KR1001

1. 1.1. Дотичні напруження при крученні для стержня круглого чи
кільцевого перерізу
Попередньо розглянемо експериментальні результати кручення стержнів
круглого перерізу. На валу (рис. 1а) відзначимо утворюючі (меридіани) та поперечні
перерізи (паралелі):
Рис. 1
1. При крученні поперечні перерізи стержня повертаються навколо його осі і
відносно один одного.
2. Твірні повертаються на один і той же кут  . Квадрати перетворюються в
ромби, прямі кути змінюються, як і у випадку чистого зсуву (рис. 1а). Це свідчить
про те, що виділений елементарний об’єм будь-якого шару вала знаходиться в
умовах чистого зсуву.
3. При крученні стержня круглого перерізу дотримується гіпотеза плоских
перерізів: переріз плоский і нормальний до осі до деформації залишається плоским і
нормальним до осі в процесі деформації.
4. Відстані між перерізами в процесі деформації не змінюються ( consta ), це
підтверджує відсутність у перерізі нормальних напружень.
5. Довжина і прямолінійність радіусів перерізів не порушується, тобто
дотичні напруження  у будь-якій точці перерізу перпендикулярні радіусу  (рис.
1б).
Розглянемо стержень діаметром d , довжиною  , що навантажений моментом
M (рис. 2а). На відстані z виділимо елемент довжиною dz і розглянемо його
рівновагу (рис. 2б). У лівому перерізі прикладемо діючий у ньому крутний момент
кM , а в правому перерізі замінимо кM напруженням, що діє на елементарній
площадці dA з координатами x , y , як показано на рис. 2б.

2. Рис. 2
Вважаючи, що початок координат співпадає з центром ваги О перерізу,
запишемо рівняння статичної рівноваги від елементарної сили dAdF  , що діє
на площадці dA (результуюча сила 
A
dAF  ):
;0sin   
A
x dAF (1)
;0cos   
A
y dAF (2)
0к  
A
z dAMM  . (3)
Оскільки невідомі величина і закон розподілу дотичного напруження  , кут
кручення, положення нуля напружень, то рівняння рівноваги розв’язати неможливо.
Таким чином, задача є статично невизначеною.