Teoria sobre els nombres naturals 1r d'ESO

2. Comptar
és una
cosa
natural !!

3. 1.- Fixa’t en la fotografia i digues per què és més fàcil comptar els cotxes que les
persones que estan corrent.
a.- Perquè hi ha menys cotxes que esportistes.
b.- Perquè es veuen millor.
c.- Perquè formen una filera.
d.- Perquè els cotxes no porten dorsal.
2.- Per saber quants corredors hi ha a la foto, seria útil conèixer els dorsals? Si
poguessis distribuir d’alguna manera les persones que corren, com ho faries per
poder-les comptar fàcilment?

4. 3.- Afegeix a la llista següent altres exemples de coses que s’acostumen
comptar agrupades:
•D’1 en 1: pàgines
•De 2 en 2: sabates
•De 3 en 3: ofertes de productes 3 x 2
•De 4 en 4: iogurts
•De 5 en 5: dits
•De 6 en 6: cordes de guitarra
•De 7 en 7: dies
4.- Posa altres exemples d’objectes que es comptin de 10 en 10, de 12 en
12, de 100 en 100, etc

5. Codi Postal de Verges 17142

6. Nombres naturals
• Els nombres naturals:
– S’utilitzen per comptar.
– Són els nombres positius sense decimals.
• El conjunt dels nombres naturals:
– És infinit, és il·limitat.
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
10 pertany al conjunt dels nombres naturals.
10Є

7. Nombres naturals
• Representació sobre la recta :
• Els nombres naturals que utilitzem per
comptar s’anomenen: CARDINALS (zero, u,
dos, deu, cent u...)
• Els nombres naturals que utilitzem per
ordenar s’anomenen: ORDINALS (primer,
segon, quart, setè...)
< més petit que
> més gran que

8. Sistema de numeració decimal
uM cm dm um c d u
Unitat de
milió
Centena de
mil
Desena de
mil
Unitat de
mil
Centena Desena Unitat
x 1.000.000 x 100.000 x 10.000 x 1.000 x 100 x 10 x 1
• Està basat en deu xifres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• L’origen es troba en el fet que tenim deu dits a les mans.
• És important el dígit i la posició que ocupa.
NORMA: D-U-C

9. Sistema de numeració decimal
uM cm dm um c d u
Unitat de
milió
Centena de
mil
Desena de
mil
Unitat de
mil
Centena Desena Unitat
x 1.000.000 x 100.000 x 10.000 x 1.000 x 100 x 10 x 1
4 5 7
8 7 6 2 0 1 4
457: quatre-cents cinquanta-set
8.762.534: vuit milions set-cents seixanta-dos mil cinc-cents trenta-quatre

10. Descomposició de decimal
4.248.759=
4 unitats de milió = 4.000.000
2 centenes de mil = 200.000
4 desenes de mil= 40.000
8 unitats de mil= 8.000
7 centenes= 700
5 desenes= 50
9 unitats = 9
Quatre milions dos-cents quaranta-vuit mil set-
cents cinquanta-nou

11. Anomenar nombres llargs
Dos trilions, cinc-cents dos mil tres-cents vint-i-
un bilions, sis-cents cinquanta-dos mil tres-cents
vint-i-cinc milions, set-cents vuitanta mil vuit-
cents cinquanta-cinc
2 502 321 652 325 780 855
mil mil mil
milióbiliótrilió

12. Diferents sistemes de
numeració

15. Sistema de numeració romà
• Les xifres romanes són:
• Normes per escriure:
– Les lletres I,X,C i M es poden repetir fins 3
vegades (ex: 83=LXXXIII)
– La I només pot restar a V i X (ex: 99=XCIX IC)
– La X només pot restar a L i C (ex: 40=XL)
– La C només pot restar a D i M
– Una ratlla horitzontal sobre una o més lletres,
queden multiplicades per mil (ex: V = 5.000)
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000

16. Quin error hi ha?

17. Exercicis
Escriu en sistema decimal les següents xifres romanes:
• XXII
• MDCCCXXXIX
• XI
• MCCXIII
• XCI
Escriu en xifres romanes:
• 625
• 256
• 1423
• 3241
• 49

18. Operacions: suma i resta
• Sumar ➔ afegir a + b
a i b s'anomenen sumands
– Propietat commutativa a + b = b + a
– Propietat associativa (a + b) + c = a + (b + c)
– Element neutre a + 0 = a
• Restar ➔ treure a - b
a s’anomena minuend i b s'anomena sostraient.
– No té la propietat commutativa ni associativa.

