1. แแบบบฝฝึึกเเสสรริิมททักักษษะะคณณิติตศศาาสตรร์์
เเรรื่อื่อง
ทฤษฎฎีีจจาานวนเเบบ้ื้อืองตต้้น
((ชชุุด 1 กกาารหหาารลงตวั))
รราายววิิชชาาคณณิติตศศาาสตรร์์ GP1
ภภาาคเเรรีียนททีี่่ 1 ปปีีกกาารศศึึกษษาา 2557
ผลการเรียนรู้
นักเรียนเข้าใจสมบัติของจา นวนเต็ม และนา ไปใช้ในการให้เหตุผล
เกี่ยวกับการหารลงตัวได้
ศึกษาผลการเรียนรู้
และเนื้อหาก่อนดีกว่า

2. 2
1.1 การหารลงตัว (Exact Division)
บทนิยาม
ให้ a และ b เป็นจา นวนเต็ม โดยที่ b  0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจา นวนเต็ม c ที่ทา ให้ a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหาร
(divisor) ของ a และเรียก a ว่าเป็น พหุคูณ (multiple) ของ b
ใช้สัญลักษณ์ b/a แทน “b หาร a ลงตัว
ศึกษาตัวอย่างก่อน
นะครับ
แล้วค่อยทาแบบ
ฝึก

3. 3
ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า 3/12, -4/12, 9/54, 7/0, -11/-121, 5/-25, -3/0
3/12 เพราะ 12 = 3(4)
-4/12 เพราะ 12 = -4(3)
9/54 เพราะ 54 = 9(6)
7/0 เพราะ 0 = 7(0)
-11/-121 เพราะ -121 = -11(11)
5/-25 เพราะ -25 = 5(-5)
-3/0 เพราะ 0 = -3(0)
ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า - 3/12, 4/-12, -9/54, - 7/0, 11/-121, -5/-25, 2/0
-3/12 เพราะ 12 = -3(-4)
4/-12 เพราะ -12 = 4(-3)
-9/54 เพราะ 54 = -9(-6 )
-7/0 เพราะ 0 = - 7(0)
11/-121 เพราะ -121 = 11(-11)
-5/-25 เพราะ -25 = -5(5)
2/0 เพราะ 0 = 2(0)
ศึกษาตัวอย่างแล้ว
ทาแบบฝึก
ด้วยความมั่นใจนะครับ

4. 4
แบบฝึกหัด 1.1
การหารลงตัว
1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 ,
4/0 , -11/0 , -1/1
1.1) -6/12 เพราะ 12 = -6(……)
1.2) 8/-16 เพราะ -16 = 8(……)
1.3) 5/25 เพราะ 25 = 5(…… )
1.4) -9/0 เพราะ 0 = - 9(……)
1.5) 10/-100 เพราะ -100 = 10(…..)
1.6) -25/-25 เพราะ -25 = -25(……)
1.7) -2/0 เพราะ 0 = -2(……)
1.8) 4/0 เพราะ 0 = 4(……)
1.9) -11/0 เพราะ 0 = -11(……)
1.10) -1/1 เพราะ 1 = -1(……)
2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , -125/-250
1) 12/0 เพราะ ……………………..
2) -8/-32 เพราะ ……………………..
3) -5/125 เพราะ ……………………..
4) -91/0 เพราะ ……………………..
5) 100/-1,000 เพราะ ……………………..
6) -125/-250 เพราะ ……………………..

5. 5
1.2 ทฤษฎีบทการหารลงตัว
ทฤษฎีบท 1
ให้ a, b และ c เป็นจา นวนเต็ม โดยที่ a  0 และ b  0 ถ้า a/b และ b/c
แล้ว a/c
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = by
ดังนั้น c = (ax)y
c = a(xy) และ xy เป็นจา นวนเต็ม
ดังนั้น a/c

6. 6
ทฤษฎีบท 2
ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a/b แล้ว a ≤ b
พิสูจน์ สมมติ a/b
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
เนื่องจาก a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ x เป็นจานวนเต็มบวก
ดังนั้น x ≥ 1
จะได้ ax ≥ a (เพราะ a เป็นจานวนเต็มบวก)
ดังนั้น b ≥ a
เช่น 3/12 จะเห็นว่า 3≤12
3/3 จะเห็นว่า 3=3

7. 7
ทฤษฎีบท 3
ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a/b และ a/c
แล้ว a/(bx + cy) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใดๆ
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม d ที่ทาให้ b = ad
และมีจานวนเต็ม e ที่ทาให้ c = ae
ดังนั้น bx + cy = (ad)x + (ae)y เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= a(dx + ey)
เนื่องจาก dx + ey เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(bx + cy)
นิพจน์ในรูป bx + cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น ของ b และ c

8. 8
ศึกษาตัวอย่างกันดีกว่า
นะครับ
ตัวอย่าง 1
กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b + c = ax + by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax + (ax)y เพราะ b = ax
= a(x+xy)
เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b + c)
ศึกษาตัวอย่างต่อ
นะครับ
แล้วค่อยทาแบบ ฝึก

9. 9
ตัวอย่าง 2
กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b - c = ax - by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax - (ax)y เพราะ b = ax
= a(x-xy)
เนื่องจาก x - xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b - c)
ศึกษาตัวอย่างต่อ
นะครับ
แล้วค่อยทาแบบ ฝึก

10. 10
ตัวอย่าง 3
กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2x – 3y) และ
a/(4x – 3y) แล้ว a/y
พิสูจน์ สมมติ a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y)
จะมีจา นวนเตม็ n ที่ทา ให้ 2x – 3y = an
และมีจา นวนเต็ม m ที่ทา ให้ 4x – 3y = am
ให้ 2x – 3y = an ……….(1)
4x – 3y = am ………..(2)
(1)×2 จะได้สมการเป็น 4x – 6y = 2an ……….(3)
(2)- (3) จะได้ 4x – 3y - 4x + 6y = am – 2an
3y = a(m-2n)
y =
3
a(m- 2n)
เนื่องจาก
3
(m- 2n) เป็นจา นวนเตม็
จะได้ a/y
ศึกษาตัวอย่าง
ก่อนนะครับ
แล้วค่อยทา
แบบฝึก
ศึกษาตัวอย่างก่อน
นะครับ
แล้วค่อยทาแบบ
ฝึก

11. 11
ตัวอย่าง 4
กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(3x – 4y) และ
a/(6x – 2y) แล้ว a/x
พิสูจน์ สมมติ a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y)
จะมีจา นวนเตม็ n ที่ทา ให้ 3x – 4y = an
และมีจา นวนเต็ม m ที่ทา ให้ 6x – 2y = am
ให้ 3x – 4y = an ……….(1)
6x – 2y = am ………..(2)
(2)×2 จะได้สมการเป็น 12x – 4y = 2am ……….(3)
(1)- (3) จะได้ 3x – 4y - 12x + 4y = an – 2am
-9x = a(n-2m)
x =
- 9
a(n - 2m)
เนื่องจาก
- 9
(n - 2m) เป็นจา นวนเตม็
จะได้ a/x
ศึกษาตัวอย่างต่อ
ดีกว่านะครับ
แบบฝึกหัดนะครับ
แล้วค่อยทาแบบ
ฝึก

12. 12
แบบฝึกหัด 1.2
ตอนที่ 1
คาชี้แจง จงเติมคา ตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a/(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (…..)y
ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= ax…..
= a(xay)
เนื่องจาก ............... เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a/(bc)
ง่ายจังเลยค่ะ
ทาข้อ
ต่อไปเลยดีกว่า
ศึกษาตัวอย่างแล้วทา
แบบฝึกหัดนะครับ
แล้วค่อยทาแบบฝึก

13. 13
2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a 2 /(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (…..)y
ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= ax…..
= a 2 (xy)
เนื่องจาก ............... เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a 2 /(bc)
3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (…..)y
ดังนั้น ………. = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= ………….
= a(x - xy)
เนื่องจาก ............... เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a/………..
ง่ายจังเลยนะครับ
ทาข้อต่อไปดีกว่า

