1. บทที่ 1
ลิมิตและความตอเนื่องของ
ฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร
1.1 ความหมายของลิมิต
การศึกษาเรื่องลิมิตเปนสิ่งจําเปนมาก เพราะลิมิตมีความสําคัญมากในทางคณิตศาสตร โดยเฉพาะอยางยิ่ง
สําหรับวิชาแคลคูลัส ในหัวขอนี้เราจะเริ่มตนดวยการศึกษาแนวคิดเรื่องลิมิต แลวจึงนําไปสูการใหบทนิยามของ
ลิมิตตอไป พิจารณาฟงกชัน f ซึ่งกําหนดโดย
f(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
=
<−
1xx2
1x1
1xx3 2
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
เราคํานวณคาของ f(x) สําหรับ x บางคาที่มีคาเขาใกล 1 ไดดังตารางตอไปนี้
x f(x) x f(x)
1.1
1.01
1.001
1.0001
1.00001
1.000001
2.2
2.02
2.002
2.0002
2.00002
2.000002
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999
0.999999
2.19
2.0199
2.001999
2.00019999
2.0000199999
2.000001999999
เมื่อพิจารณาคาของ f(x) จากตาราง จะเห็นวา ถา x มีคาเขาใกล 1 ไมวาจะเขาใกลในลักษณะที่ x < 1 (ซึ่งจะ
กลาววา x เขาใกล 1 ทางซาย) หรือในลักษณะที่ x > 1 (ซึ่งจะกลาววา x เขาใกล 1 ทางขวา)
เราจะไดวา f(x) มีคาเขาใกล 2 ในกรณีเชนนี้เราจะกลาววา f(x) มีลิมิตเปน 2 เมื่อ x เขาใกล 1
และเขียนแทนดวยสัญลักษณ
1x
lim
→
f(x) = 2
ซึ่งจะสังเกตไดวา ในที่นี้ f(1) = 1
แตเราไมไดสนใจคาของ f(1) เลยวาจะมีคาหรือไม
นอกจากนั้นเราสามารถเขียนกราฟของ f ไดดังรูปที่ 1.1.1
ซึ่งจะสังเกตจากกราฟของ f ไดเชนกันวา
f(x) มีคาเขาใกล 2 เมื่อ x มีคาเขาใกล 1
รูปที่ 1.1.1

2. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร2
จากการศึกษาแนวคิดเรื่องลิมิตขางตน จะเห็นวาถาลิมิตมีคา เราสามารถหาคาของลิมิตโดยพิจารณาจากคา
ของฟงกชัน ซึ่งอาจจะพิจารณากราฟของฟงกชันประกอบดวยก็ได เราจะลองใชวิธีการนี้พิจารณาหาลิมิตของ
ฟงกชันตอไปนี้ ให f(x) = x
|x|
จะเห็นวา f(0) ไมมีคา
เพราะวา | x | =
⎩
⎨
⎧
<−
≥
0xx
0xx
เมื่อ
เมื่อ
เพราะฉะนั้น f(x) =
⎩
⎨
⎧
<−
>
0x1
0x1
เมื่อ
เมื่อ
เราสามารถเขียนกราฟของ f ไดดังรูปที่ 1.1.2
จะสังเกตไดวา ถา x มีคาเขาใกล 0 ทางซาย แลว f(x) = –1
และ ถา x มีคาเขาใกล 0 ทางขวา แลว f(x) = 1
จะเห็นวา เมื่อ x มีคาเขาใกล 0 คาของ f(x) ไมไดเขาใกลคาใดคาหนึ่งที่แนนอน ในกรณีเชนนี้เราจะกลาววา
ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล 0 ไมมีคา และเขียนแทนดวยสัญลักษณ
0x
lim
→
f(x) ไมมีคา
ในการพิจารณาคาของ
ax
lim
→
f(x) เราตองพิจารณาคาของ f(x) ที่จุดอื่น ๆ ใน fD ที่อยูใกล a แสดงวา a
ตองเปนจุดที่มีจุดอื่นใน fD อยูใกล ๆ ซึ่งจุดที่มีสมบัติเชนนี้เราเรียกวาจุดลิมิต
เพราะฉะนั้นในการกลาวถึงบทนิยามของลิมิต
ax
lim
→
f(x) จึงจําเปนตองรูความหมายของ จุดลิมิต ดังนี้
บทนิยาม 1.1.1 ให E ⊆ R และ a ∈ R เราจะกลาววา a เปน จุดลิมิต (limit point) ของ E ก็ตอเมื่อ
สําหรับทุก ๆ จํานวนจริงบวก δ ที่กําหนดให จะไดวา ((a – δ, a + δ) – {a}) ∩ E ≠ ∅
ตัวอยางเชน 1. ให 1E = [1, 2] จะไดวา จุดทุกจุดใน 1E เปนจุดลิมิตของ 1E
2. ให 2E = (1, 2) จะไดวา จุดทุกจุดใน 2E เปนจุดลิมิตของ 2E รวมทั้ง 1 และ 2 ก็เปนจุดลิมิตของ 2E
3. ให 3E = (1, 2) ∪ {3} จะไดวา จุดทุกจุดใน [1, 2] เปนจุดลิมิตของ 3E แต 3 ไมเปนจุดลิมิตของ 3E
เพราะวา มี δ = 0.5 ซึ่ง ((3 – δ, 3 + δ) – {3}) ∩ 3E = ((2.5, 3.5) – {3}) ∩ 3E = ∅
4. ให 4E = {1, 2, 3} จะไดวา 4E ไมมีจุดลิมิตเลย
5. ให 5E = R จะไดวาจุดทุกจุดใน 5E เปนจุดลิมิตของ 5E
ขอสังเกต
1. จุดลิมิตของเซตใดก็คือจุดที่มีจุดอื่นในเซตนั้นอยูใกล ๆ นั่นเอง ซึ่งอาจจะอยูใกล ๆ ทั้งสองดาน หรือ
ดานใดดานหนึ่งเพียงดานเดียวก็ได เชน 1.5 เปนจุดลิมิตของ (1, 2) โดยมีจุดอื่นใน (1, 2) อยูใกล ๆ 1.5
ทั้งสองดาน แต 1 เปนจุดลิมิตของ (1, 2) โดยมีจุดอื่นใน (1, 2) อยูใกล ๆ 1 ทางดานขวาเทานั้น
2. จุดลิมิตของเซตใดอาจจะอยูหรือไมอยูในเซตนั้นก็ได เชน 1.5 เปนจุดลิมิตของ (1, 2) โดยที่
1.5 ∈ (1, 2) แต 1 เปนจุดลิมิตของ (1, 2) โดยที่ 1 ∉ (1, 2)
บทนิยาม 1.1.2 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ R และ a เปนจุดลิมิตของ D เราจะกลาววา f(x) มีลิมิต (limit)
เปนจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a และเขียนแทนดวยสัญลักษณ
ax
lim
→
f(x) = L
ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ จํานวนจริงบวก ε ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให | f(x) – L | < ε ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < | x – a | < δ
รูปที่ 1.1.2

3. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร 3
เราอาจพิจารณาความหมายของ
ax
lim
→
f(x) = L ไดจากรูปที่ 1.1.3
สําหรับทุก ๆ จํานวนจริงบวก ε เราสามารถหาจํานวนจริงบวก δ ได ที่ทําให | f(x) – L | < ε
ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < | x – a | < δ
ทฤษฎีบท 1.1.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ R และ a เปนจุดลิมิตของ D
ถา
ax
lim
→
f(x) มีคา แลว คาของลิมิตมีเพียงคาเดียวเทานั้น
เพราะฉะนั้น ถา
ax
lim
→
f(x) = 1L และ
ax
lim
→
f(x) = 2L แลว 1L = 2L
บทพิสูจน สมมติวา 1L ≠ 2L เพราะฉะนั้น 2
1 | 1L – 2L | > 0
เพราะวา
ax
lim
→
f(x) = 1L จะไดวา มี 1δ > 0 ที่ทําให
| f(x) – 1L | <
2
1 | 1L – 2L | ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < | x – a | < 1δ
เพราะวา
ax
lim
→
f(x) = 2L จะไดวา มี 2δ > 0 ที่ทําให
| f(x) – 2L | <
2
1 | 1L – 2L | ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < | x – a | < 2δ
เลือก δ = min { 1δ , 2δ }
เนื่องจาก a เปนจุดลิมิตของ D ดังนั้นจะมี x ∈ ((a – δ , a + δ) – {a}) ∩ D
ซึ่งจะไดวา | 1L – 2L | = | 1L – f(x) + f(x) – 2L |
≤ | 1L – f(x) | + | f(x) – 2L |
