
8. Що означають записи А Є а, А&. Ь7
9. Що означає вислів «точка /Злежить між А і С »?
10. Сформулюйте основні властивості розміщ ення точки
на прямій.
11. Що таке промінь?
12. Як позначають промені?
13. Які промені називаю ть доповняльними?
14. Що таке відрізок?
15. Що таке кінці відрізка?
16. В яких одиницях вимірюють відрізки?
17. Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.
18. Що таке середина відрізка?
19. Яка нерівність виконується для будь-яких трьох точок?
20. Що таке відстань між двом а точками?
21. Яка фігура називається кутом?
22. Як позначають кути?
23. Який кут називаю ть гострим?
24. Який кут називають тупим?
25. Який кут називають прямим?
26. Який кут називають розгорнутим?
27. В яких одиницях вимірюють кути?
28. Що таке внутрішня область кута?
29. Що таке внутрішній промінь кута?
30. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
31. Що таке бісектриса кута?
32. Які кути називають рівними?
2 9

28. Головне в розділі 1
Геометрія — наука про геометричні фігури і їх властивості.
Найпростіша геометрична фігура — точка. Кожна інша геом е­
трична фігура складається з точок, тобто є деякою множиною
точок. Інші фігури — пряма, площина. їх зміст розкриваю ть
не означеннями, а описуючи їх основні властивості. Фігури,
які можна розмістити в одній площині, називаю ть плоскими
фігурами. Частина геометрії, в якій досліджую ться фігури
тільки однієї площини, називається планіметрією.
Основні властивості розміщення точок на прямій
• Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.
• Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,
і тільки одну.
• 3 трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
Частини прямої — відрізок і промінь. Відрізок АВ — це
частина прямої, що містить точки А, В і всі точки, що лежать між
ними. Кожному відрізку ставиться у відповідність його довжина.
Довжина відрізка — відстань між його кінцями. Відстані і д ов­
жини вимірюють метрами, сантиметрами, міліметрами, кіло­
метрами, футами, дюймами та іншими одиничними відрізками.
Основні властивості вимірювання відрізків
• Кожний відрізок має певну довжину.
• Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин,
на які його розбиває будь-яка внутрішня точка.
Частину площини, обмежену двом а променями із спільним
початком, називаю ть кутом. Кути бувають гострі, прямі, тупі,
розгорнуті і більші від розгорнутих. Міри кутів визначають
у градусах, мінутах, секундах, румбах та деяких інших кутових
одиницях вимірювання.
Основні властивості вимірювання кутів
• Кожний кут має певну міру.
• Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут
розбивається його внутрішнім променем.
Бісектриса кута — внутрішній промінь, який .розбиває
даний кут на два рівні кути.
ЗО

29. Розділ ВЗАЄМНЕ
РОЗТАШУВАННЯ
ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
У цьому розділі підручника
ви розш ирите і поглибите свої знання
про прямі і промені однієї площини,
ознайом итеся з дуже важливими
поняттями: суміжні кути,
вертикальні кути, перпендикулярні
прямі, паралельні прямі тощ о,
а також із важливими загально-
математичними поняттями:
аксіома, теорема, наслідок,
доведення, ознака, означення.
СУМІЖНІ і ВІ
ПЕРПЕНДИК
ОЗНАКИ ПАЇ
ВПАСТИВОС'
ТИКАЛЬНІКУТИ
1ЯРНІ І ПАРАДЕ ЬНІ І
ЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ
ПАРАЛЕЛЬНИХ; £ЧІ*Я*
ЬНІ ПРЯМІ
V
> **кавам
Основна ідея, якою пройнята
вся математика, —
це ідея рівності.
Г. Спенсер

30. розділ Z Взаєм не розташування прямих на площині
§ 4 .
■ Мал. 45
Суміжні і вертикальні кути
Д в а кути, на які розбивається розгор­
нутий кут його внутрішнім променем, на­
зивають суміжними.
Одна сторона у суміжних кутів спільна, а
дві інші — доповняльні промені. Якщо точ­
ки А, О, влеж ать на одній прямій, а С —
довільна точка, яка не належить прямій
АВ, то кути АОСі СОВ— суміжні (мал. 45).
Властивість суміжних кутів сформу­
люємо у вигляді теореми.
У математиці теоремою називаю ть кожне твердж ення,
істинність якого обґрунтовується за допомогою логічних мірку­
вань. Ланцюжок таких міркувань називають доведенням.
У нашому підручнику теореми надруковано жирним шриф­
том і занумеровано.
I ТЕОРЕМА 1 Сума мір двох суміжних кутів дорівню є 180°.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Об’єднання двох суміжних кутів є розгорнутим кутом. Міра
розгорнутого кута дорівнює 180°. Отже, якими б не були суміжні
кути, сума їх мір дорівнює 180°. А
Два кути називають вертикальними,
якщо сторони одного є доповняльними
променями сторін другого.
Наприклад, якщо прямі АС і BD перети­
наються в точці О, то кути AOD і ВОС —
вертикальні (мал. 46). Кожний з них суміж­
ний із кутом АОВ. Кути АОВ і COD також
вертикальні.
Вертикальні кути рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АОО і ВОС — довільні вертикальні кути (див. мал. 46).
Кожний з них суміжний із кутом АОВ. За теоремою про суміжні
кути
/.АО О +/.АОВ = 180° і /.ВОС +А АОВ = 180°,
3 2

31. Суміжні і вертикальні кути § 4
звідки
4 /1 0 0 = 1 8 0 °-САОВ і 4 в О С = 1 8 0 ° - 4 АОВ.
Праві частини цих рівностей однакові, тому
4 АОО = 4 ВОС. А це й треба було довести. *
Для допитливих
*
«
0
»
«
-*
*
«
«
■т
*
«
-»
«
Слово суміжні вживають не тільки
щодо кутів. Суміжний — той, що має
спільну межу, прилеглий до чогось,
сусідній. Можна говорити про суміжні
кімнати, суміжні поля тощо. Стосовно
кутів це поняття має особливий зміст.
Не будь-які два кути зі спільною межею
називають суміжними. Наприклад,
зображені на малюнку 47 кути АОВ і
ВОС мають спільну сторону ОВ, але
не є суміжними кутами.
Суміжні кути — це два кути, які
перебувають у певному відношенні.
Один кут не може бути суміжним. Як­
що говоримо, що якийсь кут суміж­
ний, то обов’язково маємо закінчити
думку: суміжний з яким кутом? Відно­
шення суміжності кутів має таку властивість: якщо кут А
суміжний з кутом В, то і кут В суміжний з кутом А .
Нехай кут А суміжний з кутом В, а кут В суміжний
з кутом С. Що можна сказати про кути А і С? Вони або
вертикальні, або кут С —той самий кут А (мал. 48).
Слово вертикальні також стосується не тільки кутів.
Здебільшого вертикально розміщеним вважають продов­
гуватий предмет, розташований в напрямі виска (перпен­
дикулярно до горизонту).
Завжди правильна властивість: якщо кут А вертикаль­
ний куту С, то і кут Свертикальний куту А.
■ Мал. 47
« » « $
А
ф
£
*
$
#
$
ш
т
т
#
т
ш
ш
т
ш
#
т
ш
т
#
#
Ц Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Які кути називають суміжними?
2. Сформулюйте і доведіть властивість суміжних кутів.
3. Які кути називають вертикальними?
4. Сформулюйте і доведіть властивість вертикальних
________ кутів.___________________________________________
3 3

32. розділ Л Взаєм не розташування прямих на площині
• Виконаємо р азом
Ц рН Знайдіть міри суміжних кутів, якщо один з них на 50° біль­
ший, ніж другий.
■ Нехай міра меншого із суміжних кутів дорівнює х, тоді
міра більшого кута х + 50°. За властивістю суміжних кутів
х+ х+ 50° = 180°, звідки х= 65°, а х + 50° = 115°.
ВІДПОВІДЬ. 65° і 115°.
|Щ Один із чотирьох кутів, які утворилися при перетині двох
прямих, удвічі більший від другого. Знайдіть міру кожного
з утворених кутів.
■ При перетині двох прямих утворюються вертикальні і су­
міжні кути. Оскільки вертикальні кути рівні, то вони умову
задачі не задовольняють. Робимо висновок: один із суміжних
кутів удвічі більший від другого, їх міри х і 2 х . За властивістю
суміжних кутів х + 2 х = 180°, звідки х = 60°, а 2 х = 120°.
Відповідні їм вертикальні кути також дорівнюють 60° і 120°.
ВІДПОВІДЬ. 60°, 120°, 60°, 120°.
• Задачі і вправи
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО М І Н
96. Назвіть пари суміжних кутів, зобра­
жених на малюнку 49.
97. Чи можна вважати суміжними кути
КОВ і КОА, зображені на малюн­
ку 4 9 ? А кути АОС і АОО ?
98. Дано гострий кут А Чи може бути
гострим суміжний з ним кут? А пря­
мим?
99. Дано тупий кут. Яким є суміжний з ним кут?
100. Сума кутів А і £?дорівнює 180°. Чи суміжні вони?
101. Розгорнутий кут двома внутрішніми променями розбито на
три менші кути. Чи можна їх вважати суміжними кутами?
102. Чи вертикальні кути АОВ і СОД зображені на малюн­
ку 50?
3 4

33. 103. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, дорів­
нює 100°. Знайдіть міри трьох інших кутів (мал. 51).
Суміжні і вертикальні кути § 4
А
104. Міра одного з двох суміжних кутів дорівнює 50°. Знайдіть
міру другого кута. Побудуйте ці кути.
105. Дано кут, міра якого 160°. Знайдіть міру суміжного кута.
Побудуйте ці кути. Зафарбуйте їх різними кольорами.
106. Знайдіть міру кута, суміжного з 4 АВС, якщо:
а) 4 АВС= 34°; б ) 4 4 £ С = 1 1 1 ° ;
в) 4 4 Я С = 13°13'; г) 4 4 Д С = 135°47'.
107. Доведіть, що коли суміжні кути рівні, то вони прямі.
108. Знайдіть міри суміжних кутів, якщо один з них:
а) на 30° більший від другого;
б) у два рази менший від другого.
109. Знайдіть міри суміжних кутів, що відносяться як:
а) 4 : 5; б) 3 : 2.
1 1 0 . Накресліть кут, що має 45°. Побудуйте вертикальний йому кут.
1 1 1 . Сума мір двох вертикальних кутів дорівнює 120°. Знайдіть
міру кожного з цих кутів.
112. Знайдіть міри кутів, утворених перетином двох прямих,
якщо міра одного з них дорівнює:
а) 50°; б) 110°; в) п°.
1 1 3 . Перенесіть таблицю в зошит і заповніть її.
Даний кут 10°
о
О
ю
о
о
со
со
оо
120° 170°
Вертикальний йому кут
Суміжний з ним кут
3 5

34. розділ Л В заєм не розташування прямих на площині
114. Перемалюйте в зошит малюнок 4 6 і подану нижче табли­
цю. Використовуючи малюнок, заповніть порожні клітинки
таблиці.
/.АО О 66° 50°5'
4 АОВ 135° 177°
4 ВОС
о
О)
со
33°33'
4 ООС 97° / 99°9'
115. Чи можуть кути, що утворилися при перетині двох прямих,
бути пропорційними числам:
а) 2, 3, 4 і 5; 6 )5 , 5, 5 і 8; в) 2, 3, 2 і 3; г) 1, 4, 2 і 8 ?
1 1 6 . Доведіть, що кути, суміжні з рівними кутами, рівні.
117. Намалюйте три прямі так, щоб вони перетиналися в одній
точці. Скільки пар вертикальних кутів утворилося?
118. Скільки пар вертикальних кутів і скільки пар суміжних
кутів зображ ено на малюнку 5 2 ?
119. На малюнку 53 зображено три прямі, що перетинаються
в точці О. Доведіть, щ о /.1 + /:2 + ^ 3 = 180°.
Мал. 53
120. Знайдіть міри кутів, утворених при перетині двох прямих,
якщо. один з них на 2 0 ° більший від другого;
б) один з них дорівнює половині другого;
в) сума мір двох із цих кутів дорівнює 100°.
1 2 1 . Кут АОВ має 180°, промінь ОМ ділить його на два кути,
один з яких більший від другого на 20°. Знайдіть міри
цих двох кутів, а також кут між їх бісектрисами.
3 6

35. Суміжні і вертикальні кути § 4
122. Кути АОВ і ВОС суміжні, О М — бісектриса кута ВОС.
Знайдіть LAOB, якщо:
a) L МОС = 30°; б) LM OC = 45°; в) 4 МОЄ = 60°.
1 2 3 . Накресліть куб ABCDAB О Du Чи можна вважати суміж­
ними його кути АВВ і В уВС'? Чому? Чому дорівнює міра
кута, суміжного з кутом A B B і?
124. Знайдіть міру кута, якщо сума двох суміжних з ним кутів
дорівнює 100°.
1 2 5 . Кути АОВ і ВОС суміжні, ОМ—
бісектриса кута АОВ (мал. 54).
Знайдіть /LMOB, якщо:
а) L A O B - L ВОС = 40°;
б) L A O B : L ВОС = 5;
в) L АОВ : L ВОС = 5 : 4;
г) 4 ВОС становить LAOB.
Ш Я ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ШЯЯЯІШШ
1 2 6 . Перегинаючи аркуш паперу, утворіть пару суміжних кутів
і пару вертикальних кутів.
ШШ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н В
1 2 7 . Ребра двох кубів відносяться як 1 : 2. Як відносяться їх
об’єми? А площі поверхонь?
1 2 8 . Позначте на координатній площині точки 4 (1 ; -1 ), В( 1; 3),
С (5; 3); D (5; -1 ) і сполучіть їх послідовно відрізками.
Як називається утворена фігура ABCD? Які з її сторін па­
ралельні, а які — перпендикулярні?
1 2 9 . Круг радіуса 3 см поділіть радіусами
на 6 рівних секторів. Знайдіть площу
одного такого сектора. На скільки во­
на менша від площі всього круга?
1 3 0 . Фігура, зображ ена на малюнку 55,
складається з 9 рівних листків. З н а­
йдіть площу одного листка, якщо А, В,
С, D — вершини квадрата площі 5.
А В
• •
• •
о с
■ Мал. 55
3 7

36. розділ А В заєм не розташування прямих на площині
• Задач і за готовими малюнками
3 8

37. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
§ 5. Перпендикулярні
і паралельні прямі
П ригадайте, як можуть розташову­
ватися на площині дві прямі. Якщо
вони перетинаються, то утворюють
чотири кути •— дві пари вертикальних
кутів. Йдеться про кути, менші від
розгорнутого. Менший із цих кутів
вважають кутом між даними прями­
ми. Наприклад, на малюнку 56 прямі
АВ і СО перетинаються під кутом 50°.
Кажуть також, що кут між прямими
АВ і СО дорівнює 50°. Якщо дві пря­
мі, перетинаючись, утворюють чотири
прямі кути, кажуть, що вони перети­
наються під прямим кутом.
Дві прямі, які перетинаються під
прямим кутом, називаю ть перпен­
дикулярними прямими. Прямі а і Ь
на малюнку 57 перпендикулярні
одна до одної. Коротко пишуть: а 1 Ь,
або Ь ± а.
Відрізки або промені називають
перпендикулярними, якщо вони ле­
жать на перпендикулярних прямих.
Якщо відрізок АВ лежить на пря­
мій, перпендикулярній до прямої а.
кажуть, що відрізок АВ перпенди­
кулярний до прямої а. Якщо при
цьому точка В належить прямій а, то
відрізок АВ називаю ть перпендику­
ляром, проведеним з точки А на пря­
му а (мал. 58). Точку В називають
основою перпендикуляра, а довжину
перпендикуляра АВ — відстанню
від точки А до прямої а.
а
Ь
Я Мал. 57
А
_ □ _______ £_
в
■ Мал. 58
3 9

38. розділ 2 В заєм не розташування прямих на площині
Р
а
а
Р ь
3
с
1 О
б
■ Мал. 63
Через довільну точку Р завжди мож­
на провести пряму, перпендикулярну
до даної прямої а. Це можна зробити,
користуючись косинцем {мал. 59) або
транспортиром (мал. 60). Згодом дізна­
єтесь, як можна виконати потрібну по­
будову за допомогою лінійки і циркуля.
Можна довести, що існує тільки одна
пряма, яка перпендикулярна до даної
прямої і проходить через дану точку.
Не кожні дві прямі перетинаються.
Особливої уваги заслуговують прямі,
які не перетинаються і лежать в одній
площині.
Дві прямі на площині називаю ть
паралельними, якщо вони не перети­
наються. Якщо прямі а і Ь паралельні,
пишуть: а II &{мал. 61).
Уявлення про паралельні прямі
дають лінії в зошиті, лінії нотного стану
(мал. 62), протилежні ребра бруска.
Два відрізки або промені називають
паралельними, якщо вони лежать на
паралельних прямих. Наприклад, якщо
АВСй — прямокутник, то АВ || ОС
іде їїАа
Через будь-яку точку Р, яка не л е­
жить на прямій а, можна провести пря­
му, паралельну прямій а (мал. 6 3 , а).
Для цього можна через точку Р провес­
ти пряму с, перпендикулярну до прямої
а, а потім пряму Ь, перпендикулярну до
прямої с(мал. 63, б). За такої побудови
завж ди Ь II а. Можна скористатися
також лінійкою і косинцем.
Як провадити паралельні прямі,
користуючись лінійкою і циркулем,
дізнаєтесь пізніше.
40

39. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
Для допитливих
£>, С,
Мал. 64
Можна довести (спробуйте!),
що дві прямі однієї площини,
які перпендикулярні до третьої
прямої, паралельні. Тобто, якщо
с?1с і Ь і. с, то а І! Ь.
Але якщо прямі а і Ь не на­
лежать одній площині, то таке
твердження неправильне. Наприк­
лад, якщо А В С О А їВ , —
куб, то АВ _1_ В В , і В^ С, 1 В В и
але прямі АВ і В іС, не паралельні
(мал. 64).
Слово паралельні походить від грецького слова «па-
раллелос», яке означає: ті, що йдуть поруч. Якщо говорять,
що якась пряма паралельна, то обов’язково слід сказати,
якій саме прямій вона паралельна. Отже, паралельність
прямих — це своєрідне відношення між двома прямими.
Відношення паралельності прямих має таку властивість:
якщ о а II Ь, то і Ь II а. Іншими відношеннями є перпенди­
кулярність прямих, рівність кутів тощо. Знаки цих відно­
шень: II , ±, =.
Згодом ви дізнаєтеся про інші відношення між гео­
метричними об’єктами.
• а * • • # « * » • « # • • • • * * • « т » • • •
ВЗапитання і завдання для самоконтролю
1. Що таке кут між прямими?
2. Сформулюйте означення перпендикулярних прямих.
3. Які відрізки називаються перпендикулярними?
4. Які дві прямі називаються паралельними?
5. Які відрізки називаються паралельними?
6. За допомогою яких креслярських інструментів можна
провести пряму, перпендикулярну до даної прямої?
Як це роблять?
7. Як можна провести пряму, паралельну даній прямій?

40. розділ 2, В заєм не розташування прямих на площині
• Виконаєм о р а зо м
ЕШ вДоведіть, що бісектриси суміжних кутів перпендикулярні.
■ Нехай а’.ЛОВ і АВОС — суміжні кути. ОК і ОР — їх
бісектриси (мал. 65). А КОР = А КОВ + А ВОР. Оскільки
ОК і ОР — бісектриси, то
■ Мал. 65
АКОВ = І ААОВ,
АВОР = І АВОС.
Тоді А КОР = а а о в + а в о с =
= І (А А ОБ + А ВОС) = І • 180° =
= 90°.
Отже, ОК±ОР.
УЫ П означте на координатній площині точки А (2; 3) і
В (-4 ; -3 ). Знайдіть відстань від цих точок до осей коор­
динат, якщо довжина одиничного відрізка дорівнює 1 см.
■ 3 точок А і В опустимо перпенди­
куляри на осі координат (мал. 66).
Довжина відрізка АМ — відстань
від точки А до осі ОХ, а довжина
відрізка А И — відстань від точки А
до осі ОУ. З малюнка видно, що
АМ - 3 см, а АИ= 2 см.
Аналогічно встановлюємо, що від­
стань від точки В до осей коорди­
нат дорівнює З см і 4 см.
■ Мал. 66
• Задач і і вправи
ВИКОНАЙТЕ УСНО
1 3 1 . Наведіть приклади матеріальних моделей:
а) перпендикулярних прямих;
б) паралельних прямих.
4 2

41. Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
1 3 2 . Які з прямих, зображених
на малюнку 67:
а) перпендикулярні;
б) паралельні?
1 3 3 . Користуючись клітинками
зошита (мал. 68), вкажіть:
1) через я куточку пройде
пряма, що:
а) перпендикулярна
до прямої а і проходить
через точку А ;
б) перпендикулярна
до прямої а і проходить
через точку О ;
в) паралельна прямій а
і проходить через точку Р
г) паралельна прямій а
і проходить через точку К ;
2) яке з тверджень правильне:
а) АВ 1 а ; б) ВМ 1 а ;
в) К Р іа -, г) РК а;
ґ) В С II а; д) КР а.
1 3 4 . АВСОАлВ, С, Ц — прямокут­
ний паралелепіпед (мал.69).
1) Назвіть відрізки:
а) паралельні ААй
б) паралельні А й
в) перпендикулярні до ААй
г) перпендикулярні до А й .
2) Яке з тверджень правильне:
АА ЩАО", В С А. А В ;
О С ± А В ; А, О, II АО;
СО II С<Ой 0 0 1 II А, Ой
СО II АВ?
В С О К
М А Й
Мал. 68
О, С,
4 3

42. роздш*£ Взаємне розташування прямих на площині
135. Проведіть пряму а і позначте точки М і Л/такі, що А/ Є о,
N£<3. Користуючись клітинками зошита, проведіть через
точки М і N прямі, перпендикулярні до прямої а.
ШИК Точки М і N лежать по різні боки від прямої а. Корис­
туючись клітинками зошита, через точки М і N проведіть
прямі, паралельні прямій а.
137. Точка А не лежить на прямій с. Скільки прямих, перпенди­
кулярних до с, можна провести через точку А? Чому?
138. Точка К не лежить на прямій а. Користуючись косинцем,
побудуйте перпендикуляр, проведений із /Сдо а.
139* Назвіть десять пар перпенди­
кулярних відрізків, що є на
малюнку 70. Чи є перпендику­
лярами до прямої КР відрізки
АН; ВН, СН, АВ, ВС?
140. Відомо, що а II Ь. Чи правиль­
но, що дії о?
л
141. Промені АВ і СОне перетина­
ються. Чи можна стверджува­
ти, що вони паралельні?
142. Використовуючи малюнок 67 і символи 1 і II , заповніть
пропуски:
а )а ...Ь б)т ...п ; в) л ...с ;
г) о ... с/; г) т ... с; д) Ь ... д.
143. Перпендикулярні прямі АВ та Сй перетинаються в точці О.
ОМ — бісектриса /.СОВ. Знайдіть /. АОМ і /. МОй.
144. Позначте на координатній площині точки А (-3 ; 4), В (1; 8),
С (4; 5), О (-2 ; -1). Перевірте, чи перпендикулярні прямі
А й і йС, АВ ВС. Чи паралельні прямі АВ і СД АО і ВС?
143- Позначте на координатній площині точки А (—3; —1) і В(2; 4).
Через ці точки проведіть прямі, перпендикулярні до прямої
АВ. Знайдіть координати точок перетину побудованих пря­
мих з осями координат. Чи паралельні побудовані прямі?
4 4

43. 1 4 6 .3 а допомогою транспортира побудуйте 4 АОВ = 30°.
Позначте точку Мтаку, що М Є ОА і ОМ = 4 см. Із точки М
опустіть перпендикуляр на пряму ОВ. Виміряйте відстань
від точки Мр,о ОВ.
1 4 7 . За допомогою транспортира побудуйте 4 АОВ = 130°. По­
значте МЄОА. З точки /допустіть перпендикуляр на пряму
ОВ. Чи лежатиме основа перпендикуляра на промені ОВ?
А на прямій ОВ?
1 4 8 . 4АО В = 90°, М— внутрішня точка 4 АОВ. Через точку М
проведіть прямі, паралельні сторонам кута. Переконай­
теся, що побудовані прямі перпендикулярні.
1 4 9 . 4 АОВ = 90°, М — довільна точка бісектриси 4 АОВ.
Виміряйте відстані від точки М до променів ОВ і ОА.
Порівняйте ці відстані.
ШШ Б Н Н Я И М В М І Ш Н Б
1 5 0 . 4 АОВ і 2. ВОС— суміжні кути. ОМ— внутрішній промінь
кута АОВ, О М І АС. Чому дорівнює ^ МОВ, якщо:
а) 4 ВОС = 40°; б) 4 АОВ - 4 ВОС = 30°;
в) 4 АОВ :4 ВОС = 3 : 2 ; г) 4 ВОС = | 4 АОВ?
1 5 1 . Три прямі АВ, СЦ МН перетинаються в точці О (мал. 71).
Доведіть, що СО їМ Н , якщо:
а) 4А 0М = 130°, 4 СОВ - 140°;
б) 4 СОМ = 4АОС + 4 МОВ;
в) 4АОМ= 135°, ОВ — бісектриса
4М ОО.
1 5 2 . 4 АОВ - 90°. Побудуйте точку М,
яка лежить у внутрішній області
4 АОВ на відстані 2 см від кожної
сторони кута.
1 5 3 ч Побудуйте перпендикулярні прямі а, сіточку М, що лежить
на відстані 3 см від прямої а і на відстані 1 см від прямої с.
1 5 4 . За допомогою транспортира побудуйте 4АОВ= 80° і про­
ведіть його бісектрису ОМ. Через довільну точку К цієї бі­
сектриси проведіть прямі, перпендикулярні до сторін кута.
Виміряйте відстані від точки Кдо сторін кута і порівняйте їх.
Перпендикулярні і паралельні прямі § 5
4 5

44. 155. Розв’яжіть попередню задачу, якщо L АОВ дорівнює 60°,
90° і 130°. Сформулюйте припущення про відстань від
точок бісектриси кута до сторін цього кута.
156. За допомогою транспортира побудуйте LAO B = 60° і про­
ведіть його бісектрису ОМ. Через довільну точку К цієї
бісектриси проведіть пряму EF, перпендикулярну до ОМ.
Порівняйте довжини відрізків ОЕ і OF, якщо ЕЄОА, FE.OB.
157. Розв’яжіть попередню задачу,
якщо L АОВ дорівнює 80°,
90° і 120°. Сформулюйте
припущення про властивість
прямої, перпендикулярної до
бісектриси кута.
158. Прикладаючи косинець то
одним, то другим боком,
учень через точку А провів
два перпендикуляри до пря- а
мої а (мал. 72). Що можна
сказати про такий косинець?
розділ Z Взаємне розташування прямих на площині
А
■ Мал. 72
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ШШШШ
1 5 9 . Перегинаючи аркуш паперу, утворіть моделі перпендику­
лярних і паралельних прямих.
Н ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ■ ■
160. Позначте на прямій а точки А, В, С. Д М так, щоб точка В
леж ала між точками А і Д точка М — між А і В, а С —
між В і Д
1 6 1 . Чи належить точка К відрізку АВ, якщо АК = 3 см, ВК =
= 5 см, АВ = 7 см ?
162: Знайдіть міри суміжних кутів, якщо вони пропорційні числам:
а) 1 і 2; б) 1 і 4; в) 4 і 5; г) | і | .
163. Периметр чотирикутника дорівнює Я. Знайдіть довжини
його сторін, якщо вони пропорційні числам:
а) 1; 2; З І 4; б) 3; 5; З і 7; в) | і 1 .
4 6

45. Ознаки паралельності прямих § 6
§ 6. Ознаки
паралельності прямих
В аж ливу роль у дослідженні паралель­
них прямих відіграють поняття січної та
деяких пар кутів.
Нехай а і Ь — дві довільні прямі пло­
щини. Пряма с, що їх перетинає, нази­
вається січною прямих а і Ь (мал. 73).
Прямі а і Ь з їх січною с утворюють
8 кутів. На малюнку 73 їх занумеровано.
Деякі пари цих кутів мають спеціальні
назви:
внутрішнірізносторонні кути: 1 і 3, 2 і4;
внутрішні односторонні кути-. 1 і 4, 2 і 3;
відповідні кути'. 1 і 8, 2 і 7, З і 6, 4 і 5.
Зверніть увагу! Якщо два які-небудь
внутрішні різносторонні кути рівні, то
рівні також внутрішні різносторонні
кути другої пари (мал. 74). Якщо, на­
приклад, 4 1 = 4 3 , то 4 2 = 4 4 , бо кути,
суміжні з рівними, рівні.
Випадок, коли внутрішні різносто­
ронні кути рівні, заслуговує особливої
уваги, тому що сам е за цієї умови прямі
а і Ь паралельні.
(ознака паралельності прямих).
Дві прямі паралельні, якщо із січною вони утворюють
рівні внутрішні різносторонні кути.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай січна АВ перетинає прямі а і Ь так, що утворені при
цьому внутрішні різносторонні кути 1 і 3 дорівнюють один одно­
му. Тоді, як показано вище, кути 2 і 4 також рівні. Припустимо,
що за такої умови прямі а і Ь перетинаються в якійсь віддаленій
точці С. У результаті утвориться трикутник АВС (на малюнку 75
4 7

46. оозділ Л Взаємне розташування прямих на площині
схематично його зображ ено у вигляді п’ятикутника). Уявимо, що
цей трикутник повернуто навколо точки О — середини відрізка
АВ — так, щоб відрізок ОА зайняв положення ОВ. Тоді, оскіль­
ки 4 1 = 113 і 4 2 = £.4, промінь4Ссуміститься з променем ВК,
а промінь ВС — з променем АР. Оскільки промені А С і ВС (за
припущенням) мають спільну точку С, то промені ВК АРтакож
мають якусь спільну точку СУ А це означає, що через дві точки С
і С, проведено дві різні прямі. Такого не може бути.
Отже, якщо £.1 = £.3, то прямі а і Ь не можуть перетинатися.
А оскільки вони лежать в одній площині і не перетинаються, то
вони паралельні: а Іі Ь. Це й треба було довести .*
Зверніть увагу на спосіб доведення теореми 3. Щоб довести,
що прямі а і Ь паралельні, ми показували, що вони не можуть
перетинатися. Тобто припускали супротивне тому, що треба було
довести. Такий спосіб міркувань називаю ть методом доведення
від супротивного.
На основі доведеної теореми 3 неваж ко довести й інші озн а­
ки паралельності прямих.
ТЕОРЕМА 4 Дві прямі паралельні, якщо при перетині з січ­
ною вони утворюють внутрішні односторонні кути, сума
яких дорівнює 180°.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай, наприклад, на малюнку 76 сума
внутрішніх односторонніх кутів 1 і 4 дорів­
нює 180°. Сума суміжних кутів 3 і 4 також
дорівнює 180°. Тому £.1 = АЗ. Це —
внутрішні різносторонні кути; якщо вони
рівні, то прямі о і Ь паралельні. *
4 8

47. Ознаки паралельності прямих § 6
Дві прямі паралельні, якщо, перетинаючись
із січною, вони утворюють рівні відповідні кути.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай січна с перетинає прямі а і Ь
так, що утворені при цьому відповідні
кути 1 і 8 рівні (мал. 77). Кути 8 і 3 рівні,
бо вертикальні. Тому якщо
4 1 = /18, 4 8 = 4 3 , то і 4 1 = АЗ,
звідки випливає, що о II Ь.±
Заслуговує на увагу такий наслідок
із теореми 3.
« НАСЛІДОК.
Дві прямі, перпендикулярні до тре­
тьої прямої, паралельні.
Адже якщо кожна з прямих а і Ь пер­
пендикулярна до с, то утворені при цьо­
му внутрішні різносторонні кути рівні,
бо прямі (мал. 78). Отже, прямі а і Ь
паралельні. ■ Мал. 78
Для допитливих • » • * # • * • * * » * • • * •
Кути 5 і 7 (а також 6 і 8) називають
зовнішнімирізносторонніми, а 5 і 8 (а та­
кож 6 і 7) —зовнішніми односторонніми
кутами (мал. 79). Використовуючи ці
поняття, спробуйте сформулювати і
довести ще дві ознаки паралельності
прямих.
Корисно краще зрозуміти сутність
методу доведення від супротивного.
Якщо твердження А заперечує
твердження В, то такі два твердження називають супереч­
ливими або супротивними одне одному. Із двох взаємно
суперечливих тверджень завжди одне правильне, а друге
4 9

48. хибне. Тому якщо переконаємося, що твердження А і В су- *
перечливі одне одному і, наприклад, що В неправильне, то #
можемо бути певні, що твердження А правильне.
Не слід плутати твердження супротивні з протилежна- •
ми. Наприклад, якщо йдеться про числові вирази і нату­
ральні числа, то твердження: «вираз А додатний» і «вираз А
* від’ємний» або «число п просте» і «число п складене» —
протилежні, але не супротивні, адже кожне з них може
бути неправильним. А от твердження «вираз А додатний»
і «вираз А недодатний» або «число п просте» і «число п
непросте» — взаємно суперечливі. Непросте — означає т
• складене або дорівнює 1; недодатне — від’ємне або до- •
« рівнює нулю. «
Доводячи методом від супротивного, спростовувати
• треба не протилежне твердження, а супротивне даному.
Спростувати що-небудь — означає показати, що воно
# неправильне. •
розділ 2, Взаємне розташування прямих на площині
Ц з апитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення паралельних прямих.
2. Що таке січна двох прямих?
3. Які кути називають внутрішніми різносторонніми?
А внутрішніми односторонніми? Покажіть на малюнку.
4. Які кути називають відповідними? Покажіть на малюнку.
5. Сформулюйте і доведіть ознаки паралельності прямих.
• Виконаєм о р а зо м
D » Як побудувати паралельні прямі, користуючись лиш е лі­
нійкою і транспортиром?
■ Н акреслимо довільний промінь АВ
і відкладемо рівні кути ВАС і АСР, як
п оказан о на малю нку 80. Прямі АВ
і СЯ паралельні, адж е кути ВАС і АСР
внутрішні різносторонні, а за побудо-
М ал.80 вою вони рівні.
5 0

49. Ознаки паралельності прямих § 6
0 В І Ч ерез кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ про­
ведено промені А К і В С так. що АК АВ = 110°, а 4 АВС =
= 70°. Чи паралельні ці промені?
■ Пряму АВ можна вважати січ­
ною прямих АК В С (мал, 81).
Куги КАВ і АВС — внутрішні
односторонні. Оскільки їх су­
ма 110° + 70° дорівнює 180°,
то прямі АК і ВС паралельні
(теорема 4). Тому і промені
АК ВС паралельні.
• Задач і і вп рави
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО ■■■В Н Ш М
164. Скільки кутів утворю ється при перетині двох прямих
третьою ?
1 6 5 . Розгляньте малюнок 82 і на- о
звіть пари кутів: /
а) внутрішніх різноеторонніх; __ 5 /1
б) внутрішніх односторонніх; б 2
в) зовнішніх різноеторонніх;
г) зовнішніх односторонніх; /
ґ) відповідних; ■ Мал. 82
д) суміжних;
е) вертикальних.
1 6 6 . Використовуючи малюнок 82, знайдіть суми мір кутів:
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1, 3, 5 і 7; в) 1, 4, 5 і 8; г) 5, 6, 7 і 8.
1 6 7 . Чи паралельні прямі а і с на малюнку 82, якщо:
а) 4 6 = 4 8 ; б) 4 7 = 101° і 4 5 = 101°;
в) 4 5 + 4 8 = 180°; г) 4 1 + 4 7 = 1 80°?
1 6 8 . Як розташ овані прямі а і Ь, якщо а 4 с, Ь 1 с і всі вони
леж ать в одній площині?
1 6 9 . Як можуть бути розміщені в просторі прямі а і Ь, якщо
<74 СІ Ь ± С?
В
10° 70°
Мал. 81
51

50. розділ 2 Взаємне розташування прямих на площині
170. Запишіть назви пар кутів, зображених на малюнку 82:
а) 111 і /15; в) 4 7 і 2; ґ) 4 2 і 4 3 ;
б) 4 6 і 4 3 ; г) 4 3 і 1; д) 4 8 і 4 5 .
1 7 1 . Відомо, що 4 1 = 87°, /13 = 78° (мал. 82). Обчисліть міри
кутів 2, 4, 5, 6, 7, 8.
1 7 2 . Скориставшись малюнком 82, обчисліть:
а) міри кутів 1, 2, 3, 4, 5, 8, якщо 4 7 = 100°, 4 6 = 90°;
б) 4 1 + 4 4 і 4 2 + 4 3 , якщо 4 5 + 4 8 = 170°;
в) 4 4 - 4 5 , якщо 4 4 - 4 2 = 10°.
1 7 3 . Чи паралельні прямі а і с(м ал. 82), якщо:
а) 4 1 = 50°, 4 7 = 130°;
б) 4 6 = 65°; 4 8 = 115°;
в) 4 1 + 4 7 = 180°; /
г) 4 2 = 140°, 4 3 на 80° менший за 4 2 ? 4 х
1 7 4 . ВМ — бісектриса 4 /03С(мал. 83). в / м
Чи паралельні прямі АС і ВМ, якщо
4/1 = 50° і:
а) І.СВМ= 50°;
б) 2-АВМ= 130°;
в) СВСА = СКВМ ■ Мал. 83
г) 2-АВМ на 50° більший за 4 САВ?
1 7 5 . Пряма КР перетинає пряму А В у точці К, а пряму СО —
у точці Р. Чи паралельні прямі АВ і СЦ якщо 4 АКР= 90°
і 2-КРС = 90°?
1 7 6 . Пряма КР перетинає пряму АВ у точці К, а пряму С£> —
у точці Р так , що точки В і О лежать по один бік від прямої
КР. Чи паралельні прямі АВ і С Д якщо 4 ВКР = 89°39'
і 2.КРО = 9 0 °2 Г ?
1 7 7 . Ч ерез кінці відрізка АВ з одного боку від нього проведено
промені АР і ВС. Чи паралельні ці промені, якщо:
а ) 2.РАВ= 105°, а 4/1 Є С = 7 5 °;
б) 2-РАВ = 93°, а 2.АВС = 8 7 °?
1 7 8 . Доведіть, що протилежні сторони прямокутника лежать на
паралельних прямих.
5 2

51. Ознаки паралельності прямих § 6
179. Прямі а і Ь із січною с утво­
рюють рівні гострі кути. Чи вип­
ливає з цього, що а II <6?
180. Знайдіть міри кутів 1 і 2, зоб ра­
жених на малюнку 84, якщо
2.1 + 2.4 = 160° і :
а) 4 4 на 20°менший за 4 1 ;
б) 4 2 у 2 рази більший за 4 1 ;
в) 4 4 : 4 2 = 2 : 3;
г) 4 4 становить 60% кута 2.
1 8 1 . Чи паралельні прямі а і Ь, зоб­
ражені на малюнку 85, якщо:
а) 4 4 - 4 1 = 30° і 4 3 = 75°;
б) 4 1 = 60° і 4 2 : 4 3 = 2 : 1?
182. Встановіть взаєм н е розташ у­
вання прямих а, Ь, с, зображ е­
них на малюнку 86, якщо:
а) 4 3 = 4 5 = 4 9 ;
б) 4 2 = 4 8 і 4 7 = 4 9 ;
в) 4 1 2 = 4 8 і 4 6 + 4 3 =
= 180°.
183. Січна п перетинає прямі а, Ь
і с так, що позначені на ма­
люнку 86 числами 2, 8 і 12 кути
дорівнюють один одному. Д ове­
діть, що прямі а, Ь і с попарно
паралельні.
184. У зображеному на малюнку 87
шестикутнику 4 1 = 4 4 , 4 2 =
= 4 5 і 4 3 = 4 6 . Доведіть, що
кожна сторона даного шести­
кутника паралельна протилеж­
ній стороні.
5 3

52. розділ Взаємне розташування прямих на площині
185. Чи паралельні прямі а і Ь,
с і d, якщо: L 1 = 60°, L2
вдвічі більший, а L 2 - L 3 =
= 60° (мал. 88)?
186. Як можна побудувати пара­
лельні прямі, користуючись
косинцем?
187. Користуючись двом а одна­
ковими косинцями, п ара­
лельні прямі мож на про­
водити, як п о казан о на
малю нку 89 . Обґрунтуйте
таку побудову.
188. Закінчіть речення: «Щоб ді­
знатися, чи паралельні дані
прямі, треба провести їх
січну і виміряти відповідні
кути. Якщо...»
D
В
Мал. 89
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ ■ ■ ■
189. Зробіть модель для ілюстрації доведення теорем и 3.
■ ■ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ НВВ
190. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см.
У скільки разів зменшиться периметр трикутника, якщо
кожну його сторону зменшити на 5 см?
191. На скільки частин можуть поділити площину пряма і коло,
розташовані на ній?
192. Прямі АВ і СО перетинаються в точці О, ОМ— бісектриса
кута АОС. Знайдіть міри кутів МОВ і МОй, якщо СОВ =
= 70°.
193. Один з двох кутів, утворених при перетині двох прямих,
на 90° більший за другий. У скільки разів він більший
за другий кут?
5 4

53. Властивості паралельних прямих § 7
§ 7. Властивості
паралельних прямих
• Задач а
■ Дано пряму о і точку Р, що не нале­
жить цій прямій. Проведіть через точ­
ку Р пряму, паралельну прямій а.
■ За допомогою лінійки і косинця по­
будову можна виконати, як показано
на малюнку 90.
Чи можна через точку Р провести
дві різні прямі, паралельні прямій а ?
Геометри здавна вваж али істинним
таке твердження:
Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна про­
вести тільки одну пряму, паралельну даній.
Давньогрецький геометр Евкпід це твердж ення прийняв
б ез доведення. Його назвали аксіомою Евкліда, тому що всі
твердження, які приймають без доведення, називають
аксіомами. (Детальніше про аксіоми ітеореми — в наступному
параграфі.)
Не всі вчені аксіому Евкліда вважаю ть правильною. Геомет­
рію, в якій визнається правильною аксіома Евкліда, називаю ть
евклідовою геометрією. Ви вивчаєте евклідову геометрію.
(обернена до теореми 3).
Якщо прямі паралельні, то внут­
рішні різносторонні кути, утворені
ними з січною, рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай прямі АВ і С£> — паралельні,
а КС— їх січна, яка проходить через точ­
ку А (мал. 91). Доведемо, що ЕСАВ =
= £АСО.
5 5

54. Припустимо, що ССАВ * САСО. Проведемо пряму АВ так,
щоб виконувалась рівність ССАВ = САСО. За ознакою пара­
лельності прямих АВі II СО, а за умовою АВ II СО. Виходить, що
через точку А проведено дві різні прямі, паралельні прямій СО.
Це суперечить аксіомі Евкліда. Отже, зроблене вище припущен­
ня призводить до суперечності. Тому ССАВ = с АСО.а
НАСЛІДОК.
Якщо пряма перпендикулярна до
однієї з двох паралельних прямих, то
вона перпендикулярна і до другої
прямої.
Справді, якщо с ± а і а IIЬ, то /11 =
= /12 = 90°, тобто с і 6 (мал. 92).
Сформулюйте і доведіть теореми, обернені до теорем 4 і 5.
розділ .с Взаємне розташування прямих на площині
Мал. 92
X і ТЕОРЕМА 7 Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна
одній.
Мал. 93
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай кожна з прямих а і Ь пара­
лельна прямій с. Доведемо, що а II Ь.
Припустимо, що прямі о і Ь не пара­
лельні (мал. 93), а перетинаються в
деякій точці Р. Виходить, що через
точку Р проходять дві різні прямі а і Ь,
паралельні с. Це суперечить аксіомі
Евкліда. Отже, прямі а і Ь не можуть
перетинатися, вони паралельні.а
ПРИМІТКА.
Д оведення теорем и правильне і
для випадку, коли пряма слеж ить між
а і Ь.
Для допитливих
Останню теорему називають теоремою про транзи­
тивність паралельності прямих (лат. ігапзіііуиз — пере-
5 6

55. В л а с т и в о с т і п а р а л е л ь н и х п р я м и х
•
Ш
Ф
*
Ф
*
т
ф
*
ф
ф
ф
ф
Ф
#
*
хідний), бо вона стверджує, що паралельність двох пар
паралельних прямих переходить на третю пару:
якщо а 11Ь і Ь 11с, то а 11с.
Щоб це твердження виконувалося завжди, домовили­
ся вважати, що кожна пряма паралельна сама собі, тобто
а (І а. Адже якщо
а 11Ь і Ь 11а, то а 11а.
Відрізки однієї прямої також вважають паралельними.
Наприклад, якщо А , В, С, К — точки однієї прямої, то
кожний з відрізків АВ, АС, АК, ВС, ВК, СК паралельний
будь-якому з них (мал. 94). У доцільності такої домовле­
ності ви переконаєтеся згодом,
вивчаючи паралельні перенесен­
ня, паралельне проектування то­
що. А в сьомому класі основна
увага звертатиметься на пара­
лельність відрізків і променів,
що не лежать на одній прямій.
Є геометрії, в яких аксіома
Евкліда не вважається правиль­
ною. їх називають неевклідовими
геометріями. Такою, наприклад,
є геометрія Лобачевського (див.
с. 195).
§ 7
№ апитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте аксіому Евкліда про паралельність
прямих.
2. Що ви знаєте про Евкліда, про його «Основи»?
3. Сформулюйте і доведіть теорему про внутрішні
рівносторонні кути при паралельних прямих
та січній.
4. Сформулюйте і доведіть теорему про дві прямі, пара­
лельні третій.
5. Що таке метод доведення від супротивного?
5 7

56. ' 1В иконаєм о р а зо м
ЯШ Доведіть, що прямі, перпендикулярні до непаралельних
прямих, перетинаються.
■ Нехай прямі cri b перетинаються,
а прямі т і п перпендикулярні
до них: т ± a, п L b (мал. 95).
Тоді LX = £ 2 = 90°. Припустимо,
що т II п, тобто Z l = L3. Тоді
і Z 2 = L3, звідки випливає, що
a II Ь. Це суперечить умові з а ­
дачі. Отже, прямі т і п не можуть
бути паралельними, вони пере­
тинаються.
оозділ 2 В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і _____ _______________________________
■ Мал. 95
Задач і і вп рави
ВИКОНАЙТЕ УСНО
1 9 4 . Скільки пар паралельних прямих х
є на малюнку 9 6 ? А скільки пар
непаралельних прямих?
1 9 5 . Кут між прямими а і х дорівнює
70°. Знайдіть кути між усіма пара­
ми прямих, що є на малюнку 96.
1 9 6 . Поясніть, як можна проводити паралельні прямі, користу­
ючись рейсшиною (мал. 97).
1 9 7 . На малюнку 98 зображ ено саморобний рейсмус. Як таким
рейсмусом можна проводити на бруску прямі, паралельні
його ребрам ?
5 8
UZZZ1
■ Мал. 97 ■ Мал. 98

57. В л а с т и в о с т і п а р а л е л ь н и х п р я м и х § 7
ЯШ М А я я ш в ш ш я я ш ш я я ^ я ^ ш ш ш ш ш ш
198. Міра одного з кутів, утворених двом а паралельними
прямими з їх січною, дорівню є 35°. Знайдіть міри інших
кутів,
199. На стороні кута АВС взято точку А. Ч ерез неї проведено
пряму, паралельну ВС. Знайдіть міри кутів при вершині А,
якщо /.АВС = 50°.
20 0 . Доведіть, що коли січна перетинає дві паралельні прямі, то:
а) відповідні кути рівні;
б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
2 0 1 . Знайдіть міри всіх кутів, зображ е­
них на малюнку 99, якщо аЬ і:
а) ^ 1 = 60°;
б) /.5 + /.7 = 250°;
в) А 2 - /.1 = 50°.
20 2 . Доведіть, що коли пряма перети­
нає одну з двох паралельних
прямих, то вона перетинає і дру­
гу пряму.
203. Прямі а і Ь не паралельні прямій
с. Чи випливає з цього, що прямі
а і Ь не паралельні?
204. Доведіть, що бісектриси двох відповідних кутів при п ара­
лельних прямих паралельні,
20 5 . Доведіть, що коли одна січна з двома прямими утворює
рівні відповідні кути, то й кожна інша січна з цими прями­
ми утворює рівні відповідні кути.
2 0 6 . Кут між однією з двох паралельних прямих і їх січною дорів­
нює 80°. Під яким кутом бісектриса цього кута перетинає
другу пряму?
2 0 7 . На сторонах АВ і ДСтрикутника/ЇДС взято точки К і Р такі,
що КР II АС. Знайдіть кути чотирикутника АКРС, якщо
АВКР= 60°, /.ВРК = 80°.
5 9

58. розділ В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і
208. Якщо прямі з січною утворюють нерівні відповідні кути,
то вони перетинаються. Доведіть це.
20 9 . Промені АВ, АС і КР різні і такі, що АВ ІІ КР, АС II КР.
Знайдіть міру кута ВАС.
2 1 0 . Користуючись малюнком 99, на
якому 4 1 = 4 3 , обчисліть міри
кутів 3 і 4, якщо:
а) 4 4 - 4 1 = 50°;
б) 4 4 в 3 рази більший за 4 6 .
2 1 1 . Сторони АО і ВС зам кн ен ої
лам аної АВСОА перетинаються
і 4 В = 4 С (мал. 100). Доведіть,
що 4 А = 4 0 .
А В
212. Кожна сторона чотирикутника
АВСО паралельна протилежній
стороні (мал. 101). Доведіть, що:
а) 4 А + 4 В= 180°;
б) 4 В+ 4 С= 180°;
в) 4 А= 4 С;
г ) 4 й = 4 0 .
В с
21 3 . У чотирикутнику АВСО ВС II
II 4УШ і 4 В = 4 С (мал. 102).
Доведіть, що:
а) 4/4 = 4 £ ;
б) 4/4 + 4 С = 180°.
21 4 . Ч ерез точку, яка не лежить на
прямій а, проведено три прямі.
Доведіть, що принаймні дві з них
перетинають пряму а.
В С
21 5 . Доведіть, що два кути з відповідно паралельними сторо­
нами рівні або сума їх мір дорівнює 180°.
21 6 . На малюнку 103 4 1 = 70°, 4 2 = 50° і АВ II СО. Знайдіть
міри кутів 3, 4 і 5.
6 0

59. В л а с т и в о с т і п а р а л е л ь н и х п р я м и х § 7
■ Мал. 103
Е О
2 1 7 . На малюнку 1 04 4 АВС = 50°,
/.С йЕ = 36°, АВ II D£. Знайдіть
4£С О .
218. Одна насічка напилка утворює
з його ребром кут 65°, а інша —
74° (мал. 105). Знайдіть міру
гострого кута між двома різними
насічками.
Мал. 105
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗА ВДА Н Н Я
2 1 9 . Виміряйте транспортиром кут між прямими в зошиті в косу
лінійку (див. мал. 52). Визначте інші кути.
220.
2 2 1 .
222.
ШШ ВП РА ВИ Д Л Я ПОВТОРЕННЯ
Знайдіть діаметр кола, якщо він довший від радіуса:
а) на 3 см; б) на 3,5 м.
Чому дорівнює довжина кола, діаметр якого:
а) 10 см; б) 0,1 м?
Скільки спільних точок можуть мати:
а) пряма і коло;
б) пряма і круг;
в) коло і коло?
2 2 3 . Перемалюйте в зошит фігуру
з малюнка 106. Як називаю ть
таку фігуру? Назвіть ЇЇ вершини,
ребра, грані.
224. Скільки різних пар паралельних
ребер м ає куб?
61

60. розділ Z В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і
§ 8. Теореми і аксіоми
В и вж е маєте уявлення про теореми.
Теорема — це твердження, в істинності якого переконуються за
допомогою логічних міркувань, доведень.
Звичайно теорем а містить умову (те, що дано) і висновок (що
вимагається довести). Щоб виокремити умову і висновок теоре­
ми, її зручно подати у формі «Якщо... , то...». Наприклад: «Якщо
кути вертикальні, то вони рівні». Тут слова перед комою вираж а­
ють умову теореми, а після коми — висновок.
Часто умову теореми записують після слова «дано», а висно­
вок — після слова «довести». Наприклад, теорему про верти­
кальні кути можна оформити так.
Д а н о : /А О О , /В О С —
вертикальні кути (мал. 107).
Д о в е с т и : і'.АОО = /.ВОС.
Д о в е д е н н я .
/.АОО = 180° — /А О В
(/.АОО і /А О В — суміжні),
/В О С = 180° — /.АО В
(/В О С /А О В — суміжні).
Отже, /А О О = /ВО С.
Помінявши умову і висновок теореми місцями, одержимо
нове твердження (істинне або хибне). Якщо одерж ане таким
способом твердж ення істинне, його називаю ть теоремою,
оберненою до даної.
■ ПРИКЛАДИ
1. «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» — дана теорема. «Якщо
' кути’ рівні, то вони вертикальні» — обернене твердження
(хибне).
2. «Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні» — дана
теорем а. «Якщо прямі паралельні, то відповідні кути рівні» —
теорем а, обернена до даної.
Найважливіші теореми, в яких подано критерії чого-небудь,
називаю ть ознаками.
6 2

61. Т е о р е м и і а к с іо м и § 8
Доводячи теорему, показують, що вона випливає з інших
істинних твердж ень. Однак на початку вивчення геометрії ще
ніяких «інших істинних тверджень» немає. Тому кілька перших
твердж ень звичайно приймають без доведень. їх називаю ть
аксіомами.
Деякі аксіоми вам уже відомі. Сформулюємо їх ще раз.
Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що їй не належать.
Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,
і тільки одну.
■ Із трьох точок прямої одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
■ Кожний відрізок має певну довжину.
■ Кожний кут має певну міру.
■ Через точку, що не лежить на даній прямій, можна про­
вести тільки одну пряму, паралельну даній.
Від теорем і аксіом слід відрізняти означення, в яких розкри­
вається зміст поняття. Наприклад: «Відрізком називається час­
тина прямої, обмеж ена двом а точками» — означення відрізка;
«Гострим кутом називається кут, менший від прямого» — озн а­
чення гострого кута.
В означеннях, аксіомах ітеоремах — основний зміст геометрії,
їх треба знати, але формулювати (правильно!) можна і своїми
словами. Наприклад, означення відрізка можна формулювати
так: «Відрізок — це частина прямої, обмеж ена двом а її точками»
або так: «Частину прямої, обмежену двома її точками, н ази ва­
ють відрізком».
■ і Для допитливих
#
Слово аксіома грецького походження; спочатку це
словом означало: повага, авторитет, незаперечність;
згодом словом «аксіома» стали називати твердження, 9
яке приймається без обґрунтування. #
6 3

62. розділ 2 В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і
Сдово теорема також грецького походження. Спо­
чатку теоремою називали видовище, театральну виставу.
Першим геометрам доведені ними теореми здавалися
досить несподіваними, дивними, мов цікаві видовища.
[ справді дивно: з небагатьох примітивних тверджень, які
приймаються без доведень, шляхом самих міркувань
людина може отримати мільйони неочевидних наслідків.
Навіть таких, яких ніде в природі не можна спостерігати.
І таких, про існування яких не здогадувався жоден мис­
литель.
Щоб і ви зрозуміли, яке задоволення відчували перші
геометри, відкриваючи і доводячи все нові й нові власти­
вості геометричних фігур за допомогою самих лише мір­
кувань, спробуйте відповісти на одне з таких питань.
Подивіться на малюнок 108. На ньому виділено
6 точок: середини сторін трикутника АВС і основи його
висот. Здається, усі ці точки
лежать на одному колі. Чи це
справді так? Чи в кожному
трикутнику? Хто першим ви­
являв подібні закономірності
й обгрунтовував їх, гой відчу­
вав велике задоволення, немов
мандрівник, який першим
прийшов туди, де жодна інша
людина ще не бувала, або
спортсмен, який побив світо­
вий рекорд.
в
Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Що таке теорема? Наведіть приклади теорем.
2. Що таке аксіома? Наведіть приклади аксіом.
3. Що таке означення? Наведіть приклади означень.
4. Яке твердження називається теоремою, оберненою
до даної?6 4

63. Т е о р е м и і а к с іо м и
• В иконаєм о р а зо м
Бісектриси внутрішніх різносторонніх кутів, утворених січ­
ною з двом а паралельними прямими, паралельні одна
одній. Доведіть. Сформулюйте обернене твердж ення.
■ Нехай ВС — січна прямих АВ і СД, кути АВС В С й — внут­
рішні різносторонні, а ВК і С Р — їх бісектриси (мал. 109).
Покажемо, що коли АВ іІ С Д то ВК II СР.
Якщо АВ 11СД, то ДАВС = С ВСО —
як внутрішні різносторонні при пара­
лельних прямих. Половини рівних кутів
рівні, тому і-КВС = С ВСР. Ці кути —
внутрішні різносторонні для прямих
КВ і СР та січної ВС. Оскільки ці кути
рівні, то прямі КВ і СР паралельні.
А це й треба було довести.
О бернене твердження: якщо бісектриси внутрішніх різносто­
ронніх кутів, утворених двом а прямими з їх січною, паралельні,
то паралельні і дані прямі.
Д ва промені називаю ть співнапрям-
леними, якщо один з них є частиною
другого або якщо вони паралельні і
розміщ ені по один бік від прямої, що
проходить через їх початки. Наведіть
приклади.
ПРИКЛАДИ
Промені АК і ВК (мал. 110), а також
промені АК і В Т (мал. 111).
К
felt: Доведіть, що кути із співнапрямленими сторонам и рівні.
■ Д оведем о, що коли промені ВА і РК, ВС і РГ співнапрям -
лені, то кути 1 і 2 рівні.
Якщо дані кути розміщені, як показано на малюнку 112,
то Z.1 = Z.3 і L 3 - С 2, отже, С І = L2.
Якщо дані кути розміщені, як показано на малюнку 113,
то промінь РТ становить частину променя ВС. У цьому
випадку C l = С 2 як відповідні кути при паралельних пря­
мих ВА і РК.
6 5

64. розділ В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і
■ Мал. 112
• З а да ч і і вп рави
ШШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО
2 2 5 . Сформулюйте означення:
а) вертикальних кутів; б) суміжних кутів.
2 2 6 . Сформулюйте аксіоми про розміщ ення точок на прямій.
2 2 7 . Сформулюйте аксіоми про вимірювання відрізків.
2 2 8 . Сформулюйте аксіому Евкліда про паралельність прямих.
2 2 9 . Чи через кожні три точки можна провести пряму? Чи існу­
ють три точки, через які можна провести пряму?
2 3 0 . Чи існують 4 точки, через які можна провести пряму?
2 3 1 . Сформулюйте ознаку подільності натуральних чисел на 3.
Як ії можна сформулювати інакше?
2 3 2 . Які з твердж ень правильні:
а) «Якщо кожне з двох натуральних чисел ділиться
на 10, то і їх сума ділиться на 10»;
б) «Якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10,
то кожне з них ділиться на 10»?
2 3 3 . Сформулюйте теорему про суміжні кути. Подайте її у формі
«Якщо..., то...». Зазн ачте її умову і висновок.
2 3 4 . Сформулюйте теорему про дві прямі, паралельні третій.
Запишіть її за допомогою математичних символів.
2 3 5 . Які з даних твердж ень істинні:
а) «Якщо кути рівні, то вони вертикальні»;
б) «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні»;
в) «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні»?
2 3 6 . Сформулюйте твердження, обернене до теореми 1. Чи мож­
на вважати його теоремою ? Чому?
66

65. Т е о р е м и і а к с іо м и § 8
237. Сформулюйте твердження, обернене до теореми 5. Чи є во­
но теоремою ?
238. Дивлячись на малюнок 114, учень
міркує: «Якщо АВ II КР і ВС II РТ, то
4,1 = /_3 = 4 2 . Отже, кути з відповід­
но паралельними сторонами рівні».
Чи правильно він міркує? Розгляньте
інші можливі випадки.
2 3 9 . Чи можна вваж ати правильними В Мал. 114
такі означення:
а) «Бісектрисою кута називається пряма, яка ділить
цей кут навпіл»;
б) «Бісектрисою кута називається промінь, який ділить
цей кут на рівні частини»?
240. Прочитайте три перші абзац и § 3 «Кути і їх міри». Чи є в них
означення? Сформулюйте одне з них.
2 4 1 . Сформулюйте означення паралельних прямих. Чи можна
слова «на площині» опустити? Чому?
2 4 2 . Яке з твердж ень правильне:
а) «Якщо кожне з трьох натуральних чисел ділиться на 5,
то їх сума також ділиться на 5»;
б) «Якщо сума трьох натуральних чисел ділиться на 5,
то кожне з них ділиться на 5»?
2 4 3 . Доведіть, що кут між бісектрисами двох вертикальних кутів
розгорнутий. Сформулюйте і доведіть аналогічне твер­
дження про бісектриси двох суміжних кутів.
2 4 4 . Сформулюйте словами і доведіть твердження:
а) якщо а ІІ Ь і Ь II с, то а II с;
б) якщо а ±Ь і Ь 1 с, то а II с.
Чи правильні ці твердж ення, коли прямі а, Ь і с не леж ать
в одній площині?
2 4 5 . Доведіть, що:
а) якщо кут А дорівню є куту В, а кут В — куту С,
то кути А і Сдорівнюють один одному;
б) якщо відрізок АВ дорівнює відрізку КР, а КР —
відрізку МТ, то відрізок АВ дорівнює МТ.
Р А З.
6 7

66. розділ 2, В з а є м н е р о з т а ш у в а н н я п р я м и х н а п л о щ и н і
2 4 6 . Чи правильні твердження:
а) «Якщо кут А суміжний із кутом В, а кут В — з кутом С,
то кути А і Ссуміжні»;
б) «Якщо кут А вертикальний до кута В, а кут В — до
кута С, то кути А і С також вертикальні»;
в) «Якщо прямі а і слеж ать в одній площині і прямі с іп —
в одній площині, то прямі а і п також лежать в одній
площині»?
2 4 7 . Паралельні залізничні рейки, промені
сонця та багато інших моделей прямих
на фотографіях і картинах часто зо б ­
раж аю ть у вигляді н епаралельних
прямих (мал. 115). Наведіть приклади
зображ ен ь, на яких непаралельні
прямі мають вигляд паралельних.
248. Доведіть, що січна, перетинаючи па­
ралельні прямі, утворює з ними:
а) рівні зовнішні різносторонні кути;
б) односторонні зовнішні кути,
які в сумі становлять 180°.
2 4 9 . Доведіть, що куги з відповідно перпендикулярними сторо­
нами рівні або в сумі становлять 180°.
ви ш ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ШШ
25 0 . Скільки існує на прямій точок, які леж ать між даними її
точками А і В?
2 5 1 . На які частини пряму ділять дві її точки?
2 5 2 . Скільки різних відрізків зображ ено
на малюнку 1 1 6 ? Назвіть їх.
253. -Скількома різними ламаними мож­
на сполучити дві дані точки К і Р?
Д екількома відрізками? Скількома
дугами кіл?
2 5 4 . Дюйм — це 2,5 см. Скільки квад­
ратних сантиметрів має квадрат­
ний дюйм?
Р
К
Т
M a n 1 1 К
1
V ,
і
■ Мал. 115
6 8

67. Т е о р е м и і а к с іо м и § 8
• Типові за д а ч і д л я конт рольної роботи
1°. Точки А, В і С леж ать на одній прямій. АВ = 7,3 см,
ВС = 3,7 см. Знайдіть довжину відрізка АС
Розгляньте два випадки.
2°. Внутрішній промінь ОК кута АОВ розби ває його на кути
А О К і КОВ. Знайдіть міру кута:
а) АОВ, якщо ^А О К = 30°, І.КОВ= 40°;
б) КОВ, якщо /.АО В= 79°, АКОА = 53°;
в) КОА, якщо він на 20° менший за І.КОВ і І.АОВ = 80°.
3°. Накресліть І.АВС = 120°. Проведіть його бісектрису ВМ
і бісектрису В К кута МВС. Знайдіть міри кутів КВСі АВК.
4 . Знайдіть міри чотирьох кутів, утворених перетином двох
прямих, якщо один з них 45°.
5 ! Знайдіть міри суміжних кутів, якщо один з них:
а) на 25° більший від другого;
б) у 3 рази менший від другого.
6 ! За допомогою малюнка 117
встановіть:
а) чи паралельні прямі АВ і СО-,
б) міру кута КРМ.
7*. Дві паралельні прямі перетинає
третя пряма так, що сума двох із
восьми утворених кутів дорівнює
240°. Знайдіть міри всіх утворених
кутів.
8* Відрізки АВ і КР перетинаю ться в точці О.
Доведіть, що коли ААКО = А.ОРВ, то І.КАО = І.ОВР.
9** Прямі АВ КР перетинаю ться в точці О.
ОМ ~ бісектриса кута АОР. Знайдіть міру кута КОМ,
якщо І.АОК - /-АОМ = 36°.
10** Доведіть, що бісектриси внутрішніх односторонніх кутів
при паралельних прямих перпендикулярні.
69

68. розділ Взаємне розташування прямих на площині
• З а да ч і за готовими малю нкам и
7 0

69. • Самостійна робота 2 --------
■ ■ і Варіант 1
1°. Відрізки АВі AT3перетинаю ться у внутрішній точці Отак,
що LAOK = 50°. Знайдіть міри кутів АОР, BOP, ВОК.
2! Один із двох суміжних кутів більший від другого на 18°.
Знайдіть ці кути.
З! Через кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ про­
ведіть промені АК ВСтак, щоб /.КАВ = 107°, a LABC =
= 73°. Чи паралельні ці промені? Чому?
■ ■ і Варіант 2
1 Відрізки MN і КТперетинаю ться у внутрішній точці Хтак,
що /.МХК= 65°. Знайдіть міри кутів МХТ, TXN, KXN.
2! Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо один із них утричі
більший від другого.
З! Через кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ про­
ведіть промені AM і ВСтак, щоб /.МАВ = 102°, а/.АВС=
= 77°. Чи паралельні ці промені? Чому?
■ ■ і Варіант З
1°. Відрізки АС і МРперетинаю ться у внутрішній точці Отак,
що Z.MOC= 48°. Знайдіть міри кутів АОР, АОМ і РОС.
2! Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо один із них на 26°
більший від другого.
З! Через кінці відрізка КР з одного боку від прямої КР про­
ведіть промені КА і РВтак, щоб /.АКР = 97°, а / .КРВ =
= 83°. Чи паралельні ці промені? Чому?
ШШЛ Варіант 4
1°. Відрізки АВ і CDперетинаю ться у внутрішній точці Мтак,
що LAMC = 35°. Знайдіть міри кутів AMD, СМВ і BMD.
2! Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо один із них на 15°
менший від другого.
З? Через кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ про­
ведіть промені АКі ВМіак, щоб /.КАВ = 58°, a LABM =
= 123°. Чи паралельні ці промені? Чому?

70. розділ 2 Взаємне розташування прямих на площині
• Тестові завдання 2
1 . Яку міру має кут,
суміжний із кутом 100° ?
а) 100°; б) 80°;
в) 8°; г) 50°.
2. Яким є кут,
суміжний із тупим кутом?
а) тупий; б) прямий;
в) гострий;
г) розгорнутий.
3. /.АОР'ї /.БОС— вертикальні кути.
Який знак слід поставити
замість *: А.АОР*£ВОС?
а) <; б) =;
в) >; г) £.
4. Сума трьох кутів, утворених при пе­
ретині двох прямих, дорівнює 280°.
Знайдіть міру четвертого кута.
а) 100°; 6)80°;
в) 90°; г) 70°.
Для виконання завдань 5 - 1 0 скористайтеся малюнком 118.
5. Який знак слід по­
ставити замість *:
СВ*LP?
а) II; б) =;
в) Є; г) -і_.
/ '
6. Які з прямих /
паралельні? /
г
с а) ВР МС; б) СРАВ
в) АВ LP г) СВ і LP.
7. Яким є кут /
/ д я г ? а В
а) гострий; б) тупий;
в) прямий;
г) розгорнутий.
а) 50°; б) 80°;
в) 130°; г) 120°.
______ _________' М iL Р
9. Знайдіть І.САВ, • Мал. 118
якщо /-МІ-А = 145°.
а) 145°; 6)45°;
в) 25°; г) 35°.
10. Відстань від точки С до прямої
МР дорівню є 12 см. Знайдіть
відстань від точки С до прям ої
АВ, якщо СВ = ВР.
а) 12 см; б) 4 см;
в) 6 см; г) 24 см.
7 2

71. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
2 0 .
21.
22.
23.
24.
25.
• Запитання і за вд а н н я --------- ;
для самоконтролю
Які кути називаю ть суміжними?
Сформулю йте і доведіть властивість суміжних кутів.
Які кути називаю ть вертикальними?
Сформулю йте і доведіть властивість вертикальних
кутів.
Що таке кут між прямими?
Сформулю йте означення перпендикулярних прямих.
Які відрізки називаю ться перпендикулярними?
Які дві прямі називаю ться паралельними?
Які відрізки називаю ться паралельними?
З а допомогою яких креслярських інструментів
можна провести пряму, перпендикулярну до даної
прямої? Як це роблять?
Як можна провести пряму, паралельну даній прямій?
Сформулю йте означення паралельних прямих.
Що таке січна двох прямих?
Які кути називаю ть внутрішніми різносторонніми?
А внутрішніми односторонніми? Покажіть на малюнку.
Які кути називають відповідними? Покажіть на малюнку.
Сформулюйте ідоведіть ознаку паралельності прямих.
Сформулю йте аксіому Евкліда про паралельність
прямих.
Що ви зн аєте про Евкліда, про його «Основи»?
Сформулю йте і доведіть теорем у про внутрішні
різносторонні кути при паралельних прямих.
Сформулю йте і доведіть теорем у про дві прямі,
перпендикулярні до третьої прямої.
Що означає слово транзитивний? Сформулю йте
теорем у про транзитивність паралельності прямих.
Що таке теорем а? Наведіть приклади теорем .
Що таке аксіома? Наведіть приклади аксіом.
Що таке означення? Наведіть приклади означень.
Яке твердження називається теоремою , оберненою
до даної?
Щ о таке ознака?
7 3

72. Головне в розділі 2
Два кути, на які розгорнутий кут розбивається його внутріш­
нім променем, називаються суміжними. Сума мір двох суміж­
них кутів дорівнює 180°.
Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одно­
го є доповняльними променями сторін другого кута. Вертикальні
кути рівні.
Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути:
дві пари вертикальних кутів. Менший із них — кут між даними
прямими.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони
перетинаються під прямим кутом. Відрізки чи промені назива­
ють перпендикулярними, якщо вони лежать на перпендикуляр­
них прямих.
Дві прямі на площині називають паралельними, якщо вони
не перетинаються.
Пряма, яка перетинає дві інші прямі, називається їх січною.
З двома даними прямими вона утворює 8 кутів, деякі пари яких
мають окремі назви:
1 і 3, 2 і 4 — внутрішні різносторонні;
1 і 4, 2 і 3 — внутрішні односторонні;
1 і 8, 2 і 7, 3 і 6, 4 і 5 — відповідні;
5 і 7, 6 і 8 — зовнішні різносторонні;
5 і 8, 6 і 7 — зовнішні односторонні.
Ознака паралельності прямих
• Дві прямі паралельні, якщо з січною вони утворюють рівні
внутрішні різносторонні куги, або рівні відповідні куги, або
такі внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°.
Властивості паралельних прямих
• Січна з двома паралельними прямими утворює рівні внут­
рішні різносторонні кути, рівні відповідні кути, такі внутрішні
односторонні куги, сума яких дорівнює 180°.
• Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.
• Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних
прямих, то вона перпендикулярна Ідо другої. Дві прямі, пер­
пендикулярні до третьої, паралельні.
7 4
V

73. ТРИКУТНИКИ
Уцьому розділі ви повторите свої
знання про трикутники, здобуті
в попередніх класах, і дізнаєтесь
про багато інших їх властивостей.
Основне в розділі — три о з н а к и
р івн о ст і т рикут ників. Вони часто
використовуються в геометрії.
Тому від того, як добре ви вивчите
ці ознаки, залежить, як ви засвоїте
наступні розділи підручника.
Геометрій Енчліда
&лише перш им кроком
чення форм реального
т г і). Смого/іж евськш
ТРИКУТНИК І ЙОГО ЕЛЕМЕНТІ
СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА
♦ ПРО РІВНІСТЬ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР
♦ ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИЧКІВ
♦ РШНОЬЕДРСНИИ ТРИКУТНИК
ТРЕТЯ ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК
НЕРІВНОСТІ ТРИКУТНИКА

74. розділ З Т рикутн ики
§ 9. Трикутник і його елементи
с
■ Мал. 119
■ Мал. 120
с
Якщ о три точки, що не лежать на одній
прямій, сполучити відрізками, матимемо
трикутник. Іншими словами; трикут­
ник — це замкнена ламана з трьох
ланок. На малюнку 119 зображ ено
трикутник АВС (пишуть: &АВС). Точки
А,В,С— вершини, відрізки АВ, ВССА —
сторони цього трикутника. Кожний три­
кутник має три вершини і три сторони.
Багато різних моделей трикутників
можна бачити в підйомних кранах, за ­
водських конструкціях, в різних архітек­
турних спорудах (мал. 120).
Суму довжин усіх сторін трикутника
називають його периметром.
Кожна сторона трикутника коротша
за суму двох інших його сторін. Чому?
Відрізок, що сполучає вершину три­
кутника із серединою його протилежної
сторони, — медіана трикутника. Відрі­
зок бісектриси кута трикутника від його
вершини до протилежної сторони — бі­
сектриса трикутника. Перпендикуляр,
опущений з вершини трикутника на пря­
му, на якій лежить його протилежна
сторона, — висота трикутника. На ма­
люнку 121 зображено &АВС, в якому
з вершини С проведено; медіану СМ,
бісектрису а і висоту СН.
Кожний трикутник має три медіани,
три бісектриси і три висоти.
Трикутник розбиває площину на дві
області: внутрішню і зовнішню. Фігуру,
яка складається з трикутника і його
внутрішньої області, також називаю ть
трикутником.
%
7 6

75. Т р и к у тн и к і його е л е м е н т и § 9
Кутами трикутника АВСназиваю ть кути ВАС, АВСіАСВ.
їх позначають ітак: А.А, СВ, СС. Кожний трикутник має три кути.
Якщо трикутник має прямий або тупий кут, його називають
відповідно прямокутним або тупокутним трикутником. Три­
кутник, усі кути якого гострі, називається гострокутним. На м а­
люнку 122 зображ ено гострокутний, прямокутний і тупокутний
трикутники. їх внутрішні області заф арбовано.
Словом трикутник геометри називають два різні
поняття: і замкнену ламану з трьох ланок, і внутрішню
частину площини, обмежену такою ламаною.
Так само стороною трикутника іноді називають
відрізок, іноді — довжину цього вирізка; висотою
трикутника — і певний відрізок, і його довжину.
Так роблять для зручності: щоб кожного разу не
говорити, наприклад, «довжина висоти трикутника
дорівнює 5 см», домовилися говорити простіше: «висота
трикутника дорівнює 5 см».
Кожний многокутник можна розрізати на кілька
трикутників. Тому трикутники в геометрії відіграють
таку важливу роль, як атоми у фізиці, як цеглини в
будинку. Існує навіть окрема частина геометрії, досить
цікава і багата змістом: геометрія трикутника.
Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Що таке трикутник?
2. Назвіть елементи трикутника.
3. Якими бувають трикутники? Сформулюйте
їх означення. {
4. Що таке бісектриса, медіана і висота трикутника? 7 7

76. розділ Т ри кутн и ки
• В и к о н а є м о р а з о м
П На скільки частин можуть розбивати площину два її трикут­
ники?
■ Якщо два трикутники розташовані в одній площині, то вони
можуть розбивати ЇЇ щонайбільше на 8 частин (мал. 123).
Уявно переміщаючи один з двох даних трикутників так, щоб
спочатку один з утворених їхнім перерізом трикутник пере­
творився в точку, потім — другий і т. д., переконуємось, що
два трикутники можуть розбивати площину на 3, 4, 5, 6, 7, 8
частин (мал. 124). Тільки якщо два трикутники рівні і суміще­
ні один з одним, то вони розбивають площину на 2 частини.
■ Мал. 123 Мал. 124
Середнє арифметичне всіх сторін трикутника дорівнює т.
Знайдіть периметр трикутника.
Якщо а, Ь, с — сторони трикутника, а Р — його периметр,
то а+ с = /77, або-^3= т, звідки: Р = 3 т.
• З а д а ч і і в п р а в и
Н і ВИКОНАЙТЕ УСНО
2 5 5 . Чи можуть дві сторони трикутника бути перпендикулярни­
ми до його третьої сторони?
2 5 6 . Скільки висот трикутника можуть лежати зовні нього?
2 5 7 . Чи може висота трикутника збігатися з його стороною?
258Г^найдіть периметр ААВС, якщо:
)А В = 6 ,В С = З, АС= 7; б) АВ= 2,2, ВС= 8,5, АС= 8,8.
2 5 9 . Чи існує трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 8 см?
7 8

77. Т р и к у тн и к і його е л е м е н т и § 9
260. Накресліть будь-який трикутник. Позначте його вершини
буквами К, Р, Т. Назвіть сторони і кути трикутника. З н а­
йдіть його периметр.
261. Накресліть гострокутний трикутник АВС. Проведіть з його
вершини А медіану, бісектрису і висоту.
262. Побудуйте довільний трикутник. Проведіть його медіани і
висоти.
263. Сторони трикутника 3,8 см, 4,5 см і 7,5 см. Знайдіть його
периметр.
264. Периметр трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть сторону
квадрата, периметр якого вдвічі більший за периметр три­
кутника.
265. АМ і ВЫ— медіани £±АВС, АЫ = 5 см, ВМ = 7 см. Знайдіть
периметр ААВС, якщо АВ= 15 см.
266. Чи правильно, що на малюнку 125 відрізки ААи ВВІГСС, —
висоти трикутника АВС?
267. Трикутник ділить площину на дві
частини: обмежену і необмежену.
А на скільки частин можуть ділити
площину трикутник і пряма, розта­
шовані на ній? А трикутник і коло?
268. Скільки різних трикутників зображ е­
но на малюнку 126?
269. Периметр Л АВС дорівнює 26 см.
Знайдіть його сторони, якщо АС =
= 10 см і:
а) ВС= ЗА В ; б) А В : ВС = 3 : 5;
в)АВ = ВС; г)ВС —АВ = 6см.
■ Мал. 125
270. Чи кожний трикутник можна розрізати на 2 трикутники?
А на довільне число п трикутників? Якими способами
можна розрізати довільний трикутник на 3 менші трикут­
ники? А на 4 трикутники?
271. Покажіть, як можна розрізати квадрат на 2, 3, 4, 5 три­
кутників.
7 9

78. розділ З Т ри к утн и к и
272. Знайдіть сторони трикутника, якщо одна з них більша від
другої удвічі, від третьої — у півтора рази і друга сторона
менша від третьої на 2 см.
273. Знайдіть периметр трикутника, якщо він більший від першої
сторони на 7 м, від другої — на 8 м і від третьої — на 9 м.
2 74. Середнє арифметичне всіх сторін трикутника дорівнює
10 дм. Знайдіть периметр трикутника.
275. Периметр квадрата дорівнює 4 дм. Чи можна з нього вирі­
зати трикутник периметра 3 дм?
2 76. Чи існує трикутник, периметр якого у 1000 разів більший
за одну з його сторін? Аза одну з висот?
2 77. Сторони трикутника пропорційні числам 4, 5 і 8. Знайдіть
периметр трикутника, якщо найбільш а його сторона
більша від найменшої на 24 см.
278. Побудуйте тупокутний трикутник і проведіть його висоти.
279. Знайдіть висоту ВН трикутника ABC, якщо периметри
трикутників АВС,АВН і ВНС дорівнюють відповідно 26 см,
14 см і 18 см.
•280. ВМ — медіана трикутника ABC, а периметри трикутників
АВМ і BMC рівні. Доведіть, що АВ = ВС.
2 81. На сторонах АВ і ДСтрикутника/4ДСвзятоточки М /Стакі,
що МК І! АС. Доведіть, що кути трикутника МВК дорівню­
ють відповідно кутам трикутника ABC.
Я Я ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ЯШ
2 82. Згадайте, як визначити площу прямокутника. Аквадрата?
283. Які одиниці площі ви знаєте?
284. Скільки квадратних метрів містить 1 км2, 1 га, 1 ар?
285. Чи правильно, що з двох будь-яких рівних прямокутних
трикутників можна скласти один прямокутник?
2 86. Як знайти площу прямокутного трикутника?
287. Поле прямокутної форми має площу 20 га, а одна його сто­
рона півкілометра завдовж ки. Знайдіть довжину другої
сторони поля.
2 88. Сума кутів АОВ і ВОС дорівнює 100°. Знайдіть кут між їх
бісектрисами, якщо промінь ОВ для кута АОС внутрішній.
8 0

79. Сума кутів трикутника § 1 0
§ 10. Сума кутів трикутника
5 . ТЕОРЕМА 8 Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВС — довільний трикутник
(мал. 127). Ч ерез його вершину С прове­
демо пряму КР, паралельну АВ.
Утворені кути АСК і ВСР позначимо
цифрами 1 і 2. Тоді ЛА = 2.1, /.В = 1.2,
як внутрішні різносторонні кути при
паралельних прямих АВ і КР та січних
АС і ВС. Кути 1, 2 і С в сумі дорівнюють
розгорнутому куту, тобто 1 8 0 “. Тому
£.А + /-В + /. С= /11 + 2 .2 + /1С = 180°.
Отже, ііА + /-В+ £С = 1 8 0 °.А
А В
■ Мал. 127
■ ЗАУВАЖЕННЯ.
Удоведеній теоремі 8 йдеться про суму мір кутів трикутника.
Але для спрощення формулювань замість «міра кута» часто вжи­
вають слово «кут».
■ НАСЛІДОК.
Трикутник не може мати двох прямих або тупих кутів. У кож
йому трикутнику принаймні два куги — гострі,
Іноді крім кутів трикутника (внутріш­
ніх) розглядають також його зовнішні
кути. Зовнішнім кутом трикутника
називаю ть кут, утворений стороною
трикутника і продовженням його іншої
сторони. Наприклад, зовнішнім кутом
трикутника АВС при вершині А є кут КАС
(мал. 128). Мал. 128
ТЕОРЕМА 9 Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох
внутрішніх кутів трикутника, не суміжних з ним.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай 2.КАС— зовнішній кут Л А В С (мал. 128).
81

80. І
[ роздм 3 Т ри к утн и к и
■ Мал. 129
Тоді
. / /С4С = 180° — /.В А С (згідно з тео­
ремою про суміжні кути),
4.В + 4.С - 180° — /.ВАС (згідно з
теорем ою про суму кутів трикутника).
Отже, / .КАС= і-В+ /.С .а
НАСЛІДОК.
Зовнішній кут трикутника більший кож­
ного внутрішнього кута, не суміжного
з ним.
■ УВАГА! При кожній вершині трикутника можна побудувати
І
два зовнішні кути, продовживши одну чи другу його сторону.
Наприклад, кожний із кутів КАС і PAß — зовнішній кут
трикутника АВС при вершині А (мал. 129). Такі два зовнішні
кути — вертикальні, тому дорівнюють один одному.
Для допитливих •
Мал. 130
Теорему про суму кутів трикут­
ника можна узагальнити і поширити
на довільні многокутники.
Кожний чотирикутник можна
розрізати на два трикутники, сполу­
чивши його протилежні вершини
відрізком. (Якщо один з кутів чоти­
рикутника більший від розгорнуто­
го, то саме його вершину слід сполу­
чити з протилежною, як на малюнку 130.) Сума всіх
кутів чотирикутника дорівнює сумі всіх кутів двох утво­
рених трикутників, тобто 180° • 2. Отже, сума кутів будь-
якого чотирикутника дорівнює 360°.
Довільний п’ятикутник можна
розрізати на чотирикутник і трикут­
ник або на 3 трикутники (мал. 131).
Отже, сума кутів п’ятикутника до­
рівнює 180° •3, тобто 540°.
Спробуйте написати формулу,
за якою можна обчислити суму кутів
довільного /7-кутника.
• * в. * * * * * * в • • • • • ' • « # # * • • # *
8 2

81. Сума кутів трикутника § 10
Цзапитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте теорему про суму кутів трикутника.
2. Що таке зовнішній кут трикутника?
3. Сформулюйте теорему про зовнішній кут трикутника.
4. Чи правильно, що зовнішній кут трикутника більший
від кожного внутрішнього кута, не суміжного з ним?
5. Чому дорівнює сума кутів чотирикутника?
• В и к о н а є м о р а з о м
I I Чому дорівнює сума зовнішніх кутів
трикутника, взятих при кожній вер­
шині поодном у?
Нехай АВС — довільний трикут­
ник. Позначимо його зовнішні кути
цифрами 1, 2 і 3 (мал. 132). Згідно
з теоремою про зовнішній кут три­
кутника
А І = 2-В+ АС,
А2 = А А + АВ, А З = А А + АС.
Додавши окремо ліві і праві частини
цих рівностей, матимемо:
А І + А2 + А3 =
= 2 ( А А + А В + АС) = 2- 180° = 360°.
Другий спосіб:
А І + А 2 + А 3 = 180° - АА+ 180° - ^ £ + 1 8 0 ° - АС =
= 540° - (АА + А В + А С ) = 540° - 180° = 360°.
Ц Доведіть, що в кожному трикутнику є кут не більший за 60°
і кут не менший за 60°.
Якби кожний кут трикутника був менший за 60°, то сума
всіх його кутів становила б менше 180°, а це неможливо.
Якби кожний кут трикутника мав більше від 60°, то сума
всіх його кутів була б більшою за 180°, що також немож­
ливо.
Отже, в кожному трикутнику є кут, не більший за 60°, і кут не
менший за 60°.
8 3

82. 9
• З а д а ч і і в п р а в и
розділ 3 Т р и к у т н и к и
ВИКОНАЙТЕ УСНО
289. Сума двох кутів трикутника дорівнює 80°. Знайдіть тре­
тій кут.
290. Два кути трикутника мають по 30°. Знайдіть третій кут.
2 9 1 . Чи існує трикутник з кутами 60°, 70° і 80°?
292. Два кути трикутника 20° і 80°. Знайдіть третій кут.
293. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо один з
них 30°.
■ М А ШЯШШШШЯІШШШн н и н
294. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам:
а) 2, З і 5; б) 1, 5 і 6; в) ^
295. Доведіть, що сума гострих кутів прямокутного трикутника
дорівнює 90°.
296. Заповніть порожні клітинки таблиці про кути А АВС.
А 30°
О
о
00
соо
СО
СЛ
о
СЛ
4Ь
0
В
*N1
О
о
45° 35° 47°
С 100°
4^
СЛ
о
17° 67°
СЛ
о
297. Знайдіть кути трикутника, якщо один з них:
а) дорівнює другому і менший від третього на 30°;
б) більший від другого на 20°, а від третього — на 40°.
в) більший від другого у 2 рази, а від третього — на 10°.
298. У трикутнику АВС кути А і В мають по 65°. Знайдіть зо в ­
нішній кут трикутника при вершині С.
299. Чи може кожний зовнішній кут трикутника дорівнювати
100° ?
300. Кути трикутника пропорційні числам 1, 2 і 3. Доведіть, що
цей трикутник прямокутний.
8 4

83. ■ а б ш н н н а н в н н і
3 0 1 . Знайдіть кути А АВС, якщо АА + 4 5 = 100° і 4 5 + 4 С =
= 120° .
302. 4 АВС = 30°. Під яким кутом пряма АС перетинає промінь
ВС, якщо промінь ВА вона перетинає під кутом 45°?
3 0 3 . СН і а — висота і бісектриса Д АВС, 4 А = 6 0 °, 4 5 = 30°.
Знайдіть І. Н а .
304. С І — бісектриса А АВС, А А = 80°, 4 5 = 40°. Знайдіть:
а) 4 О А ;
б) під яким кутом перетинаються бісектриси кутів А і В.
305. СН— висота А АВС. Знайдіть ААСН і АВСН, якщо:
а) 4 /1 = 30° і 4 5 = 60°;
б) 4/4 = 30° і 4 5 = 120°.
306. Знайдіть міри зовнішніх кутів а АВС, якщо:
а) 4>4 = 40°, 4 5 = 50°;
б) 4 5 = 120°, 4 С = 40°;
в) 4 / 4 + 4 5 = 100°, 4 5 + 4 С = 130°;
г) 4/4 + 4 С = 95°, 4 5 + 4 С = 135°.
307. Кути А і 5 трикутника АВС рівні. Доведіть, що бісектриса
зовнішнього кута А А В С при вершині С паралельна сто­
роні /45.
308. Знайдіть суму кутів А, В, С, О, Е п'ятикутної зірки (мал. 133).
309. Трикутник/45Срозташований на поверхні куба, як показано
на малюнку 134. Знайдіть суму кутів, позначених на ма­
люнку цифрами.
С у м а кутів трикутника § 1 0

84. розділ з Т ри к утн и к и
310. Прямолінійний тунель АВ пробивають з двох боків гори
(мал. 135). Чи правильно вибрано напрями АА і ВВ,
якщо вимірювання показали, що
Н ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ Ш Ш Ш Л
3 1 1 . Накресліть довільний трикутник і проведіть усі його бісек­
триси. Що ви помітили? Чи можна стверджувати, що всі
три бісектриси трикутника проходять через одну точку?
А якщо замість бісектрис провести медіани трикутника?
М И ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н і
312. Відрізок, довжина якого дорівнює а, поділено на два не­
рівні відрізки. Знайдіть відстань між серединами утворе­
них відрізків.
3 1 3 . У ААВС медіана ВМ = МС. Знайдіть периметр ААВС,
якщо периметр ААВМ дорівнює 16 см, ВС = 8 см.
314. А/ і Л/— середини сторін АВ і ВС ААВС. Периметр АМВИ
у 2 рази менший за периметр ААВС. Знайдіть ММ, якщо
АС = 10 см.
315. Трикутник із периметром 22 см поділено медіаною на два
трикутники з периметрами 12 см і 16 см. Знайдіть дов­
жину медіани.
3 1 6 . Січна с з паралельними прямими а і Ь утворює внутрішні
односторонні кути, що відносяться як 2 : 3. Як відносяться
кути, утворені бісектрисами цих кутів і січною с?
8 6

85. Про рівність геометричних фігур § 1'
§ 1 1. Про рівність
геометричних фігур
Н а малюнку 1 3 6 зображ ено два
трикутники. Уявіть, що один з них накреслений на папері, а дру­
гий — на прозорій плівці. Переміщаючи плівку, другий трикутник
можна сумістити з першим. Кажуть: якщо дані трикутники мож­
на сумістити рухом, то вони рівні. Рівними один одному бува­
ють не тільки трикутники, а й відрізки, кути, кола та інші фігури.
Зображ ені на малюнку 137 фігури також рівні, бо їх можна
сумістити, перегнувши аркуш по прямій І. А фігури, зображ ені на
малюнку 138, не рівні, їх не можна сумістити.
Для позначення рівних фігур використовують зн ак рівності
«= ». Наприклад, АВ = КР, /. А = /.В , А АВС = ЛКРТ.
Ц Якщо кожна з двох фігур дорівнює третій, то перша і
~ друга фігури також рівні.
З рівними фігурами часто доводиться мати справу багатьом
фахівцям. У формі рівних прямокутників випускають листи
жерсті, фанери, скла, облицю вальні плитки, паркетини тощо.
Рівні всі аркуші паперу з однієї пачки, відповідні деталі двох
машин однієї марки.
1
■ Мал. 136 ■ Мал. 137 ■ Мал. 138
8 7

86. Щоб з ’ясувати, чи рівні дві фігури, можна спробувати їх суміс­
тити. Але на практиці це не завжди можна зробити. Наприклад,
таким способом не можна з ’ясувати, чи рівні дві земельні ділян­
ки. Тому доводиться шукати інші способи, виявляти о з н а к и
рівності тих чи інших фігур. Наприклад, якщо радіуси двох кіл
рівні, то рівні й самі кола. Це — ознака рівності кіл. У наступно­
му параграфі ми розглянемо ознаки рівності трикутників.
ПРИМІТКА.
Трикутник з вершинами А, В і С можна позначати по-різному:
tА В С , АВСА, АС АВ, а ВАС і т. д. Однак для зручності
домовимося, що коли пишуть A ABC = A KPT, то розуміють, що
А.А =.Z./C, L B = LP, LC = LT,A B = КР, АС = КТ, ВС= РТ.
Для допитливих
Слово рівність у математиці й інших науках вжива- «
ється досить часто. Говорять, зокрема, про рівність чи­
сел, рівність виразів, рівність значень величин. Рівність
геометричних фігур — це відношення. Воно має такі
властивості:
1) кожна фігура дорівнює сама собі;
2) якщо фігура А дорівнює фігурі В, то й фігура В
дорівнює А;
3) якщо фігура А дорівнює В, а фігура В дорівнює С,
то фігури А і С також рівні.
Нерідко з рівності одних фігур чи величин випливає
рівність інших, але — не завжди. Наприклад, якщо три­
кутники рівні, то і їхні периметри рівні. Але якщо пери­
метри двох трикутників рівні, то це ще не означає, що «
рівні й самі трикутники. Так само: якщо трикутники
рівні, то і їхні площі рівні. Але якщо площі двох трикут­
ників рівні, це ще не означає, що й трикутники рівні.
Досить часто для обґрунтування рівності тих чи ін­
ших фігур треба обґрунтувати рівність деяких трикутни­
ків. Ось чому питання про рівність трикутників у гео­
метрії дуже важливе: більшість теорем шкільної геометрії
доводять, користуючись ознаками рівності трикутників.
розділ J Трикутники
8 8

87. Про рівність геометричних фігур § 1 1
Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Які фігури називають рівними?
2. Яким знаком позначають рівність фігур?
3. Сформулюйте властивості відношення рівності фігур.
4. Сформулюйте ознаку рівності двох кіл.• В и к о н а є м о р а з о м
{ ! ■ Чи рівні куги, зображені на ма­
люнку 1 3 9 ?
■ Сторони куга — промені. Хоч на
малюнку вони зображ ені нерів­
ними відрізками, але слід уявляти
їх у вигляді нескінченних проме­
нів. Оскільки кожний із цих кутів
має 35° (перевірте), то вони рівні.
Г Ь и Доведіть, що трикутники не мо­
жуть бути рівними, якщо не рівні
їх найбільші куги.
■ Нехай у трикутників АВС KPT z.A >LB >LC, LK > LP >£.Т.
Якби дані трикутники були рівні, їх можна було б сумістити.
Тоді найбільший кут А трикутника ABC сумістився б із най­
більшим кутом К трикутника КРТ. Це неможливо, оскільки
LA * Z-К. Отже, дані трикутники не можуть бути рівними.
■ Мал.139
• З а д а ч і і в п р а в и
Н В И К О Н А Й Т Е УСНО
3 1 7 . Чи рівні дві фігури на малюнку
140?
3 1 8 . Чи правильно, що коли даний
трикутник прямокутний, тупокут­
ний чи рівносторонній, то й рів­
ний йому трикутник також відпо­
відно прямокутний, тупокутний чи
рівносторонній?
8 9

88. 3 1 9 . Чи рівні трикутники, зображені
на малюнку 141?
3 2 0 . Середини сторін квадрата ABCD
послідовно сполучили відрізками
так, що утворилися 4 трикутники
(мал 142). Чи правильно, що кож­
ний із цих трикутників дорівнює
іншому?
3 2 1 . Чи рівні як геометричні фігури
символи:
а)О і 0 ; К
б) < і > ;
в) = і II;
г) Г і L?
А
■ Мал. 142
3 2 2 . Чи можуть бути рівними прямокутний і тупокутний трикут­
ники? А прямокутний і гострокутний?
3 2 3 . Трикутники АВС К РТрівні. Чи рівні їх периметри?
3 2 4 . Периметри трикутників ABC і КРТ рівні. Чи рівні трикут­
ники?
3 2 5 . Один із двох суміжних кутів можна сумістити з другим. Які
це кути?
3 2 6 . Які з фігур, зображ ених на малюнку 143, рівні?
І П З С
т н Е і _■ Мал. 143
розділ J Т р и к у т н и к и
9 0

89. Про рівність геометричних фігур § 1 1
Ні А Н Н Н Н ^ Н ^ Н
3 2 7 . Чи можуть бути рівними трикутники, найменші сторони
яких не рівні?
3 2 8 . Пряма, яка проходить через центр кола, розбиває його
на два півкола. Чи рівні вони? Як можна одне півколо
сумістити з другим?
3 2 9 . Знайдіть периметр трикутника КРТ, якщо А К Р Т = A ABC,
АВ = 3 см, ВС = 4 см і АС - 5 см.
330. Трикутники ABC і А^В^С наклали один на другий так, що
сумістилися вершини А і А и В і Ви С і Q . Чи сумістяться
сторони АВ і А ,В и А С і
AM і Д М ?
3 3 1 . Фігури ABCD і НТРК рівні
(мал.144). Знайдіть кут Т
і відстань КТ, якщо BD =
= 3,8 см і L B = 70°.
332. Знайдіть кути трикутника
ABC, якщо Д,4іЗС=Д КРТ,
LK = 60° і 4 Я = 6 0 ° .
3 3 3 . Сторони АВ і Р Т не рівні.
Чи можуть бути рівними
трикутники АВС К РТ?
334. Кути ABC і КРТ рівні. Скількома способами один із них
можна сумістити з іншим?
3 3 5 . A A B C — тупокутний, а кути а А £ і С, пропорційні числам
5, 6 і 7. Чи можуть бути рівними ці трикутники?
3 3 6 . A ABC = AMNK, Z. N = 2 L А. Знайдіть кути трикутників,
якщо Д С = 60°.
3 3 7 . САО В і jLBOC — суміжні, LBO C - LAO B = 30°. LM KP
і L P K N — суміжні, і-М КР : L P K N = 7 : 5. Вкажіть пари
рівних кутів, якщо вони є.
3 3 8 . Периметри прямокутників ABCD і MNPK дорівнюють по
28 см. Побудуйте ці прямокутники так, щоб:
а) вони були рівними; б) вони не були рівними.
А,Си ВС і £ ,С ,? А медіани
9 1

90. Трикутники
339. Одна зі сторін прямокутника ABCD на 3 см більша за іншу,
а периметр його дорівнює 3 4 см. Площа прямокутника
MNPKдорівнює 70 см2. Чи можуть бути рівними ці прямо­
кутники? А якщо площа MNPKдорівнює 72 см2?
3 4 0 . На координатній площині дано точки А (1; 4), В(2; 7), С (2; 4),
D {2; 1), К (4; 1). Чи рівні трикутники АВС ADC? А три­
кутники АВС CDK?
3 4 1 . Прямокутники ABCD і КРТМ дорівнюють один одному і
АВ = КР. Знайдіть КТ, якщо АС = 26 см.
3 4 2 . Точки А, В, С, ОгЕ ділять коло
з центром О на 5 рівних дуг.
Чи рівні відрізки АВ і £ 4 ?
А трикутники ОВС і ОАЕ?
3 43. Чи правильно, що кожна
пряма, проведена ч ерез
центр О квадрата або пря­
мокутника (мал. 145), розрі­
зає його на дві рівні фігури?
В С
ШШ ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ Н В Н
344. Накресліть Л АВС на папері і Д А Д С ) на прозорій плівці
такі, щоб їх можна було сумістити.
■ ■ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н і
345. Накресліть круг діаметром 6 см. Чому дорівнюють його
площа і довжина кола, що його обмежує?
3 46. Накресліть круг радіусом 3 см. Поділіть його на 5 рівних
секторів. Зафарбуйте один сектор і знайдіть його площу.
347. На скільки частин можуть розрізати площину два кола?
А три кола?
348. Скільки гектарів містить круг, діаметр якого дорівнює 1 км?
349. У ЛАВСкут А = 70°, а кут В на 20° більший за С. Під яким
кутом перетинаються бісектриси кутів В і С?
350. У Л АВС всі кути рівні. Доведіть, що бісектриси будь-яких
двох із них перетинаються під рівними кутами.

91. Ознаки рівності трикутників § 1 2
§ 12. Ознаки
рівності трикутників
Я кщ о трикутники АВС і А Д С , дорів­
нюють один одному, то їх можна сумістити. При цьому якщо
сумістяться вершини А іА , В іВ и Сі С,, то сумістяться і сторони:
АВ з А Д , ВС з Д С ,, С4 з С ,А і кути: 4/4 з 4 А , 4 Д з 4 Д , 4 С
з 4 С ,. Отже, якщо А Д £С = А А Д С ,, то А В = А ЛВ У, ВС= В^СЛ,
СА= С ,А , АА= 4 А , 4 Д = /.В,, /.С = 4 С ,.
Щоб довести, що дані трикутники рівні, не обов’язково
переконуватися в істинності всіх шістьох рівностей.
Д Н *М !71Д(перша ознака рівності трикутників).
Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорів­
нюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого
трикутника, то такі трикутники рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВС і А Д С , — два трикутники,
в яких АВ = А Д 1; А С = А С , і ^А = 4 А ,
(мал. 146). Доведемо, що А А В С = А А^В^ С,.
Накладемо А А Д С , на А АВСтак, щоб
вершина А сумістилася з А, вершина Ді —
з В, з сторона А С , наклалася на промінь
АС. Це зробити можна, бо згідно з умовою
А Д =АВ і 4 А = 4 А Оскільки >4, СГ, =АС, то
при такому накладанні точка С, суміститься
з С. В результаті всі вершини а А Д Д
сумістяться з відповідними верш инами
А АВС. Отже, А А Д С , = А АВС.*.
В
Ц іШ іУ І Д (друга ознака рівності трикутників).
Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника
дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам
другого трикутника, то такі трикутники рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай А ЗС і А Д С , — два трикутники, в яких А В -А ^ В и і:А =
= 4 А і 4 В= 4 Д (мал. 147). Доведемо, що ААВС =А А Д С ,.
9 3

92. Т р и к у тн и к и
В В ,
Накладемо ААуВуС, на Д 4 £ С так,
щоб вершина А 1 сумістилася з А,
вершина В ! — з В, а сторона А,С ,
наклалася на /ІС. Це зробити можна,
бо АВ = АуВл і Д>4 = А А у. Оскільки
А В =г то сторона накла­
деться на БС. Отже, при такому
накладанні промінь АуСу суміститься
з АС, а промінь ВуСу — з ВС. Точка
Су, в якій перетинаються промені
АуСу і ВуСу, суміститься з точкою С
перетину променів АС і ВС. Як ба­
чимо, ААуВуСу можна сумістити з
ААВС, а це означає, що Л АВС =
= ААуВуСу.л.
Для допитливих • • • • • • • • • • • • • •
Існують ще й інші ознаки рівності трикутників (див.
теорему 14).
На ознаки рівності трикутників згодом доведеться
посилатися часто. Щоб не сплутати, яку з них названо
першою, яку другою і т. д., їх краще розрізняти за зміс­
том, говорити про ознаку рівності трикутників:
1) за двома сторонами і кутом між ними;
2) за стороною і двома прилеглими кутами,
3) за трьома сторонами (її доведемо пізніше).
Ці ознаки рівності трикутників називають загаль­
ними ознаками, бо вони правильні для будь-яких три­
кутників. Крім них існують ще ознаки рівності прямо­
кутних трикутників, рівнобедрених трикутників тощо.
Два рівносторонні трикутники рівні, якщо
сторона одного з них дорівнює стороні другого.
Спробуйте довести цю ознаку, користуючись за­
гальними ознаками.
9 4

93. Ознаки рівності трикутників § 1 2
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте першу ознаку рівності трикутників.
2. Сформулюйте другу ознаку рівності трикутників.
3. Доведіть ознаку рівності трикутників за двома сторо­
нами і кутом між ними.
4. Доведіть ознаку рівності трикутників за стороною
і прилеглими до неї кутами.
• Виконаємо ра зо м
Відрізки АВ і СД перетинаються в точці О так, що АО= ОД
і СО = ОВ, Доведіть, що АС = ДО.
Розглянемо трикутники АСО і ДДО
(мал. 148). їх кути при вершині О
вертикальні, отже, рівні. Відповідні
сторони також рівні: АО = ОО, СО =
= ОВ. Згідно з першою ознакою
ЛАСО = ЛОВО. Сторони АС і ДО
цих трикутників відповідні, бо лежать
проти рівних кутів при вершині О.
Отже, АС = ВО.
Дві сторони трикутника дорівнюють одна одній. Доведіть,
що медіани, проведені до цих сторін, також рівні.
Нехай у Л АВС сторона АВ = АС,
а ВК і СР — медіани (мал. 149).
АР = АК як половини рівних сторін.
Л АВК = А АСР, бо АВ= АС, АК =
=АР кут А спільний. Отже, ВК= СР.
Мал. 149
351
Задач і і вправи
т ВИКОНАЙТЕ УСНО
Користуючись малюнком 150, доведіть:
а) якщо АВ = А й і 4 1 = 4 2 ,
то А АВС = ЛАОС, а
б) ЯКЩО 4 1 = 4 2 І 4 Д = 4 Д
то ЛАВС = А і4ДС. Мал. 150
9 5

94. 352. На малюнку 151 АВ =
= СД, АВ II СД.
Доведіть, що лА О В =
= А СОД.
353. У чотирикутнику АВСй
АВ II СД і ВС IIА й
(мал. 152). Доведіть,
що /.В = АД.
І розділ 3 Т р и к у тн и к и
В с в с
3 5 4 . Відрізки АВ і СД перетинаються в точці Д так, що АО=ОВ
і СД = ОД. Доведіть, що ЛАОС = А ДОД.
355. Відрізки КР і ДДперетинаються в точці М так, що КМ= МР
і ЕМ = МР. Знайдіть відстань КЕ, якщо РР= 12 см.
356. Учні побудували в зошитах трикутники за двома сторонами
З см і 5 см та кутом 60° між ними. Чи рівні ці трикутники?
357. Доведіть, що Л АВС = Л А ^В лС, якщо
АС = Д Си л А = /іА %і а Д = а Д,.
358. Нехай АМ — медіана трикутника АВС
і МК = МА (мал. 153). Доведіть, що
* ЛАСМ= ЛКВМ.
359. Учні побудували в зошитах трикутники
за стороною 5 см і прилеглими до неї ку­
тами 30° і 70°. Чи рівні ці трикутники?
360. На бісектрисі кута А позначено точку Д,
на сторонах кута — точки В і Стакі, що ■ Мал. 153
А ДД4 = АУІДС. Доведіть, що ДД = СД.
361. У рівносторонньому А АВС проведіть бісектрису Аіі і до­
ведіть, що: а) В і = б) А і ± в с
362. У чотирикутнику АВСй АВ II СД і ВС АО. Проведіть від­
різок ДД і доведіть, що:
а )А В = С О б) ВС = 4 Д, в) А И = А С .
9 6

95. Ознаки рівності трикутників § 1 2
3 6 3 . Чи дорівнюють один одному три­
кутники, зображені на малюнку
154?
3 6 4 . Щоб виміряти на місцевості
відстань між пунктами А і В,
між якими не можна пройти
(мал. 155), вибирають таку точку
С, від якої можна пройти до А
і до В. Потім на прямих АС і ВС
відкладаю ть відрізки СТ = АС
і СР = ВС. Відстань Я Гдорівню є
AB. Чому?
3 6 5 . Попередню задачу можна розв’я­
зати іншим способом (мал. 156).
Відкладають /-ВСМ = 4 ВСА
і СМ = СА. Тоді АВ = ВМ. Чому?
3 6 6 . Ч ерез кінці відрізка АВ проведе­
но паралельні прямі АС і ВО, а
через середину О відрізка АВ —
пряму, яка перетинає прямі АС
і ВО у точках С і £). Знайдіть від­
стань АС, якщо ВО = 8 см.
3 6 7 . Рівні відрізки АВ і СО п ер е­
тинаються в точці О так, що ОА =
= ОС. Доведіть, що ААВС = /іАОС
І £ВАО = 4 ВСО.
3 6 8 . Відрізки АВ і СО перетинаються
в точці О, яка є серединою кож­
ного з них. Доведіть, що АС II ВО.
Мал. 155
3 6 9 . Доведіть, що медіани рівних трикутників, проведені до
рівних сторін, рівні.
3 7 0 . Доведіть, що в рівних трикутниках рівні відповідні:
а) бісектриси; б) висоти.
9 7

96. Т р и к у тн и к и
3 7 1 . Усі сторони шестикутника ABCDEF
рівні і всі кути рівні (мал. 157). До­
ведіть, що трикутник АСЕрівносто-
ронній.
3 7 2 . На малюнку 158 AD= CF, С І = С2
і Z.3 = 4 4 . Доведіть, що А АВС =
= А DEF.
3 7 3 . Бісектриса AL трикутника АВС пер­
пендикулярна до сторони ВС. До­
ведіть, що AB - АС.
С
D
Е
F
■ Мал. 157
3 7 4 . Щоб знайти відстань між пунктами
А та ^ (м а л . 159), на березі річки
позначили точки В і С так, щоб
виконувались рівності С І = С2
і СЗ = 4 4 . Шукана відстань АХ
дорівнює АС. Чому?
В
В
Мал. 159
Ні ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ВН
3 7 5 . Один з двох кутів на 40° більший за другий. Знайдіть ці
кути, якщо суміжні з ними відносяться як 7 : 5.
3 7 6 . Чи має трикутник рівні сторони, якщо дві його сторони
відносяться як 5 : 4, третя на 1 см більша за їх півсуму,
а периметр трикутника дорівнює 28 см?
3 7 7 . Чому дорівнює кут між бісектрисами внутрішнього і зо в ­
нішнього кутів трикутника, взятих при одній вершині?
3 7 8 . Скількома способами можна розрізати прямокутник на
два рівні прямокутники? А на дві рівні фігури?
3 7 9 . Як два рівні квадрати розрізати на рівні частини і скласти
з них один квадрат?

97. • Самостійна робота З
і
Варіант 1
1 Накресліть гострокутний трикутник і проведіть його медіани.
2 . Два кути трикутника дорівнюють 35° і 68°. Знайдіть третій кут.
З! Периметр трикутника дорівнює 35 см. Знайдіть довжини його
сторін, якщо одна з них довша за другу на 3 см і коротша за
третю на 5 см.
4! Утрикутнику ABC сторони АВ і ВС рівні, а ВН— бісектриса.
Доведіть, що £АВН = дС/З/У.
Ш Варіант 2
1 . Накресліть прямокутний трикутник і проведіть його бісек­
триси.
2°. Два кути трикутника дорівнюють 110° і 57°. Знайдіть тре­
тій кут.
З! Знайдіть довжини сторін трикутника, якщо одна з них
довш а на 8 м за другу і на 5 м за третю, а периметр три­
кутника дорівнює 50 м.
4! У трикутнику КРТ висота РМ є водночас і бісектрисою.
Доведіть, що ЛКРМ = іТРМ,
Н Варіант З
1°. Накресліть тупокутний трикутник і проведіть його медіани.
2°. Два кути трикутника дорівнюють 87° і 56°. Знайдіть третій кут.
З! Периметр трикутника дорівнює 62 см. Знайдіть довжини
його сторін, якщо одна з них довша за другу в 2 рази, а за
третю — на 8 см.
4! Утрикутнику ABC кути А і С рівні, а ВМ — висота. Доведіть,
що ЛАВМ = ЛСВМ.
Н Варіант 4
1°. Накресліть довільний трикутник і проведіть усі його висоти.
2° Два кути трикутника дорівнюють 130° і 25°. Знайдіть третій
кут.
З! Периметр трикутника дорівнює 85 м. Знайдіть довжини його
сторін, якщо одна з них коротша за другу в 2 рази, а за тре­
тю — на 1 м.
4! У трикутнику КРТ висота РН є водночас і медіаною. Дове­
діть, що Д КРН = А ТРН.
9 9

98. розділ О Т р и к у т н и к и
• Задачі за готовими малюнками
100

99. • Запитання і завдан н я ____
д л я самоконтролю
1. Що таке трикутник?
2. Н азвіть елем ен ти трикутника.
3. Якими буваю ть трикутники? С ф орм улю йте
їх означення.
4. Що таке бісектриса, м едіана і висота трикутника?
5. Чим відрізняється бісектри са трикутника від
бісектриси кута?
6. С ф орм улю йте теорем у про суму кутів трикутника.
7. Що таке зовнішній кут трикутника?
8. С ф орм улю йте тео р ем у про зовніш ній кут
трикутника.
9. Чи правильно, щ о зовніш ній кут трикутника
більш ий від кожного внутріш нього кута, не
суміжного з ним ?
10. Чому дорівню є сум а кутів чотирикутника?
11. Які фігури називаю ть рівним и?
12. Яким знаком віднош ення позначаю ть рівність
фігур?
13. С ф орм улю йте властивості рівності фігур.
14. С ф орм улю йте ознаку рівності двох кіл.
15. С ф орм улю йте перш у ознаку рівності трикутників.
16. С ф орм улю йте другу ознаку рівності трикутників.
17. Д оведіть ознаку рівності трикутників з а д в о м а
сторонам и і кутом між ними.
18. Д оведіть ознаку рівності трикутників з а стороною
і прилеглими до неї кутами.

100. Т р и к у т н и к и
• Тестові завдання З
1. Один з кутів трикутника 40°,
другий — на 20° більший.
Третій кут трикутника дорівнює:
а) 100°;
в) 60°;
б) 80°;
г) 120°.
2. Зовнішні кути трикутника
дорівнюють 100° і 120°. Знайдіть
внутрішній кут при третій вершині.
а) 60°;
в) 40°;
б) 90°;
г) 80°.
3 . Куги трикутника пропорційні
числам 2, 3 і 5. Знайдіть
найменший кут трикутника.
а) 30°;
в) 28°;
б) 54°;
г) 36°.
4. А.АВС= ААуВуСу. Який знак
слід поставити замість *:
АА * А А ,?
а ) <; б)
в) >; г)
і =;
і
5. А .А В С - ААуВСу. Який знак
слід поставити замість *:
АВ * А ,В ,?
а) <; б) >;
в) =; г) *.
6. &АВС= ЛАуВуСу, А В - 5 см,
АС = 7 см. Знайдіть ВС, якщо
периметр А.АуВуСу = 21 см.
а) 11 см;
в) 10 см;
б) 19 см;
г) 9 см.
7. Д /Ш С = ЛАуВуСу, АА = 70°,
А В = 60°. Знайдіть А С и
а) 50°;
в) 30°;•
б) 90°;
г) 70°.
Для виконання завдань 8 - 1 0 скористайтеся умовою:
відрізки АВ і СО перетинаються в точці Отак,
що АО = ВО і СО = ОО.
8. Який трикутник дорівнює ЛАО С? а) Д / 4 0 0 ; б) ДД О О ;
в ) Д СОВ; г) Д СВО.
9. Якому куту дорівнює АОАС? а) АООВ;
в) АВОО;
б) АОВО-,
г) а а о о .
10. Яке твердження хибне? а) АС = ВО; б )А С В О ;
в) АВ II СО; г)А О =ОВ.

