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SMO徹底入門 - SVMをちゃんと実装する
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2013-05-05 PRML復々習レーン#10 で発表
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SMO徹底入門 - SVMをちゃんと実装する
- SMO徹底入門 SVMをちゃんと実装する 2013-05-05 Last update: 2013-06-16 Yoshihiko Suhara @sleepy_yoshi 1 v. 1.1 Thank you @a_bicky さん!
- なんでこの資料つくったの? • SMOの解説記事や疑似コード等あるけれど，自分の 頭ではその情報だけで理解できなかったから • SMOの実装は過去に2回ほど行ったことがある – 疑似コードをもとに打ち込んだだけ – 写経しても結局理解できなかった – なぜそうしているのかを理解していなかったことが原因 • 一念発起して更新式の導出等を行ったらようやくわ かった気になったのでGW中にSMOを実装してみた – 忘れないうちに資料化 2
- はじめに 3
- 本資料の想定する読者 • 知っておいてほしいこと – SVMが何かは知っている – SVMはどうやら二次計画問題として定式化できるらし いということを知っている • 知っているとよりよいこと – 主問題をいくら高速に解けても双対問題を解かない ことにはカーネルが使えないので，やっぱり二次計画 を解かなければいけないこと – 二次計画ソルバーの中でもSMOという方法があるら しい 4
- 本資料のゴール • 1-norm SVMのSequential Minimum Optimizer (SMO) を自分で実装できるようにする • SMO実装に必要な知識を解説することでSVM に対する理解を深める 5
- 準備するもの • PRML下巻 – 式番号や記法はPRMLに合せます 6
- 本資料の流れ • 事前知識のおさらい • SMOの概要 • SMOを理解する3つのポイント – (1) KKT条件違反のチェック – (2) 変数の更新方法 – (3) 変数の選択方法 • 疑似コード解説 7
- 事前知識のおさらい 8
- カーネル法ひとこと要約 • 𝑓 𝒙 = 𝒘 𝑇 𝜙 𝒙 = 𝛼𝑖 𝑘(𝒙𝑖, 𝒙)𝑖 非線形変換した 入力データ 訓練データ𝒙𝑖 との類似度 • 予測値＝訓練データとの類似度の重みづけ和 – 予測に用いるデータをサポートベクタと呼ぶ カーネル法の学習＝ サポートベクタの「重み」を学習 カーネル関数 9
- カーネル関数の例 • 基本的なカーネル関数 – 線形カーネル: 𝑘 𝒙𝑖, 𝒙𝑗 = 𝒙𝑖 𝑇 𝒙𝑗 – 多項式カーネル: 𝑘 𝒙𝑖, 𝒙𝑗 = 𝛾𝒙𝑖 𝑇 𝒙𝑗 + 𝑟 𝑑 , 𝛾 > 0 – RBF (ガウス) カーネル: 𝑘 𝒙𝑖, 𝒙𝑗 = exp −𝛾 𝒙𝑖 − 𝒙𝑗 2 , 𝛾 > 0 – シグモイドカーネル: 𝑘 𝒙𝑖, 𝒙𝑗 = tanh(𝛾𝒙𝑖 𝑇 𝒙𝑗 + 𝑟) 10
- SVMの予測値 • 𝑦 𝒙 = 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘(𝒙, 𝒙 𝑛)𝑁 𝑛=1 + 𝑏 – サポートベクタ (𝑎 𝑛 > 0) とのカーネル関数の値 の重み和 – 𝑏はバイアス項 11
- 二次計画問題 (QP) としてのSVM • 1-norm SVMの目的関数の双対形式は以下 のQPで定式化できる (PRML下巻 p.38) max. 𝑛=1 𝑁 𝑎 𝑛 − 1 2 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 𝑡 𝑛 𝑡 𝑚 𝑘(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) 𝑁 𝑚=1 𝑁 𝑛=1 s. t. 0 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝐶, 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑁 𝑛=1 = 0 12
- SMOの概要 13
- SMO開発の背景 • QPは求解に𝑂(𝑁3 )のコストがかかるため，全変数を対象 にしたQPは実行時間がかかる • 一部の選択された変数以外を固定し，選択された変数に よるQPを解く方法が提案 – チャンキング – Osuna’s method • SMOはその考え方を最小単位である2変数に絞ったもの – 2変数の場合，QPの解を閉じた解で求めることができる 14
- 過去の手法との比較 • 横軸は選択された変数 • 各行が各更新の試行に対応 各試行で 2変数のみ選択15