<
2
1 | 1L – 2L | + 2
1 | 1L – 2L |
= | 1L – 2L |
เพราะฉะนั้น | 1L – 2L | < | 1L – 2L | ซึ่งเปนไปไมได เพราะฉะนั้น 1L = 2L
ตัวอยาง 1.1.1 จงแสดงวา
1x
lim
−→
(4x + 9) = 5
แนวคิด เราจะตองแสดงวา สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง ε > 0 ที่กําหนดให จะมีจํานวนจริง δ > 0
ที่ทําให | (4x + 9) – 5 | < ε ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x + 1 | < δ
จะเห็นวาจุดสําคัญของการแสดงขอความนี้อยูที่การเลือก δ ที่เหมาะสม ซึ่งสามารถทําได
รูปที่ 1.1.3

4. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร4
โดยพิจารณาจาก | (4x + 9) – 5 | ดังนี้
| (4x + 9) – 5 | = | 4x + 4 | = 4 | x + 1 | < 4δ
เพราะฉะนั้น เราควรเลือก δ ที่ทําให 4δ ≤ ε หรือ δ ≤
4
ε
วิธีทํา กําหนดให ε > 0
เลือก δ = 4
ε เพราะฉะนั้น δ > 0
ให x ∈ R ซึ่ง 0 < | x + 1 | < δ
จะไดวา | (4x + 9) – 5 | = | 4x + 4 | = 4 | x + 1 | < 4δ = (4)( 4
ε ) = ε
เพราะฉะนั้น | (4x + 9) – 5 | < ε
เพราะฉะนั้น สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง ε > 0 ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริง δ = 4
ε ที่ทําให | (4x + 9) – 5 | < ε ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x + 1 | < δ
เพราะฉะนั้น
1x
lim
−→
(4x + 9) = 5
ตัวอยาง 1.1.2 จงแสดงวา
0x
lim
→
sinx = 0
แนวคิด เราจะตองแสดงวา สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง ε > 0 ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริง δ > 0 ที่ทําให | sinx – 0 | < ε ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x – 0 | < δ
วิธีทํา ในการเลือก δ เราจําเปนตองทราบความสัมพันธระหวาง | sinx | และ | x |
พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวย 2
x + 2
y = 1
กรณีที่ 1. 0 < x <
2
π
จากรูปที่ 1.1.4 พิกัดของจุด P คือ (cosx, sinx)
ลากเสนตรงจากจุด P มาตั้งฉากกับแกน X ที่จุด Q
จะไดวา | sinx | = sinx = PQ ≤ PA ≤ ความยาวของสวนโคง PA = x = | x |
เพราะฉะนั้น | sinx | ≤ | x | หรือ sinx ≤ x ทุก x ∈ (0, 2
π )
กรณีที่ 2. 2
π− < x < 0 จะไดวา 0 < –x <
2
π เพราะฉะนั้น sin(–x) ≤ –x
ซึ่งจะไดวา –sinx ≤ –x
เพราะฉะนั้น | sinx | = –sinx ≤ -x = | x |
เพราะฉะนั้นจากทั้ง 2 กรณีจะไดวา | sinx | ≤ | x | ทุก x ∈ ( 2
π− , 2
π ) – {0}
รูปที่ 1.1.4

5. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร 5
ตอไปเราจะแสดงวา
0x
lim
→
sinx = 0
กําหนดให ε > 0
เลือก δ = ε เพราะฉะนั้น δ > 0
ให x ∈ R ซึ่ง 0 < | x – 0 | < δ
จะไดวา | sinx – 0 | = | sinx | ≤ | x | < δ = ε
เพราะฉะนั้น | sinx – 0 | < ε
เพราะฉะนั้น สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง ε > 0 ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริง δ = ε ที่ทําให | sinx – 0 | < ε ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x – 0 | < δ