101. Т р и к у т н и к и
• Типові за д а ч і д л я конт рольної робот и
1°. Н амалю йте довільний трикутник і проведіть до його більшої
сторони медіану, бісектрису і висоту.
2°. Д ва кути трикутника дорівню ю ть 9 5 ° і 43°. Знайдіть міру
третього кута трикутника.
3°. Знайдіть кути трикутника АВС, якщ о він дорівню є трикут­
нику КРТ, у якого /L K - 70°, jLP = 50°.
4°. Знайдіть перим етр трикутника KLM, якщ о &KLM= & АВС
і АВ = 5 см, ВС = 3 см, АС = 4 см.
5*. ВК — висота /А В С . Знайдіть АС, якщ о А К = 5 см, КС =
= 1 1 см, АА = 120°.
6* Відрізки А В і КР перетинаю ться в точці О так, що ОА = ОВ,
ОК= ОР. Д оведіть, що Л /4 0 Я = ЛВОК.
7 * Зображ ен і на малю нку 1 6 0 трикутники АВС і АКС такі, що
jLBAC = АКАС і СВСА = Z.КСА.
Д оведіть, що АВ = АК.
В
8 ! Знайдіть кути трикутника, якщ о його зовніш ні кути пропор­
ційні числам 3, 7 і 8.
9*! У трикутнику АВС проведен о висоти А Р і ВН. Д оведіть, що
А Р = ВН, якщ о Р С - НС.
10*! У трикутнику АВС проведен о медіани АР і ВН. Д оведіть,
що А АРС = А ВНС, якщ о АС - ВС.
и н м н в м

102. розділ Т р и к у т н и к и
§ 13. Рівнобедрений трикутник
Трикутник н ази ваєтьсярівнобедреним,
якщо в нього дві сторони рівні. Рівні сторони рівнобедреного
трикутника називаю ть бічними сторонами, а третю його сторо­
ну — основою.
Трикутник, який не є рівнобедреним, називаю ть різносто-
роннім. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називаю ть рівно-
стороннім. Рівносторонній трикутник є окремим видом рівнобе­
дреного трикутника (мал. 161).
В В - В
РІВ Н О БЕД РЕ Н И Й
ТРИКУТНИК
Ж Мал. 161
РІЗН ОСТОРО Н Н1Й
ТРИКУТНИК
РІВН О СТО РО Н Н ІЙ
ТРИКУТНИК
Урівнобедреного трикутника кути при основі
рівні, а бісектриса, проведена до основи, є медіаною і ви­
сотою.
А
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай ABC — рівнобедрений трикутник
з основою ВС (мал. 162). Бісектриса AL
р о зб и ває його на трикутники ABL
і ACL. Оскільки АВ = АС, AL — спільна
сторона, Z.BAL = LCAL, т о за двом а
сторонами і кутом між ними AABL =
= A ACL. З рівності цих трикутників
випливає:
а) LB - LC, тобто кути при основі A ABC
рівні;
б) BL = CL, тобто AL — медіана А АВС
в) LALB = /LALC = 90°, тобто AL — ви­
сота ААВС. ▲
104

103. Р ів н о б е д р е н и й т р и к у т н и к § 1 З
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він
рівнобедрений.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай у ААВС А В = А С (мал. 162). Доведемо, що АВ = АС.
Проведемо бісектрису Ай. Вона розбиває даний трикутник
на два: ЛАВІі і А А С І. В них А В = АС і А В А І = АСА/., тому
а А ІВ = АА/.С. За стороною А І і прилеглими до неї кутами
А В А І = А САІ. Отже, АВ = АС. А
З теорем 12 і 13 випливає такий н а с л і д о к .
Утрикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути,
а проти рівних кутів — рівні сторони.
Для допитливих
Рівнобедрений —той, шо має рівні бедра. Рівні сто­
рони — немов ноги.
Як співвідносяться між собою трикутники ірівно-
бедрені т рикут ники? Рівнобедрені трикутники ста­
новлять тільки частину всіх трикутників. Говорять, що
обсяг поняття трикутники більший від обсягу поняття
рівнобедрені трикутники. Такі співвідношення при­
йнято зображати наочно діаграмами Ейлера (мал. 163).
Ті трикутники, які не є рівнобедреними, називають
різносторонніми трикутниками. Отже, загальне понят­
тя трикутники можна розбити на два класи: трикутни­
ки рівнобедрені і різносторонні (мал. 164).
с
ТРИКУТНИКИ
гРІВ Н О БЕД РЕ Н І РІЗН О С Т О РО Н Н І
ТРИКУТНИКИ ТРИКУТНИКИ
Мал. 164
1 0 5

104. розділ О Т р и к у тн и к и
Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Який трикутник називають рівнобедреним?
2. Як називають сторони рівнобедреного трикутника?
3. Сформулюйте властивості рівнобедреного
трикутника.
4. Який трикутник називається рівностороннім?
5. Як співвідносяться поняття трикутники ірівнобедрені
трикутники?*•
• В и к о н а є м о р а з о м
Дві сторони рівнобедреного трикутника мають довжини
2 см і 6 см. Знайдіть довжину третьої його сторони.
Основа даного трикутника не може дорівнювати 6 см, бо
2 см + 2 см < 6 см. Отже, йдеться про трикутник з основою
2 см і бічними сторонами по 6 см.
Відповідь. 6 см.
О Покажіть на діаграмі співвідношення між поняттями: трикут­
ники, рівнобедрені трикутники і рівносторонні трикутники.
■ Рівносторонній трикутник є водночас
і рівнобедреним трикутником. Отже,
співвідношення між названими вида­
ми трикутників можна зобразити схе­
мою, як на малюнку 165.
• З а д а ч і і в п р а в и
Н І ВИКОНАЙТЕ УСНО
3 8 0 . Доведіть, що кут при основі рівнобедреного трикутника не
може бути прямим.
3 8 1 . Кут при вершині рівнобедреного трикутника 120°. Знайдіть
кут при основі.
• 3 8 2 . Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при
його вершині дорівнює куту при основі.
ТРИКУТНИКИ
Р ІВ Н О Б Е Д Р Е н Г Ч .
■------------------------------
РІВН О С ТО РО Н Н І V/
Мал. 165
106

105. Р ів н о б е д р е н и й т р и к у т н и к § 1 З
3 8 3 . Кут при основі рівнобедреного трикутника 70°. Знайдіть
кут при вершині.
3 8 4 . Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5 см
і 10 см. Яка з них — основа?
3 8 5 . Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо його
основа дорівнює 10 см, а бічна сторона 20 см.
н а н н н н н н н в а
3 8 6 . О снова рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а біч­
на сторона — 26 см. Знайдіть периметр трикутника.
3 8 7 . Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см,
а бічна сторона — 5 см. Знайдіть основу.
3 8 8 . Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 80°.
Знайдіть кути при основі.
3 8 9 . Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 30°.
Знайдіть кут при вершині.
3 9 0 . Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо:
а) один з них на 30° більший від іншого;
б) один з них удвічі більший від іншого.
Розгляньте два випадки.
3 9 1 . Доведіть, що коли який-небудь кут рівнобедреного трикут­
ника дорівнює 60°, то цей трикутник рівносторонній.
3 9 2 . Доведіть, що в рівностороНньому трикутнику всі кути рівні.
3 9 3 . Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 80°.
Знайдіть кут між:
а) основою і бісектрисою, проведеною до бічної сторони;
б) бічною стороною і бісектрисою, проведеною до неї;
в) основою і висотою, проведеною до бічної сторони.
3 9 4 . Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 см.
Знайдіть його сторони, якщо вони пропорційні числам:
а) 1 ,2 і 2;
б) З, 3 і 4.
3 9 5 . Кут при вершині рівнобедреного трикутника 30°. Знайдіть
кут між висотами, проведеними до бічних сторін.
1 0 7

106. 3 9 6 . Якщо медіана трикутника є його висотою, то такий трикут­
ник рівнобедрений. Доведіть.
3 9 7 . Якщо висота трикутника є його бісектрисою, то такий три­
кутник рівнобедрений. Доведіть.
39 8 . У /А В С АВ = ВС, 4 .В = 36°, АК — бісектриса. Доведіть,
що ВК = КА = АС.
| розділ 3 Т р и к у тн и к и
3 9 9 . У А АВС АВ = ВС. Знайдіть довжину медіани ВО, якщо
периметри трикутників АВО і АВС дорівнюють відповідно
40 см і 50 см.
4 0 0 . Доведіть, що в кожному рівнобедреному трикутнику бісек­
триси, проведені до бічних сторін, рівні.
4 0 1 . Рівні відрізки АВ і СО перетинаються в точці М так, що
АМ= МО. Доведіть, що ЛАВС = &ОСВ.
4 0 2 . Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо одна
з них менша від периметра на ЗО см, а друга — на 4 0 см.
4 0 3 . Доведіть, що сума двох нерівних кутів рівнобедреного три­
кутника перевищує 90°.
4 0 4 . Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо:
а) сума двох з них дорівнює 60°;
б) сума двох з них дорівнює 150°;
в) один з його зовнішніх кутів дорівнює 15°;
г) один з його зовнішніх кутів дорівнює 115°.
40 5 . Сформулюйте і доведіть ознаки рівності рівнобедрених
трикутників:
а) за основою і прилеглим кутом;
б) за основою і протилежним кутом;
. в) за бічною стороною і кутом при основі.
40 6 . Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника з основою
а і бічною стороною Ь.
40 7 . а) Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо його
периметр 2р, а бічна сторона Ь.
б) Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, як­
що його периметр 2р, а основа а.
1 0 8

107. Р ів н о б е д р е м и й т р и к у т н и к § 1 3 ^
4 0 8 . Доведіть, що в рівносторонньому
трикутнику:
а) всі медіани рівні;
б) всі висоти рівні;
в) всі бісектриси рівні,
4 0 9 . Покажіть, що рівносторонній три­
кутник можна розрізати на 4 рівні
рівносторонні трикутники.
4 1 0 . Як можна розрізати рівносторон­
ній трикутник на три рівні рівно-
бедрені трикутники?
4 1 1 . Як розташ овані вершини всіх рівнобедрених трикутників,
що мають спільну основу (мал. 166)?
4 1 2 . Приклавши один до одного два рівнобедрені трикутники
з кутом по 100°, утворили чотирикутник. Визначте кути
чотирикутника.
Ш Ш ПРАКТИЧНЕ ЗАВДАННЯ
4 1 3 . Виріжте з паперу гострокутний, прямокутний і тупокутний
рівнобедрені трикутники. Перегинаючи їх по бісектрисі
кута при вершині, повторіть доведення теореми 12.
Ш Ш ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Н
4 14. Знайдіть міру кута, якщо його бісектриса зі стороною утво­
рює кут 48°.
4 1 5 . Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо вони відносяться
як: а) 1 : 2 ; 6 ) 2 : 3 .
4 1 6 . Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, якщо він
на 4 см довший від сторони.
4 1 7 . Середнє арифметичне всіх сторін
трикутника дорівнює 10 дм. Чому
дорівнює його периметр?
4 1 8 . Перемалюйте в зошит фігуру, що на
малюнку 167, і проведіть пряму так,
щоб вона розрізала заф арбовану
фігуру на дві частини рівних площ. ■ Мал. 167
С
■ Мал. 166
1 0 9

108. § 14. Третя ознака
рівності трикутників
В ам уже відомі дві ознаки рівності
трикутників. Знаючи властивості рівнобедреного трикутника,
можна довести ще одну ознаку.
розділ 3 Т р и к у тн и к и ______________________ _________________________________________________ ____
Оіімшіа(третя ознака рівності трикутників).
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповід­
но трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники
рівні.
■ Мал. 168
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай у трикутників АВС і А,В, С,
АВ = А,В,, АС = А,С, і ВС = Д,С,
(мал. 168). Доведемо, що /А В С =
= А А^ВуСи
Прикладемо трикутник Д Д іС і до
трикутника АВС-їак, щоб верш ина А
сумістилася з Д 5 , — з В, а С, і С
виявилися по різні боки від прямої
АВ. Тоді Д А В , Сі займ е положення
£АВСг. Провівши відрізок СС2,
одержимо рівнобедрені трикутники
САСг і СВС2, бо АС =АС2і ВС= ВС2.
У цих трикутників кути при основах
рівні: САССг = САС2С, /.ВСС2 =
= СВС2С. Отже, рівні також кути АСВ
і АС2В. Тому за двома сторонами і
кутом між ними ЛАВС = /А В С 2.
За побудовою А АВСг = А А в іС ,.
Таким чином, А АВС= А А £ іС 1г що
й треба було довести. *
ЗАУВАЖЕННЯ.
Ми розглянули випадок, коли відрізки АВ і СС2 перетинаю ть­
ся. Для випадків, коли ці відрізки не перетинаються, доведення
теореми треба дещо змінити. Пропонуємо розглянути ці випадки
самостійно, використовуючи малюнки 1 6 9 і 170.
110

109. Т р етя о з н а к а р ів н о ст і три ку тн и к ів § 1 4
Третя ознака рівності трикутників стверджує, що трьома сто­
ронами трикутник визначається однозначно. Уявімо, що кожний
семикласник побудував у зошиті трикутник, сторони якого
дорівнюють, наприклад, 3 см, 4 см і 5 см. Один спочатку відклав
найбільший відрізок, а з його кінців проводив дуги радіусами
4 см і 5 см (мал. 171). Другий спочатку відклав найменший
з даних відрізків і т. д. Хоч будували вони різними способами,
в результаті всі одержали рівні трикутники.
Пригадавши й дві інші ознаки рівності три­
кутників, можна зробити такий висновок.
Трикутник визначається (задається)
однозначно:
1) двома сторонами і кутом між ними;
2) стороною і двома прилеглими кутами;
3) трьома сторонами. ■ Мал. 171
■ ПРИМІТКА.
У пункті 2) йдеться про кути, сума яких менша від 180°, а в
пункті 3) — про три відрізки, кожний із яких менший від суми
двох інших.
Для допитливих
Третя ознака рівності трикутників
засвідчує, що трикутник — фігура
жорстка. Щоб краще зрозуміти, про
що йдеться, уявіть збиті цвяхами з ок­
ремих планок трикутник і чотирикут­
ник (мал. 172). Такий чотирикутник
неважко деформувати: змінити кути,
не змінюючи довжин сторін. Трикут­
ник так деформувати не можна. Три
сторони т рикутника однозначно ■ Мал. 172
111

110. р о зд іл * ? Т ри кутн и ки
■ Мал. 173
визначають його кути! Так само,
знаючи дві сторони трикутника і
кут між ними, можна однозначно
визначити третю сторону і два інші
кути; знаючи сторону і два прилеглі
кути, можна визначити дві інші
його сторони і т. д. Як це робити,
дізнаєтеся в старших класах.
Знаючи, що з усіх многокутників
тільки трикутник фігура жорстка,
ажурні конструкції виготовляють
так, щоб вони мали якомога більше
трикутників (мал. 173).
• » * + * * » # *
Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Сформулюйте третю ознаку рівності трикутників.
2. Сформулюйте першу і другу ознаки рівності
трикутників.
3. Як ви розумієте вислів трикутник визначається
трьома його сторонами?
4. Якими елементами визначається трикутник?
5. Як слід розуміти, що трикутник —фігура жорстка?
• В и к о н а є м о р а з о м
О Доведіть, що коли в чотирикутнику протилежні сторони
рівні, то і протилежні кути рівні.
■ Мал. 174
■ Нехай в чотирикутнику ABCD АВ= CD
BC=AD(wai. 174). Проведемо відрізок
АС, в результаті утворяться два трикут­
ники ABC і CDA. Вони рівні за трьома
сторонами, бо AB = CD ВС= AD, а сто­
рона АС у них спільна. Отже, ЛАВС =
= ЛСОА. А в рівних трикутників проти
рівних сторін лежать рівні кути. Тому
L B = LÛ.
112

111. Рівність кутів ВАО і ВСй можна в С
довести двом а способами: або показати
що кожний з них складається з двох рів­
них кутів А І - А З і А 2 = / 4 (мал. 175),
або — провівши відрізок ВО.
И и На колі з центром О позначено
точки А, В, К Р такі, що АВ = КР
(мал, 176). Доведіть, що А АОВ =
= А КОР.
■ Провівши в дані точки радіуси,
отримаємо трикутники АОВ і КОР.
Вони рівні за трьома сторонами,
бо АВ = КР за умовою і ОА = ОВ =
= ОК = ОР — як радіуси. Тому
ААО В= Л К О Р.
■ Мал. 176
• Задач і і вп рави
Я Ш ВИКОНАЙТЕ УСНО И Н Н І Н
419. ЛАВС= ЛКРТ. Знайдіть периметр трикутника КРТ, якщо:
а) кожна сторона А^АВСдорівнює 5 см;
б) АВ = ВС = 3 дм, АС - 4 дм;
42 0 . На малюнку 177 АВ=СО і АС= Вй.
Доведіть, що:
а) А А = А Д>;
б) ВК= СК,
в) ААСК= АОВК.
■ Мал. 177
■ Н А
421. Точка О рівновіддалена від вершин А, В і С рівносторон-
нього трикутника. Доведіть, що:
ААОВ = АВОС= ААОС;
АОАВ = АОВС= а ОСА.
422. Якщо кожна сторона чотирикутника паралельна протилеж­
ній стороні, то його протилежні кути рівні. Доведіть.
Т р е т я о з н а к а р ів н о с т і т р и к у т н и к ів § 1 4
в
1 1 3

112. розділ Трикутники
4 2 3 . Якщо відрізки АО і ОВ рівні, а точка X рівновіддалена
від А і В, то точка вл еж и ть на прямій, яка ділить кут АОВ
навпіл. Доведіть.
4 2 4 . Якщо М — довільна точка висоти ВН трикутника АВС,
у якого АВ = ВС, то : а) МА = А/С; б) £АВМ = А СВМ;
в) А АМН = А СМН. Доведіть.
4 2 5 . Прикладаючи два рівні трикутники з кутами 30° і 70° рів­
ними сторонами, можна утворити кілька різних чотирикут­
ників. Зобразіть їх на малюнку, визначте кути утворених
чотирикутників.
4 2 6 . Доведіть, що коли основа і бічна сторона одного рівнобед-
реного трикутника дорівнюють відповідно основі і бічній
стороні другого рівнобедреного трикутника, то такі трикут­
ники рівні.
4 2 7 . Доведіть, що коли сторона одного рівностороннього три­
кутника дорівнює стороні другого рівностороннього три­
кутника, то такі трикутники рівні.
4 28. На колі з центром О позначено точки А, В і С так, що
АВ = ВС = СА. Доведіть, що:
а) А ОАВ= А ОВС= А ОСА;
б) £АОВ= АВОС = ^СОА = 120°;
в) ОАВ = А ОВС = 2. ОСА = 30°.
Б
42 9 . На колі з центром О позначено
точки А, В іС так, що АВ = ВС = СА,
а А М — діаметр. Доведіть, що:
а) ВМ = СА/;
б) £. ОВМ = І. ОСМ.
43 0 . Доведіть рівність двох трикутників
за двома даними сторонами і медіа­
ною, проведеною до однієї з них,
43 1 . Зам кнена лам ана АВСОА така, що
АВ = С£> і А й = ВС. Доведіть, що
СА = І. С і £.О. Розгляньте два
випадки (мал. 1 7 8 ,1 7 9 ).
1 1 4

113. Третя ознака рівності трикутників § 1 4
4 3 2 . Спробуйте узагальнити задану 43 1
на випадок, коли дана лам ан а не
лежить у одній площині (мал. 180).
4 3 3 . Рівнобедрені трикутники АРС і ABC
мають спільну основу АС. Пряма PB
перетинає ЇЇ в точці О. Доведіть, що:
а) LPAB= LPCB;
б) АО = ОС;
б) АС ± ВР.
4 3 4 . Чи з будь-яких чотирьох рівних три­
кутників можна скласти один трикут­
ник? Покажіть на малюнку.
4 3 5 . Рівносторонніми трикутниками, мов
паркетинами, можна замостити всю
площину (мал. 181). Чи можна за м о ­
стити площину рівними нерівносто-
ронніми трикутниками? Якщо мож­
на — покажіть на малюнку.
Мал. 181
4 3 6 . Д ва рівні різносторонні трикутники
ABC і КРТ можна сумістити тільки
одним способом. Д ва рівні рівно­
бедрені трикутники — д вом а способам и , суміщаючи
сторону АВ із КР або із ТР. Скількома способами можна
сумістити два рівні рівносторонні трикутники?
ВПРАВИ ДЛ Я ПОВТОРЕННЯ ЯШ
4 3 7 . Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам
2, 3 і 4.
4 3 8 . Знайдіть середнє арифметичне кутів трикутника.
4 3 9 . Середнє арифметичне сторін трикутника дорівнює 20 см.
Знайдіть його периметр.
4 4 0 . Півпериметр трикутника дорівнює р. Знайдіть середнє
арифметичне його сторін.
4 4 1 . Доведіть, що сума кутів чотирикутника дорівню є 360°.
Знайдіть середнє арифметичне його кутів.

114. розділ Т ри к утн и к и
§ 15. Прямокутний трикутник
Трикутник називається прямокутним,
якщо один з його кутів прямий. Сума двох
інших його кутів дорівнює 90°, бо 180° -
- 90° = 90°.
Сторона прямокутного трикутника, що
лежить проти прямого кута, — це гіпоте­
нуза, дві інші його сторони — катети
(мал. 182). На малюнку прямий кут іноді
позначають квадратиком. У кожному прямокутному трикутнику
гіпотенуза більша від кожного катета.
Згодом нам будуть потрібні ознаки рівності прямокутних
трикутників. З першої і другої ознак рівності трикутників (§ 12)
безпосередньо випливають такі ознаки.
КАТЕТ
Мал. 182
Два прямокутні трикутники рівні, якщо:
1) катети одного з них дорівнюють відповідно катетам
другого;
2) катет і прилеглий гострий кут одного трикутника до­
рівнюють відповідно катету і прилеглому гострому
куту другого;
3) гіпотенуза і прилеглий кут одного трикутника дорівню­
ють відповідно гіпотенузі і прилеглому куту другого.
Ще одна ознака рівності прямокутних трикутників потребує
доведення.
И В Ш Ш Ц З Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного
трикутника дорівнюють відповідно катету і гіпотенузі
другого, то такі трикутники рівні.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай у трикутників АВС АХВХСХкути Сі С, прямі і АВ-АХВХ,
АС=АХСХ(мал. 183). Доведемо, що ЛАВС= А АХВХСХ.
Прикладемо А А ХВ ХСХдо 1АВС так, щоб вершина А х сумі­
стилась з Д Сі — з С, а А Д Д і С, зайняв положення А А В 2С.
Оскільки кути С і С, прямі, то точки В, С і Вг розмістяться на
ОДНІЙ прямій. А АВВ г — рівнобедрений, А В= А В 2= І.В Х. Тоді
1 1 6

115. Прямокутний трикутник . » 1 5
і 4.А = 4 А - Отже, уданих трикутників між відповідно рівними
сторонами А В ~ А %В и А С = А 1С, леж ать рівні кути А і А - З а пер­
шою ознакою трикутники А ВС і А^В^Су рівні.*
А А
Мал. 183
аВ ведем о ще кілька важ ливих понять, ___
пов’язаних з прямокутним трикутником. Як­
що А Н М — прямокутний трикутник із прямим
кутом Н, то його катет АН — перпендикуляр,
проведений з тонкий на пряму НМ(мал. 184). -----
Гіпотенузу AM називаю ть також похилою,
проведеною з точки А до прямої НМ, а катет
НМ— проекцією цієї похилої на пряму НМ.
Довжину перпендикуляра АН називаю ть .-----
також відстанню від точки А до прямої HM. Р
Взагалі, відстань між двом а геометричними
фігурами — це відстань між їх найближчими
точками (якщо такі точки існують). Наприклад, відстань між дво­
ма паралельними прямими дорівнює довжині перпендикуляра,
проведеного з будь-якої точки однієї прямої на другу (мал. 185).
А відстань від точки К до відрізка РТ, зображ ених на малю н­
ку 186, дорівнює КТ.
Мал. 185
К
т
Мал. 186
■ Для допитливих • • • • • • • • • • • • • •
Прямокутні трикутники становлять тільки части­
ну всіх трикутників. Якщо трикутник не має прямого
кута, його називають непрямокутним трикутником.
Отже, залежно від того, має чи не має трикутник пря­
мий кут, усі трикутники можна поділити на два класи.
Схематично цей поділ можна зобразити малюнком 187.
1 1 7

116. рода 3 Трикутники
Якщо катети прямокутного трикутника рівні, то він
водночас є і рівнобедреним трикутником. Співвідношен­
ня між такими видами трикутників можна зобразити, як
показано на малюнку 188.
Мал. 187
1 — ТРИКУТНИКИ
2 — РІВН О БЕД РЕ Н І
3 — ПРЯМОКУТНІ
4 — п р я м о к у т н і
РІВ Н О БЕД РЕ Н І
Прямокутні трикутники в геометрії відіграють важли­
ву роль, бо будь-який трикутник можна розрізати на два
прямокутні трикутники, а для кожного прямокутного три­
кутника справджується славнозвісна теорема Піфагора:
квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Док­
ладніше про теорему Піфагора і про застосування власти­
востей прямокутних трикутників ви дізнаєтесь у 8 класі.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення прямокутного трикутника.
2. Як називають сторони прямокутного трикутника?
3. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності прямокутних
трикутників.
4. Що таке перпендикуляр, похила і проекція похилої?
5. Що таке відстань від точки до прямої?
6. Що таке відстань між фігурами?
• В и к о н а є м о р а з о м
і Доведіть, що катет прямокутного трикутника, який ле­
жить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
■ Нехай у А А В С /-С = 90° і /.А = 30° (мал. 189). Д оведемо,
що ВС = 0,5 АВ.
1 1 8

117. П р я м о к у т н и й т р и к у т н и к
На прямій ВС відкладемо відрізок СД,
рівний СВ, і проведемо відрізок А й. За
двом а катетами А ВСА - ЛОСА. Оскільки
4 Я 4 Д = 6 0 ° ,т о 4 Я = 4 Д = ( 1 8 0 ° - 6 0 о) : 2 =
= 60°. Отже, всі кути Л АВ О дорівнюють
по 60°. Таку властивість має тільки рівно-
сторонній трикутник. Оскільки Д Д - А В
і ВС = СО, то ВС - 0,5 АВ.
• З а д а ч і і в п р а в и
Мал. 189
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО ■ ■ ■ ■ ■
4 42. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо один з них
дорівнює: а) 30°; 6 )4 5 °; в) 70°.
4 43. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо один
з них більший від другого: а) удвічі; б) у 9 разів; в) на 30°.
4 44. Сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 м ,4 м і 5 м.
Яка з них гіпотенуза?
4 45. Знайдіть кути рівнобедреного прямокутного трикутника.
■ і А В Н Н Н В Н Н Н Н В Н В І
4 46. Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 10° біль­
ший від другого. Знайдіть ці кути.
4 47. Кути трикутника пропорційні числам 3, 5 і 8. Доведіть, що
цей трикутник прямокутний.
4 48. Один з кутів трикутника на 30° більший від другого і на 30°
менший від третього. Знайдіть кути цього трикутника.
4 49. Доведіть, що бісектриси гострих кутів прямокутного трикут­
ника перетинаються під кутом 45°.
4 50. Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо його висо­
та, проведена з вершини прямого кута, утворює з катетом
кут 50°.
4 5 1 . З точки Д, яка лежить на бісектрисі кута В, на сторони
кута проведено перпендикуляри ОА і ОС. Доведіть, що
ОА = ОС.
1 1 9

118. розділ З Т р и к у тн и к и
4 5 2 . Точка влеж ить на внутрішньому промені кута А; ВК ВМ—
рівні перпендикуляри до сторін кута. Доведіть, що АВ —
бісектриса кута А.
4 5 3 . Пряма т перетинає відрізок АВ в його середині О.
Доведіть, що точки А і В рівновіддалені від прямої т.
4 5 4 . За малюнком 190 поясніть, як
м ож на знайти ширину річки
на основі властивостей прям о­
кутного рівнобедреного трикут­
ника.
45 5 . Прямокутні трикутники АВС і
А В С розташ овані, як показано
на малюнку 191. Знайдіть міру
кута АСА і, якщо 4.ВСВі = а
(грецька літера «альфа»).
4 5 6 . Я кщ о к а т е т і п роти леж н и й кут
о д н о го тр и кутн и ка д о р івн ю ю ть
в ід п о від н о к атету і п р о ти леж ­
ном у куту другого, то так і три ­
кутники рівн і. Доведіть.
4 5 7 . У ЛАВС СС = 90°, 4 А = 60°,
АВ = 32 см. Знайдіть АС.
Ш Ш ШБ
4 5 8 . Сформулюйте ідоведіть твердження, обернене до сформу­
льованого в задачі, розв’язаній на с. 118.
4 5 9 . У А АВС АВ = 18 см, СВ= 30°, 4 С = 90°. Знайдіть:
а) відстань від точки А до прямої СВ;
б) проекцію похилої А В на пряму АС.
4 6 0 . У А АВС СА = СВ= 45°, А В = 19 см. Знайдіть:
а) відстань від точки С до прямої АВ;
б) проекцію відрізка АС на пряму АВ.
4 6 1 . Знайдіть відстань між паралельними прямими, якщо від
січної, яка перетинає їх під кутом 30°, прямі відсікають
відрізок завдовж ки 54 см.
120

119. 4 6 2 . Знайдіть кути прямокутного трикутника, якщо бісектриси
двох його кутів перетинаю ться під кутом 70°.
4 6 3 . Чи можуть бісектриси двох кутів прямокутного трикутника
перетинатися під кутом 40°?
4 6 4 . Знаючи, що всі сторони квадрата рівні, а всі кути прямі,
доведіть, що квадрат А В С й відрізками АС і ВО розби­
вається на 4 рівні прямокутні рівнобедрені трикутники.
4 6 5 . Побудуйте на координатній площині трикутники з верш ина­
ми А (0; 1), В{2; 3), С (0; 3) і з верш инами К( 1; 0), Я (3; 0),
Г (3; 1). Чи рівні ці трикутники?
4 6 6 . М едіана якого трикутника розби ває його на два менші
трикутники, рівні між собою?
4 6 7 . СМ — висота прямокутного рівнобедреного трикутника
АВС, проведена до гіпотенузи. Знайдіть АВ, якщо СМ= т.
4 6 8 . Гіпотенуза А В прямокутного трикутника А ВС дорівнює
20 см, 4 5 = 3 0 ° , СК— висота. Знайдіть АК.
П р я м о к у т н и й т р и к у т н и к § 1 5
ВПРАВИ ДЛ Я ПОВТОРЕННЯ Н
4 6 9 . Сформулюйте яку-небудь ознаку рівності рівнобедрених
трикутників і спробуйте її довести.
4 7 0 . Д А ВС =А МНК, 4 /1 = 70°, 4 В= 80°. Знайдіть кути А МИК.
4 7 1 . Чи існує трикутник, кути якого
дорівнюють 91°, 52° і 44°?
4 7 2 . Рівні відрізки АВ і CD перетина­
ються в точці О так, що А О - СО,
а кути трикутника AOD пропор­
ційні числам 2, З і 5. Знайдіть
кути трикутника СОВ.
4 7 3 . Перемалю йте в зош ит фігуру, що
на малю нку 1 92, і проведіть
пряму так, щоб вона розрізала
заф арбован у фігуру на дві час­
тини рівних площ. ■ Мал. 192
121

120. р озділ .^ Т р и к у т н и к и
§ 16. Нерівності трикутника
В и вже знаєте, що кожна сторона
трикутника менша від суми двох інших його сторін. Щоб довести
це твердж ення як теорему, спочатку розглянемо іншу теорему.
У кожному трикутнику проти більшої сторо­
ни лежить більший кут, а проти більшого кута — більша
сторона.
■ ДОВЕДЕННЯ.
1) Нех
АВ більша від АС. Покажемо, що кут
С більший від кута В (мал. 193).
Відкладемо на стороні АВ відрізок
АК, що дорівню є АС. Оскільки від­
кладений відрізок коротший від АВ,
то точка К лежить між А і В, а /. АСК
є частиною кута АСВ. Кути АКС і АСК рівні, тобто ^ 1 = ^ 2 , бо
/К А С рівнобедрений. ^ 1 більший за і.В , бо є зовнішнім для
трикутника ВКС. Отже, весь кут Сбільший за /12, а /12 більший за
/- В. Цим доведено, що коли в трикутнику АВ > АС, то /1С > І. В.
2) Нехай у /А В С кут С більший за кут В.
Д оведемо, що тоді АВ > АС.
Сторони АВ і АС не можуть дорівнювати одна одній, бо інак­
ше даний трикутник був би рівнобедреним і один з його кутів при
основі не міг би бути більшим від другого.
Не може сторона АВ бути і меншою за АС, бо тоді кут С
був би меншим за В. А оскільки сторона АВ не дорівню є АС
і не менш а від АС, то вона більша від АС. а
■Я НАСЛІДКИ.
1. У кожному прямокутному трикутнику гіпотенуза довша
за кожний катет.
2. Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки до пря­
мої, коротший від будь-якої похилої, проведеної з тієї
самої точки до тієї ж прямої.
3. Проекція похилої завжди менша від похилої.
А
122

121. Нерівності трикутника § 1 6
Кожна сторона трикутника менша від суми
двох інших його сторін.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Розглянемо довільний /А В С по­
каж емо, що АВ< ВС + СА (мал. 194).
Для доведення відкладемо на про­
довж ені сторони АС відрізок СР,
що дорівню є ВС, і розглянем о три­
кутник АВР. Кути СВР і СРВ рівні,
бо СВ= СР. Кут АВР більший за ї-Р.
А оскільки проти більшого кута л е­
жить більша сторона, то АВ< АР. Врахувавши, що
АР= АС + СР= АС + СВ, маємо: АВ < АС + СВ.
Так сам о можна показати, що ВС< СА + АВ, АС< СВ+ ВА. ▲
З доведеної теореми випливає таке твердж ення.
Якщо точки А, В, С не лежать на одній прямій, то правильні
нерівності:
АВ< ВС+ СА, ВС< СА + АВ, А С < СВ + ВА.
Кожну з цих трьох нерівностей називаю ть нерівністю т ри­
кутника.
В
Для допитливих
Якщо точки А, В, Слежать на одній прямій, то одна
з наведених вище нерівностей перетворюється в рів­
ність, а дві інші залишаються правильними. Наприклад,
якщо точка С лежить між А і В (мал. 195), то правильні
такі співвідношення:
АВ= ВС+ СА, ВС < СА + АВ, С А< АВ+ ВС.
Враховуючи все сказане вище, можна зробити такий
висновок.
Як би не були розташовані три точки А., В, С, то
завжди: АВ =£ ВС + СА, ВС СА + АВ, С А ^А В + ВС.
З трьох відстаней між будь-якими трьома точками
кожна не перевищує суми двох інших.
В
Мал. 195
123

122. 1 розділ 3 Трикутники
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Чи правильно, що в трикутнику проти меншої сторони
лежить менший кут, а проти меншого кута — менша
сторона?
2. Сформулюйте нерівності трикутника ХУА.
3. Що означає вислів «точка влежить між А і С»?
4. Як пов’язані між собою відстані між точками А, В і С,
якщо влежить між А і С ?
5. Сформулюйте властивості відстаней між довільними
точками А, В і С.
• Виконаємо разом
Доведіть, що відрізок, який сполучає вершину рівнобедре-
ного трикутника з довільною внутрішньою точкою основи,
коротший за бічну сторону трикутника.
В
Л Мал. 196
Нехай АС — основа довільного рівно-
бедреного трикутника АВС, а К — до­
вільна внутрішня точка його основи
(мал. 196). Покажемо, що ВК< АВ.
КутАКВ— зовнішній у ЛКВС, тому
ААКВ > АС. Оскільки 4 С = АА, то
ААКВ > 2.А Отже, у А АВК сторона
ВК лежить проти меншого кута, ніж
той, проти якого лежить сторона АВ.
Тому ВК < АВ.
Пряма КР, що перетинає А АВС, паралельна АС (мал. 197).
Яка із сторін АВ чи ВС даного трикутника більша, якщо
ВК< ВР?
В
Занумеруємо деякі кути, як показано
на малюнку 197. Відповідні кути при
паралельних прямих і січній рівні,
тому 4 1 = 4 3 і А2 = 2.4. Оскільки
в А ВКР ВК < ВР, то А4 < АЗ , тоді
І 4 2 < 4 1 .
Отже, АВ < ВС.
1 2 4

123. Нерівності трикутника § 1 6
• З а д а ч і і в п р а в и
ВИКОНАЙТЕ УСНО
4 7 4 . Дивлячись на малюнок 198, порівняйте
сторони АВ і ДСтрикутника АВС, якщо:
1) АА< АС) 4) А А * АС;
2) ^ А > £ С; 5) £ А = 60°, А В = 70°;
3) АА = АС; 6) А В = 80°, АС = 40°.
47 5 . Доведіть, що коли кожну сторону рівно-
бедреного трикутника збільшити, напри­
клад, на 1 м, то утворений трикутник
також буде рівнобедрений.
В
■ Мал. 198
4 7 6 . Чи можна кожний кут трикутника збіль­
шити, наприклад, на 10°?
ш ш а т ш яш ш ш ш ш ш ш т ш т т ш яш явая
47 7 . Яка із сторін ААВСнайбільша і яка найменша, якщо:
1) АА = 45°, А В = 60°;
2) АА = 50°, А В = 100°;
3) АВ = 75°, Z C = 90°?
47 8 . Який кут Л К Р Т найбільший і який найменший, якщо:
1) АВ = 3 м , ВС = 4 м, АС = 5 м;
2) АВ - ВС = 2 м , В С -А С = ї м ?
4 7 9 . Чи може основа рівнобедреного трикутника бути вдвічі
довшою за бічну сторону? А вдвічі коротшою?
4 8 0 . Чи може кожний кут трикутника бути меншим за 6 0°?
4 8 1 . Чи існує трикутник, кожний кут якого більший за 60°?
48 2 . Доведіть, що висота трикутника не довш а за медіану, про­
ведену з тієї самої вершини.
*
4 8 3 . Чи може одна сторона трикутника дорівнювати половині
його периметра?
48 4 . Доведіть, що кожна сторона трикутника менша від його
півпериметра.
1 2 5

124. розділО Трикутники
4 8 5 . Чи може сума двох сторін трикутника дорівнювати його
півпериметру?
4 8 6 . Доведіть, що кожна сторона трикутника довша від пів-
різниці інших його сторін.
4 8 7 . Чи існує трикутник, одна сторона якого дорівнює різниці
двох інших?
4 8 8 . У трикутнику АВС сто рони АВ і /ІСдорівнюю ть відповідно
5 см і 8 см. Якою завдовж ки може бути сторона ВС?
4 8 9 . Доведіть, що кожна сторона чотирикутника коротша від
суми трьох інших сторін.
4 9 0 . Дві сторони трикутника дорівнюють 98 см і 28 см. Яким
може бути периметр цього трикутника?
4 9 1 . Сума двох рівних сторін трикутника становить 0,6 пери­
метра. Чи правильно, що кут між рівними сторонами біль­
ший від 60°?
ШШ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ■
4 9 2 . Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо їх різниця дорів­
нює 30°.
4 9 3 . Сума двох кутів, утворених перетином двох прямих, до­
рівнює 200°. Знайдіть міри двох інших кутів.
4 9 4 . У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС бісек­
триси кутів А і С перетинаються в точці О. Доведіть, що
трикутник АОСтакож рівнобедрений.
4 9 5 . Доведіть, що коли бісектриса зовнішнього кута трикутника
паралельна стороні трикутника, то такий трикутник рівно­
бедрений.
4 9 6 . Доведіть, що пряма, паралельна будь-якій стороні рівно-
бедреного трикутника, відтинає від нього рівнобедрений
трикутник,

125. • Самостійна робота 4
Н В аріант 1
1°. Сформулюйте означення рівнобедреного трикутника.
2°. A A B C — прямокутний (LC = 90°). Знайдіть Z.А якщо
А В = 70°.
З*. Точки К Р — середини бічних сторін АВ і АС рівнобед­
реного трикутника ABC. Доведіть, що А АКС = А АРВ.
4*. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них удвічі більший
від другого і на 40° менший від третього.
В аріант 2
1°. Сформулюйте означення прямокутного трикутника.
2°. А /4 5 С — рівнобедрений (АВ= ВС). Знайдіть LA,
якщо Z.B= 70°.
З*. Точки К Р — середини бічних сторін А В і АС рівнобед­
реного трикутника ABC. Доведіть, що А КВС = А РСВ.
4*. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них удвічі менший
від другого і на 12° більший від третього.
В аріант З
1°. Сформулюйте властивість кутів рівнобедреного трикут­
ника.
2°. A A S C — прямокутний ( 4 С = 90°) і рівнобедрений.
Знайдіть /.В .
З* Точки К і Л /леж ать на основі АС рівнобедреного трикут­
ника ABC, LBKA = jLBMC. Доведіть, що ВК - ВМ.
4*. Знайдіть куги трикутника, якщ о один із них утричі
більший від другого і на 40° менший від третього.
В аріант 4
1°. Сформулюйте одну з о зн ак рівності прямокутних трикут­
ників.
2°. /А В С — рівнобедрений {АВ - ВС). Знайдіть /.В , якщо
4 С = 50°.
З*. Точки К і А /лежать на основі АС рівнобедреного трикут­
ника ABC, jLBKA - LBMC. Доведіть, що А К = CM.
4*. Знайдіть кути трикутника, якщо один із них утричі м ен­
ший від другого і на 5° більший від третього.