14. 14
ตอนที่ 2
คาชี้แจง จงพิสูจน์
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c)
พิสูจน์……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………. .
ง่ายจังเลยค่ะ
ทาข้อ
ต่อไปเลยดีกว่า

15. 15
2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แล้ว a/c
พิสูจน์……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….
ง่ายจังเลยนะครับ
ทาข้อต่อไปดีกว่า

16. 16
3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c) แล้ว a/b
พิสูจน์……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….
จบแล้วค่ะ
แล้วพบกันใหม่ชุด 2
จานวนเฉพาะ

17. 17
เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 การหารลงตัว
1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 ,
4/0 , -11/0 , -1/1
1.3) -6/12 เพราะ 12 = -6( -2)
1.4) 8/-16 เพราะ -16 = 8( -2)
1.3) 5/25 เพราะ 25 = 5( 5 )
1.4) -9/0 เพราะ 0 = - 9(0)
1.5) 10/-100 เพราะ -100 = 10(-10)
1.6) -25/-25 เพราะ -25 = -25(1)
1.7) -2/0 เพราะ 0 = -2(0)
1.8) 4/0 เพราะ 0 = 4(0)
1.9) -11/0 เพราะ 0 = -11(0)
1.10) -1/1 เพราะ 1 = -1(-1)
2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 , ) -125/-250
1) 12/0 เพราะ 0 = 12(0)
2) -8/-32 เพราะ -32 = -8(4)
3) -5/125 เพราะ 125 = -5(-25)
4) -91/0 เพราะ 0 = -91(0)
5) 100/-1,000 เพราะ -1,000 = 100(-10)
6) -125/-250 เพราะ -250 = -125(2)

18. 18
เฉลยแบบฝึกหัด 1.2
ตอนที่ 1
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a/(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (a)y
ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= axay
= a(xay)
เนื่องจาก xay เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a/(bc)
ง่ายไหมค่ะ
ดูข้อ
ต่อไปเลยดีกว่า

19. 19
2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c แล้ว a 2 /(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (a)y
ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= axay
= a 2 (xy)
เนื่องจาก xy เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a 2 /(bc)
3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจา นวนเตม็ x ที่ทา ให้ b = ax
และมีจา นวนเต็ม y ที่ทา ให้ c = (b)y
ดังนั้น b-c = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจา นวนเต็ม
= ax - axy
= a(x - xy)
เนื่องจาก x - xy เป็นจา นวนเต็ม
จะได้ a/(b - c)
ง่ายจังเลยนะครับ
ดูข้อต่อไปดีกว่า

20. 20
ตอนที่ 2
คาชี้แจง จงพิสูจน์
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว a/(b+c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b+c = ax+ by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax + axy
= a(x + xy)
เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b + c)
.
ดูเฉลยข้อ
ต่อไปเลยดีกว่า

21. 21
2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c ) และ a/(b-2c) แล้ว a/c
พิสูจน์ สมมติ a/(2b – 3c) และ a/(b-2c)
จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 2b – 3c = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ b - 2c = am
ให้ 2b – 3c = an ……….(1)
b - 2c = am ………..(2)
(2)×2 จะได้สมการเป็น 2b - 4c = 2am ……….(3)
(1)- (3) จะได้ 2b – 3c - 2b + 4c = an – 2am
c = a(n-2m)
เนื่องจาก n-2m เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/c
ง่ายจังเลยนะครับ

22. 22
3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ a/(3b-2c) แล้ว a/b
พิสูจน์ สมมติ a/(-4b + 3c) และ a/(3b-2c)
จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ -4b + 3c = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 3b - 2c = am
ให้ -4b + 3c = an ……….(1)
3b - 2c = am ………..(2)
(1)×2 จะได้สมการเป็น -8b + 6c = 2an ……….(3)
(2)×3 จะได้สมการเป็น 9b - 6c = 3am ……….(4)
(3)+ (4) จะได้ -8b + 6c + 9b - 6c = 2an + 3am
b = a(2n+3m)
เนื่องจาก 2n+3m เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/b
แล้วพบกันใหม่
นะครับ
จานวนเฉพาะ
ชุด 2 จานวนเฉพาะ

23. 23

24. 24