เพราะฉะนั้น
0x
lim
→
sinx = 0
แบบฝกหัด 1.1
1. กําหนดให
3x
lim
→
(2x – 9) = –3
จงแสดงวา สําหรับจํานวนจริงบวก ε จะไดวา | (2x – 9) + 3 | < ε ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x – 3 | <
2
ε
2. กําหนดให
1x
lim
−→
(2 + 3 | x |) = 5
จงหาจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให | (2 + 3 | x |) – 5 | < 0.015 ทุก x ∈ R ซึ่ง 0 < | x + 1 | < δ
3. กําหนดให
2x
lim
−→
2
x = 4
จงแสดงวา ถา 0 < | x + 2 | < 0.01 แลว | 2
x – 4 | < 0.05
4. กําหนดให
2x
lim
→ 1x
1
+
= 3
1
จงแสดงวา สําหรับจํานวนจริงบวก ε ถา 1 < x < 3 และ 0 < | x – 2 | < 6ε แลว | 1x
1
+
– 3
1 | < ε
5. โดยใชบทนิยาม 1.1.2 จงแสดงวา
5.1
2x
lim
→
x = 2 5.2
1x
lim
→
(2x + 4) = 6
5.3
1x
lim
−→
(3x + 2) = –1 5.4
3x
lim
→
(8 - 2x) = 2
5.5
2x
lim
→ 1x
1
+
= 3
1

6. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร6
1.2 ลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา
ในหัวขอ 1.1 เราไดศึกษาความหมายของ
ax
lim
→
f(x) มาแลว ซึ่งเปนการพิจารณาคาของ f(x) เมื่อ x มีคา
เขาใกล a โดยที่ x จะมีคาเขาใกล a ทั้งทางซาย (x < a) และทางขวา (x > a) ในหัวขอนี้ เราจะแบงการ
พิจารณาคาของ f(x) เปน 2 ทาง คือ พิจารณาเมื่อ x มีคาเขาใกล a ทางซายเทานั้น และพิจารณาเมื่อ x มีคา
เขาใกล a ทางขวาเทานั้น ดังบทนิยามตอไปนี้
บทนิยาม 1.2.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ R และ a เปนจุดลิมิตของ D ∩ (–∞, a)
เราจะกลาววา f(x) มีลิมิตเปนจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a ทางซาย
และเขียนแทนดวยสัญลักษณ −→ax
lim f(x) = L ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ จํานวนจริงบวก ε ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให | f(x) – L | < ε ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < a – x < δ (หรือ a – δ < x < a)
และเราจะกลาววา L เปน ลิมิตทางซาย (left-hand limit) ของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a
เราอาจพิจารณาความหมายของ −→ax
lim f(x) = L ไดจากรูปที่ 1.2.1
บทนิยาม 1.2.2 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ R และ a เปนจุดลิมิตของ D ∩ (a, ∞) เราจะกลาววา f(x)
มีลิมิตเปนจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a ทางขวา และเขียนแทนดวย สัญลักษณ +→ax
lim f(x) = L
ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก ๆ จํานวนจริงบวก ε ที่กําหนดให
จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให | f(x) – L | < ε ทุก x ∈ D ซึ่ง 0 < x – a < δ (หรือ a < x < a + δ)
และเราจะกลาววา L เปน ลิมิตทางขวา (right-hand limit) ของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a
เราอาจพิจารณาความหมายของ +→ax
lim f(x) = L ไดจากรูปที่ 1.2.2
รูปที่ 1.2.1
รูปที่ 1.2.2

7. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร 7
ขอสังเกต
1. ถา −→ax
lim f(x) มีคา แลว คาของลิมิตมีเพียงคาเดียวเทานั้น
และถา +→ax
lim f(x) มีคา แลว คาของลิมิตมีเพียงคาเดียวเทานั้น
ซึ่งเราสามารถพิสูจนขอความทั้งสองไดในทํานองเดียวกันกับการพิสูจนทฤษฎีบท 1.1.1
2. ในกรณีที่ D เปนชวงที่มีจุด a เปนจุดปลายชวง
ถาจุด a เปนจุดปลายชวงทางซาย แลวเราจะถือวา
ax
lim
→
f(x) ก็คือ +→ax
lim f(x)
และถาจุด a เปนจุดปลายชวงทางขวา แลวเราจะถือวา
ax
lim
→
f(x) ก็คือ −→ax
lim f(x)
ตัวอยางเชน f(x) = x จะเห็นวา fD = [0, ∞) ซึ่ง
0x
lim
→
f(x) ก็คือ +→0x
lim f(x)
กอนอื่น เราจะพิจารณาหาคาของลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา รวมทั้งลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a โดย
การพิจารณาจากกราฟของ f ที่กําหนดให ดังรูปที่ 1.2.3
ในที่นี้ fD = [–2, 4)
เมื่อพิจารณาที่จุด a = 0 จะไดวา −→0x
lim f(x) = 0, +→0x
lim f(x) = 0 และ
0x
lim
→
f(x) = 0
เมื่อพิจารณาที่จุด a = 2 จะไดวา −→2x
lim f(x) = 0, +→2x
lim f(x) = 1 แต
2x
lim
→
f(x) ไมมีคา
เมื่อพิจารณาที่จุด a = –2 จะไดวา
2x
lim
−→
f(x) = +−→ 2x
lim f(x) = 4 แต −−→ 2x
lim f(x) ไมมีความหมาย
เมื่อพิจารณาที่จุด a = 4 จะไดวา
4x
lim
→
f(x) = −→4x
lim f(x) = 3 แต +→4x
lim f(x) ไมมีความหมาย
เราจะสังเกตไดวา
ถา −→ax
lim f(x) และ +→ax
lim f(x) มีคา แลว
ax
lim
→
f(x) มีคา ก็ตอเมื่อ −→ax
lim f(x) = +→ax
lim f(x) เทานั้น
ซึ่งขอสังเกตนี้เปนจริง ดังทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎีบท 1.2.1 ให f : D → R เมื่อ D ⊆ R และ a เปนจุดลิมิตของทั้ง D ∩ (–∞, a) และ D ∩ (a, ∞)
และให L เปนจํานวนจริง จะไดวา
ax
lim
→
f(x) = L ก็ตอเมื่อ −→ax
lim f(x) = L = +→ax
lim f(x)
รูปที่ 1.2.3

8. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร8
ตัวอยาง 1.2.1 กําหนดให f(x) = sgn(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
=
<−
0x1
0x0
0x1
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาวา −→0x
lim f(x), +→0x
lim f(x) และ
0x
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
วิธีทํา กราฟของ f คือ
จากรูป จะไดวา −→0x
lim f(x) = –1 และ +→0x
lim f(x) = 1
เพราะฉะนั้น
0x
lim
→
f(x) ไมมีคา
หมายเหตุ f(x) = sgn(x) ทุก x ∈ R มีชื่อเรียกวา ฟงกชันซิกนัม (signum function)
ตัวอยาง 1.2.2 กําหนดให f(x) = x + [ x ] เมื่อ x ∈ [0, 2) โดยที่ [ x ] คือจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่มีคา
นอยกวาหรือเทากับ x
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาวา −→1x