126. розділ З Т р и к у тн и к и
З а д а ч і з а го т о в и м и м а л ю н к а м и
£ С = £7. /11 = /12, ВК= 10.
АВ В /4/С, КС В
. ^ 6 0 °
а
И ____________с , ^ 0 ° / г
/І С * — .— ^ — С
4/С = КВ =8. АВ=СР, в с
св, км
А В = С Р ,А Р = ВС.
Довести:
АРЦВС.
4 1 = 4 2 , ВМ=МС.
Довести:
А М 1 ВС.
4 1 = 4 2 , 4 3 = 4 4 .
Довести: А АВО =&РСО.
4 1 = /12, /13 = /14. В
128

127. Т рикутн ики
• Т ест о ві з а в д а н н я 4
1 . Периметр рівнобедреного трикут­
ника 3 основою 6 см і бічною
стороною 5 см дорівнює:
а) 17 см; б) 16 см;
в) 11 см; г) ЗО см.
2. Один з кутів рівнобедреного
трикутника дорівнює 100°.
Обчисліть інші кути трикутника.
а) 100° і 60°; б) 8 0 °і 80°;
в) 40° і 40°;
г) 100° і 160°.
3. Кут при вершині В рівнобедреного
ЛАВС(АВ = ВС) дорівнює 80°.
Обчисліть кут між бічною стороною і
медіаною, проведеною з вершини В.
а) 50°; б) 40°;
в) 60°; г) 25°.
4. Кут при основі рівнобедреного
прямокутного трикутника дорівнює:
а) 45°; б) 60°;
в) 30°; г) 90°.
5. Гіпотенуза прямокутного трикутни­
ка дорівнює 20 см, один з кутів 30°.
Довжина меншого катета дорівнює:
а) 20 см; б) 5 см;
в) 10 см; г) 15 см.
6. Кути трикутника пропорційні
числам 4, 5 і 9. Даний трикутник:
а) гострокутний;
б) прямокутний;
в) тупокутний;
г) рівнобедрений.
7 . Діагональ АС прямокутника А В С й
розбиває його на два трикутники.
Яке з тверджень хибне?
а) А АВС= а СОА
б) АВАС= ААСО;
в) ААСВ = ААСО]
г) ААВС= ЛАОС.
8. Один з катетів прямокутного трикут­
ника дорівнює 5 см, а прилеглий кут
60°. Гіпотенуза трикутника дорівнює:
а) 10 см; б) 5 см;
в) 2,5 см; г) 20 см.
9. У А А В С ^А = 50°, 4 В= 70°.
Який знак слід поставити замість*:
АВ * ВС?
ІЛЛ
зЗ
У11
10. Один з кутів прямокутного три­
кутника має 60°, а сума
найменшої і найбільшої його
сторін дорівнює 6 см. Знайдіть
довжину гіпотенузи.
а) 7 см; б) 2 см;
в) 4 см; г) 1 см.
129

128. розділ Т р и к у тн и к и
• Т и п о в і з а д а ч і д л я к о н т р о л ь н о ї р о б о т и
1°. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 112 см,
а основа 34 см. Знайдіть бічну сторону.
2°. Знайдіть кути рівнобедреного прямокутного трикутника.
3°. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо його
бічна сторона дорівнює 17 см, а периметр 54 см.
4°. Трикутники АВС АЯ/Урівносторонні й АВ= КР.
Знайдіть КН, якщо ВС = 5 см.
5 ! Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо його кут
при вершині втричі більший від кута при основі.
6 ! Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 73 см.
Знайдіть сторони цього трикутника, якщо його бічна
сторона на 7 см менша від основи.
7 ї Доведіть, що в рівносторонньому трикутнику всі медіани
рівні.
8Т Доведіть, що два прямокутні трикутники рівні, якщо катети
одного відповідно дорівнюють катетам другого.
9*! ВМ і ВМ - відповідно медіани трикутників ABC
і АВС. А В -А В , АС= АіС, ВМ= ВМ. Доведіть,
що Л у4ДС= Д/4і Ді Сі.
10*? Знайдіть за малюнком 199 міру кута COD, якщо АВ = CD,
BD= АС, LBDA = 35°.
■ Мал. 199
1 3 0

129. • Запитання і завдання _____
д л я самоконтролю
1. Який трикутник називаю ть рівнобедреним ?
2. Як називаю ть сторони рівнобедреного трикутника?
3. С формулю йте властивості рівнобедреного
трикутника.
4. Який трикутник називаю ть рівностороннім?
5. Як співвідносяться поняття трикутники ірівнобед-
рені трикутники?
6. С ф орм улю йте третю ознаку рівності трикутників.
7. С форм улю йте перш у і другу ознаки рівності
трикутників.
8. Як ви розум ієте вислів: трикутник визначається
трьома його сторонами?
9. Якими елем ентам и визначається трикутник?
10. Як слід розуміти, що трикутник — фігура жорстка?
11. С форм улю йте означення прямокутного трикутника.
12. Як називаю ть сторони прямокутного трикутника?
13. С форм улю йте і доведіть ознаки рівності прямокут­
них трикутників.
14. Що таке перпендикуляр, похила і проекція похилої?
15. Що таке відстань від точки д о прямої?
16. Щ о таке відстань між ф ігурами?
17. Чи правильно, що в трикутнику проти менш ої
сторони лежить менш ий кут, а проти менш ого
кута — менш а сторона?
18. С форм улю йте нерівності трикутника ХУ2.
19. Щ о озн ачає вислів: точка Влеж ить між точками
А і С?
20. Як п ов’язані між собою відстані між точками
А, В і С, якщо В леж ить між А і С ?
21. С ф орм улю йте властивості відстаней між довіль­
ними точками А, В і С.
1 3 1

130. Головне в розділі З
Трикутник — зам кнена лам ана із трьох ланок. Або частина
площини, обмеж ена такою ламаною . Кожний трикутник має
три сторони, три вершини і три кути. Сума довжин сторін трикут­
ника — його периметр.
Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Важливу роль у геометрії відіграють ознаки рівності трикут­
ників. Дві фігури називаю ться рівними, якщо їх можна сумістити.
Якщо А АВС = ЛКРТ, то АВ = КР, ВС = РТ, СА = ТК, АА =
= АК, АВ = АР, АС= АТ.
Три ознаки рівності трикутників
і Два трикутники рівні, якщо: дві сторони і кут між ними одно­
го трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними
другого трикутника ( І ); або якщо сторона і прилеглі до неї
кути одного трикутника дорівнюють стороні і прилеглим до
неї кутам другого ( II); або якщо три сторони одного трикут­
ника дорівнюють трьом сторонам другого ( III).
Трикутник називається рівнобедреним, якщо м ає дві рівні
сторони. Рівні сторони рівнобедреного трикутника називаю ть
бічними сторонами, а третю — його основою.
Урівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Якщо трикутник має два рівні кути, то він рівнобедрений.
Якщо всі сторони трикутника рівні, його називаю ть рівно-
стороннім трикутником. Кожний кут рівностороннього трикут­
ника дорівнює 60°.
Залеж но від кутів трикутники поділяють на гострокутні,
прямокутні і тупокутні. Сторону прямокутного трикутника,
яка лежить проти прямого кута, називаю ть гіпотенузою, а дві
інші — катетами.
.Кожна сторона трикутника менша за суму двох інших його
сторін і більша за їх різницю. Які б не були три точки площини
А, В і С, завжди АВ+ ВС^ АС.
У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить біль­
ший кут, а проти більшого кута — більша сторона.

131. КОЛО І КРУГ.
ГЕОМЕТРИЧНІ
ПОБУДОВИ
У цьому розділі ви розширите
і поглибите свої знання про коло і круг,
набуті в попередніх класах, дізнаєтеся
про взаємні розміщення на площині
прямої і кола, двох кіл, про властивості
дотичноїд о кола, дотичних кіл,
про кола вписані й описані навколо
трикутника. А ще зрозумієте, що таке
геометричне місце точок, навчитеся
виконувати основні геометричні побу­
дови і розв’язувати складніші задачі
на побудову циркулем ілінійкою.
♦ К О Л О Т К Р У Г і
♦ ГЕОМЕТРИЧНІ МІСЦЕ ТОЧОГ
• КОЛО І ТРИКУТНИК
ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
• ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ
В
К р у г — цериіа
най просшішог
і найдосконаліш а
ф ігура.
Г ір о к л

132. К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
г ^ /
/розділ 4
§ 1 7 . Коло і круг
К оло — це фігура, що складається з усіх
точок площини, рівновіддалених від да­
ної точки. Цю точку називають центром
кола.
Відрізок, що сполучає будь-яку точку
кола з його центром, називають радіу­
сом. Відрізок, що сполучає дві довільні
точки кола, називаю ть хордою кола.
Хорда, що проходить через центр кола,
називається діаметром (мал. 200).
Кожний діаметр кола складається з двох
радіусів, тому його довж ина вдвічі
більша від довжини радіуса. Якщо хорда
не проходить через центр кола, її довжи­
на менша від довжини діаметра. (Чому?)
Коло на папері зображають за допо­
могою циркуля. Вважається, що з даного
центра на площині можна описати тільки
одне коло даного радіуса (мал. 201).
Пряма і коло можуть мати дві спільні
точки (мал. 202, а), одну спільну точку
(мал. 202, б) або не мати жодної (мал.
202, в).
Пряма, що має з колом дві спільні
точки, називається січною.
134

133. К о л о і круг § 1 7
Пряма, що має з колом тільки одну спільну точку, називається
дотичною до кола. їх спільну точку називають точкою дотику.
(Йдеться про фігури однієї площини.) Точка дотику лежить на
колі, тому дотична віддалена від центра кола на відстань, що
дорівнює довжині радіуса. Оскільки всі інші точки дотичної
лежать поза колом, відстані від них до центра кола більші від
довжини радіуса. З цього випливає, що
дотична до кола перпендикулярна до його радіуса,
проведеного в точку дотику.
Щоб через дану на колі точку К прове­
сти дотичну до цього кола, треба провес­
ти радіус ОК, потім — пряму КМ, перпен­
дикулярну до цього радіуса (мал. 203).
Якщо два різні кола мають дві спіль­
ні точки, то говорять, що дані кола
перетинаються в цих точках. Точки пе­
ретину двох кіл лежать по різні боки від
прямої, яка проходить через центри
цих кіл. На малюнку 2 0 4 зображено
кола з центрами О і що перетина­
ються в точках А і В.
Якщо два кола мають тільки одну
спільну точку, говорять, що вони доти­
каються в цій точці. Дотик двох кіл
може бути зовнішнім (мал. 205) або
внутрішнім (мал. 206). В обох випадках
точка дотику і центри кіл лежать на
одній прямій.
1 3 5

134. оч
розділ 4 К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
в
Два кола однієї площини, які мають
спільний центр, називають концентрич­
ними колами (мал. 207).
Звичайно кола креслять, користуючись
циркулем. Але іноді зручніше це робити
за допомогою спеціальних шаблонів з
вирізаними кругами різних радіусів.
Коло ділить площину на дві частини
(області). Об’єднання кола з його внут­
рішньою областю називається кругом.
Межа круга — коло. Центром, радіусом,
діаметром, хордою круга називають від­
повідно центр, радіус, діаметр, хорду кола,
що є межею даного круга (мал. 208).
Форму кола має обруч, форму круга —
дно відра, видимий диск Сонця тощо.
Колесо на рейці — матеріальна модель
кола, що дотикається до прямої. На
схематичному зображ енні підшипника
(мал. 209) є кілька дотичних кіл.
Як вам відомо з попередніх класів,
довжина С кола і площа 5 круга вираж а­
ються через радіус /-такими формулами:
С = 2жг, 3 =л г 2.
Строгі доведення цих формул розгля­
датимуться у старших класах.
■ І Для допитливих • • • • • • • • • • • • • •
Слово коло давньоукраїнське. Воно одного кореня
зі словами колода, колоти, колотити, сколоти. Око­
лотами називали праукраїнців, які жили на землях
сучасної України за скіфів і ще раніше. А ще слово коло
в українській мові служить прийменником, як і навко­
ло, довкола. Якщо до забитого в землю кілка (кола)
прив’язували тварину, то вона ходила довкола, навколо.
Раніше круг також називали колом, наприклад,
співали: «Ой зійди, зійди, ясен місяцю, як млиновеє
1 3 6

135. коло». Хоч і повний місяць, і камінь у млині мають
форму круга, а не кола. Нерідко коло називали також
колесом; дехто вважає, що перші колеса навчилися
робити майстрові люди в наших краях.
У геометрії коло відіграє важливу роль. Існує навіть
окрема частина геометрії — геометрія кіл, в якій •
досліджуються важливі і цікаві властивості геометрич- •
них фігур, пов’язаних із колом. *
•
К ол о і круг § 1
І | Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Що таке коло? Центр кола? Радіус? Діаметр? Хорда?
2. Що таке круг? Чим відрізняється круг від кола?
3. Скільки спільних точок можуть мати:
а) пряма і коло; б) два кола?
4. Сформулюйте означення дотичної до кола. Яку власти­
вість має дотична до кола?
5. Які кола називають дотичними? Що таке точка дотику?
6. Як можуть дотикатися два кола?
5. Які кола називають концентричними?
• В и к о н а є м о р а з о м
Q B B Доведіть, що точки дотику кола до
сторін куга рівновіддалені від його
вершини.
■ Нехай коло з центром О дотика­
ється до сторін кута А в точках В іС
(мал. 210). Доведемо, щ уА В ^А С .
Радіуси ОВ і ОС, проведені в точки
дотику, перпендикулярні до відпо­
відних дотичних і рівні. Тому пря­
мокутні трикутники АВО і АСО
рівні за гіпотенузою і катетом.
Отже, АВ = АС. ШМал. 210
137

136. РОЗДІЛ 4- К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
к
Мал. 211
Q N 1Доведіть, що діаметр кола, проведе­
ний через середину хорди, відмін­
ної від діаметра, перпендикулярний
до хорди.
■ Нехай АВ — хорда кола, яка не
проходить через центр О кола,
а КР — діаметр кола, який прохо­
дить через середину М хорди АВ
(мал. 211). Трикутник ОАВ рівно­
бедреник бо ОА = ОВ. А медіана
ОМ рівнобедреного трикутника,
проведена до його основи, є також
висотою трикутника. Тому ОМ1.AB,
а отже, і КР LAB.
ЕЦш* Знайдіть площу кільця, обмеженого
двом а концентричними колами
радіусів г і г, (мал. 212).
■ Площа 5 кільця дорівнює різниці
площ кругів радіусів г і г ,:
5 = л г 2—я/-,2 = л ( г 2 —т,2).
• З а д а ч і і в п р а в и
ВИКОНАЙТЕ УСНО
497. Скільки різних кіл можна провести через:
а) одну точку; б) дві точки; в) три точки?
498. Скільки спільних точок можуть мати:
а) коло і пряма; б) два кола;
в) коло і трикутник; г) коло і площина?
499. Дано коло з центром О. Скільки спільних точок має коло з:
а) прямою ОА; б) променем ОМ?
500. Скільки різних дотичних до даного кола можна провести
через дану точку, що лежить:
а) на колі; б) поза колом; в) усередині кола?
5 0 1 . Скільки пар дотичних кіл є на малюнку 209 ? А скільки
пар концентричних кіл?
1 3 8

137. К о л о і круг § 1 7
н і а н н н н н н в я н
5 0 2 . Накресліть коло. Проведіть його радіус, діаметр, хорду.
5 0 3 . Доведіть, що діаметр — найбільша з хорд даного кола.
5 0 4 . Дано коло і відрізок, менший від діаметра. Проведіть хор­
ду, довжина якої дорівнює довжині даного відрізка.
5 0 5 . Знайдіть відстань між центрами кіл радіусів 5 м і 7 м, які
дотикаються:
а) зовнішнім способом; б) внутрішнім способом.
5 0 6 . Чи мають спільні точки два кола, радіуси яких 3 см і 4 см,
якщо відстань між їх центрами дорівнює 5 см?
5 0 7 . АВ і CD — рівні хорди кола з центром О. Доведіть, що
лА В О = A CDO.
5 0 8 . Кола з центрами О і О, перетинаються в точках А і В.
Доведіть, що: 1) A Q 4 0 i = ЛОВО; 2) А ОАВ і А ОлАВ —
рівнобедрені.
5 0 9 . Кола з центрами О і 0 перетинаються в точках А і В, при­
чому кожне з них проходить через центр другого. Знайдіть
LAO B і LOAOu
5 1 0 . Кожне з трьох кіл проходить через центри двох інших. Дове­
діть, що їх центри — вершини рівностороннього трикутника.
5 1 1 . Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від центра.
512*.Як побудувати дотичну до даного кола:
а) паралельну даній прямій;
б) перпендикулярну до даної
прямої?
5 1 3 . Садівник описує коло для
клумби за допомогою кілочків
і мотузки (мал. 213). Чому опи­
сана таким способом фігура —
коло? Чи вийде коло, якщо
мотузка намотуватиметься на
кілочок? ■ Мал. 213
1 3 9

138. [розділ 4__ К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
5 1 4 . Знайдіть радіуси двох дотичних кіл, якщо вони відносяться
як 1 : 3, а відстань між центрами кіл дорівнює 16 см. Роз­
гляньте два випадки.
515. З точки А до кола з центром О проведено дотичні АВ і АС.
Доведіть, що А О — бісектриса кута ВАС.
5 1 6 . З точки А до кола з центром О проведено дві дотичні, кут між
якими дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, якщо ОА = 10 см.
5 1 7 . З точки А до кола проведено дві дотичні. Знайдіть кут між ни­
ми, якщо відстань від А до точки дотику дорівнює радіусу кола.
5 1 8 . Коло дотикається до сторін кута А в точках В і С так, що
АВ = ВС. Знайдіть міру кута А.
5 1 9 . Три рівні кола з центрами £?,, 0 2, 0 3попарно дотикаються
одне до одного в точках К, Р і Т. Доведіть, що:
1) О, Ог = 0 20 3= 0 30 й 2) КР= РТ= ТК.
5 2 0 . З центра кола провели три проме­
ні, які розбили дане коло на три
дуги, довжина кожної з яких дорів­
нює 3 см. Знайдіть кути між цими
променями і радіус кола.
5 2 1 . Доведіть, що площа кільця, обм е­
женого двом а концентричними
колами радіусів г і г и дорівнює се­
редньому арифметичному довжин
цих кіл, помноженому на різницю
радіусів, тобто 5 = Іт(мал. 214).
ШШ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Ш
5 2 2 . Відрізок завдовж ки а поділений на 3 рівні частини. Яку
частину а становить відстань між серединами першої і
третьої частин?
5 2 3 . Знайдіть довжину бісектриси трикутника з периметром
40 см, якщо вона розбиває його на два трикутники з пе­
риметрами 20 см і ЗО см.
5 2 4 . Знайдіть середнє арифметичне сторін трикутника, пери­
метр якого дорівнює 3 6 см.
525*.3найдіть площу квадрата АВСО, якщо АС'= 10 см.
1 4 0

139. § 18. Геометричне місце
точок
Щ о б р о зв ’язувати складніші задачі
на побудову, потрібно знати, що таке геометричне місце точок.
Геометричним місцем точок (ГМТ) називаю ть фігуру, яка
складається з усіх точок, що мають певну властивість.
Розглянемо кілька геометричних місць точок площини.
Коло — геометричне місце точок, рівновіддалених від даної
точки.
Круг радіуса г — геометричне місце точок, відстані від яких
до даної точки не перевищують г.
д-і іш ш ЗАДАЧА 1 . Знайдіть геом етричне
А місце точок, рівновіддалених від
/ кінців даного відрізка.
/ я РОЗВ'ЯЗАННЯ: Нехай дано відрізок
АВ. Його середина М рівновіддале-
на від А і£(м ал. 215, а). Проведемо
пряму МК, перпендикулярну до АВ.
Кожна її точка К, відмінна від М,
також рівновіддалена від А і В, бо
/К А М = /КВМ. Отже, КА = КВ.
Якщо ж точка Р не лежить на пря­
мій МК, вона не може бути рівно-
віддаленою від А і В (мал. 215, б).
Справді, з припущення, що РА = РВ,
випливає перпендикулярність пря­
мих РМ і АВ, бо медіана РМ рівно-
бедреного трикутника РАВ є його
висотою. Тоді сума двох прямих
кутів РМВ і КМА не дорівню вала б
180°. Цього не може бути. Отже, по­
за прямою МК не існує точки, рів-
новіддаленої від А і В.
Таким чином, кожна точка прямої МК рівновіддалена від
А і В, а точка, яка не лежить на МК, не може бути рівновідда-
леною від А і В.
Геометричне місце точок § 1 8
В
Мал. 215
1 4 1

140. Пряму, що проходить через середину відрізка перпенди­
кулярно до нього, називаю ть серединним перпендикуляром
даного відрізка. З попередніх міркувань випливає, що
геом етри чн и м м ісц ем точок, р ів н о від д ал ен и х від кінців
в ід р ізк а, є його середи н н и й п ерп ен ди куляр.
розділ Ч К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
Ш ЗАДАЧА 2. Знайдіть геометричне
місце точок, які лежать всередині
кута і рівновіддалені від його сторін.
■ 1) Нехай М — точка кута, рівно-
віддалена від його сторін ОА і ОВ
(мал. 216}. Перпендикуляри МА і
МВ, опущені з М на сторони кута,
рівні. Тому А МОА = А МОВ за ка­
тетом і гіпотенузою. Отже, Z АОМ=
= А.ВОМ, тобто точка М належить
бісектрисі даного кута АОВ.
2) Якщо М — довільна точка бісектриси кута АОВ, а МА і МВ —
перпендикуляри на ОА і ОВ (див. мал. 216), то ЛОАМ =
= А ОВМ (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому МА = МВ,
тобто точка М рівновіддалена від сторін даного кута.
□Геом етричним м ісц ем точок кута, р ів н о від д ал ен и х від
його сторін, є б ісектр и са цього кута.
ПРИМІТКА.
Тут мають на увазі кути, менші від розгорнутого.
Для допитливих
Чи правильно говорити, що геометричним місцем
точок, рівновіддалених від сторін кута, є бісектриса
цього кута? Ні. Коли в планіметрії говорять про гео­
метричне місце точок, не уточнюючи, про які саме
точки йдеться, то мають на увазі точки площини, якій
належить дана фігура. За такої умови геометричне місце
точок, рівновіддалених від сторін кута, є об’єднання бі­
сектриси / даного кута і всіх точок деякого іншого кута,
1 4 2

141. Г е о м е т р и ч н е м іс ц е т о ч о к § 1 8
■ М ал.217 ■ Мал. 218
показаного на малюнку 217. Адже кожна точка кута
КОР також рівновіддалена від сторін даного кута АОВ.
Йдеться про кути, менші від розгорнутого.
Говорячи, що геометричним місцем точок, рівновід-
далених від кінців відрізка, є серединний перпендику­
ляр цього відрізка, мають на увазі, що йдеться про гео­
метричне місце точок площини, в якій лежить відрізок.
А геометричним місцем точок простору, рівновідца-
лених від кінців відрізка, є деяка площина (мал. 218).
Подумайте, як розташована ця площина відносно
даного відрізка.
Геометричні місця точок простору розглядають у
старших класах.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • о
Ц Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Що таке геометричне місце точок?
Наведіть приклади.
2. Що таке серединний перпендикуляр даного відрізка?
3. Що є геометричним місцем точок, рівновідцалених
від кінців відрізка?
1 4 3

142. • В и к о н а є м о р а з о м
С ЯЯШДоведіть, що серединні перпендику­
ляри двох сторін трикутника пере­
тинаються.
■ ДОВЕДЕННЯ. Нехай п і т — сер е­
динні перпендикуляри сторін ВС
і АВ трикутника АВС (мал. 219).
Доведемо, що вони не можуть бути
паралельними один одному. Д ово­
дитимемо від супротивного. Припу­
стимо, що п II т. Тоді пряма, перпендикулярна до п, м ає бути
перпендикулярною ідо т. Отже, ВС 1 п і ВС 1. т. Але за умовою
і АВ ± /77. А дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, пара­
лельні. Отже, з припущення, що п II/77, випливає паралельність
сторін АВ і ДСтрикутника. Цього не може бути. Тому прямі п і т
не можуть бути паралельними. Вони перетинаються.
розділ 4 К о л о і круг. Г е о м е т р и ч н і п о б у д о в и
■ Мал. 219
З а д а ч і і в п р а в и
ВИКОНАЙТЕ УСНО
526. Чи правильно, що кожна точка бісектриси кута
рівновіддалена від сторін цього кута?
527. Чи правильно, що бісектриса кута
є геометричним місцем точок,
рівновіддалених від сторін цього
кута?
528. Чим є геометричне місце точок,
які леж ать на відстані 2 м від де­
якої точки?
5 2 9 . Чим є геометричне місце точок,
рівновіддалених від двох п ар а­
лельних прямих?
530. АВСК — квадрат (мал. 220). Чим є
геометричне місце точок, рівно-
віддалених від точок А і С ? А від
точок В і К ?
1 4 4

143. Геометричне місце точок § 1 8
5 3 1 . А В С К — перпендикулярні діаметри одного кола (мал. 221).
Чим є серединний перпендикуляр діаметра АВ ?
5 3 2 . Серединний перпендикуляр відрізка АВ проходить через
точку С. Чи правильно, що трикутник АВС рівнобедрений?
5 3 3 . Два рівні кола з центрами 0
і 0 , дотикаються зовнішнім спо­
собом (мал. 222). Чи правильно,
що їх спільна дотична, проведе­
на через точку дотику, є сере­
динним перпендикуляром від­
різка 0 0 ,?
* Мал. 222
А ШКШШШШШШШШШШШШШШШШЖ
5 3 4 . Дано точки А і В. Побудуйте геометричне місце точок, рів-
новіддалених від А і В.
5 3 5 . Дано прямий кут. Побудуйте геометричне місце точок,
які леж ать всередині цього кута і рівновіддалені від його
сторін.
5 3 6 . Побудуйте геометричне місце точок, які віддалені відданої
точки на дану відстань а.
5 3 7 . Чим є геометричне місце точок, які лежать на даній від­
стані відданої прямої?
5 3 8 . Дано дві паралельні прямі. Побудуйте геометричне місце
точок, рівновіддалених від цих прямих.
5 3 9 . Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять
через дві дані точки.
5 4 0 . Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які дотика­
ються до даної прямої.
5 4 1 . Знайдіть геометричне місце центрів рівних кіл, які прохо­
дять через дану точку.
5 4 2 . Дано гострий кут. Побудуйте геометричне місце центрів
кіл, які дотикаються до сторін цього куга.
1 4 5

144. 5 4 3 . Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіуса 2 г, які
дотикаються до кола радіуса: а) г; б) З г.
5 4 4 . Дано коло радіуса 6 см. Чим є ГМТ, які ділять усі його
діаметри у відношенні 1 : 2 ?
5 4 5 . Чим є геометричне місце вершин прямих кутів, обидві сто­
рони яких дотикаються до даного кола?
Ш Ш Дано дві паралельні прямі а і Ь. Побудуйте ГМТ, які лежать
між даними прямими і відстані від яких до а і b відносяться
як 1 : 2.
5 4 7 . Дано дві паралельні прямі. Чим є ГМТ, відстані від яких до
даних прямих відносяться як 2 : З ?
5 4 8 . Дано відрізок AB завдовж ки 10 см. Чим є ГМТ, які відда­
лені від одного з кінців на відстань 6 см, а від другого —
на 8 см ?
5 4 9 . Дано прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см. Чим є ГМТ,
які віддалені від якої-небудь із його найближчих сторін на
відстань 1 см і лежать:
а) в його внутрішній області; б) поза прямокутником?
550. Доведіть, що точка перетину двох бісектрис трикутника
рівновіддалена від усіх сторін трикутника.
ШШ ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ШШ
5 5 1 . Знайдіть міру кута, який у 3 рази більший за суміжний
з ним кут.
55 2 . Чи може висота трикутника бути в 100 разів більшою за
суму двох інших його висот? А в 100 разів меншою за суму
двох інших його висот?
5 5 3 . У якому трикутнику бісектриси кутів перетинаються під
кутом 45°?
55 4 . Висота якого рівнобедреного трикутника ділить його на
два рівнобедрені трикутники?
55 5 . Знайдіть міри двох рівних тупих кутів, одна сторона яких
спільна, а дві інші перпендикулярні.
розділ 4^ К о л о і круг. Г е о м е т р и ч ні п о б у д о в и
146

145. К о л о і трикутник § 1 9
§ 19. Коло і трикутник
К оло і трикутник можуть не мати
спільних точок або мати 1, 2, 3, 4, 5, 6 спільних точок (відповідні
малюнки виконайте самостійно). Заслуговують на увагу випад­
ки, коли коло проходить через усі три
вершини трикутника або коли воно доти­
кається до всіх сторін трикутника. Розгля­
немо такі випадки детальніше.
■ ■ 1. Описане коло. Коло називається
описаним навколо трикутника,
якщо воно проходить через усі вер­
шини трикутника (мал. 223).
Навколо кожного трикутника можна описати
лише одне коло. Його центром є точка перетину сере­
динних перпендикулярів двох сторін трикутника.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВС — довільний трикутник
(мал. 224). Знайдемо точку, рівновідда-
лену від вершин А, В і С. Геометричне
місце точок, рівновіддалених від А і В, —
серединний перпендикуляр т відрізка
АВ-, геометричне місце точок, рівновідда­
лених від В і С, — серединний перпенди­
куляр п відрізка ВС. Ці два серединні
перпендикуляри не можуть бути п ара­
лельними, вони перетинаються в деякій
ючці О. А вона рівновіддалена від А, В
і С. Отже, ОА = ОВ = ОС, тому О — центр
кола, описаного навколо АВС.
Для кожного відрізка АВ існує серединний перпендикуляр
пі, і лише один, а для ВС — серединний перпендикуляр п, І ТІЛЬ­
КИ один. І точка їх перетину завж ди існує, і тільки одна.
()іже, навколо кожного трикутника можна описати коло, і тіль­
ки одне.
С
■ Мал. 224
1 4 7

146. розділ 4 К о л о і круг. Г е о м е т р ичні п о б у д о в и
НАСЛІДКИ.
Серединні перпендикуляри усіх трьох сторін довільного
трикутника проходять через одну й ту саму точку.
Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій,
можна провести коло, і лише одне.
Мал. 226
З доведеної теореми випливає спосіб
побудови кола, олисаного навколо
трикутника. Щоб описати навколо три­
кутника АВС коло, досить:
1) побудувати серединні перпенди­
куляри двох сторін даного трикутника;
2) визначити точку О, в якій ці сере­
динні перпендикуляри перетинаються;
3) з центра О провести коло радіу­
сом ОА.
Центр кола, описаного навколо
трикутника, може лежати у внутрішній
або зовнішній області даного трикут­
ника або на його стороні (мал. 225).
2. Вписане коло. Коло називається
вписаним у трикутник, якщо воно
дотикається до всіх сторін трикутника
(мал. 226). Центр кола, вписаного в
трикутник, лежить у внутрішній області
цього трикутника.
Ц Е Г Ш Ш Ж И У кожний трикутник можна вписати лише
одне коло. Його центром є точка перетину двох бісек­
трис трикутника.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВС — довільний трикутник. Визначимо точку О,
рівновіддалену від усіх його сторін (мал. 227). Геометричне місце
точок, які лежать всередині кута А і рівновіддалені від сторін
1 4 8

147. К о л о і трикутник § 1 9
АВ і АС, — бісектриса І кута А. Геометрич­
не місце точок, які рівновіддалені від сто­
рін АВ і ВС і леж ать всередині кута В, —
бісектриса t кута В. Ці дві бісектриси
обов’язково перетинаються (доведіть це!).
Точка /, в якій перетинаються бісектриси /
і ґ, рівновіддалена від усіх трьох сторін
даного трикутника. Отже, точка / — центр
кола, вписаного в трикутник АВС.
С
НАСЛІДОК.
Укожному трикутнику всі три бісектриси перетинаються в
одній точці.
З доведеної теореми випливає спосіб побудови кола, вписа­
ного в трикутник. Щоб у даний трикутник вписати коло, досить:
1) провести дві його бісектриси;
2) з точки їх перетину / опустити перпендикуляр И на довіль­
ну сторону трикутника;
3) із центра / радіусом И описати коло. Воно дотикатиметься
до кожної сторони трикутника, отже, вписане в даний трикутник.
Для допитливих
ТЕОРЕМА 2 0 Центром кола, описаного навколо пря­
мокутного трикутника, є середина його гіпотенузи.
*
»
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВС — довільний три­
кутник з прямим кутом С, ґ — се­
рединний перпендикуляр катета
АС і t перетинає гіпотенузу АВ
в точці О (мал. 228).
Оскільки точка О лежить на
серединному перпендикулярі від­
різка АС, то ОА = ОСі ^1 = /.2.
Годі £-В = 90° - п і 2.3 = 90° -
—2.1, тобто 2.£ = 2.3 і ОВ = ОС.
ОА = ОС = ОВ, тобто точка О -
С
■ Мал. 228
*
#
ш
#
1 4 9

148. розділ 4 К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
середина гілотенузи АВ, рівновідцалена від усіх вершин
трикутника. Отже, коло з центром О і радіусом ОА прохо­
дить через усі вершини даного трикутника.
а» НАСЛІДОК.
Діаметр кола, описаного навколо прямокутного три­
кутника, дорівнює його гіпотенузі.
З будь-якої точки кола його діаметр, що
не виходить з цієї точки, видно під прямим кутом.
■ ДОВЕДЕННЯ.
Нехай АВ — довільний діаметр кола з центром О,
а С — довільна точка кола, відмінна від А і В (мал. 229).
Покажемо, що 2.АСВ = 90°.Оскільки ОА = ОВ = ОС, то
£1 = Д2 і 2.3 = 2.4. Тоді 21 +
+ 2.2 + 2.3 + /14 = 180°, звідки
2. С = 22 + 2.3 = і80° : 2 = 90°.
■ ІНОДІ ГОВОРЯТЬ:
Геометричним місцем точок
площини, з яких відрізок АВ видно
під прямим кутом, є коло діаметра
АВ. Насправді цьому ГМТ точки
А і В не належать. Докладніше про
це дізнаєтесь у старших класах.
• * • в « * • * • •
Ц Запитання З а в д а н н я для самоконтролю
I
I. Яке коло називають описаним навколо трикутника?
2. Яке коло називають вписаним у трикутник?
3. Чи навколо кожного трикутника можна описати коло?
4. Чи в кожний трикутник можна вписати коло?
5. Де лежить центр кола, вписаного в трикутник?
1 5 0

149. К о л о і т р и к у т н и к § 1 9
• В и к о н а є м о р а з о м
Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного
трикутника з гіпотенузою 6 см.
■ Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника,
є його гіпотенузою. Радіус цього кола вдвічі менший: 3 см.
Доведіть, що діаметр кола, впи­
саного в прямокутний трикутник
з катетами а і Ь і гіпотенузою с,
дорівнює а + Ь - с .
Я Нехай у ЛАВС кут С прямий, а
К, Р, Т — точки дотику вписано­
го в трикутник кола (мал. 230).
Оскільки АР - А Т і ВК = ВТ,
то АС+ В С - АВ= РС + СК= 2г,
або 2 г = а + Ь - с.
В
Я Мал. 230
• З а д а ч і і в п р а в и
Я Ш ВИКОНАЙТЕ УСНО В И Н Н І
5 5 6 . Скільки спільних точок можуть мати коло і пряма?
5 5 7 . Скільки спільних точок можуть мати круг і пряма?
5 5 8 . Скільки спільних точок мають трикутник і описане навколо
нього коло?
5 5 9 . Скільки спільних точок можуть мати трикутник і коло?
5 6 0 . Чи через будь-які 4 точки можна провести коло?
5 6 1 . Чи можна в коло діаметра 1 м вписати трикутник з пери­
метром 8 м? А трикутник з периметром 8 см?
Ш ЯШ А я я я ш я я я ш ш я я ш я я я ш ш ш я я ш я я
5 6 2 . Накресліть довільний трикутник і опишіть навколо нього
коло.
5 6 3 . Накресліть довільний трикутник і впишіть у нього коло.
5 6 4 . Кожна з хорд AB і ВС дорівнює радіусу кола. Знайдіть кути
трикутника ABC.
1 5 1