- SMOの疑似コード INPUT: (𝒙 𝑛, 𝑦𝑛) ∈ 𝐷, OUTPUT: 𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑁 𝑇 1: Initialize 𝒂 = 𝟎 2: WHILE KKT条件を違反する変数が存在 3: KKT条件を違反する変数𝛼1を選択 4: 2つ目の変数𝛼2を選択 5: 𝛼1, 𝛼2を更新 6: END WHILE 7: RETURN 𝒂 16
- SMOを理解するポイント • 以下の3つの疑問を解消すればよい – (1) KKT条件違反ってどうやって調べるのよ?! – (2) 更新ってどうやるのよ?! – (3) 更新に利用する変数ってどうやって選択する のよ?! • 順番に解説 ポイント 17
- (1) KKT条件違反のチェック 18
- SMOにおけるKKT条件 • 以下の3つの場合に分けてチェックする – (a) 𝑎𝑖 = 0 ⇔ 𝑡𝑖 𝑦 𝒙𝑖 ≥ 1 – (b) 0 < 𝑎𝑖 < 𝐶 ⇔ 𝑡𝑖 𝑦 𝒙𝑖 = 1 – (c) 𝑎𝑖 = 𝐶 ⇔ 𝑡𝑖 𝑦 𝒙𝑖 ≤ 1 なんでこれが出てくるのか? 19
- KKT条件の導出 (1/2) • PRML (7.28)式と(7.31)式 𝜇 𝑛 𝜉 𝑛 = 0 𝑎 𝑛 = 𝐶 − 𝜇 𝑛 • これより 𝜉 𝑛 𝐶 − 𝑎 𝑛 = 0 • よって 𝜉 𝑛 > 0 となるのは 𝑎 𝑛 = 𝐶 の点のみ – それ以外は𝜉 𝑛 = 0 – すなわちマージンの内側かマージン上に存在 20
- KKT条件の導出 (2/2) • PRML (7.16)式より 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 − 1 = 0 • 𝑎 𝑛 = 0 のとき – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 − 1 ≥ 0 – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 ≥ 1 • 0 < 𝑎 𝑛 < 𝐶 のとき (𝜉 𝑛 = 0) – よって，ぴったり𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 − 1 = 0である必要 – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 − 1 = 0 – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 = 1 • 𝑎 𝑛 = 𝐶 のとき (𝜉 𝑛 > 0) – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 − 1 ≤ 0 – 𝑡 𝑛 𝑦 𝒙 𝑛 ≤ 1 21
- (2) 変数の更新方法 22
- 2変数の更新方法 • 𝑎1, … , 𝑎 𝑁から選択された2変数𝛼1, 𝛼2の値を 以下の手順で更新する – (i) 更新値の値域を求める – (ii) 更新式に基づいて値を更新する 23
- 更新値の値域の決定 (1/2) • 選択された2変数を更新する際，線形制約 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑁 𝑛=1 = 0 • があるため， 0 ≤ 𝛼 𝑛 ≤ 𝐶 という制約の中で 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 𝑡1 + 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝑡2 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 𝑡1 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 𝑡2 • を満たす必要がある • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 と𝛼2 𝑛𝑒𝑤 の値域をあらかじめ求めておく – 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 の最大値と最小値 𝐿 ≤ 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 ≤ 𝐻を求める 24※𝛼2 𝑛𝑒𝑤 に対して求めるのは元論文との一貫性のため
- 更新値の値域の決定 (2/2) • 𝑡1 ≠ 𝑡2 の場合 – 𝐿 = max 0, 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 – 𝐻 = min 𝐶, 𝐶 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 • 𝑡1 = 𝑡2 の場合 – 𝐿 = max 0, 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝐶 – 𝐻 = max 𝐶, 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 25 はて，どうやって求めているのか?