lim f(x), +→1x
lim f(x) และ
1x
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
วิธีทํา พิจารณา [x] เมื่อ x ∈ [0, 2)
จะไดวา [x] =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<≤
<≤
2x11
1x00
เมื่อ
เมื่อ
จะไดวา f(x) = x + [x] =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<≤+
<≤
2x11x
1x0x
เมื่อ
เมื่อ
กราฟของ f คือ
จากรูป จะไดวา −→1x
lim f(x) = 1 และ +→1x
lim f(x) = 2
เพราะฉะนั้น
1x
lim
→
f(x) ไมมีคา
หมายเหตุ f(x) = [x] ทุก x ∈ R มีชื่อเรียกวา ฟงกชันจํานวนเต็มมากที่สุด (greatest integer function)
รูปที่ 1.2.4
รูปที่ 1.2.5

9. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร 9
ตัวอยาง 1.2.3 กําหนดให f(x) =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>−
<−
1x2
1x3x2
เมื่อ
เมื่อ
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาวา −→1x
lim f(x), +→1x
lim f(x) และ
1x
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
วิธีทํา กราฟของ f คือ
จากรูป จะไดวา −→1x
lim f(x) = –2 และ +→1x
lim f(x) = -2 เพราะฉะนั้น
1x
lim
→
f(x) = –2
ตัวอยาง 1.2.4 กําหนดให f(x) =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<
2xx5
2x2
เมื่อ
เมื่อ
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาวา −→2x
lim f(x), +→2x
lim f(x) และ
2x
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
วิธีทํา กราฟของ f คือ
จากรูปที่ 1.2.7 จะไดวา −→2x
lim f(x) = 2 และ +→2x
lim f(x) = 3 เพราะฉะนั้น
2x
lim
→
f(x) ไมมีคา
แบบฝกหัด 1.2
1. จากกราฟของ f และจุด a ที่กําหนดให
จงหาลิมิตทางซาย ลิมิตทางขวา และลิมิตของ f(x) เมื่อ x เขาใกล a ถาลิมิตมีคา
1.1 a = –2, 2
รูปที่ 1.2.6
รูปที่ 1.2.7

10. บทที่ 1 ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชันคาจริงของหนึ่งตัวแปร10
1.2 a = –1, 3, 4
1.3 a = –2, –1, 1, 2
2. จากฟงกชัน f และจุด a ที่กําหนดให
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาวา −→ax
lim f(x), +→ax
lim f(x) และ
ax
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
2.1 f(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
≤≤
<−
3x1x
3x12
1xx2 2
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
และ a = 1, 3
2.2 f(x) =
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
≤<
≤−−
4xx29
4x21
2x2xx2
เมื่อ
เมื่อ
เมื่อ
และ a = 2, 4
3. จากฟงกชัน f และจุด a ที่กําหนดให จงพิจารณาวา −→ax
lim f(x), +→ax
lim f(x) และ
ax
lim
→
f(x) มีคาหรือไม
3.1 f(x) = |2x|
4x2
−
− และ a = 2
3.2 f(x) = |1x|
1x3
−
− และ a = 1
3.3 f(x) = (x + 1)sgn(x) และ a = 0
3.4 f(x) = x – [x] และ a = 4
3.5 f(x) = [x] และ a = 2
3.6 f(x) = |x|
x และ a = 0
3.7 f(x) = 2
x + x + 1 และ a = –1