150. розділ 4 К о л о і круг. Г е о м е т р и ч н і п о б у д о в и
5 6 5 . Доведіть, що не існує кола, яке б проходило через три точ­
ки однієї прямої.
5 6 6 . Чому два різні кола не можуть мати три спільні точки?
5 6 7 . Порівняйте довжину кола і периметр вписаного в нього
трикутника.
5 6 8 . Прикиньте, як відносяться радіуси кіл: описаного навколо
рівностороннього трикутника і вписаного в нього.
5 6 9 . Чи можуть дотикатися два кола: вписане в трикутник і опи­
сане навколо того самого трикутника?
5 7 0 . Чи може центр кола, вписаного в трикутник, бути центром
кола, описаного навколо того самого трикутника?
5 7 1 . Покажіть на малюнку, що центр кола, описаного навколо
трикутника, може лежати в його внутрішній області, або на
його стороні, або поза трикутником.
5 7 2 . Навколо рівностороннього трикутника описано коло. Під
яким кутом з центра цього кола видно сторону трикутника?
5 7 3 . У рівносторонній трикутник вписано коло. Під яким кутом
з центра цього кола видно сторону трикутника?
5 7 4 . Центр кола О, описаного навколо рівностороннього три­
кутника АВС, сполучено відрізками з вершинами трикут­
ника. Доведіть, що трикутники ОА В, ОВС і ОСА дорів­
нюють один одному. Знайдіть кути цих трикутників.
5 7 5 . Трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см прямокутний.
Чому дорівнює радіус описаного навколо нього кола?
5 7 6 . Кожний трикутник, сторони якого пропорційні числам 3, 4
і- 5, — прямокутний. Знайдіть радіус кола, описаного
навколо трикутника зі сторонами 15 м, 20 м і 25 м.
5 7 7 . Одне коло вписане в рівносторонній трикутник, друге —
описане навколо того самого трикутника. Доведіть, що:
1) центри цих кіл збігаються;
2) радіуси кіл відносяться як 1 : 2.
1 5 2

151. К о л о і тр и к у тн и к § 1 9
5 7 8 . Вписане в трикутник АВС коло
дотикається до його сторін у точках
К, Р, Т(мал. 231). Доведіть, що:
1) АР +СК +В Т = А Т +ВК +СР,
2) ВК = 0,Ь{АВ +В С -А С ).
5 7 9 . Знайдіть радіус кола, вписаного
в прямокутний трикутник зі сторо­
нами 3, 4 і 5.
5 8 0 . Знайдіть периметр прямокутного
трикутника, описаного навколо
кола радіуса г, якщо його гіпотенуза дорівнює с.
Мал. 231
5 8 1 . Вписане в прямокутний трикутник АВС коло дотикається
до катетів АС і СВ в точках Р і К. Знайдіть довжину л ам а­
ної КВАР, якщо АВ= 17 см.
5 8 2 . На сторонах кута В, що м ає 120°, відкладено відрізки АВ=
= ВС= 4 см. Проведіть коло через точки А, В, Сі знайдіть
його радіус.
5 8 3 . Доведіть, що одна з медіан (яка?) розбиває прямокутний
трикутник на два рівнобедрені трикутники.
2 СПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ Ш Л
5 8 4 . Знайдіть довжину кола і площу круга радіуса 8 см.
5 8 5 . Знайдіть площу прямокутника, периметр якого дорівнює
2 0 0 м, а одна сторона в півтора рази більша за другу.
5 8 6 . А АВС = /MNK- Сторони А АВС відносяться як 2 : 3 : 4.
Знайдіть сторони А ММК, якщо його периметр 45 см.
5 8 7 . А АВС = /МИК, АС = 17 см, ЛГЛ/ - МК = 5 см. Знайдіть
сторони А АВС, якщо РлАвс = 38 см.
5 8 8 . Сторони трикутника пропорційні числам 7, 5 і 8. Знайдіть
периметр трикутника, якщо:
а) сума найменшої і найбільшої сторін дорівнює 3 9 см;
б) різниця найбільшої і найменшої сторін дорівнює 9 см;
в) найменша сторона на 12 см менша за півпериметр;
г) найбільша сторона менша за суму двох інших на 8 см.
1 5 3

152. розділ 4 К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
§ 20. Геометричні побудови
Користуючись лінійкою1 і циркулем,
можна виконувати багато геометричних побудов, тобто креслити
геометричні фігури. Розглянемо спочатку, як виконувати най­
простіші геометричні побудови.
с• —І ІІ ■IIII.І.1«■■І■
ь
а
ЗАДАЧА 1. Побудуйте трикутник з да­
ними сторонами.
РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай дано три відріз­
ки: а, Ь і с{мал. 232). Треба побудува­
ти трикутник, сторони якого дорівню­
вали б цим відрізкам. За допомогою
лінійки проводимо довільну пряму,
позначаємо на ній довільну точку В
і відкладаємо циркулем на цій самій
прямій відрізок ВС = а. Розхилом
циркуля, що дорівнює с, описуємо ду­
гу кола з центром В. З того самого бо­
ку від прямої СВ описуємо дугу кола
радіуса Ь з центром С. Точку перетину
А цих дуг сполучаємо відрізками з Сі
В. Трикутник АВС— той, який вимага­
лось побудувати, бо його сторони ВС,
АС і АВ дорівнюють даним відрізкам.
Я ЗАУВАЖЕННЯ. Якщо побудовані дуги не перетинаються, трикут­
ник побудувати не можна. Це буває тоді, коли один з даних від­
різків більший від суми двох інших або дорівнює цій сумі.
ЗАДАЧА 2. Побудуйте кут, що дорівнює
даному куту.
Я.РОЗВ’ЯЗАННЯ.Нехай дано кут АОВ і потрібно побудувати кут
КРТ, що дорівнює /.АО В (мал. 233). Будуємо промінь Р Т і дуги
рівних радіусів із центрами О і Р. Нехай одна з цих дуг перетинає
сторони кута АОВу точках А і В, а друга — промінь РТу точці Т.
Далі розхилом циркуля, що дорівнює АВ, описуємо третю дугу з
центром Т Якщо вона перетинає другу дугу в точці К, проводимо
1Вважаємо, що лінійка без поділок.
154

153. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и § 2 0
промінь РК. Кут КРТ — той, який вимагалось побудувати. Адже
трикутники КРТ >405рівні (за трьома сторонами), тому LKPT=
= /.АОВ.
ЗАДАЧА 3. Побудуйте бісектрису даного кута.
■ РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай АОВ (мал.
234) — даний кут. Довільним розхи­
лом циркуля опишемо дугу з центром
О. Нехай А і В — точки перетину цієї
дуги з променями ОА і ОВ. Із цент­
рів» і Яопишемо дуги такими самими
радіусами. Якщо А — точка перети­
ну цих дуг, то промінь О О — бісект­
риса кута АОВ. Справді, А АОО =
= А В О О за трьома сторонами. Тому
/.АОО = АООВ.
■ ЗАДАЧА 4. Поділіть даний відрізок
пополам.
■ РОЗВ’ЯЗАННЯ. Нехай АВ — даний
відрізок (мал. 235). З точок А і В
радіусом АВ описуємо дуги. Вони
перетнуться в деяких точках С і О.
Пряма СО точкою М ділить даний
відрізок пополам.
Справді, за трьома сторонами
А »С А = А ЯСА тому /'.АСМ =
= /.ВСМ. З а першою ознакою
А АСМ = АВСМ. Отже, АМ = ВМ.

154. розділ К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
° 1
>
Г,
<уМ
Р )А
■ Мал. 236
М
■ Мал. 238
■ ЗАДАЧА 5. Через дану точку Р про­
ведіть пряму, перпендикулярну до
даної прямої а.
■ РОЗВ’ЯЗАННЯ. Залеж но від того,
лежить чи не лежить точка Р на
прямій а, задачу можна розв’язува­
ти, як показано на малюнках 236
і 237. Опишіть і обґрунтуйте ці побу­
дови самостійно.
■ ЗАДАЧА 6. Через точку Р, що не
лежить на прямій АВ, проведіть
пряму, паралельну прямій АВ.
■ РОЗВ’ЯЗАННЯ. Через точку Р і до­
вільну точку А прямої АВ проводи­
мо пряму А Т (мал. 238). Будуємо
кут ТРМ, що дорівнює куту РАВ,
так, щоб ці кути стали відповідними
при прямих РМ, АВ і січній АР.
Побудована таким способом пряма
РМ задовольняє задачу, бо вона
проходить через дану точку Р і
паралельна прямій АВ, оскільки
АТРМ = А РАВ.
Для допитливих
Геометричними побудовами
часто доводиться займатися бага­
тьом людям. Ще в доісторичні
часи майсти, які робили колеса до
колісниць, уміли ділити коло на
кілька рівних частин. Тепер вико­
нувати такі побудови доводиться
фахівцям, які проектують чи ви­
готовляють шестерні, дискові
пилки (мал. 239), турбіни та різні
роторні механізми. Як би ви поді­
лили коло, наприклад, на 5, 6 чи
7 рівних частин? ■ Мал. 239
1 5 6

155. Г е о м е т р и ч н і п о б у д о в и
Основні креслярські інструменти —лінійка і циркуль —
майстровим людям були відомі ще кілька тисячоліть тому.
Слово лінійка походить від слова «лінія», яке латинською
мовою спочатку означало «льняна нитка». І слово циркуль
латинського походження, спочатку слово «циркулює»
означало коло, круг, обвід.
У Стародавній Греції лінійку і циркуль визнавали
єдиними приладами геометричних побудов. Задачу на
побудову вважали розв’язаною, якщо в ній всі побудови
виконувалися тільки за допомогою лінійки і циркуля.
Тепер фахівці, виконуючи ті чи інші побудови, вико­
ристовують косинець, транспортир, рейсмус, рейсшину та
інші креслярські засоби. #
: Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф
Ш Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Поясніть, як побудувати трикутник за трьома даними
сторонами.
2. Як побудувати кут, що дорівнює даному?
3. Як побудувати бісектрису даного кута?
4. Як поділити даний відрізок пополам?
5. Як через дану точку провести пряму, перпендикулярну
до даної прямої?
4. Як через дану точку провести пряму, паралельну даній
прямій?
® В и к о н а є м о р а з о м
ЕХ Поділіть дану дугу кола на дві рівні
частини.
■ Нехай дано дугу АВ кола з центром
О (мал. 240). Уявімо кут АОВ і про­
ведемо його бісектрису ОК. Трикут­
ники АОК і КОВ рівні, тому й дуги
АК і КВ дорівнюють одна одній.
1 5 7

156. З а д а ч і д л я п о в т о р е н н я
і
ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
До § 1 ___
647. Користуючись малюнком 250, вкажіть:
а) у якій точці перетинаються прямі
а і Ь
б) які точки належать прямій а,
прямій Ь
в) які точки не належать жодній
з прямих а і Ь;
г) чи належить точка О прямій а, прямій Ь.
64 8 . Точки А, В і С леж ать на прямій А. Точки М, /V, К не нале­
жать прямій а. Зобразіть це на малюнку.
64 9 . М Є а, N £ а, К £ а, причому N і К лежать по різні боки
від а. Зобразіть це на малюнку.
650. На прямій а дано точки А і В. Зобразіть точки М і N так,
щоб М леж ала між А і В а В — між М і N.
6 5 1 . Зобразіть на малюнку:
а) три прямі перетинаються в одній точці;
б) три прямі, дві з яких не перетинаються;
в) три прямі попарно перетинаються у трьох точках.
На скільки частин у кожному випадку прямі розбивають
площину?
д о § 2
652. М — внутрішня точка відрізка АВ. Знайдіть довжину АВ,
якщо ВМ= 5 см і:
а) АМна 2 см більший за ВМ
б) АМу 3 рази більший за ВМ;
в) АМ : ВМ = 3 : 2 ;
г) А В = ЗА М .
653. Точки А, В і Слежать на одній прямій, причому відрізок АВ
у 3 рази менший за ВС. Знайдіть АВ і ВС, якщо АС = 8 см.
Скільки р о зв’язків має задача?
654. Точки А, В, С і О лежать на одній прямій, причому АВ = 2 см,
ВС = 4 см, СО = 7 см. Чому дорівнює а Ь ? Розгляньте всі
можливі випадки.
1 7 2

157. З а д а ч і д л я п о в т о р е н н я
65 5 . Точка С — середина відрізка АВ, й — середина відрізка
АС. Знайдіть відношення АО АВ, АО ВС, В С : ОС.
65 6 . Точка С — середина відрізка АВ, О — середина СВ. Знай­
діть АВ, якщо:
а) СО= 2 см; 6) ВС - СО = 3 см; в) АС - ОС = 4 см.
65 7 . М — внутрішня точка відрізка АВ. К Р — середини відріз­
ків АМ і МВ відповідно. Знайдіть КР, якщо АВ= 10 см.
65 8 . Точка М — середина відрізка АВ, а точка /(ділить відрізок
АМ у відношенні А К : КМ= 1 : 2. Знайдіть МК, якщо:
а) АВ= 12 см; б) ВМ= 9 см; в) МВ - АК = 10 см.
6 5 9 . На прямій а лежать точки А, В і С, причому АВ = 12 см,
АС + СВ= 15 см. Знайдіть довжини відрізків АС і ВС.
6 6 0 .Точки А, В і Слежать на одній прямій. ВС = 6 см, АВ + АС =
= 10 см. Знайдіть АВ іАС.
6 6 1 . АВ = 10 см. С — середина АВ. На прямій АВ знайдіть усі
такі точки Д що ОА + ОВ+ ОС = 12 см. Зобразіть ці точки
на малюнку.
662. Точки А і в л еж а ть по різні боки від прямої а, точка М Є а.
АМ= 10 см, ВМ= 15 см, АВ= 23 см. Чи є точка М точкою
перетину прямих АВ і а ?
6 6 3 . Є лінійка з поділками 0; 3 см і 7 см. Як за допомогою цієї
лінійки побудувати відрізок завдовжки 4 см? 11 см?
До § 3
6 6 4 . ОМ— внутрішній промінь І.АОВ. Знайдіть САОМ і 4 ВОМ1
якщо £АО В= 80° і :
а) ^ А О М у З рази менший за /.МОВ]
б) /.ВО М на 20° більший за / .АОМ]
в) САОМ СВОМ= 1: 3;
г) /.ВОМ= /.АОМ.
66 5 . Прямий кут розбили двома внутрішніми променями на кути,
один з яких на 20° більший за другий і на 20° менший за
третій. Знайдіть ці кути.
6 6 6 . ОС — бісектриса /.АОВ, ОМ — бісектриса /.АОС.
Знайдіть /.АОВ, якщо / . МОС= 20°.
6 6 7 . /.АО В = 80°, / . ВОС = 20°, ОМ — бісектриса /.АОС.
Знайдіть /.МОС. Розгляньте всі можливі випадки.
1 7 3

158. К о л о і круг. Г е о м е т р и ч н і п о б у д о в и
О м Побудуйте кут, більший від даного удвічі.
■ Нехай АОВ — даний кут (мал. 241).
Опишемо дугу кола із центром О. Якщо
вона перетне сторони даного кута в
точках,4 і В, з В як із центра зробимо
засічку ВС = ВА і проведемо промінь
ОС. Кут АОС вдвічі більший за /-АОВ,
бо /А О В = /ВОС.
• З а д а ч і і в п р а в и
ШШ ВИКОНАЙТЕ УСНО Н В Н Н І
5 8 9 . Які з твердж ень правильні?
а) Щоб поділити кут на дві рівні частини, треба провести
його бісектрису.
б) Щоб поділити відрізок на дві рівні частини, треба провес­
ти його серединний перпендикуляр.
в) Щоб поділити дугу кола на дві рівні частини, треба про­
вести серединний перпендикуляр відрізка, що сполучає
кінці даної дуги.
г) Щоб знайти центр кола, описаного навколо трикутника,
треба провести серединні перпендикуляри двох сторін
трикутника.
а М І ^ ^ Н В Н В і Н
5 9 0 . Поділіть даний кут на 4 рівні частини.
5 9 1 . Побудуйте прямий кут.
5 9 2 . Побудуйте кут, міра якого: а) 45°; б) 22,5°; в) 60°; г) 30°.
5 9 3 . Побудуйте кут, утричі більший від даного гострого кута.
5 9 4 . Поділіть даний відрізок на 4 рівні частини.
5 9 5 . Як поділити пополам відрізок, довжина якого в кілька ра­
зів більша від найбільшого розхилу циркуля?
5 9 6 . Побудуйте відрізок, який у два рази більший відданого.
5 9 7 . Побудуйте відрізок, у 3 рази більший від даного відрізка.
5 9 8 . Поділіть дану дугу кола на чотири рівні частини.
5 9 9 . Побудуйте трикутник, рівний даному трикутнику.
6 0 0 . Побудуйте рівносторонній трикутник за даною його стороною.

159. 601. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і бічною
стороною.
602. Побудуйте прямокутний трикутник за двома катетами.
603. Побудуйте трикутник за двома сторонами і кутом між ними.
6 0 4 . Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною
і кутом при вершині.
60 5 . Побудуйте трикутник за стороною і прилеглими кутами.
6 6 ® Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і кутом
при основі.
Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и § 2 0
6 0 7 . Побудуйте трикутник за сторонами
З см. 4 см і 5 см. Опишіть навколо
нього коло.
608. Побудуйте трикутник і проведіть його
медіани.
609. Дано трикутник. Побудуйте його бісе­
ктриси.
61 0 . Дано трикутник. Побудуйте його висо­
ти. Розгляньте всі можливі випадки.
_І
И
М В
Я Мал. 242
611. Щоб через дану точку Р провести пряму, паралельну АВ,
можна спочатку провести РМ ± АВ, а потім РК ± РМ
(мал. 242). Обґрунтуйте цю побудову.
6 1 2*.Через дану точку проведіть пряму, яка перетинає дану пря
му під даним кутом.
■ ■ і ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ В В
613. Знайдіть міру кута, який у сумі з двома суміжними йому
кутами утворює кут 300°.
614. Доведіть, що кожна сторона квадрата АВСй з прямою АС
утворює кути по 45°.
615. Визначте вид трикутника, у якому сума двох кутів менша
від третього.
616. Під яким кутом перетинаються дві медіани рівносторон-
нього трикутника?
617. Побудуйте рівносторонній трикутник АВС, якщо АВ= 4 см,
і опишіть навколо нього коло.
1 5 9

160. К о л о і круг. Г ео м етр и ч н і п о б у д о в и
§ 21. Задачі на побудову
З геометричними побудовами мають
справу різні фахівці. Геометричні побудови виконують креслярі,
архітектори, конструктори, топографи, геодезисти, штурмани.
Геометричні фігури також будують: слю сар — на жерсті, сто­
ляр — на дошці, кравець — на тканині, садівник — на землі.
У задачі на побудову вимагається побудувати геометричну
фігуру, яка повинна задовольняти певні умови. У геометрії по­
будови виконують найчастіше за допомогою лінійки і циркуля.
Домовимось, що коли в задачі не говориться, якими інстру­
ментами треба виконувати побудови, маються на увазі тільки
лінійка (без поділок) і циркуль.
Складніші задачі на побудову часто розв’язують методом
геометричних місць. Нехай, наприклад, у задачі треба знайти
точку X, що задовольняє дві умови. Якщо першу умову задоволь­
няють точки фігури К, а другу — точки фігури Р, то X має нале­
жати кожній із цих фігур. Тобто X — точка перетину фігур К і Р.
ЗАДАЧА. Побудуйте прямокутний трикутник за даним кате­
том а і гіпотенузою с (мал. 243).
РОЗВ’ЯЗАННЯ. Будуємо прямий кут АСВ, на його стороні від­
кладаємо відрізок СВ = а. Точки С і В — дві вершини три­
кутника, який треба побудувати. Третя вершина має лежати,
по-перше, на промені СА, по-друге, на відстані с від В, тоб­
то на колі радіуса с із центром В. Якщо це коло перетинає
промінь СА в точці Д то трикутник АВС — той, який вимага­
лось побудувати. Адже його кут Спрямий, ВС= а, ВА = с.
1 6 0
*В
■ Мал. 244

161. Другий спосіб (мал. 244). Відкладаємо відрізок АВ = с і про­
водимо коло діаметра АВ — ГМТ, з яких АВ видно під пря­
мим кутом. Далі будуємо коло радіуса а з центром В — ГМТ,
віддалених від Д н а відстань а. Якщо два ГМТ перетинаються
в точці С, то трикутник АВС — той, який вимагалось побуду­
вати. Д ва розглянуті кола можуть перетинатися ще в одній
точці С|. Але трикутники АВС і АВСЛрівні, тому вважаю ться
одним розв’язком.
Складові частини розв’язання задачі на побудову — аналіз,
побудова, доведення і дослідження. В а н а л із і ш у к а є т ь с я с п о с і б
розв’язування задачі, в побудові виконується побудова, в дове­
денні обґрунтовується правильність виконаної побудови, в до­
слідженні з ’ясовується, скільки розв’язків м ає задача.
ЗАДАЧА. Побудуйте трикутник за даною стороною, прилег­
лим до неї кутом і сумою двох інших сторін (мал. 245).
■ РОЗВ'ЯЗАННЯ.
А н а л і з . Припустимо, що потрібний трикутник АВС побудо­
вано. Його сторона с і /.А = а — дані. Дано також відрізок,
який дорівнює сумі сторін о і б. За даними відрізками с
і а + Ь та кутом А між ними можна побудувати Д АВй. Вер­
шиною С шуканого трикутника буде така точка відрізка Ай,
для якої СЬ - СВ. Отже, точка С повинна лежати і на сере­
динному перпендикулярі відрізка Вй.
• П о б у д о в а . З а двома даними відрізками і кутом між
ними будуємо ЛАВО, після чого проводимо серединний
перпендикуляр / відрізка Вй. Нехай пряма / перетинає
відрізок А й у точці С. Проводимо відрізок СВ. Трикутник
АВС — той, який вимагалось побудувати.
Задачі н а п о б у д о в у § 2 1
В
1 6 1

162. ® Д о в е д е н н я . У д А 8 С АВ = с і/-А =а з а п о б у д о в о ю .
АС + СВ = АС + СО = а +Ь. О т ж е , /А В С з а д о в о л ь н я є всі
у м о в и з а д а ч і .
• Д о с л і д ж е н н я . З а д а ч а м а є р о з в 'я з о к т іл ь к и з а у м о в и ,
щ о а + Ь > с.
• З а у в а ж е н н я . Я к щ о з а д а ч а н е с к л а д н а і с п о с іб її р о з ­
в ’я з у в а н н я в ід о м и й , а н а л і з м о ж н а н е о п и с у в а т и . А в р о з в ’я
з а н н і н е о б о в ’я з к о в о в и д іл я т и а н а л і з , п о б у д о в у , д о в е д е н н я
і д о с л і д ж е н н я .
Для допитливих
У математиці найчастіше мають справу із задачами: на
обчислення, на доведення, на побудову, на перетворення
і на дослідження. Геометричними задачами на побудову
активно цікавилися античні геометри. Допускаючи тільки
класичні побудови (які виконуються лише лінійкою і цирку­
лем), вони досліджували, які з побудов можна виконати, а які
не можна. Зокрема, з’ясовували:
1) чи можна будь-який кут поділити на три рівні частини;
2) чи можна побудувати квадрат, плоша якого дорівнювала
б площі даного круга;
3) чи можна побудувати ребро такого куба, об’єм якого
був би у 2 рази більший за об’єм даного куба.
Багато століть видатні геометри намагалися розв’язати ці
задачі і не змогли. Ці три класичні задачі давнини дістали
спеціальні назви: 1) трисекція кута, 2) квадратура круга, 0
3) подвоєння куба. Останню задачу називають ще делоською
задачею, пов’язуючи її з давньогрецькою легендою, за якою
оракул бога Аполлона погодився врятувати жителів острова
Делос від чуми, якщо кубічний жертовник у делоському
храмі замінять жертовником такої самої форми, але вдвічі
більшого об’єму. Тільки майже через 2000 років учені переко- #
цалися, що жодну з цих трьох задач за допомогою лише
лінійки і циркуля розв’язати не можна. •
Тепер фахівці, яким доводиться виконувати геометричні «
побудови, користуються не тільки лінійкою і циркулем. •
З погляду класичних методів такі побудови наближені. Але *
для практичних потреб точність, яку забезпечують набли- *
жені методи, цілком достатня. •
розділ 4 Коло і круг. Геометричні побудови____________________________ ____________
1 6 2

163. Задачі на побудову § 2 1
| Запитання і завдання для самоконтролю
I
I. Якими інструментами найчастіше виконують побудови
в геометрії?
2. Назвіть складові частини розв’язання задачі на побудову.
3. Що таке трисекція кута, квадратура круга, подвоєння
куба?
Н і Ч ерез дану точку проведіть дотичну до даного кола.
В Якщо дана точка А лежить на колі центра О (мал. 247, а),
проводимо промінь ОА, потім — пряму АК, перпендикулярну
до ОА. Пряма А К — дотична, яку вимагалося побудувати.
Якщо точка А лежить поза даним колом центра О
(мал. 247, 6), то на діаметрі ОА описуємо коло. Воно пере­
тнеться здан и м колом у двох точках К Р. Прямі АК А Р —
шукані дотичні, бо АК 1 ОК і АР 1 ОР. (Із точок К і Я допо­
міжного кола його діаметр ОМ видно під прямими кутами
АКО і АРО.) У цьому випадку задача м ає два р о зв’язки.
Якщо точка А лежить всередині кола, задача не має
р о зв’язку, бо дотичну провести не можна.
• В и к о н а є м о р а з о м
Е р Знайдіть центр даного кола.
■ П означимо на даному колі три
довільні точки А, В і С (мал. 246).
Уявимо хорди АВ, ВС і проведемо
їх серединні перпендикуляри п і т.
Точка О, в якій перетинаю ться
прямі /? і /77, — центр даного кола.
Адже ОА ~ ОВ = ОС. ■ Мал. 246
163

164. розділ Ч Коло і круг. Геометричні побудови
З а д а ч і і в п р а в и
Я А Н Н Н Н
6 1 8 . Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і висотою,
проведеною до основи.
6 1 9 . Побудуйте прямокутний трикутник:
1) за гіпотенузою і гострим кутом;
2) за гіпотенузою і катетом;
3) за катетом і прилеглим до нього гострим кутом;
4) за катетом і протилежним кутом.
620.1 П о б у д у й т е т р и к у т н и кза двом а сторонами ! м е д і а н о ю , про­
веденою до однієї з них.
6 2 1 . Побудуйте трикутник за двома сторонами і висотою, прове­
деною: 1) до однієї з них; 2) до третьої сторони.
6 2 2 . Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник:
1) за даним катетом; 2) за гіпотенузою;
3) за медіаною, проведеною до гіпотенузи.
Знайдіть на даній прямій точку, що лежить на даній відстані
від другої даної прямої.
Знайдіть на даній прямій точку, що лежить на однакових
відстанях від двох даних точок.
6 2 5 . Побудуйте коло, що дотикається до сторін даного кута, при­
чому до однієї з них — у даній точці.
62 6 . Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і радіусом
описаного кола.
6 2 7 . Побудуйте трикутник за двом а сторонами і радіусом описа­
ного кола.
62 8 . Побудуйте трикутник за стороною, медіаною, проведеною
до цієї сторони, і радіусом описаного кола.
6 2 9 . Побудуйте рівнобедрений трикутник за радіусом описаного
кола і основою.
623
6 2 4
6 3 0 . Побудуйте прямокутний трикутник за ра­
діусом описаного кола і гострим кутом.
6 3 1 . Дано паралельні прямі а, Ь і точку А між
ними (мал. 248). Побудуйте коло, що
проходить через точку А і дотикається
до прямих а і Ь.
а
. А
Мал. 248
164

165. 6 3 2 ‘.Побудуйте рівносторонній трикутник за радіусом описано­
го кола.
6 3 3 . Як побудувати спільну дотичну:
а) до двох кіл, радіуси яких однакові;
б) до двох кіл, радіуси яких різні?
6 3 4 . Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висо­
тою, проведеною з вершини прямого кута.
6 3 5 . Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і сумою двох
інших сторін.
6 3 6 . Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і радіусом
вписаного кола.
6 3 7 . Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і радіусом
вписаного кола.
638*.Побудуйте геометричне місце точок, з яких даний відрі­
зок а видно під кутом 90°.
6 3 9 . Побудуйте прямокутний трикутник за даними медіаною і
висотою, проведеними до гіпотенузи.
6 4 0 . Покажіть, як можна наближено поділити:
а) коло на 7 рівних частин;
б) довільний кут на 3 рівні частини;
в) довільну дугу кола на 5 рівних частин.
■ і ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ШШ
6 4 1 . Поділіть прямий кут на 3 рівні частини.
6 4 2 . З вершини В &АВС проведено висоту ВН і медіану ВМ.
АН = 3 см, АС = 10 см. Знайдіть НМ,
якщо: 1) LA — гострий; 2) LA — тупий.
6 4 3 . Доведіть, що бісектриси двох вертикаль­
них кутів леж ать на одній прямій.
6 4 4 . Точку, рівновіддалену від усіх верш ин
рівностороннього трикутника, сполучили
з його верш инами (мал. 249). Доведіть,
що всі три утворені трикутники рівні.
6 4 5 . Радіуси двох кіл 3 см і 5 см. Чи перети­
наються вони, якщо відстань між їх центрами дорівнює:
а) 1 см; б) 3 см; в) 8 см; г) 10 см?
6 4 6 . Побудуйте розгорнутий k v t і поділіть його на 4 рівні частини.
Задачі на побудову § 21
В
1 6 5

166. розділ 4 Коло і круг. Геометричні побудови
• З а д а ч і з а го т о в и м и м а л ю н к а м и
О О
АС, ВО — діаметри.
Довести: -----^£>
АВ II СО. X А ч
аС
/ — 7е
Д - '
АВ =8, £А= 60°,
е£> = 30°. ^ ______^ в
Г/Ю°К / л
Ч ° /
Г Гі= 2 і 3, 0і 02 =15. о,а = зо 2а , о,о2 = 10.
Гь г2 _____
в Д л 'у
01^, ОіА -----
( , г Л ,
О1 Д 02 ^ О Г Щ Т
ОВ=ЗОА,
АВ= 18. ^
___ /
. в
ДС — спільна дотична.
со2
30° В.
( о Д 0 2 )
СК = 2, КВ = 7, В, Р ,С — точки дотику,
166

167. Коло і круг. Геометричні побудови
= 60°, 0 8 = 5.
З а д а ч і з а го т о в и м и м а л ю н к а м и
£ВАС= 60°, 0 8 = 6 .
АВ= ВС,
ВМ= 5,
К С = 3.
Р&АВС
МВ = 3, А М -Ь ,
АВ = 2Ь, АС = 7, Л /У :№ 3 = 3 :2 , ОЛ/=4, а
Р & ав с — 48.
/4Д ВС, АС
АС = 10.
АО
ОА = 7, 120°,
АВ=ВС. В
1 6 7

168. • С а м о с т ій н а р о б о т а 5
В аріант 1
1°. Знайдіть довжину чверті кола радіуса 10 см.
2* Користуючись циркулем і лінійкою з поділками, побудуйте
прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом, довж и­
ни яких дорівнюють 8 см і 4,5 см. Опишіть навколо цього
трикутника коло.
3°. Сформулюйте означення серединного перпендикуляра.
В аріант 2
1°. Знайдіть площу чверті круга радіуса 20 см.
2* Користуючись циркулем і лінійкою з поділками, побудуйте
прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом, довж и­
ни яких дорівнюють 8 см і 4 см. Опишіть навколо цього
трикутника коло.
З . Сформулюйте означення дотичної кола.
■ ■ І В аріант З
1°. Вписане в прямокутний трикутник коло м ає радіус 5 см.
На скільки сума катетів більша за гіпотенузу?
2* Користуючись циркулем і лінійкою з поділками, побудуйте
прямокутний трикутник за гіпотенузою і катетом, довж и­
ни яких дорівнюють 8 см і 5 см. Опишіть навколо цього
трикутника коло.
З . Сформулюйте означення кола, описаного навколо три­
кутника.
В аріант 4
1‘. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщ о
радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівню є г.
2*. Користуючись циркулем і лінійкою з поділками, побудуйте
трикутник за трьома сторонами, довжини яких дорівню ­
ють 3 см, 3,5 см і 4 см. Опишіть навколо цього трикутника
коло.
З . Сформулюйте означення кола, вписаного в трикутник.
168

169. Коло і круг. Геометричні побудови
• Тестові завдання 5
1 . Діаметр кола дорівнює 6 см.
Довжина кола дорівнює:
а)6л тсм ; б )3 л :см ;
в )9 л :с м ; г) 3 6 жсм.
2. Центр кола, вписаного в трикутник,
лежить у точці перетину:
а) бісектрис;
б) медіан;
в) висот;
г) серединних
перпендикулярів.
3 . Центр кола, описаного навколо
прямокутного трикутника, лежить на
середині:
а) медіани;
б) катета;
в) гіпотенузи;
г) бісектриси.
4. Гіпотенуза прямокутного трикутника
дорівнює 12 см. Знайдіть радіус
описаного кола.
а) 10 см; б) 6 см;
в) 4 см; г) 12 см.
5. Сторони прямокутного трикутника
дорівнюють 6 см, 8 см і 10 см.
Знайдіть радіус вписаного кола.
а) 4 см; б) 8 см;
в) 12 см; г) 2 см.
6. Із точки А до кола проведено до­
тичні АВ і АС {В С — точки дотику).
Яке з тверджень правильне?
а)А В =АС б)АВ<АО,
а)АВ>АС г)А В *А С .
7 . Кола радіусів 3 см і 7 см
дотикаються зовні. Знайдіть
відстань між центрами кіл.
а) 2 см; б) 4 см;
в) 10 см; г) 5 см.
8. Знайдіть ширину кільця, утвореного
концентричними колами радіусів
3 см і 5 см.
а) 8 см; б) 2 см;
в) 4 см; г)4л:см .
9. 3 точки А до кола з центром О
проведено дотичну А В {В — точка
дотику). L A B O :
а) гострий;
б) прямий;
в) тупий;
г) розгорнутий.
10.Геометричним місцем точок
площини, рівновіддалених від
даної точки, є:
а) коло; б) квадрат;
в) круг; г) куб.

170. І розділ 4 Коло і круг. Геометричні побудови
• Типові задач і д л я контрольної роботи
1 . Накресліть коло діаметра 5 см.
Чому дорівнює його радіус?
2 . Чи мають спільні точки два кола, радіуси яких 2 см і 5 см,
а відстань між їх центрами 8 см?
3 . Знайдіть міру кута, під яким із центра кола видно сторону
вписаного рівностороннього трикутника.
4 . Побудуйте відрізок утричі більший за даний.
5т Кут між двома радіусами кола дорівнює 130°.
Знайдіть кут між дотичними, проведеними через кінці
цих радіусів.
6 : Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їх
центрами дорівнює 16 см. Знайдіть радіуси цих кіл,
якщо вони відносяться як 3 : 5.
7 ї Навколо трикутника АВСз кутами /-А = 30° і /-В= 60°
описано коло. Знайдіть його радіус, якщо АВ = 10 см.
8 : Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою АС = 5 см
і катетом АВ = 3 см. Опишіть навколо нього коло.
9*! Доведіть, що коли два кола з центрами О і О,
перетинаються в точках А і В, то АВ±О О г.
10*ї Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною
стороною (6 см) і проведеною до неї медіаною {5 см).

171. Головне в розділі 4
Коло — фігура, що складається з усіх точок площини, рівно-
віддалених від даної точки. Круг — частина площини, обмежена
колом. Пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку ілежить
у площині кола, називається дотичною до кола. Хорда кола —
відрізок, кінці якого належать даному колу. Найбільша хорда
кола — його діаметр.
Діаметр кола, проведений через середину хорди, відмінної
від діаметра, перпендикулярний до неї.
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного
в точку дотику.
Коло, яке проходить через усі вершини трикутника, н ази ва­
ється описаним навколо даного трикутника. Коло, яке доти­
кається до всіх сторін трикутника, — вписане в даний трикутник.
Навколо кожного трикутника можна описати коло і в кожний
трикутник можна вписати коло. Центром кола, вписаного в три­
кутник, є точка перетину бісектрис трикутника. Центр кола,
описаного навколо трикутника, — точка перетину серединних
перпендикулярів сторін даного трикутника.
Серединний перпендикуляр відрізка — пряма, яка перпен­
дикулярна до даного відрізка і проходить через його середину.
Користуючись тільки лінійкою і циркулем, можна: будувати
трикутник за трьома даними сторонами і кут, що дорівнює дано­
му: проводити бісектрису кута; ділити навпіл відрізок; будувати
пряму, перпендикулярну до даної прямої, тощо.
Один з найважливіших видів геометричних задач — задачі
на побудову. Найчастіше їх розв’язують методом геометричних
місць.
Геометричне місце точок — це множина точок, які мають
певну властивість.
Геометричним місцем точок, рівновіддалених ВІД КІНЦІВ
відрізка, є серединний перпендикуляр цього відрізка. Йдеться
про фігури однієї площини.
Геометричне місце точок кута, рівновіддалених від його
сторін, — бісектриса цього кута.
1 7 1

172. Задачі для повторення
ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
До |^1
6 4 7 . Користуючись малюнком 250, вкажіть:
а) у якій точці перетинаються прямі
а і Ь
б) які точки належать прямій а,
прямій Ь
в) які точки не належать жодній
з прямих а і Ь;
г) чи належить точка О прямій а, прямій Ь.
648. Точки А, В і С лежать на прямій А. Точки М, /V, К не нале­
жать прямій а. Зобразіть це на малюнку.
649. М Є: а, N £ а, К £ а, причому N і К лежать по різні боки
від а. Зобразіть це на малюнку.
650. На прямій а дано точки А і В. Зобразіть точки М і N так,
щоб М леж ала між А В а В — між М і N.
6 5 1 . Зобразіть на малюнку:
а) три прямі перетинаються в одній точці;
б) три прямі, дві з яких не перетинаються;
в) три прямі попарно перетинаються утрьох точках.
На скільки частин у кожному випадку прямі розбивають
площину?
д о § 2
652. М — внутрішня точка відрізка АВ. Знайдіть довжину АВ,
якщо ВМ= 5 см і:
а) АМ на 2 см більший за ВМ
б) АМ у 3 рази більший за ВМ ;
в) АМ : ВМ = 3 : 2 ;
г) А В = ЗА М .
653. Точки А, В і Слежать на одній прямій, причому відрізок АВ
у 3 рази менший за ВС. Знайдіть АВ і ВС, якщо АС = 8 см.
Скільки розв’язків має задача?
654. Точки А, В, С і О лежать на одній прямій, причому АВ = 2 см,
ВС = 4 см, СО = 7 см. Чому дорівнює а Ь ? Розгляньте всі
можливі випадки
1 7 2

173. Задачі для повторення
6 5 5 . Точка С — середина відрізка АВ, О — середина відрізка
АС. Знайдіть відношення А й : АВ, А О : ВС, ВС : ОС.
656. Точка С — середина відрізка АВ, й — середина СВ. Знай­
діть АВ, якщо:
а) СО= 2 см; б) ВС - СО = 3 см; в) АС - ОС = 4 см.
6 5 7 . М — внутрішня точка відрізка АВ. К і Р — середини відріз­
ків АМ і МВ відповідно. Знайдіть КР, якщо АВ = 10 см.
658. Точка М — середина відрізка АВ, а точка /(ділить відрізок
АМ у відношенні А К : КМ= 1 : 2. Знайдіть МК. якщо:
а) АВ = 12 см; б) В М - 9 с м ; в) МВ - АК = 10 с м .
659. На прямій а лежать точки А, В і С, причому АВ = 12 см,
АС + СВ = 15 см. Знайдіть довжини відрізків АС і ВС.
6 6 0 . Точки А, В і Слежать на одній прямій. ВС = 6 см, АВ + АС =
= 10 см. Знайдіть АВ іАС.
6 6 1 . АВ = 10 см. С — середина АВ. На прямій АВ знайдіть усі
такі точки О, що ОА + ОВ + ОС = 12 см. Зобразіть ці точки
на малюнку.
662. Точки А і В леж ать по різні боки від прямої а, точка М Є а.
АМ - 10 см, В М - 15 см, АВ = 23 см. Чи є точка Латочкою
перетину прямих АВ і сг?
6 6 3 . Є лінійка з поділками 0; 3 см і 7 см. Як за допомогою цієї
лінійки побудувати відрізок завдовжки 4 см? 11 см?
До § 3 ___
664. ОМ— внутрішній промінь І.АОВ. Знайдіть АОМ і І.ВОМ,
якщо 2.АОВ = 80° і :
а) А-АОМуЗ рази менший за А.МОВ;
б) А-ВОМна 20° більший за А.АОМ
в) А.АОМ А.ВОМ= 1 : 3;
г) А.ВОМ= А.АОМ.
665. Прямий кут розбили двома внутрішніми променями на кути,
один з яких на 20° більший за другий і на 20° менший за
третій. Знайдіть ці кути.
6 6 6 . ОС — бісектриса А.АОВ, ОМ — бісектриса А.АОС.
Знайдіть А.АОВ, якщо А.МОС = 20°.
667. А.АОВ = 80°, А.ВОС = 20°, ОМ — бісектриса А.АОС.
Знайдіть А-МОС. Розгляньте всі можливі випадки.
1 7 3

174. 6 6 8 . ОС— бісектриса LAOB, ОМ— внутрішній промінь LAOC,
LAOM : LMOC = 1 : 3 . Знайдіть LAOM і LAOB, якщо
L МОС = 60°.
669. Розгорнутий кут поділено променем на два кути так, що
половина одного з них дорівнює третині другого. Знайдіть
ці кути.
670*. ОС — бісектриса l AOB, М — внутрішня точка LAOC.
Доведіть, що LM OCдорівнює піврізниці кутів ВОМ АОМ.
671*. ОС — бісектриса LAOB. ОА — бісектриса LMOC. До­
ведіть, що L МОС дорівнює півсумі кутів АОМ і ВОМ.
672. Є косинець із кутом 50°. Як за його допомогою побудувати
кут 100°; 80°; 160°?
до § 4
6 7 3 . LAOB і L B O C - суміжні кути. Визначте LAOB, якщо:
а) LBOC = 50°;
б) LB O C більший за LAOB на 20°;
в) LBOC менший за LAOB у 4 рази;
г) LAO B LBOC= 3 : 2 ;
ґ) LAOB - LBOC= 30°.
674. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює
35° 25'. Обчисліть інші кути.
675. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, у 2 рази
більший за другий. Визначте міри утворених кутів.
676. Прямі АВ і CD перетинаються в точці О, причому LAOC =
= 130°. Знайдіть кут між бісектрисами:
a) L СОВ і 4 BOD; б) L СОВ і LA O D .
677. Прямі АВ і CD перетинаються в точці О. Доведіть, що
бісектриси кутів ВОС і АОС перпендикулярні,
678. Прямі АВ і CD перетинаються в точці О, ОЕ— бісектриса
LBOD, L D O E - 55°. Знайдіть LAOC і LCOB.
679. LAOB і LBOC — суміжні кути, О Е — бісектриса LBOC,
LEOC = 45°. Доведіть, що ОВ і. АС.
680. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, у 9 разів
менший за суму трьох інших кутів. Знайдіть ці кути.
6 8 1 . Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, у 4 рази
більший за суму двох суміжних з ним кутів. Обчисліть ці кути.
_3адачі для повторення
1 7 4

175. до § 5
Задані для повторення
682. За допомогою транспортира побудуйте /1 АОВ= 70°. М —
внутрішня точка /.АО В . Ч ерез точку М проведіть прямі,
перпендикулярні до сторін кута.
683. За допомогою транспортира побудуйте 2 АОВ= 120°. М —
внутрішня точка /.АО В . Ч ерез точку М проведіть прямі,
паралельні сторонам кута.
684. Площа квадрата А В С йдорівнює 16 см2. Знайдіть відстань
від точки А до сторін ВС і СО.
685. Периметр прямокутника АВСО дорівнює 20 см. АВ менша
за ВС на 2 см. Побудуйте даний прямокутник і знайдіть
відстань від точки А до сторін ВС і СО.
6 8 6 . /.АОВ і /.ВО С — суміжні кути. Чи перпендикулярні промені
ОМ і ОЫ (М — внутрішня точка /.АОВ, N — /.ВОС), якщо:
а) 2 ВОС= 50°, О/У— бісектриса /.ВОС, /.АОМ= 70°;
б) ААОВ : СВОС = 2 : 1 , 2 МОВ = 2.АОВ, 2 СОЫ =
= 10°;
в) сА О В - / .ВОС= 20°, сМОВ= АМОС= 40°:
г) 4 ООС = ААОВ, 4/У О С : ^М Л З = 1 : 2 , САОМ -
- СВОМ= 24°?
До § 6
6 8 7 . Чи паралельні прямі а і £(м ал. 251),
якщо:
а) 2.1 = 40°, 2.2 = 140°;
б) 2.1 у 3 рази менший за 2.2,
а 2.2 на 90° більший за 2 1 ;
в) 2 1 : 2 2 = 1 : 4, а 2 1 на 108°
менший за 2 2 ?
6 8 8 . ВМ — бісектриса /.АВС (мал. 252).
Чи паралельні прямі а і Ь, якщо:
а) 2 1 = 160°, /.АВМ= 80°;
б) ССВМ= 50°, 2 1 = 120°;
в) /.АВМ у 2 рази менший за 2 1 ?
1 7 5

176. Задачі для повторення
689. Запишіть пари паралельних прямих
(мал. 253), якщо:
а) 4 1 = 120°, 4 2 = 70°, 4 3 = 60°;
б) 4 1 = 120°, 4 3 = 80°, 4 4 = 100°;
в) 4 2 = 60°, АЗ = 80°, 4 4 = 120°;
г) 4 3 = 4 2 = 60°, 4 4 = 120°.
690. Доведіть, що протилежні сторони квад­
рата лежать на паралельних прямих.
6 9 1 . Учотирикутнику ABCD A BAD у 2 рази
менший за ААВС, а а АВС на 60°
більший за A BAD. Доведіть, що
BCWAD.
692. У чотирикутнику ABCD пряма BD ді­
лить навпіл ААВС і AADC. Чи пара­
лельні протилежні сторони чотирикут­
ника, якщо:
а) ААВС= 140°, ABDC= 70°;
б) ААВС= AADC?
693. Запишіть пари паралельних
прямих (мал. 254), якщо:
а) А1 = 70°, А2 = 80°, АЗ = 110°;
б) А І = 60°, А2 = 60°, АЗ = 100°;
в) А І = 50°, А2 = 80°, АЗ = 100°;
г) 4 1 = 4 2 = 40°, АЗ = 140°.
694. На сторонах А В і ВС А АВС(м ал.255)
взято точки М і N так, що МС — бісек­
триса AAMN, ААСМ = 50°. Доведіть,
що MNWAC, якщо ABMN= 80°.
до § 7
■ Мал. 254
В
6 9 5 . Прямі а і Ь паралельні (мал. 256).
Знайдіть АЗ, якщо:
а) А 1 = 70°;
б) А І на 30° менший за А2;
в) 4 1 : 4 2 = 4 : 5;
г) 4 1 становить -§■ 4 2 .
О
1 7 6

177. Задачі для повторення
' 4
Мал. 258
696. Р о зв ’яжіть задачі, користуючись малюнком 257:
а) 4 1 = 80°, 4.2 = 100°, /13 = 60°. Знайдіть 4 4 ;
б) /14 = 4 .3 , /12 = 2 4.1. Знайдіть /11 і 4.2;
в) /11 = 55°, /12 = 125°, /15 :/!3 = 3 :1 . Знайдіть 4 4;
г) /13 =70°, /15 = 110°, /12 - /11 = 70°. Знайдіть 4 1 і 4 2 .
697. II С й .А й — бісектриса 4 С 4 Д (мал. 258). /1>40С= 50°.
Знайдіть Л-АСО.
698. На сторонах .4 # і ВС Л АВС взято точки М і N так, що
N N II АС (мал. 255). /1А С М - 65°, МС — бісектриса ^АМИ.
Знайдіть £.ВМИ і І.ВАС.
699. Чи паралельні прямі а і с(м ал.
259), якщо:
а) 4.1 + 4 2 = 180°, /13 = 4.4;
б) 4.2 = 50°, /13 = 100°, 4.4 =
= 100°, /11 - /14 = 30°;
в) 4 2 : 4 3 = 1 : 2, 4 3 - 4 2 =
= 60°, 4 1 = 4 3 , 4 4 = 130°? ■ Мал. 259
до § 8
700. Доведіть, що кути, утворені при перетині двох перпендику­
лярних прямих, рівні.
701. Доведіть, що зовнішні різносторонні кути, утворені січною
з паралельним и прямими, рівні.
702. Доведіть, що зовнішні односторонні кути, утворені січною
з паралельними прямими, в сумі дорівнюють 180°.
1 7 7

178. Задачі для повторення
703. Д о в е д іт ь , щ о п р о т и л е ж н і с т о р о н и п р я м о к у т н и к а п а р а л е л ь н і.
704. Д о в е д іт ь , щ о б іс е к т р и с и з о в н іш н іх р із н о с т о р о н н іх кутів,
у т в о р е н и х с іч н о ю з п а р а л е л ь н и м и п р я м и м и , п а р а л е л ь н і .
705. Н а п р я м ій п о с л і д о в н о в з я т о т о ч к иА, В, С і D. М — с е р е д и ­
н а в і д р із к а ВС, АВ= CD. Д о в е д іт ь , щ о М — с е р е д и н а AD.
706. У ч о т и р и к у т н и к уABCD ВС WAD. Д о в е д іт ь , щ о с у м а кутів
А і В д а н о г о ч о т и р и к у т н и к а д о р і в н ю є су м і кутів С іD.
707. У Л / 4 Д С Р Є АВ, К Є ВС, РК Іі АС. Д о в е д іт ь , щ о кути
/А В С д о р ів н ю ю т ь к у т а мЛРВК.
708. Ч е р е з т о ч к у н а п л о щ и н і п р о в е д е н о4 п р я м і. Д о в е д іт ь , щ о
п р и н а й м н і о д и н з у т в о р е н и х к у тів м е н ш и й з а47°.
до § 9
7 0 9 . З н а й д і т ь п е р и м е т р т р и к у т н и к а , я к щ о о д н а з й о г о с т о р і
д о р і в н ю є 5 с м , д р у г а н а 3 с м б іл ь ш а , а т р е т я н а 3 с м м е н
ш а з а с у м у п е р ш и х д в о х .
7 1 0 . Чи існ у є т р и к у т н и к , у я к о г о о д н а с т о р о н а в 2 р а з и б іл ь ш
з а другу, т р е т я н а 1 с м м е н ш а з а другу, а п е р и м е т р д о р і в
н ю є 1 1 с м ?
7 1 1 . Д в і с т о р о н и т р и к у т н и к а д о р ів н ю ю т ь 2 с м і 3 с м . Я к о м
ц іл о м у ч и с л у с а н т и м е т р і в м о ж е д о р і в н ю в а т и т р е т я с т о р о н а
т р и к у т н и к а ?
7 1 2 . З в е р ш и н и В /А В С п р о в е д е н о в и с о т уВК. З н а й д і т ь КС,
я к щ о АС = 1 0 с м , АК = 3 с м . Р о з г л я н ь т е в и п а д к и , к о л и :
a ) L A — г о с т р и й ; б ) 4 А — т у п и й .
7 1 3 . У A ABC п р о в е д е н о в и с о т уВК. АК: КС=3 : 5 , АС= 1 6 с м .
З н а й д і т ь АК КС, я к щ о : a ) LA — г о с т р и й ; б) LA — т у п и й .
7'14. В и с о т а і м е д і а н а п р я м о к у т н о г о т р и к у т н и к а , п р о в е д е н і з в е р
ш и н и п р я м о г о кута, д іл я т ь кут н а тр и р івн і ч а с т и н и . З н а й д іт ь
кут м іж в и с о т о ю і б іс е к т р и с о ю , п р о в е д е н о ю з ц іє ї в е р ш и н и .
7 1 5 .3 в е р ш и н и т у п о г о кутаВ /А В С п р о в е д е н о в и со т у , б і­
с е к т р и с у і м е д іа н у . Кут м іж б іс е к т р и с о ю і в и с о т о ю у 2 р а з и
б іл ь ш и й з а кут м іж б іс е к т р и с о ю і м е д і а н о ю . З н а й д і т ь ц
кути, я к щ о кут м іж в и с о т о ю і м е д і а н о ю д о р і в н ю є 6 0 ° .
1 7 8

179. Задачі для повторення
д о § 1 0
7 1 6 . Знайдіть кути трикутника, якщ о вони пропорційні числам
2, 3 і 7.
7 1 7 . Знайдіть внутрішні кути трикутника, якщо один з них у
З рази більший за другий, а зовніш ній кут при третій в е р ­
шині дорівню є 100°.
7 1 8 . Знайдіть внутрішні кути трикутника, якщ о зовніш ні кути
пропорційні числам 3, 4 і 5.
7 1 9 . Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщ о кут
між висотою і бісектрисою , проведеним и з верш ини пря­
мого кута, дорівню є 20°.
7 2 0 . У прямокутному Л АВС (4 С = 90°) проведено висоту СН.
Д оведіть, що 4/У С 5 = ССАВ.
7 2 1 . Знайдіть кути ЛАВС, якщ о /.В = 100°, а бісектриса ВК
є одночасно і висотою.
7 2 2 . Один із кутів трикутника на 20° більший за другий і на 50°
менший за третій. Знайдіть кут між бісектрисам и менших
кутів трикутника.
7 2 3 . У А/1ДС 4 /1 = 70°, СВ = 30°. Знайдіть кут між:
а) бісектрисам и, проведеним и з верш ин А і С;
б) висотами, проведеним и з верш ин А і С.
724*. Доведіть, що кут між висотою і бісектрисою , проведеним и
3 верш ини В н ерівнобедреного Л А В С , дорівню є півріз-
ниці кутів А і С.
до § Л Л _
7 2 5 . Точка М ділить відрізок АВ на два відрізки, довж ини яких
5 см і 7 см. На які відрізки поділить точка N відрізок СО,
якщ о СО = АВ і C N : N 0 = 1 : 5 ?
7 2 6 . С А О В - ССОО, О М — внутрішній промінь 4 С О Д
4 СОМ : 4 ЛЮД = 2 : 3, а 4 ЛЮД - 4 СОМ= 30°.
Знайдіть 4 АОВ.
7 2 7 . Л А В С = А Д Д С ,. 4 /1 = 70°, 4 Д = 50°. Знайдіть 4 С.
7 2 8 . Л А В С = А /І, Д С ,. АС = 7см, АВ - ВС = 2 см. Знайдіть
сторони А /1, Д С,, якщо його перим етр 2 1 см.
1 7 9

180. Задачі для повторення
7 2 9 . Чи рівні кути трикутників АВС А,В1С,, якщо СА = 70°,
4 С = 80°. а кути А А, В, С, пропорційні числам 7, 5 і 8 ?
7 3 0 . Чи рівні квадрати АВСО і /4, Д,С, Д ,, якщ о перим етр к в ад ­
рата АВСО дорівню є 2 0 см, а площ а квадрата А, Д ^ Д ,
дорівню є:
а) 3 6 см 2; б) 2 5 с м 2?
7 3 1 . Радіус одного з кіл 5 см, а довж ина другого 10л: см. Чи
рівні ці кола?
7 3 2 . Д овж ина одного з кіл 1 4 л см, а площа круга, обм еж еного
другим колом, 6 4 л см '. Чи рівні ці кола?
д о § 1 2
7 3 3 . Відрізки АВ і СД перетинаю ться в точці О. АО II СВ і А й =
= СВ. Доведіть, що А /4О Д = А СОВ.
7 3 4 . Рівні відрізки АВ і СО перетинаю ться так, що 4 АВС =
= 4 ВСО. Доведіть, що АС = ВО.
7 3 5 . Д ано відрізок А В і точки С і О такі, що 4 АСВ = 4 АОВ
і 4 САВ= /-АВО. Доведіть, що АС= ВО. Розгляньте випад­
ки, коли точки С і О леж ать в одній півплощині відносно
прямої АВ і в різних півплощинах.
7 3 6 . На паралельних прямих а і Ь
взято точки А, В, С і Д, як пока­
зан о на малю нку 2 60; АВ = СО.
Доведіть, що >4С II Д Д
7 3 7 . Відрізки АВ і СД перетинаю ться
в точці О. АО = СО. ВО = ОО.
Доведіть, що 4 ОВО= 4 ООВ.
7 3 8 . У колі з центром О проведено
діаметри А В і С Д Доведіть, що АС = ВО і АС II Д Д
7 3 9 . На колі з центром О по один бік від діам етра АО взято
точки Ді С такі, що 4 АОВ= 4 С О Д Доведіть, що Д Д = АС.
7 4 0 . С Д — м едіана А>4ДС, С ,Д — м едіана А Д Д ,С ,. Доведіть,
що А АВС= А А 1Д,С,, якщ о А АОС = А А:Д, С,.
7 4 1 . А АВС = А А,В,Си Доведіть, що бісектриси, проведені з
верш ин Д і Д ,, рівні.
А В
1 8 0

181. Задачі для повторення
7 4 2 . А АВС = А Д Д С ,. Доведіть, що висоти, проведені з в ер ­
шин А і Аи рівні.
7 4 3 . А АВС = А 4, Д С ,. Доведіть, що медіани, проведені з в ер ­
шин В і Ву, рівні.
До § 13
7 4 4 . Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 110°.
Обчисліть інші кути трикутника.
7 4 5 . Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівню є 80°.
Обчисліть інші кути трикутника. Скільки р о зв ’язків має
задач а?
7 4 6 . Одна зі сторін рівнобедреного трикутника на 3 см більша
за другу. Знайдіть сторони трикутника, якщо його пери­
метр 21 см. Розгляньте всі можливі випадки.
7 4 7 . На основі 4С рівнобедреного А АВС взято точки М і Л/так,
що АМ = СМ Доведіть, що А МВИ — рівнобедрений.
7 4 8 . Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100°. Під
яким кутом перетинаються:
а) рівні бісектриси трикутника;
б) продовження рівних висот трикутника?
7 4 9 . У А АВС медіана АМ перпендикулярна до бісектриси ВК.
Знайдіть ВС, якщо А В - 10 см.
7 5 0 . Доведіть, що медіани, проведені до бічних сторін рівнобед­
реного трикутника, рівні.
7 5 1 . Відрізки АВ і СО перетинаються в точці О. АО= СО, ВО =
= ОО, АО * ВО. К — точка перетину прямих А й і ВС. До­
ведіть, що А ОКВ — рівнобедрений. Розгляньте випадки:
а) АО < ВО ~, б) АО > ВО.
7 5 2 . Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут між
бісектрисами, проведеними до бічних сторін, у 2 рази
більший за кут при вершині.
7 5 3 . Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при
вершині дорівню є куту між бісектрисами, проведеними до
основи і до бічної сторони.
1 8 1

182. Задачі для повторення
7 5 4 . У рівнобедреному А АВС кут при вершині В у 2 рази
менший за кут при основі, АО — бісектриса, О Є ВС.
Доведіть, що А САО і А АОВ рівнобедрені.
до § 1 4
7 5 5 . Дано відрізки АВ і точки С та О поза прямою АВ такі,
що АС = ВО і А й - ВС. Доведіть, що А АСВ = А ВОА.
Розгляньте різні випадки розміщ ення точок С і О.
756. Протилежні сторони чотирикутника АВСО попарно рівні.
Доведіть, що А АВС = А СОА.
757. Протилежні сторони чотирикутника АВСО попарно рівні.
Доведіть, що вони паралельні.
7 5 8 . Відрізки АВ і СО перетинаються в точці О, АО - СО, ВО =
= Ьо.Доведіть, що А АОВ = ЛСВО.
7 5 9 . Усередині рівнобедреного А АВС з основою АС взято точ­
ку О таку, що АО - СО. Доведіть, що 4 АОВ = 4 СОВ.
7 6 0 . Точки С і О лежать по різні боки від прямої АВ, АС = АО
і ВС = ВО. Доведіть, що АВ — бісектриса С САО.
7 6 1 . Трикутники АСВ АОВ мають спільну основу АВ, АС = АО,
ВС = ВО. Доведіть, що АВ 1 СО.
7 6 2 . Точки С і О лежать по один бік від прямої АВ, АС = ВО і
АО = СВ. Доведіть, що А АОВ — рівнобедрений, де О —
точка перетину відрізків АО і ВС.
7 6 3 . Точки С і О лежать по один бік від прямої АВ, АС = ВО і
АО = СВ. Доведіть, що А АКВ рівнобедрений, де К —
точка перетину прямих АС і ВО.
до § 1 5
7 6 4 . Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо один з
них у 4 рази більший за другий.
7 6 5 . Кути трикутника пропорційні числам 1, 2 і 3. Доведіть, що
трикутник прямокутний.
7 6 6 . Один з кутів трикутника дорівнює сумі двох інших. Доведіть,
що трикутник прямокутний.
1 8 2

183. Задачі для повторення
7 6 7 . Один з катетів прямокутного трикутника більший за другий
на 7 см і менший за гіпотенузу на 1 см. Знайдіть сторони
трикутника, якщо його периметр ЗО см.
7 6 8 . Медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої
вона проведена. Доведіть, що трикутник прямокутний.
7 6 9 . Знайдіть менший катет прямокутного трикутника, гіпотенуза
якого дорівнює 10 см, а один із кутів 30°.
7 7 0 . Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один
з кутів 30°. Знайдіть відрізки, на які висота, проведена з
вершини прямого кута, ділить гіпотенузу.
7 7 1 . У А АВС 2. С= 90°, А В = 60°, ВР — бісектриса, ВР = 5 см.
Знайдіть АС.
7 7 2 . У А АВС СС = 90°, АА = 30°, С К 1 АВ, К Є АВ. Знайдіть
відстань від точки К до ВС, якщо АС - 8 см.
7 7 3 . Гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника дорів­
нює 10 см. Знайдіть довжину висоти, проведеної з вершини
прямого кута.
7 7 4 . Катети рівнобедреного прямокутного трикутника дорівню­
ють по 10 см. СК — висота, проведена з вершини прямого
кута. Знайдіть відстань від точки К до катетів.
7 7 5 . М, Л/, Р і К — середини сторін квадрата АВСО. Доведіть,
що ММРК — квадрат.
Д о § 16
7 7 6 . У А АВС /.А = 70°, А В = 80°. Вкажіть найбільшу і наймен­
шу сторони трикутника.
7 7 7 . У А АВС АВ 2 = В С : 3 = А С : 7. Вкажіть найбільший і най­
менший кути трикутника.
7 7 8 . Доведіть, що найбільша сторона трикутника лежить проти
найменшого зовнішнього кута.
7 7 9 . У А АВС на стороні АС взято точку К таку, що АВ = КВ.
Доведіть, що А А > АС.
7 8 0 . Висота ВК А АВС ділить сторону АСу відношенні А К : КС =
= 1 : 3 . Порівняйте кути А і С.
1 8 3

184. Задачі для повторення
7 8 1 . Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 3 см
і 6 см. Визначте третю сторону трикутника.
7 8 2 . Одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 39 см,
а периметр трикутника 157 см. Знайдіть інші сторони три­
кутника.
7 8 3 . Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 10 см. Яким нату­
ральним числом може виражатися довжина третьої сторони?
7 8 4 . Одна сторона трикутника дорівнює 0,6 см, друга — у 3 рази
більша. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина тре­
тьої сторони — натуральне число.
7 8 5 . Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5 см
і 2 см. Чи може довжина висоти, проведеної до основи,
вираж атися натуральним числом?
7 8 6 . Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника відпо­
відно дорівнюють 5 см і 6 см. Знайдіть довжину висоти,
проведеної до основи, скориставшись теоремою Піфагора
(див. с. 118).
До § 1 7
7 8 7 . Хорда АВ кола із центром О дорівню є радіусу цього кола.
Знайдіть І.АОВ.
7 8 8 . Знайдіть відстань від центра О кола радіуса г до хорди АВ,
якщо Л АОВ= 120°.
7 8 9 . Діаметри АВ і С й кола із центром О перпендикулярні. До­
ведіть, що І.АС В = 90°.
7 9 0 . У колі з центром О проведено хорди АВ і Сй. £. АОВ = 90°,
^СОО = 120°. Яка з хорд лежить далі від центра кола
і чому?
7 9 1 . Хорди АВ і С й паралельні і леж ать на однаковій відстані
від центра кола. Доведіть, що АВ = СО.
7 9 2 . Дано два кола з радіусами 3 см і 5 см. Як розміщені ці кола,
якщо відстань між їх центрами дорівнює:
а) 6 см; б) 8 см; в) 1 0 см?
7 9 3 . Два кола дотикаються зовні. Відстань між їх центрами
дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо один з них
більший за другий на 2 см.
1 8 4

185. Задачі для повторення
7 9 4 . Два кола мають внутрішній дотик. Відстань між їх центрами
дорівнює 8 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них у 3 рази
менший за другий.
7 9 5 . Три кола з центрами 0, Ог і Оз попарно дотикаються одне
до одного зовнішнім способом. Знайдіть їх радіуси, якщо
вони пропорційні числам 2, 3 і 4, а периметр А О 1О2О3
дорівнює 36 см.
7 9 6 . Із точки А до кола проведено дотичні АВ і АС, пряма КР
дотикається до кола в точці М (мал. 261). Знайдіть АВ і АС,
якщо периметр А АКР = 36 см.
7 9 7 . Із точки А до кола з центром О проведено дотичні АВ і АС,
і-ВОС = 120°, АВ = 7 см. Знайдіть периметр А АВС.
7 9 8 . Знайдіть А В — ширину кільця, утвореного концентрични­
ми колами радіусів 10 см і 7 см.
7 9 9 . Знайдіть радіуси двох концентричних кіл. якщо вони відно­
сяться як 2 : 5, а ширина кільця дорівнює 9 см.
8 0 0 . Дано два концентричні кола. Із точки А кола радіуса 10 см
до кола меншого радіуса проведено дотичні АВ і АС
(мал. 262). Знайдіть радіус меншого кола, якщо 4 ВАС = 60°.
8 0 1 . Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від
кінців хорди АВ кола з центром О.
8 0 2 . Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від
кінців основи рівнобедреного трикутника.
■ Мал. 261
К
■ Мал. 262
до § 18
1 8 5

186. Задачі для повторення
8 0 3 . Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від
вершин рівностороннього трикутника.
8 0 4 . Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від
сторін рівностороннього трикутника.
8 0 5 . Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від
двох прямих, що перетинаю ться.
8 0 6 . Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які дотикаються
до двох паралельних прямих.
8 0 7 . Дано коло з центром О радіуса г. Знайдіть геометричне міс­
це точок, які леж ать на відстані 2 г від точки О.
8 0 8 . Дано коло радіуса 10 см. Знайдіть геометричне місце цент­
рів кіл радіуса 3 см, які з даним колом мають дотик:
а) зовнішній; б) внутрішній.
8 0 9 . Дано два кола рівних радіусів, які дотикаються зовні. Д ове­
діть, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від
центрів кіл, є спільна дотична цих кіл, яка проходить через
точку дотику,
до § 19
8 1 0 . Кут В прямокутного А АВС дорівнює 60°, катет ВС = 5 см.
Знайдіть радіус описаного кола.
8 1 1 . Сторони прямокутного А/4ДСдорівнюють 9 см, 12 см і 15 см.
Знайдіть радіуси описаного і вписаного кіл.
8 1 2 . У прямокутний трикутник з гіпотенузою 20 см вписано коло
радіуса 3 см. Знайдіть периметр даного трикутника.
8 1 3 . Точка дотику кола, вписаного у трикутник, ділить одну зі сто­
рін на відрізки 5 см і 7 см. Знайдіть сторони трикутника,
якщо його периметр 44 см.
8 1 4 . У А АВС сторона АС = 15 см. Точка дотику вписаного у три­
кутник кола ділить сторону АВ у відношенні 2 :1 , починаючи
від вершини А. Знайдіть сторони трикутника, якщо його
периметр дорівнює 42 см.
8 1 5 . Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 7 см і 10 см. Знайдіть
відрізки, на які точка дотику вписаного кола ділить най­
більшу сторону.
1 8 6

187. Задачі для повторення
8 1 6 . Бічна сторона рівнобедренного трикутника дорівнює 8 см,
кут при основі 30°. Знайдіть радіус описаного кола.
8 1 7 . У трикутнику центри вписаного і описаного кіл збігаються.
Знайдіть кути трикутника.
8 1 8 . У A ABC вписано коло, В С — о. Доведіть, що відстань від
точки А до найближчої точки дотику дорівню є р - а, де р —
півпериметр.
8 1 9 . У прямокутний трикутник зі сторонами АВ = 10 см, АС = 8 см
і ВС= 6 см вписано коло. MN — дотична до кола, проведена
паралельно до ВС (М Є АВ, N Є АС). Знайдіть перим етр
A AMN
8 2 0 . Дано A ABC зі сторонами 7 см, 9 см і 10 см. На його менших
сторонах АВ і ВС взято точки Р і К такі, що прям а РК
дотикається до кола, вписаного в трикутник. Знайдіть
периметр А РВК.
до § 2 0
8 2 1 . Поділіть даний відрізок у відношені 1 : 3.
8 2 2 . Побудуйте прямий кут і проведіть його бісектрису.
8 2 3 . Побудуйте прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см.
8 2 4 . Побудуйте трикутник зі сторонами 5 см, 7 см і 9 см.
8 2 5 . Побудуйте рівнобедрений трикутник з основою а і бічною
стороною Ь.
8 2 6 . Побудуйте рівнобедрений трикутник з основою а і кутом
п р и ОСНОВІ U .
8 2 7 . Побудуйте гострокутний і тупокутний трикутники і впишіть
у них кола.
8 2 8 . Побудуйте прямокутний трикутник із катетами а і б та опи­
шіть навколо нього коло.
8 2 9 . Побудуйте трикутник зі сторонами а і b і кутом між ними
120°. Знайдіть центр описаного кола та опишіть це коло.
8 3 0 . Побудуйте трикутник з а двом а сторонами і зовнішнім кутом
при їх спільній вершині.
8 3 1 . Накресліть дві паралельні прямі, відстань між якими дорів­
нює даному відрізку.
1 8 7

188. Задачі для повторенняі
до §21
8 3 2 . Побудуйте трикутник, периметр якого дорівнює 18 см, а сто­
рони пропорційні числам 2, 3 і 4.
8 3 3 . Побудуйте прямокутник, периметр якого дорівнює 20 см,
а нерівні сторони відносяться як 2 : 3.
8 3 4 . Дано прямі а і с, що перетинаються, і відрізок КР. На пря­
мій а вкажіть точку, віддалену від прямої с на відстань КР.
8 3 5 . Побудуйте трикутник за двома сторонами і висотою, прове­
деною до однієї з цих сторін.
8 3 6 . За допомогою циркуля і лінійки побудуйте кут, який дорів­
нює: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; ґ) 150°; д) 75°.
8 3 7 . Побудуйте трикутник за двома його зовнішніми кутами і
стороною, що з ’єднує вершини цих кутів.
8 3 8 . Опишіть навколо даного кола:
а) квадрат; б) рівносторонній трикутник.
8 3 9 . Впишіть у дане коло:
а) квадрат; б) рівносторонній трикутник.
8 4 0 . Дано коло радіуса г. Побудуйте геометричне місце середин
його хорд довжини л
8 4 1 . Дано точки А, В, С. Проведіть через точку А пряму, рівно-
віддалену від В і С.
8 4 2 . Навколо даного кола опишіть трикутник, два кути якого дані.
8 4 3 . Побудуйте коло даного радіуса, дотичне до обох сторін
даного кута.
8 4 4 . Побудуйте коло даного радіуса, яке б дотикалося до однієї
сторони даного кута і мало б центр на другій його стороні.
8 4 5 . Побудуйте коло даного радіуса, яке б дотикалося до даної
прямої в даній її точці.
8 4 6 . Побудуйте геометричне місце точок, з яких дане коло видно
під: а) прямим кутом; б) кутом 60°.
8 4 7 . Побудуйте коло, що дотикається до кожного з двох даних
концентричних кіл.
1 8 8

189. Задачі підвищеної складності
■ ЗА ДА ЧІ ПІДВИЩ ЕНОЇ СКЛАДНОСТІ ЯШ
848. Відстань від Землі до Сонця дорівнює приблизно
149 500 тис. км, а до Місяця — 400 тис. км.
Знайдіть відстань від Місяця до Сонця під час:
а) сонячного затемнення;
б) місячного затемнення.
849. Точки А, В, С леж ать на одній прямій; точки К, Р, Т— сер е­
дини відрізків АВ, АС і ВС. Доведіть, що КР= ВТ.
8 5 0 . Точка С — середина відрізка АВ, Знайдіть на відрізку АВ
таку точку X, щоб виконувалась рівність ХА = 1,5 (ХВ +ХС).
8 5 1 . Один із суміжних кутів у три рази більший від їх різниці.
Знайдіть міри цих кутів.
8 5 2 . Точки А, В, С, й розміщені на площині так, що АВ = ВС =
= СА і йА - ОВ= йС. Знайдіть міру кута АйВ.
853. Знайдіть суму кутів А, В, С, Ц Е, Е,
/Ссемикутної зірки (мал. 263).
854. Всередині трикутника АВС взято
довільну точку X. Доведіть, що кут
А ^Сбільш ий від кута АВС.
855. Побудуйте кут на 25 % більший від
даного гострого кута.
856. Чи можуть дві висоти трикутника
точкою перетину ділитися попо­
лам?
857. Знайдіть перим етр трикутника,
якщо від однієї сторони трикутника
він більший на а, від другої — на Ь, від третьої — на с.
858. Доведіть, що сума медіан трикутника менша від його пери­
метра, але більша від півпериметра.
859. Доведіть, що будь-який трикутник можна розрізати на кіль­
ка рівнобедрених трикутників.
860. Відрізки АВ і СО перетинаються в точці О так, що АС -
= АО= В О - Вй. Доведіть, що ОС = СЮ
■ Мал. 263
1 8 9

190. Задачі підвищеної складності
8 6 1 . Відрізок ВВ, - бісектриса А АВС. Доведіть, що АВ > А В У
і ВС>В,С.
8 6 2 . Доведіть, що сума відстаней від довільної точки основи гос­
трокутного рівнобедреного трикутника до його бічних
сторін є сталою.
863. У А АВС АВ = ВС, А В= 20°. На стороні АВ взято точку М
таку, що ВМ= АС. Знайдіть кут АСМ.
8 6 4 . Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 3.
Д оведіть, що бісектриса його прямого кута дорівню є
одному з катетів.
8 6 5 . Один з гострих кутів прямокутного трикутника на п° біль­
ший від другого. Знайдіть кут між медіаною і висотою три­
кутника, проведеними з вершини прямого кута.
8 6 6 . Висота і медіана, проведені з вершини трикутника, ділять
його кут на три рівні частини. Знайдіть кути цього трикутника.
8 6 7 . Доведіть, що кожну сторону трикут-
ника з центра вписаного в нього
кола видно під тупим кутом.
D
р с
1— 78 6 8 . Н авколо рівностороннього трикут­
ника АВС описано коло. Точка К
кола леж ить усередині кута С.
з
1 К іДоведіть, що КА + КВ = КС. V4N. 11
Х7/8 6 9 . Гіпотенуза прямокутного трикутни­
ка у 4 рази довша за проведену до
неї висоту. Знайдіть міри гострих
кутів трикутника.
с
/
?
■ Мал. 264
8 7 0 . Знайдіть помилку в міркуваннях.
Д оведемо, що прямий кут дорівнює тупому. Нехай кут АВС
тупий, a DAB прямий (мал. 264). Відкладемо AD= ВС, про­
ведем о відрізок DC і серединні перпендикуляри KO і РО
відрізків АВ та CD. Вони перетнуться в деякій точці О, бо
прямі АВ CD не паралельні. Сполучивши точку О з А, В, С
і D, одержимо рівні трикутники OAD і ОВС (за трьома сто­
ронами). Отже, Z.OAD= А ОВС. Кути ОАВ і ОВА також рівні.
Тому A DAB= ААВС, тобто прямий кут дорівнює тупому.
1 9 0

191. Зздачj підвищеної складності
8 7 1 . Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і Ь, а гіпоте­
нуза — с. Знайдіть діаметр вписаного кола.
8 7 2 . Побудуйте прямокутний трикутник:
1) за катетом і різницею двох інших його сторін;
2) за гіпотенузою і різницею катетів.
8 7 3 . Усі вершники на конях, зображ ені на малюнку 265, —
рівні фігури. Знайдіть площу однієї фігури, якщо точки А, В,
С, О — вершини чотирикутника площею 5.
■ Мал. 265
8 7 4 . Побудуйте трикутник за двом а кутами і різницею протилеж­
них їм сторін.
8 7 5 . Дано тупокутний трикутник. Проведіть пряму, що відтинала
б від нього такий трикутник, дві сторони і кут якого
дорівню вали б двом сторонам і куту даного трикутника.
8 7 6 . Проведіть частину бісектриси кута, верш ина якого недо­
ступна (лежить за межею зошита).
8 7 7 . Побудуйте трикутник за периметром і двом а кутами.
1 9 1

192. 878. Р озв’яжіть кросворд (мал. 266).
По горизонталі:
1. Основне геометричне поняття, що приймається без
означення. 6. Наука про геометричні фігури. 7. Захищ ена
споруда в порту. 9. Система умовних знаків для переда­
вання інформації. 11. Пряма, яка має з колом тільки одну
спільну точку. 13. Неправильність у міркуваннях, побу­
довах тощо. 1 4 . Частина геометрії про фігури на площині.
17. Восьма частина прямого кута. 18. Частина площини,
обмеж ена колом. 19. Частина круга. 20. Давньогрецький
математик, автор книги «Основи».
По вертикалі:
2. Чотирикутник з рівними сторонами. 3. Одиниця дов­
жини. 4. Кількісна характеристика предмета або явища.
5. Тисячна частина метра. 7. Відрізок, який сполучає вер­
шину трикутника з серединою протилежної сторони. 8. Оди­
ниця об’єму. 9. Геометрична фігура. 10. Найбільша хорда
кола. 12. Твердження, яке приймається б ез доведення.
13. Прилад для наближеного вимірювання площ. 1 5 . Нор­
ма, крайній ступінь обмеження. 16. Латинська літера.
Задачі підвищеної складності _ __ _______

