Типові задачі з геометрії

1. Задача на ознаки рівності трикутників
Задача. На рисунку ; .
Довести, що .
Доведення:
(Зверніть увагу: дані кути не є кутами трикутників, що
розглядаються.)
1) як вертикальні з рівними кутами ( і відповідно).
2) Розглянемо і .
за доведеним;
як вертикальні;
за умовою.
Отже, за стороною й двома прилеглими до неї кутами.
Задача на рівнобедрений трикутник
Задача. На рисунку ; . Довести, що — рівнобедрений.
Доведення:
1) як суміжні з рівними між собою кутами і .
2) Розглянемо : , значить, за ознакою рівнобедреного

2. трикутника.
3) Розглянемо і : AD = CF за умовою; за доведеним;
за доведеним.
Значить, за першою ознакою рівності трикутників (за двома
сторонами та кутом між ними).
4) як відповідні елементи рівних трикутників.
Отже, — рівнобедрений трикутник за означенням.
Задача на паралельність прямих
Задача. На рисунку ;
. Знайти: .
Розв’язання
1) , значить, за ознакою паралельних прямих, оскільки і є
зовнішніми різносторонніми при прямих a, b і січній c.
2) і є внутрішніми односторонніми при і січній c. Значить,
за властивістю паралельних прямих. Отже, .
Задача на суму кутів трикутника
Задача. Один із кутів трикутника дорівнює . Висота та бісектриса,
проведені з вершини цього кута, утворюють кут . Знайдіть невідомі кути
трикутника.
Розв’язання.

3. Нехай у ; BN — висота ( ); BL — бісектриса ;
(див. рисунок).
Знайти: , .
1) BL — бісектриса за умовою. Значить, .
2) за аксіомою вимірювання кутів.
3) Розглянемо : за умовою; за
доведеним; за властивістю гострих кутів прямокутного
трикутника.
4) Розглянемо : за умовою; за
доведеним; за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: ; .
Задача на коло
Задача. На рисунку пряма a дотикається до кола в точці B. Знайти ,
якщо .
Розв’язання
1) OB — радіус, проведений у точку дотику.
Значить, за означенням дотичної: .
2) за аксіомою вимірювання кутів.

4. 3) Розглянемо : рівнобедрений, бо як радіуси одного кола; це
означає, що як кути при основі рівнобедреного трикутника.
4) за теоремою про суму кутів трикутника.
Відповідь: .
Додаткова побудова
У багатьох задачах для успішного розв’язання треба увести деякий елемент,
якого не було в умові,— зробити додаткову побудову.
Задача 1. На рисунку ; .
Довести, що .
Доведення:
1) Додаткова побудова: DF.
2) Розглянемо і : DM = = DE за умовою; MF = EF за умовою; DF —
спільна. Значить, за трьома сторонами.
3) як відповідні елементи в рівних трикутниках.
Дуже корисною є додаткова побудова в багатьох задачах, пов’язаних із
поняттям медіани трикутника.
Задача 2. Доведіть, що трикутник рівнобедрений, якщо у нього бісектриса є
медіаною.
Доведення:
Нехай у BD — бісектриса ;
BD — медіана (див. рисунок).
Довести, що .

5. 1) Додаткова побудова: продовжимо медіану BD на відрізок такої ж довжини
— DF і з’єднаємо точку F з точкою C.
(Зверніть увагу: це стандартна додат кова побудова у задачах на медіану.)
2) Розглянемо і : за умовою; як вертикальні; за
побудовою; Значить, за першою ознакою.
3) ; як відповідні елементи в рівних трикутниках.
4) Розглянемо : за умовою (BD — бісектриса); ,
значить, за ознакою рівнобедреного трикутника.
5) CF = AB; CF = BC, значить, , що й треба було довести.
Задача 3. Висота і медіана, які проведені з однієї вершини трикутника,
поділяють його кут на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.
Розв’язання
Нехай у (див. рисунок) ; .
.
Знайти ; ; .
1) Додаткова побудова: .
2) Розглянемо і AOD: AD — спільна; за умовою; за
умовою.
Значить, за другою ознакою. як відповідні елементи в рівних
трикутниках.

6. 3) Розглянемо і AOM: АО — спільна. за умовою; за
умовою.
Значить, за теоремою про суму кутів трикутника. за
другою ознакою. Значить, як відповідні елементи в рівних
трикутниках.
4) Враховуючи, що АО — медіана ABC, отримуємо .
5) Розглянемо прямокутний : , значить, .
6) — прямокутний ;
, значить, .
7) ; .

7. Слід проводити обговорення виконаного розв'язування, для того щоб
зробити узагальнення, висновки, які надалі використовуватимуться для
розв'язування інших задач.
Такий аналіз і узагальнення потрібно проводити і під час розв'язування
складніших задач.

8. На завершення розв'язування цієї задачі доцільно надати учням узагальнений
орієнтир щодо додатково виконаної побудови: якщо в умові задачі йдеться
про рівність медіан або дано медіану, довжина якої відома, то для її
розв'язування доцільно подовжити медіану на її довжину і з'єднати кінець
отриманого відрізка з вершинами трикутника.
Застосування ознак рівності трикутників потрібно для розв'язування
прикладних задач, зокрема геодезичних; деякі з них включено в систему
задач чинних підручників.