- 𝐿と𝐻の求め方 (1/2) • 𝑡1 ≠ 𝑡2 の場合 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 − 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 = const. 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 + (𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 ) 26 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝛼1 𝑛𝑒𝑤0 𝐶 𝐶 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 < 0 の場合 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝛼1 𝑛𝑒𝑤0 𝐶 𝐶 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 > 0 の場合 𝐶 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 𝐿 = max 0, 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 𝐻 = min 𝐶, 𝐶 − 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 よって
- 𝐿と𝐻の求め方 (2/2) • 𝑡1 = 𝑡2 の場合 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 + 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 = const. 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = −𝛼1 𝑛𝑒𝑤 + (𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 ) 27 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝛼1 𝑛𝑒𝑤0 𝐶 𝐶 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 < C の場合 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝛼1 𝑛𝑒𝑤0 𝐶 𝐶 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 > C の場合 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 𝐿 = max 0, 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝐶 𝐻 = max 𝐶, 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝐶 よって
- 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 , 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 の解析解 • 𝛼2 𝑛𝑒𝑤,𝑢𝑛𝑐𝑙𝑖𝑝𝑝𝑒𝑑 = 𝛼2 + 𝑡2 𝐸1−𝐸2 𝑘 𝒙1,𝑥1 −2𝑘 𝒙1,𝒙2 +𝑘(𝒙2,𝒙2) – ただし 𝐸𝑖 = 𝑦 𝒙𝑖 − 𝑡𝑖 • 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = 𝐿 𝛼2 𝑛𝑒𝑤,𝑢𝑛𝑐𝑙𝑖𝑝𝑝𝑒𝑑 < 𝐿 𝐻 𝛼2 𝑛𝑒𝑤,𝑢𝑛𝑐𝑙𝑖𝑝𝑝𝑒𝑑 > 𝐻 𝛼2 𝑛𝑒𝑤,𝑢𝑛𝑐𝑙𝑖𝑝𝑝𝑒𝑑 otherwise • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝑡1 𝑡2 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 クリッピングと呼んだりするそうです 28
- 𝛼2 𝑛𝑒𝑤,𝑢𝑛𝑐𝑙𝑖𝑝𝑝𝑒𝑑 の更新式導出 • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝛿1 • 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 + 𝛿2 とする • 目的関数のうち変化量𝛿1, 𝛿2に関わる部分だけ抜き出す 目的関数: 𝑛=1 𝑁 𝑎 𝑛 − 1 2 𝑎 𝑛 𝑎 𝑚 𝑡 𝑛 𝑡 𝑚 𝑘(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚)𝑁 𝑚=1 𝑁 𝑛=1 𝛿1 + 𝛿2 − 𝛿1 𝑡1 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙1, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 𝛿2 𝑡2 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙2, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 1 2 𝛿1 2 𝑘 𝑥1, 𝑥1 + 2𝛿1 𝛿2 𝑡1 𝑡2 𝑘 𝑥1, 𝑥2 + 𝛿2 2 𝑘 𝑥2, 𝑥2 29 ※簡単のため，unclippedを外している 制約より 𝛿1 𝑡1 + 𝛿2 𝑡2 = 0 𝛼1 + 𝛿1 ≥ 0 𝛼2 + 𝛿2 ≥ 0 方針: 𝛿2に関する停留点を求める ※ 凸性を保証するため，正定値カーネルの必要 (*)
- 𝑡1 = 𝑡2 の場合 • 𝛿1 = −𝛿2 より(*)式は 𝛿2 𝑡2 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙1, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 𝛿2 𝑡2 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙2, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 1 2 𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝛿2 2 𝑘 𝒙2, 𝒙2 𝛿2 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 − 1 2 𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 • これを𝛿2に関して偏微分して0とおく 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 − 𝛿2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 = 0 𝛿2 = 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 𝛿2 = 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑡1 − 𝑦 𝒙2 − 𝑡2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 = 𝑡2 𝐸1 − 𝐸2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘(𝒙2, 𝒙2) 30
- 𝑡1 = −𝑡2 の場合 • 𝛿1 = 𝛿2 より(*)式は 2𝛿2 + 𝛿2 𝑡2 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙1, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 𝛿2 𝑡2 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛 𝑘 𝒙2, 𝒙 𝑛 𝑁 𝑛=1 − 1 2 𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝛿2 2 𝑘 𝒙2, 𝒙2 2𝛿2 + 𝛿2 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 − 1 2 𝛿2 2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 • これを𝛿2に関して偏微分して0とおく 2 + 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 − 𝛿2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 = 0 𝛿2 = 2𝑡2 𝑡2 + 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑦 𝒙2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 𝛿2 = 𝑡2 𝑦 𝒙1 − 𝑡1 − 𝑦 𝒙2 − 𝑡2 𝑘 𝒙1, 𝒙1 − 2𝑘 𝒙1, 𝒙2 + 𝑘 𝒙2, 𝒙2 31 ※ほぼ同じ．異なる部分に赤の下線
- 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 の導出 • 制約より • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 𝑡1 + 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 𝑡2 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 𝑡1 + 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 𝑡2 • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝑡2 𝑡1 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 • 𝑡2 𝑡1 = 𝑡1 𝑡2 より • 𝛼1 𝑛𝑒𝑤 = 𝛼1 𝑜𝑙𝑑 + 𝑡1 𝑡2 𝛼2 𝑜𝑙𝑑 − 𝛼2 𝑛𝑒𝑤 32
- (3) 変数の選択方法 33
- 1点目の選択法 • KKT条件を満たさない変数集合から選択する – 高速に発見するため，0 < 𝑎𝑖 < 𝐶 であるような変数 集合から先にチェックする – それらがすべてKKT条件を満たしている場合，残り全 ての点についてチェック • 選択された変数を𝛼2とする (𝑎2 ではない) – これ以降 𝒙2, 𝑡2は選択された事例の特徴ベクトルとラ ベルを表す – ※1点目なのに𝛼2としたのは元論文の記法と一貫性 を保つため ※元論文の疑似コードにおけるmain routine 34
- 2点目の選択法 • (1) 変数の更新量が大きくなるように選択 – すなわち 𝐸1 − 𝐸2 を最大化する事例 – 𝐸2が正の場合→最小誤差𝐸1の事例を選択 – 𝐸2が負の場合→最大誤差𝐸1の事例を選択 • (2) 境界上にない事例をランダムに選択 – すなわち0 < 𝑎 𝑛 < 𝐶であるような事例 • (3) ランダムに選択 – 残りの事例を選択 • 選択された変数を𝛼1とする ※変数の変化量が小さい場合には2点目の選択からやり直す ※元論文の疑似コードにおけるexamineExample(i2) 35
- 補足: LIBSVMの変数選択方法 • SVM実装として有名なLIBSVMはSMOベース の手法 – この変数選択方法に特長がある – Working Set Selection 3 (WSS3) 36
- 疑似コード解説 37 [Platt 98] の疑似コードを眺める
- 38 1点目の選択 更新されたものがあれば0 < 𝑎 𝑛 < 𝐶である変数を優先的にチェックする それでも更新されなければ全データをチェックする 更新された変数があるか 全データチェックフラグがONの場合
- 39 takeStep(i1,i2)が0を返す場合には 2点目の各種選択法が順番に適用される takeStep(i1, i2)がtrueを返せばi2に対する処理は終了 いずれも更新されない場合，0を返す
- 40 1点目の更新処理と クリッピング
- 41 カーネルが正定値でない場合の処理 (解説は割愛)
- 42 変化量が微小の場合，更新処理を行わない 2点目の更新 更新結果の保存
- まとめ 43
- まとめ • SMOの概要を解説 • SMOを理解する3つのポイントを解説 – (1) KKT条件違反のチェック – (2) 変数の更新方法 – (3) 変数の選択方法 • 疑似コード解説により，実装例を紹介 44
- 本資料で扱わなかったこと • SMO実装に必要な情報 – 更新途中のバイアス計算 – 停止条件の解説 • SMOの改善 – KKT条件違反チェックの高速化 [Keerthi+ 01] – LIBSVMのWSS3の解説 [Fan+ 05] • その他 – 汎用QPソルバーの概説 ※元気があればバージョンアップで対応予定 45
- 感想 46
- References • [Platt 98] J. C. Platt, "Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines", In Advances in Kernel Methods Support Vector Learning, MIT Press, 1998. – 元論文．基本的にこれを読めばよい • [Cristianini+ 05] N. Cristianini, J. Shawe-Taylor (大北剛訳), “サポートベクタ―マシン入 門”, 共立出版, 2005. – 7章でSMOを紹介 – 巻末に[Platt 98]の疑似コードに対する解説あり • [Keerthi+ 01] S. S. Keerthi, S. K. Shevade, C. Bhattacharyya, K. R. K. Murthy，”Improvements to Platt's SMO Algorithm for SVM Classifier Design”, Neural Computation, vol. 13(3), pp.637-649, 2001. – KKT条件チェックの高速化 • [Fan+ 05] R.-E. Fan, P.-H. Chen, C.-J. Lin, "Working Set Selection Using Second Order Information for Training Support Vector Machines", Journal of Machine Learning Research, vol.6, pp.1889?1918, 2005. – 変数選択のWWS 3論文 – 目的関数の2次勾配の情報を用いることで適切な選択が可能 47
- 参考URL • 福水健次. 正定値カーネルによるデータ解析ーカーネル法の基礎と展 開ー 4. サポートベクターマシン. 統計数理研究所公開講座 – http://www.ism.ac.jp/~fukumizu/ISM_lecture_2010/Kernel_4_SVM.pdf • SMOアルゴリズム – Intelligence Architecture けんきうノート – http://convexbrain.sourceforge.jp/cgi- bin/wifky.pl?p=SMO%A5%A2%A5%EB%A5%B4%A5%EA%A5%BA%A5%E0 • 戸田健一. SVMの2次計画問題に関する解法の考察 – http://numataws1.ms.kagu.tus.ac.jp/THESIS/H15/presen_toda.pdf • 山下浩, 田中茂. サポートベクターマシンとその応用. – http://www.msi.co.jp/vmstudio/materials/svm.pdf • SMO法でSVMの学習してみた – きちめも – http://d.hatena.ne.jp/se-kichi/20100306/1267858745 • SVMの学習用アルゴリズムSMOを実装してみる – きしだのはてな – http://d.hatena.ne.jp/nowokay/20080730/1217371769 48 Many thanks to authors!
- おしまい 49
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