193. З історії геометрії
Геометрія — наука давня. Один грецький історик щ е в
V ст. до н. е. писав: «Геометрія, за свідченням дуже багатьох,
була відкрита єгиптянами і виникла під час вимірювання землі.
Це вимірю вання було їм потрібне, бо внаслідок розливу Ніл
постійно міняв своє русло. Н ем ає нічого дивного в тому, що ця
наука, як і інші, виникла з потреб людини».
З Єгипту геометричні відомості перейш ли до Греції. Тут з ’я ­
вилась і н азва науки (від грецьких слів уд — «земля» і цетр^ш —
«міряю»). Отже, спочатку геом етрією називали зем лем ірство.
Згодом зм іст геом етрії розш ирився. Потрібні були лю ди,
які вміли вимірювати не тільки зем ельні ділянки. Будівельникам
треба було відкладати прямі кути, провішувати прямі лінії, кр ес­
лити кола. М ореплавцям, щ об орієнтуватися за зоряним н е­
бом, часто доводилося вимірю вати кути. Для цього щ е задовго
до початку наш ої ери було створен о астролябію .
Спочатку властивості геометричних фігур встановлю вали
на основі дослідів. Тільки в перш ому тисячолітті до наш ої ери їх
почали доводити як теорем и.
Одним із перш их творців геометричної
науки був давньогрецький учений Ф а л е с
(VI ст. до н. е.). Він довів теорем и про
рівність вертикальних кутів, про рівність
кутів при основі рівнобедреного трикутника,
про вписаний кут, який опирається на діа­
м етр кола. Зн ав Ф ал ес і другу ознаку
рівності трикутників, і властивість п рям о­
кутного трикутника з кутом 45°. На основі
останньої властивості він обчислив висоту
єгипетської піраміди. Користуючись астр о ­
лябією , Ф алес передбачив сонячне за тем ­
нення 28 травня 585 р. до н. е.
1 9 3

194. П іф а г о р (VI ст. д о н. е.) — давн ьогрец ь­
кий ф ілософ і м атем атик. Зі своїми учнями
він дослідж ував властивості чисел, гео м е­
тричних фігур, н ебесн и х світил. У його
школі відкрито ідоведен о кілька геом етрич­
них теорем , зокрем а про те, що у кожному
прямокутному трикутнику квадрат гіпоте­
нузи дорівню є сумі квадратів катетів. Тепер
відомо близько ста різних д овед ен ь те о р е ­
ми Піфагора.
Як наука геом етрія вперш е сф орм ува­
лась у С тародавній Греції, коли геом етри ч­
ні законом ірності і залеж ності, знайдені
спочатку дослідним ш ляхом, було зв ед ен о
в систему. О дна з м атем атичних праць тих
далеких часів дійш ла і до нас. Це — «О сно­
ви» давн ьогрец ького м атем атика Е в к л ід а
(III ст. д о н. е.). Вони складаю ться з три н ад­
цяти книг-сувоїв, перш і шість з яких при­
свячені планіметрії. Робота Евкліда цікава
не тільки своїм багатим змістом, а й ф ор­
мою викладу. В ній спочатку сф о р м у л ьо ва­
но озн аченн я й аксіом и, а всі наступні
твердж ення д о в ед ен о як теорем и .
Евклід не сам відкрив і довів усі викладені ним теорем и. Ба­
гато зробили і його попередники. Але Евклід настільки вдало
систем атизував відомі йому математичні знання, що його «Ос­
нови» були впродовж 2000 років основним підручником з м ате­
матики!
Цікавий ф акт з біографії Евкліда. Одного разу цар запитав
м атем атика, чи н ем ає в геометрії коротш ого шляху, ніж той, що
його пропонує Евклід у своїх книжках. На це Евклід відповів: «Ні,
в математиці навіть для царів н ем ає інших шляхів!..»
Після Евкліда б агато зр о б и л и для розвитку геом етрії
А р х ім е д , А п о л л о н ій та інші давньогрецькі математики.
Наступні півтори тисячі років геом етрія в Європі майж е не
розви валась. Тільки в епоху Р ен есансу вона почала відроджу­
ватись.
З історії геометрії
Піфагор
Евклід
194

195. З історії геометрії
Коли П равобереж на Україна входила до складу Польщі,
юнаки з багатьох українських міст, які навчалися у вищих ш ко­
лах, геометрію вивчали спочатку за латинським перекладом
«О снов» Евкліда, а зго д о м — з а польським підручником
С. Гжепського, надрукованим у Кракові 1565 р. Його титульна
сторінка українською мовою перекладається так: «Геометрія,
тобто Землемірна Наука, по-польськи коротко написана за
грецькими і латинськими книжками. В ній знайдеш ти
також, як наші землеміри вимірювали ниви волоками або
ланами. Тут також про югер, скільки він в собі містить.
А ще — як виміряти башти або що-небудь інше високе...»
Студентів Києво-М огилянської академ ії геометрії навчали
не завж ди, а коли навчали, то латинською мовою . Зберігся кон­
спект лекцій з геометрії, прочитаних у 1707-1708 рр. відомим
українським ф ілософ ом і церковним діячем Ф еоф аном Проко-
повичем. У ньому поясню валося: «Геометрія розподіляється
на загальну й спеціальну... Спеціальна геометрія інакше нази­
вається геодезією». Лекцію про геодезію Прокопович починав
так: «Спеціальна геометрія, яку іноді називають практичною
геометрією, а іноді геодезією, є однією з найшляхетніших,
найкорисніших і найцікавіших галузей математики».
Але із часом у школах питанням практичної геом етрії по­
чали надавати дедалі м енш е уваги.
О собливо значними є внески в геометрію Р. Д екарта, Л. Ей-
л ера, М. І. Л обачевського.
Вам уже відом а аксіом а Евкліда про
паралельні прямі. П онад 2000 років сотні
геом етрів нам агалися довести твердж ен ­
ня, яке Евклід прийняв б ез доведен н я. Б а­
гато часу згаяно, багато паперу списано...
Але справж нього доведен н я так ніхто і не
відшукав.
М и к о л а Ів а н о в и ч Л о б а ч е в с ь к и й
(1 7 9 2 -1 8 5 6 ) поклав край цим м арним
заняттям . Він п оказав, що твердж ення
Евкліда не можна д о вести як теорем у,
і створив нову геометрію , яку теп ер н ази ­
вають геометрією Лобачевського. Те, що М. Лобачевський
1 9 5

196. З історії геометрії
зробив Лобачевський у геометрії, фахівці
порівнюють з революційним переворотом
Коперника в астрономії.
Л обачевський народився в Росії, а його
рід походив з Волині.
З українських математиків найбільший
внесок у розвиток геометрії зробили Г. Ф. Во­
роний, М. Є. Ващенко-Захарченко, О. С. Смо-
горжевський.
Георгій Ф е о д о с ій о в и ч В о р о н и й (1 8 6 8 -
1908) народився в селі Ж уравка Чернігівської
області. Був проф есором П етербурзького і
Варш авського університетів. Досліджував питання про зап ов­
нення площини і простору рівними фігурами. Вважається твор­
цем геометричної теорії чисел.
М и х ай ло Є го р о в и ч В а щ е н к о -З а х а р ч е н к о (1825-1912) на­
родився в селі Макіївка на Полтавщині. Навчався в Києві і Парижі,
був професором Київського університету. Досліджував питання
історії розвитку геометрії, надрукував кілька посібників з гео­
метрії, переклав російською «Основи» Евкліда.
О л е к с а н д р С т е п а н о в и ч С м о г о р ж е в с ь к и й (1896-1969)
народився в селі Лісове на Вінниччині. Навчався в Немирові та
Києві, був професором Київського політехнічного інституту. Д о­
сліджував питання, пов’язані з геометричними побудовами, над­
рукував кілька посібників і підручників, зокрем а підручник з основ
геометрії для студентів університетів. Його праці перекладено
англійською, болгарською, японською та іншими мовами.
Розвивається геометрична наука і тепер. Геометрія про­
довжує служити людям. Ось що писав один з найвідоміших
архітекторів XX ст. Ле Корбюзьє: «Ніколи ще до нашого часу
ми не жили в такий геометричний період... Навколишній світ —
це світ геометрії, чистий, істинний, бездоганний у наших очах.
Усе навколо — геометрія».
• Г. Вороний
196

197. пред
_ _ _I I
,метний покажчик
Аксіома 63
— Евкліда 55
Астролябія 20
Бісектриса кута 21
— трикутника 76
Вершина кута 19
— трикутника 76
Вимірювальні прилади 15
Висота трикутника 76
Відношення паралельності 41
Відрізок 13
— одиничний 13
Відстань 14
Внутрішній промінь кута 21
Внутрішні точки відрізка 13
Внутрішня область куга 19
Геометричне місце точок 141
Геометричні побудови 154
Геометрія З
— Евклідова 55
— елементарна 8
— Лобачевського 57
— трикутника 77
Гіпотенуза 116
Градус 19
Діаграма Ейлера 105
Діаметр кола 134
— круга 136
Доведення 62
— від супротивного 49
Довжина відрізка 13
— кола 136
Дотик двох кіл 135
Дотична до кола 135
Дюйм 15
Задачі на побудову 160
Зовнішній кут трикутника 81
Катет 116
Коло 134
— вписане 148
— описане 147
Концентричні кола 136
Круг 136
Кут 19
— гострий 20
— прямий 20
— розгорнутий 19
— тупий 20
Кути вертикальні 32
— відповідні 47
— внутрішні односторонні 47
— різносторонні 47
— суміжні 32
— трикутника 77
— чотирикутника 82
Лінійка 7
Медіана трикутника 76
Мінуга 20
Міра кута 19
Нерівність трикутника 122
Ознаки 62
— паралельності прямих 47
— прямокутних трикутників 116
— рівності трикутників 93
Паралельні відрізки 4 0
— промені 40
— прямі 4 0
Периметр трикутника 76
197

198. Предметний покажчик
Перпендикуляр 39
— серединний 142
Перпендикулярні прямі 39
Планіметрія 6
Площина 6
Побудови класичні 162
— наближені 162
Похила 117
Початок променя 8
Проекція похилої 117
Промені 8
— доповняльні 8
— співнапрямлені 65
Пряма 7
Радіус кола 134
— круга 136
Рівність 87
— відрізків 13
— кутів 20
— трикутників 93
— фігур 87
Румб 22
Секунда 20
Середина відрізка 14
Серединний перпендикуляр 142
Січна двох прямих 47
— кола 134
Сторона кута 19
— трикутника 77
Сума кутів трикутника 81
Твердження протилежні 50
— супротивні 49
Теорема 32, 63
— обернена до даної 62
Точка 6
— дотику 135
Транспортир 20
Трикутник 76
— гострокутний 77
— рівнобедрений 104
— рівносторонній 104
— різносторонній 104
— тупокутний 77
Фігура геометрична 6
— неплоска 6
Фут 15
Хорда кола 134
Центр кола 134
— круга 136
Циркуль 134
Про авторів епіграфів
Л еонардо да Вінчі (1452-1519) — італійський архітектор,
скульптор, художник, винахідник.
Спенсер Герберт (1820-1903) — англійський філософ, соціолог,
психолог.
Олександр Степанович Смогоржевський (1896-1969) — укра­
їнський математик.
Прокл Діадох (410-485) — грецький філософ.
1 9 8

199. кий тлумачний словник
А ксіом а — твердження, яке приймається без доведення.
Б ісектр и са кута — внутрішній промінь кута, який ділить кут на
дві рівні частини.
Б ісек тр и са трикутника — частина бісектриси кута трикутника,
яка лежить в його внутрішній області.
Висота трикутника — перпендикуляр, проведений з вершини три­
кутника на протилежну сторону або на її продовження.
В ідрізок — частина прямої, яка лежить між її двома точками.
В ідстань від А до В — довжина відрізка АВ.
Геом етрична ф ігура — довільна множина точок.
Геом етричне м ісц е точок — множина усіх точок, які задоволь­
няють певні умови.
Геом етрія — частина математики, в якій досліджуються власти­
вості геометричних фігур.
Гіпотенуза — сторона прямокутного трикутника, протилежна
прямому куту.
Градус — 4е ї§ о частина розгорнутого кута.
Д іам етр к о л а — хорда кола, яка проходить через його центр.
Д о в е д е н н я — обгрунтування істинності твердження.
Д отична до к о л а — пряма, яка лежить у площині даного кола
і має з ним тільки одну спільну точку.
К атет — сторона прямокутного трикутника, протилежна гострому
куту.
Коло — множина всіх точок площини, рівновіддалених від деякої
її точки.
Круг — скінченна частина площини, обмежена колом.
1 9 9

200. Короткий тлумачний словник
Кут — частина площини, обмежена двома променями зі спіль­
ним початком.
Кути вер ти к ал ьн і — два кути, сторони яких утворють дві прямі,
що перетинаються.
Кути суміж ні — два кути, в яких одна сторона спільна, а дві
інші — доповняльні промені.
М едіан а трикутни ка — відрізок, який сполучає вершину трикут­
ника з серединою протилежної сторони.
П ар ал ел ьн і п рям і — дві прямі однієї площини, які не перети­
наються.
П ерим етр трикутни ка — сума довжин усіх сторін трикутника.
П ерпен дикулярн і п р ям і — дві прямі, які перетинаються під пря­
мим кутом.
П ром інь — нескінченна частина прямої, що лежить по один бік
від деякої точки цієї прямої.
П рям а — неозначуване поняття, зміст якого розкривається опи­
сом або системою аксіом.
П рямокутний трикутник — трикутник, один з кутів якого прямий.
Р адіус к о л а — відрізок, який сполучає довільну точку кола з його
центром.
Рівні ф ігури — дві геометричні фігури, які можна сумістити на­
кладанням.
Р Івн о б ед р ен и й трикутник — трикутник з двома рівними сторо­
нами.
Рівн осторонній трикутник — трикутник, усі сторони якого рівні.
Т еорем а — твердження, істинність якого встановлюється дове­
денням.
Точка — неозначуване поняття, зміст якого розкривається опи­
сом або системою аксіом.
Трикутник — замкнена ламана із трьох ланок або скінченна
частина площини, обмежена такою ламаною.
Х орда к о л а — відрізок, який сполучає дві довільні точки кола.
200

201. II
ВІДП0&їді івказівки
7. АВ. 11. Так. 12. Не належить. 13. КР, РТ, КТ, РК, ТР, ТК.
16. 4. 19. Можна. 2 1 . 6. На 16, 17 або 18 частин. 28. 20,5 см.
29. 8 см. 3 1 .1 0 дм. 3 3 .1) 2 см; 6 дм; 20 км. 34. 21 см. 42. Так.
44. а) 5,9 см. 45. а) 0,6 дм. 46. 13 см. 48. 6 см. 50. а), б). Так.
52. 13 см і 7 см. 54. З см, 9 см, 11 см, 17 см. 6 1 .0 ,5 м. 65. 30°.
70. Ні. 7 3. 2° 15'; 83° 20'. 78. 90°. 79. Ні; може бути. 8 1 . 15°;
2,5°. 82. 31° 15'. 83. 90° або 30°. 8 4. 180°; 60°. 85. 20°.
86. У 4 рази. 87. 45°. 89. 70° і 40°. 102. Ні. 104. 130°.
105. 20°. 106. а) 146°; г) 44° 13'. 108. а) 75° і 105°. 109. б) 72°
і 108°. 1 1 1 .60°. 120. в) 50°, 130°, 50°, 130°. 1 2 1 .8 0 ° ; 100°;
90°. 122. а) 120°. 124. 130°. 125. а) 55°. 127. Як 1 : 8; як
1 : 4. 140. Правильно. 143. 135° і 135°. 145. (О; 6), (6; О);
(О; -4 ), (-4 ; О). Так. 150. а) 50°. 161. Ні. 162. а) 60° і 120°;
г) 108° і 72°. 163. а) 0,1 Р, 0,2 Р, 0.3 Р, 0,4 Р. 172. а) 90°, 90°,
80°, 100°, 90°, 80°. 173. а) Так. 174. а) Так. 175. Так. 176. Так.
177. а) Так. 180. а) 90° і 90°; в) 120° і 60°. 181. а) Так.
182. а) а II Ь II с ; в) а Ь с . 185. Так. 198. 145°, 35° і 145°.
199. 50°, 130°. 206. 40°. 209. 180°. 2 1 0 . а) 65° і 115°.
216. 50°, 70° і 60°. 217. 86°. 218. 71°. 220. а) 6 см; б) 7 см.
222. б) Жодної; одну; безліч. 235. Твердження в). 238. Кути з
відповідно паралельними сторонами не завжди рівні. 239. а) Ні;
б) ні. 242. Твердження а). 246. а) Ні; б) ні; в) ні. 263. 15,8 см.
264. 6 см. 265. 39 см. 266. Так. 269. а) 4 см і 12 см; б) 6 см
і 10 см; в) 8 см і 8 см; г) 5 см і 11 см. 272. 12 см, 6 см, 8 см.
273. 12 см. 274. ЗО см. 275. Так. 2 7 6 . Так. 277. 102 см.
279. З см. 287. 20 м. 288. 50°. 294. а) 36°. 54°, 90°; б) 15°,
75°, 90°; в) 54°, 54°, 72°. 297. а) 50°, 50° і 80°; б) 80°, 60° і 40°;
в) 76°, 38° і 66°. 298. 130°. 299. Ні. 3 0 1 . 60°, 40° і 80°.
302. 75° або 15°. 303. 15°. 304. а) 70°; б) 60°. 305. а) 60°,
30°; б) 60°, 30°. 3 0 6 . а) 140°, 130°, 90°; в) 130°, 130°, 100°.
201

202. Відповіді і вказівки
3 0 8 .180°. 309. 270°. 310. Ні. 312. 0,5 а. 313. 24 см. 314. 5 см.
315. З см . 316. 2 : 3. 327. Ні. 329. 12 см. 330. Так. 3 3 1 .70°;
3,8 см. 3 3 2 . 60°, 60°, 60°. 333. Так. 340. Так. Ні. 341. 26 см.
345. 9л; см2; 6 л см. 346. 1 ,8 л см2. 348. 2 5 л га. 349. 55°.
355. 12 см. 356. Так. 359. Так. 364. Бо Д СТР = А САВ.
366. 8 см. 369. Нехай ВМ і ДЛ/, — медіани рівних трикутників
АВС Д Д Д . Доведіть, що А АВМ = А ДДЛ/,. 375. 40°, 80°.
376. Так. 377. 90°. 386. 67 см. 387. 2 см. 388. 50°. 389. 120°.
390. а) 50°, 50°, 80° або 40°, 70°, 70°; б) 36°, 72°, 72° або 90°,
45°, 45°. 393. а) 25°; б) 75°; в) 40°. 394. а) 10 см, 20 см і 20 см;
б) 15 см, 15 см і 20 см. 395. 30°. 398. 4 А. 3 9 9 .15 см. 402. 20см,
20 см, 10 см або 15 см, 15 см, 25 см. 404. а) 120°, 30°, 30°;
б) 30°, 75°, 75° або 120°, 30°, 30°; в) 165°; 7,5°; 7,5°; г) 50°, 65°,
65°. 406. 2 а + Ь. 407. а) 2р - 2Ь б) р - 4 1 1 . Лежать на пря­
мій, яка перпендикулярна до АВ і проходить через її середину.
412. 80°, 80°, 100°. 100°. 414. 96°. 415. а) 60° і 120°; б) 72°
і 108°. 416. 6 см. 417. ЗО дм. 4 2 1 . Доведіть рівність трикутників
АОВ, ВОС і АОС. 429. а) Доведіть спочатку, що А АОВ =
= А АОС, а потім доведіть рівність трикутників АВМ і АСМ.
б) Доведіть рівність трикутників ОВМ і ОСМ. 4 3 1 . 1) Проведіть
діагональ ВО і доведіть, що А А В О = А СОВ. 2) Проведіть
відрізок АС і доведіть, що а АСВ = а САО. 433. а) Доведіть
рівність трикутників АРВ і СРВ. 437. 40°, 60°, 80°. 438. 60°.
439. 60 см. 440. |-р . 4 4 1 .90°. 4 4 6 . 40° і 50°. 448. 30°, 60°,
90°. 450. 40° і 50й. 454. АС = ВС. 455. 1 8 0 °- а . 4 5 7 . 16 см.
459. а) 9 см; б) 9 см. 4 6 0 . а) 9,5 см; б) 9,5 см. 461. 27 см.
462. 50° і 40°. 463. Ні. 465. Ні. 467. 2 т. 468. 5 см. 470. 70°,
80°, 30°. 471. Ні. 472. 36°, 54°, 90°. 477. а) АС — найбільша,
ВС — найменша. 478. ^ В — найбільший, /- С — найменший.
479. Ні; так. 480. Ні. 481. Ні. 483. Ні. 485. Ні. 487. Ні.
488. З см < ВС < 13 см. 490. 70 см < Р < 126 см. 4 9 1 . Так.
492. 75° і 105°. 493. 80° і 80°. 498. в) 0, 1, 2, 3, 4, 5 або 6;
г) 0, 1, 2 або безліч. 505. а) 12 м; б) 2 м. 506. Так. 509. 120°,
60°. 5 1 1 . Якщо О — центр кола, то А АВ О = А С йО {за трьома
сторонами). А в рівних трикутниках відповідні висоти рівні.
512. а) із центра О даного кола проведіть пряму с, перпенди­
кулярну до даної прямої. Якщо пряма с перетинає коло в точках
А і В, то проведіть дотичні в цих точках. 514. 4 см і 12 см або
202

203. Відповіді і вказівки
8 см і 2 4 см. 5 1 5 . Прямокутні трикутники АОВ і АОС рівні.
5 1 6 . 5 см. Бо катет, що леж ить проти кута 30°, дорівню є поло­
вині гіпотенузи. 5 1 7 . 90°. 5 1 8 . 60°. 5 1 9 . Кожна із сторін 0 ,0 2,
0 20 3, ОгОі дорівню є сумі двох рівних радіусів. Тому А КРТр&но-
сторонній. 5 2 0 . 120°, = 1,4 см. 5 2 1 . 5 = тсг2- л г 2= я (г2- г ,2) =
= я (г - /■,)(/■ + г 0 = т п (г + г і) = т і 5 2 2 . ^ а. 5 2 3 . 5 см.
5 2 4 . 1 2 см. 5 2 5 . Розріж те уявно квадрат на 4 рівні прямокутні
трикутники і складіть з них один прямокутник. 5 2 7 . Ні, бо пропу­
щ ено слово «кута». 5 2 9 . П ряма, п аралельна даним прямим і рів-
новіддалена від них. 5 3 0 . Пряма ВК, прям а ВС. 5 3 1 . П ряма СК.
5 3 2 . Так, якщ о точка С — не середи на відрізка АВ. 5 3 3 . Так.
5 3 7 . Дві прямі, п аралельні даній прямій. 5 4 0 . Дві прямі,
паралельні даній прямій і рівновіддалені від неї. 5 4 1 . Коло.
5 4 3 . а) Д ан е коло і концентричне йому коло радіуса 3 г.
5 4 4 . Коло, концентричне даному; його діам етр дорівню є тр е­
тині діам етра даного кола. 5 4 5 . Коло, концентричне даному.
5 4 7 . 4 прям і, п ар ал ел ьн і дан и м п рям и м . 5 4 8 . 4 точки.
5 5 1 . 135°. 5 5 7 . 0, 1 або безліч. 5 5 9 . 0, 1, 2, 3, 4, 5 аб о 6.
5 6 1 . Ні. З перим етром 8 см — м ож на. 5 6 4 . 30°, 30° і 120°.
5 6 7 . Д овж ина кола більш а. 5 6 9 . Ні. 5 7 2 . 120°. 5 7 4 . 30°, 30°
і 120°. 5 7 5 . 5 см. 5 7 6 . 1 2 ,5 м. 5 7 7 . Нехай О — центр
вписаного в A ABC кола. Трикутники ОАВ, ОВС і ОСА рівні
рівнобедрені, бо в них кути при основах — по 30°. Отже, ОА =
= ОВ= О С— радіуси описаного кола. Якщо вп исане коло доти­
кається до АВ в точці Н, то ОН = 0 ,5 ОВ — як катет проти кута
30°. 5 7 8 . Точки дотику кола до сторін кута рівновіддалені від
його верш ини. 5 7 9 . 1. 5 8 0 . 2{с + г). 5 8 1 . 3 4 см. 5 8 2 . 4 см.
5 8 3 . М едіана, п роведен а з верш ини прямого кута. 5 9 0 . П рове­
діть бісектрису даного кута і бісектрису його половини. 5 9 5 . Від
обох кінців даного відрізка відкладіть рівні відрізки, а середній
відрізок поділіть навпіл. 6 0 0 . Побудуйте трикутник за трьом а
даним и рівними відрізкам и. 6 1 1 . Січна Р М з даною і побудова­
ною п рям им и утворю є рівні внутрішні різносторонні кути.
6 1 2 . Якщо даний кут не прямий, то зад а ч а м ає 2 р о зв ’язки
6 1 3 . 60°. 6 1 4 . Трикутник ABC прямокутний і рівнобедро+іии.
тому Z.ВАС= LBCA = 45°. 6 1 5 . Трикутник тупокутний. 6 1 6 і ><•
6 1 8 . Побудуйте прямий кут і на одній його стороні від ИЛЦНІИИМ
відкладіть половину основи, а на другій — висоту в і ч 1)іью у

204. Відповіді і вказівки
дуйте спочатку даний кут, на його стороні від верш ини відкладіть
відрізок, що дорівню є гіпотенузі. Побудуйте коло, діам етром
якого є цей відрізок. 6 2 0 . Побудуйте допоміжний трикутник за
тр ьо м а відом им и відрізкам и: м едіаною , даною стороною і
половиною другої сторони. 6 2 1 . 1) П роведіть дві паралельні
прямі, відстань між якими дорівню є даній висоті, на одній з них
відкладіть одну з даних сторін. З ад ач а м ож е мати 0, 1 або
2 р о з в ’язки. 6 2 3 . С користайтесь методом ГМТ. Якщо дані
прямі не паралельні, зад ач а м ає 2 р о зв ’язки. 6 2 4 . Проведіть
серединний перпендикуляр відрізка, кінцями якого є дані точки.
6 2 5 . Ч ерез дану на стороні кута точку проведіть пряму, п ер­
пендикулярну до цієї сторони. Ця прям а перети н ає бісектрису
даного кута в точці, що є центром кола, яке треба побудувати.
6 2 6 . Гіпотенуза трикутника вдвічі довш а за даний радіус кола.
6 2 7 . Спочатку проведіть коло даного радіуса, а з якої-небудь
його точки — дві хорди даних довж ин. З ад ач а м ож е мати 0, 1
аб о 2 р о зв ’язки. 6 2 8 . П роведіть спочатку коло даного радіуса,
а в ньому — хорду даної довж ини. 6 2 9 . П роведіть коло даного
радіуса і хорду, що дорівню є даній основі трикутника. С ередин­
ний перпендикуляр цієї хорди перетне коло у верш инах трикут­
ників, які треба побудувати. 6 3 0 . П роведіть коло даного радіуса
1 його діам етр. В кінці діам етра відкладіть даний гострий кут.
6 3 1 . П роведіть пряму, рівновіддалену від даних паралельних
прямих. З даної точки А як з центра опишіть дугу радіусом, що
дорівню є половині відстані між даним и прямими. З ад ач а м ає
2 р о зв ’язки. 6 3 2 . П роведіть коло даного радіуса і в ньому хорди
АВ = ВС = ОЕ = ЕЕ = г. Трикутники ОАВ, ОВС, ..., ОЕЕ рівні
рівносторонні, всі їхні кути — по 60°. Тому і-ЕОА = 6 0 ° і А ОЕА
також рівносторонній. Отже, А АСЕ — той, який треб а було
побудувати. 2-й спосіб. Побудуйте Л А О С за даним и сторонам и
ОА = ОС = г і кутом між ними 21АОС = 12 0 °. АС — сторона
ріеностороннього трикутника, який тр еб а побудувати. 6 3 4 . На
даній гіпотенузі АВ, як на діаіуіетрі, побудуйте півколо. Знайдіть
точки перетину півкола з прямою , паралельною А В і віддаленою
від неї на відстань, що дорівню є даній висоті. 6 3 5 . Якщо дано
катет а і протилежний йому кут А, то мож на побудувати трикутник
за даною стороною і прилеглими до неї кутами 90° і 9 0 ° - 2-А.
6 3 6 . Впишіть у прямий кут коло даного радіуса, відкладіть на
2 0 4

205. Відповіді і вказівки
одній стороні кута даний катет, а з його кінця проведіть дотичну
до кола. 6 3 9 . Побудуйте за катетом і гіпотенузою допом іж ний,
прямокутний трикутник СНМ, де С Н — висота, С М — м едіана.
На прямій НМ відкладіть відрізки МА = МВ = МС. Трикутник
А С В — шуканий. 6 5 1 . а), б) 6 частин; в) 7 частин. 6 5 2 . а) 12 см;
б) 2 0 см; в) 1 2 ,5 см; г) 7 ,5 см. 6 5 3 . 2 см і 6 см аб о 4 см і 12 см.
6 5 4 . 4 випадки: 1 см , 5 см, 9 см, 1 2 см. 6 5 5 . 1 : 4; 1 : 2; 2 : 1.
6 5 6 . а) 8 см; б) 1 2 см; в) 1 6 см. 6 5 7 . 5 см. 6 5 8 . а) 4 см; б) 6 см;
в) 1 0 см. 6 5 9 . АС = 1 3 ,5 см, ВС = 1,5 см або АС = 1,5 см, ВС =
= 1 3 ,5 см. 6 6 0 . А В = 2 см; АС = 8 см аб о АС = 2 см, А В = 8 см.
6 6 2 . Ні. 6 6 4 . а) 20° і 60°; б) 30° і 50°; в) 20° і 60°; г) 4 0 ° і 40°.
6 6 5 . 10°, 30°, 50°. 6 6 6 . 80°. 6 6 7 . 50° а б о 30°. 6 6 8 . 20°, 160°.
6 6 9 . 72°, 108°. 6 7 3 . а) 130°; б) 80°; в) 144°; г) 108°; ґ) 105°.
6 7 4 . 3 5 ° 2 5 '; 1 4 4 ° 3 5 '; 1 4 4 ° 3 5 '. 6 7 5 . 60°; 120°; 60°; 120°.
6 7 6 . 90°; 180°. 6 7 8 . 110°; 70°. 6 8 0 . 144°; 36°; 144°; 36°.
6 8 1 .2 0 ° ; 160°; 20°; 160°. 6 8 4 . 4 см. 6 8 6 . а) Ні; б) так; в) ні; г) так.
6 8 7 . а) Так; б) так; в) так. 6 8 8 . а) Так; б) ні; в) так. 6 8 9 . а) с II &,
б) а IIЬ в) с II &, г) с II £/; а IIЬ. 6 9 2 . а) так; б) так. 6 9 3 . а) а II с,
б) а II Ь в) Ь II с, г) а IIЬ II с. 6 9 5 . а) 70°; б) 75°; в) 80°; г) 67° ЗО'.
6 9 7 . 80 °. 6 9 8 . 50°; 50°. 6 9 9 . а) Так; б) так; в) ні. 7 0 9 . 2 3 см.
7 1 0 . Ні. 7 1 1 . 2 см, 3 см а б о 4 см. 7 1 2 . а) 7 см; б) 1 3 см.
7 1 3 . а) 6 см і 1 0 см; б) 2 4 см і 4 0 см. 7 1 4 . 15°. 7 1 5 . 4 0 ° і 20°.
7 1 7 . 25°, 75°, 80°. 7 1 8 . 30°, 60°, 90°. 7 1 9 . 25°, 65°. 7 2 2 . 40 °.
7 2 3 . 75°; 30°. 7 2 5 . 2 см і 10 см. 7 2 6 . 150°. 7 2 8 . 7 см, 8 см, 6 см.
7 2 9 . Ні. 7 3 0 . а) ні; б) так. 7 3 1 . Так. 7 3 2 . Ні. 7 4 5 . 50°, 50°, 80 °
аб о 80°, 80°, 20°. 7 4 6 . 5 см, 8 см, 8 см аб о 6 см, 6 см, 9 см.
7 4 8 . а) 40°; б) 80°. 7 4 9 . 2 0 см. 7 5 2 . 36°, 72°, 72°. 7 5 3 . 60°,
60°, 60°. 7 6 4 . 18° і 72°. 7 6 7 . 5 см, 1 2 см, 1 3 см. 7 7 0 . З см
і 9 см. 7 7 1 .7 ,5 см. 7 7 2 . 2 см. 7 7 3 . 5 см. 7 7 4 . 5 см. 7 7 7 . 4. С —
найменш ий; 4 .8 — найбільш ий. 7 8 0 . 4.>4 > 4.С. 7 8 1 . 6 см.
7 8 2 . 5 9 см і 5 9 см. 7 8 3 . 8 см, 9 см, 1 0 см, 1 1 см, 1 2 см.
7 8 4 . 4, 4 см. 7 8 5 . Ні. 7 8 6 . 4 см. 7 8 7 . 60°. 7 8 8 . ^ г . 7 9 0 . АВ.
7 9 3 . 5 см і 7 см. 7 9 4 . 4 см і 1 2 см. 7 9 5 . 4 см, 6 см, 8 см.
7 9 7 . 2 1 см. 7 9 8 . З см. 7 9 9 . 6 см і 1 5 см. 8 0 0 . 5 см.
8 0 5 . Бісектриси утворених кугів. 8 0 7 . Коло »центром О рлдіу
са 2г. 8 0 8 . а) Коло з центром О радіусм І'Л см. Л) комо і цпіііром
О радіуса 7 см. 8 1 0 . 5 см. 8 1 1 . 7,5 <м і І і м 0 І 2 . І<> см
8 1 3 . 1 2 см, 1 5 см, 17 см. 8 1 4 . 9 см і і 8 см 81 в . -1 см І ґ» см
?()!>

206. 8 1 6 . 8 см . 8 1 9 . 12 см. 8 2 0 . Є см. 8 4 8 . а) 149 1 0 0 тис. км;
б) 1 4 9 900 тис. км. 8 5 0 . X — середина відрізка СВ. 8 5 1 . 108° і
72°. 8 5 2 .120°. 8 5 3 .180°. 8 5 4 . Якщо промінь В Х перетинає АС
в точці К, то 4/4ЛУЄ > САВК /.СХК > ііС В К 8 5 5 . Поділіть даний
кут на 4 рівні частини і добудуйте до даного кута одну з таких
частин. 8 5 6 . Не можуть. Якщо висоти АН і СЕ А АВС перети­
наються в точці О, то А АО Е= А СОН, АО= ОЕ, що неможливо.
А
8 5 7 . ~-(а + Ь+ с). 8 5 9 . Кожний трикутник мож на розрізати на
два прямокутні трикутники, а медіана, проведена до гіпотенузи
прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрені три­
кутники. 8 6 0 . Доведіть, що трикутники АОС і ВО й рівнобедрені
і рівні. 8 6 1 . Нехай а АВВ, = /_ВЛВС = а. Доведіть, що кожний з
кутів АВ,В і ВВЛС більший від сх. Для цього через вершину В
проведіть пряму, паралельну АС. 8 6 2 . Нехай на основі рівно-
бедреного трикутника АВС лежить точка М. Проведіть відрізок
МО II АВ, О Є.ВС і доведіть, що МО = ОС. 8 6 3 . 70°. Позначте
всередині А А В С точку К таку, що АК = КС = АС. Тоді Д ВМС =
= ААК В, 4 ВСМ = 10°. 8 6 6 . 90°, 30° і 60°. Нехай СН, СМ —
висота і медіана £АВС, І.АСН= /,НСМ= І.М С В -а , а пряма СМ
п ерети н ає описане коло в точці К. Тоді 4С /С 5 = 4 САВ
і 4 СВК= І.СНА = 90°. СК— діаметр описаного кола, а оскільки
АМ = МВ, то і АВ — діаметр. 867. Ці кути: 90° + 0,5 4 А, 90° +
+ 0 ,5 4 В, 90° + 0 ,5 4 С. 8 6 9 .15° і 75°. 871 .а + Ь - с . 8 7 2 .1) Нехай
А ВС — трикутник, який треба побудувати, і К — точка гіпотенузи
АВ така, що АК = АС. Відрізки СВ і КВ дані. На промені АС
відкладіть Св, = КВ. Трикутники А С К І АВЛВ рівнобедрені. Побу­
дуйте Д СВВЛі проведіть серединний перпендикуляр до відрізка
ВВи 8 7 4 . Нехай АВС — трикутник, який треба побудувати, і на
його стороні АВ точка К така, що А К = АС. Знайдіть кут СКВ,
побудуйте Л В К С і проведіть серединний перпендикуляр до
відрізка СК. 8 7 5 . Нехай у А АВС кут Ступий і К — точка сторони
АВ така, що АК = СВ. Пряма СК та, яку вимагалось провести.
8 7 7 . Побудуйте спочатку трикутник за даним відрізком і прилег­
лими до нього половинами даних кутів. Потім проведіть сере­
динні перпендикуляри двох сторін побудованого трикутника.
Відповіді і вказівки

207. ЗМІСТ
Розділ
§ 1 .
§ 2 .
§ 3 .
| _ Розділ
§ 4 .
§ 5 .
§ 6 .
§ 7 .
§ в .
1 Розділ
§ 9 .
§ 10.
§ 1 1 .
§ 12.
§ 13.
§ 14.
§ 15.
§ 16.
Від авторів З
НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ...................................
Точки і п р я м і..............................................
Відрізки і їх довжини .............................
Кути і їх м ір и ..............................................
— Самостійна робота 1 ........................
— Тестові завдання 1 .............................
Головне в розділі 1 ...........................
ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ
НА ПЛОЩ ИНІ................................................
Суміжні і вертикальні к у т и ...................
Перпендикулярні і паралельні прямі
Ознаки паралельності прямих .........
Властивості паралельних прямих . ..
Теореми і аксіоми ..................................
— Самостійна робота 2 ........................
-■ Тестові завдання 2 .............................
— Головне в розділі 2 ..........................
31
32
39
47
ТРИКУТНИКИ ........................................
Трикутник і його елементи ..........
Сума кутів три кутн ика....................
Про рівність геометричних фігур
Ознаки рівності трикутників . . . .
— Самостійна робота 3 .................
— Тестові завдання 3 ......................
Рівнобедрений три кутн ик............
Третя ознака рівності трикутників
Прямокутний трикутник ...............
Нерівності три кутн ика...................
— Самостійна робота 4 .................
— Тестові завдання 4 ......................
— Головне в розділі 3 ...................
.75
.76
. 81
. 87
. 93
. 99
102
104
110
2 0 7