19. Operacions: multiplicació i divisió
• Multiplicació ➔ sumar un nº de vegades
– Propietat commutativa a x b = b x a
– Propietat associativa (a x b) x c = a x (b x c)
– Element neutre a x 1 = a
– Element absorbent a x 0 = 0
– Propietat distributiva a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
• Divisió ➔ repartir
• Divisió exacta: Residu=0
• Divisió entera: Residu ≠ 0
• Prova de la divisió:
Dividend = Divisor x quocient + residu

20. Exemple de propietat distributiva
2 x (4 + 2) = (2 x 4) + (2 x 2)
2 x 6 = 8 + 4

21. Operacions combinades
• Ordre per efectuar les operacions:
– Si hi ha parèntesis, primer efectuarem les
operacions de dins el parèntesis
ex: (2 + 6) x (4 + 5) =
8 x 9 = 72
– Si no hi ha parèntesis,
• 1r efectuarem les multiplicacions i divisions
• 2n efectuarem les sumes i restes
ex: 2 + 6 x 4 + 5 = ex: 9 : 3 + 4 x 2 =
2 + 24 + 5 = 31 3 + 8 = 11

22. Exemple d’operacions
combinades complexes
• Exemple 1:
12 - 6 x 4 – (2 + 5) x 3 =
12 – ( 6 x 4 - 7 x 3) =
12 - ( 24 - 21 ) =
12 – 3 = 9
• Exemple 2:
(6 x 10) + (7 - 6) x 7 =
(60 + 1 x 7) =
( 60 + 7) = 67

23. Treure factor comú
(4 x 3 ) + (3 x 8) = 3 x (4 + 8)
(4 x 6) + (4 x 2) – (5 x 4) = 4 x (6 + 2 – 5)
(5 x 2 x 4) - (10 x 3) = 10 x (4 – 3)
3 x 5 + 3 x 7 - 11 x 3 = 3 x (5 + 7 – 11) =
3 x (12 – 11) = 3 x 1 = 3

24. Exercicis
Treu factor comú:
1.- (5 x 3 x 2) + (7 x 5) =
2.- (6 x 7) + (3 x 2 x 6) =
3.- (5 x 2 x 6) - (5 x 1) =
4.- (9 x 1 x 3) + (2 x 3 x 7) =
5.- (12 x 7) - (4 x 3 x 5) =
6.- (3 x 4) + (6 x 4 x 7) =
7.- (2 x 10 x 3) + (7 x 10) =
8.- (5 x 2) + (7 x 3 x 5) - (5 x 1) =
9.- (11 x 3) + (3 x 7 x 1) =
10.- (7 x 5 x 9) - (5 x 7 x 2) =
11.- (4 x 3 x 2) + (7 x 4 x 3) - (7 x 5 x 4) =

25. 1.- Tres pastors reben les vaques de dues centrals lleteres que tenen 300 i
150 caps de bestiar respectivament. Si s’han de repartir la feina
equitativament, quantes vaques haurà de cuidar cada pastor?
2.- Per comprar un regal a un amic, la Marta aporta 5 €, la Raquel 7 €, la
Núria 8 € i la Cristina 8 €.
a)Quin pressupost tenen per al regal?
b)Si totes hi haguessin posat el mateix, quant hauria aportat cada una?

26. Potències
• Una potència és una multiplicació de nombres iguals
• El factor que es repeteix és la base
• El nombre de vegades que es repeteix és l’exponent
• Qualsevol número elevat a 0 és igual a 1. Ex: 90=1
3 x 3 = 32 es llegeix 3 al quadrat
5 x 5 x 5 = 53 es llegeix 5 al cub
6 x 6 x 6 x 6 = 64 es llegeix 6 elevat a
quatre
Calcula:
32 x 43 - 62 = 3 x 3 x 4 x 4 x 4 - 6 x 6 = 9 x 64 - 36= 576 - 36= 540
Unitats:
•Superfície = cm2
•Volum = cm3

27. Operacions amb potències
• Multiplicació de potències – mateixa base
72 x 73 = 7 2 + 3 = 75
• Divisió de potències – mateixa base
35 : 33 = 3 5 – 3 = 32
• Potència d’un producte
(3 x 6)2 = 32 x 62
• Potència d’una potència
(45)3 = 45 x 45 x 45 = 45+5+5 = 415
(45)3 = 45x3= 415
Potències en base 1, 0
1n = 1
0 n = 0

28. Potències de 10
100= 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
104 = 10.000
105 = 100.000
Una potència de base 10 és
igual a la unitat seguida de
tants zeros com unitats
indica l’exponent.
14.000 = 14 x 1000 = 14 x 103
250.000 = 25 x 10.000 = 25 x 104
3.000.000= 3 x 1.000.000 = 3 x 106

29. Arrels quadrades
Calcular l’arrel quadrada d’un nombre N és
calcular aquell nombre que multiplicat per ell
mateix doni N.
Dos tipus d’arrels quadrades:
• Arrel quadrada exacta
– És un nombre natural
(quadrat perfecte), el 8
• Arrel quadrada entera
– No és un nombre natural, no és un quadrat perfecte

30. Exercicis d’arrels:
Dóna el resultat de les següents arrels, si l’arrel és entera, posa
entre quins dos nombres es trobarà el resultat: