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![幾何学的推定
6
Circle Fitting:
=
𝑎 𝑥 𝑖
2
+𝑦𝑖
2
+𝑏
2
4𝑎2 𝑥 𝑖
2+𝑦𝑖
2 :サンプソン距離
min
𝑎,𝑏
𝑖
𝑎 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑏
2
4𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
= min
𝛉
𝑖
𝛏𝑖, 𝛉 2
𝛉, 𝐕0[𝛏𝑖]𝛉
𝛉 = 𝑎, 𝑏
𝛏𝑖 = 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
, 1
𝐕0 𝛏𝑖 = 4𝑥𝑖
2
+ 4𝑦𝑖
2
0
0 0
𝛉, 𝐕0 𝛉 = 4𝑎2 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
𝑑𝑖
2
= 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
− 𝑟
2
~
1
4
𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
−
𝑟2
𝑥 𝑖
2
+𝑦𝑖
2
2](https://image.slidesharecdn.com/cvsaisentan-170408020027/85/6-2-4-4-2-6-320.jpg)
![例：Ellipse Fitting（重み反復法）
19
𝛉 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝛏𝑖 = 𝑥𝑖
2
, 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖
2
, 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1
𝐕0[𝛏𝑖] =
𝑥𝑖
2
𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
⋯
⋮ ⋮ ⋱
𝑤 𝛼
𝑡
=
1
𝛉 𝑡 ,𝐕 𝟎 𝛉 𝑡 は𝛼に依存，
観測点ごとに異なる重み
（ノイズの非一様性を考慮）
𝛉 𝑡
= min
𝛉
1
𝑁
𝛼=1
𝑁
𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2
𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝛉 = 1
𝑤 𝛼
𝑡
=
1
𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡](https://image.slidesharecdn.com/cvsaisentan-170408020027/85/6-2-4-4-2-19-320.jpg)
![例：Ellipse Fitting（Taubin法）
20
𝛉 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝛏𝑖 = 𝑥𝑖
2
, 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖
2
, 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1
𝐕0[𝛏𝑖] =
𝑥𝑖
2
𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
⋯
⋮ ⋮ ⋱
観測点ごとに一様な重み
（ノイズは一様と仮定）
非線形変換データ𝛏の共分散
（ノイズの異方性を考慮）
𝐍 =
1
𝑁
𝛼=1
𝑁
𝑤 𝛼 𝐕𝟎 𝛏 𝛼
𝛉 𝑡
= min
𝛉
1
𝑁
𝛼=1
𝑁
𝛏 𝛼, 𝛉 2
𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝐍𝛉 = 1](https://image.slidesharecdn.com/cvsaisentan-170408020027/85/6-2-4-4-2-20-320.jpg)
![例：Ellipse Fitting（くりこみ法）
21
𝛉 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
𝛏𝑖 = 𝑥𝑖
2
, 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖
2
, 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1
𝐕0[𝛏𝑖] =
𝑥𝑖
2
𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
⋯
⋮ ⋮ ⋱
観測点ごとに異なる重み
（ノイズの非一様性）
Taubin法的な制約
（ノイズの異方性）
𝑤 𝛼
𝑡
=
1
𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡
𝐍 =
1
𝑁
𝛼=1
𝑁
𝑤 𝛼 𝐕𝟎 𝛏 𝛼
𝛉 𝑡
= min
𝛉
1
𝑁
𝛼=1
𝑁
𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2
𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝐍𝛉 = 1](https://image.slidesharecdn.com/cvsaisentan-170408020027/85/6-2-4-4-2-21-320.jpg)
![[DL輪読会]Deep Learning 第2章 線形代数](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/deeplearningchapter2-180601014406-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
コンピュータビジョン最先端ガイド6 第2章:4~4.2節
- 1.
- 2.
- 3. 幾何学的推定 3 Line Fitting: 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 min 𝑎,𝑏,𝑐 𝑖 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑖 + 𝑐 2 s. t. b = −1 s. t. a2 + b2 = 1 s. t. a2 + b2 + c2 = 1 (最小二乗法)(Taubin，最尤推定)(𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑐)
- 4. 幾何学的推定 4 Line Fitting: 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 min 𝑎,𝑏,𝑐 𝑖 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑖 + 𝑐 2 s. t. b = −1 s. t. a2 + b2 = 1 s. t. a2 + b2 + c2 = 1 (最小二乗法)(Taubin，最尤推定)(𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑐)
- 5. 幾何学的推定 5 s. t. a2+ b2 = 1 (Taubin，最尤推定) 点と直線の距離： 𝑑𝑖 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑖 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏2 min 𝑎,𝑏,𝑐 𝑖 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑖 + 𝑐 2 𝑎2 + 𝑏2 = min 𝛉 𝑖 𝛏𝑖, 𝛉 2 𝛉, 𝐕0 𝛉 𝛉 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1 𝐕0 = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 𝛉, 𝐕0 𝛉 = 𝑎2 + 𝑏2 = min 𝛉 𝑖 𝛏𝑖, 𝛉 2 s. t. 𝛉, 𝐕0 𝛉 = 1
- 6. 幾何学的推定 6 Circle Fitting: = 𝑎 𝑥𝑖 2 +𝑦𝑖 2 +𝑏 2 4𝑎2 𝑥 𝑖 2+𝑦𝑖 2 :サンプソン距離 min 𝑎,𝑏 𝑖 𝑎 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑏 2 4𝑎2 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 = min 𝛉 𝑖 𝛏𝑖, 𝛉 2 𝛉, 𝐕0[𝛏𝑖]𝛉 𝛉 = 𝑎, 𝑏 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 , 1 𝐕0 𝛏𝑖 = 4𝑥𝑖 2 + 4𝑦𝑖 2 0 0 0 𝛉, 𝐕0 𝛉 = 4𝑎2 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 𝑑𝑖 2 = 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 − 𝑟 2 ~ 1 4 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 − 𝑟2 𝑥 𝑖 2 +𝑦𝑖 2 2
- 7. Taubin法の解釈 7 min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝛏 𝛼, 𝛉2 𝛉, 𝐕0 𝛏 𝛼 𝛉 サンプソン誤差最小化： Taubin法： min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝛉, ഥ𝐕0 𝛉 , ഥ𝐕0 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝐕0を平均で近似した
- 8. Taubin法の解釈2 8 Taubin法： min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝛉, 𝐌𝛉 2 𝛉,ഥ𝐕0 𝛉 , 𝐌 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝛏 𝛼 𝛏 𝛼 ⊤ , ഥ𝐕0 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝐌の真値 ഥ𝐌と観測される𝐌の期待値E 𝐌 の関係は E 𝐌 = ഥ𝐌 + 𝜎2 𝐍※ ※平均 𝜇 ,分散 𝜎 の確率変数 𝑋 について， E 𝑋2 = 𝜇 + 𝜎2になるのと同じ話 求めたいのはഥ𝐌𝛉 = 𝟎なので 𝐌 − 𝜎 𝟐 𝐍 𝛉 = 𝟎 → 𝐌𝛉 = 𝜎 𝟐 𝐍𝛉 𝜎 𝟐は小さいので𝐌𝛉 = 𝜆𝐍𝛉の最小固有値問題を解く． この ഥ𝐌とE 𝐌 のずれをどうにかするのがTaubin法
- 9. 重み反復法 9 min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝑤 𝛼 = 1 𝛉, 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝛉 = 1 サンプソン誤差最小化： 重み反復法： 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡
- 10. 最小化に基づかない方法？ 10 min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝐱 1 例：スパースコーディング 𝐱 𝑡 = argmin 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑡 𝑥𝑖 2 𝑤𝑖 𝑡 = 1 𝑥𝑖 𝑡 Iterative reweight method: これは等価？
- 11. 最小化に基づかない方法？ 11 min 𝐱,𝐰 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝜆 𝑖 1 𝑤𝑖 𝐱 𝑡 = argmin 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑡 𝑥𝑖 2 Iterative optimization:
- 12. 最小化に基づかない方法？ 12 min 𝐱,𝐰 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝜆 𝑖 1 𝑤𝑖 𝐱 𝑡 = argmin 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑡 𝑥𝑖 2 𝑤𝑖 𝑡 = argmin 𝐰 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 𝑡 2 + 𝑖 1 𝑤𝑖 Iterative optimization: = 1 𝑥𝑖 𝑡
- 13. 最小化に基づかない方法？ 13 min 𝐱,𝐰 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝜆 𝑖 1 𝑤𝑖 𝐱 𝑡 = argmin 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑡 𝑥𝑖 2 𝑤𝑖 𝑡 = argmin 𝐰 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 𝑡 2 + 𝑖 1 𝑤𝑖 Iterative optimization: = 1 𝑥𝑖 𝑡 →Iterative reweightと 等価なアルゴリズム
- 14. 最小化に基づかない方法？ 14 min 𝐱,𝐰 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝜆 𝑖 1 𝑤𝑖 = min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 1 |𝑥𝑖| 𝑥𝑖 2 + 𝜆 𝑖 𝑥𝑖 = min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 2𝜆 𝑖 𝑥𝑖
- 15. 最小化に基づかない方法？ 15 min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑥𝑖 2 𝑠. 𝑡. 𝑤𝑖 = 1 𝑥𝑖 𝐱 𝑡 = argmin 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑤𝑖 𝑡 𝑥𝑖 2 𝑤𝑖 𝑡 = 1 𝑥𝑖 𝑡 等価でない min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 2𝜆 𝑖 𝑥𝑖 min 𝐱 𝐲 − 𝐃𝐱 2 2 + 𝜆 𝑖 𝑥𝑖 ⇔ ⇔
- 16. 重み反復法 16 min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝑤 𝛼 = 1 𝛉, 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝛉 = 1 サンプソン誤差最小化： 重み反復法： 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡
- 17. くりこみ法 17 サンプソン誤差最小化： くりこみ法： 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡, 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡 𝐍 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝑤 𝛼 = 1 𝛉, 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝐍𝛉 = 1
- 18. 例：Line Fitting（重み反復法） 18 𝛉 =𝑎, 𝑏, 𝑐 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1 𝐕0 = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 𝛉, 𝐕0 𝛉 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 ,𝐕 𝟎 𝛉 𝑡 は𝛼によらず 常に一定，最小二乗法と等価 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝛉 = 1 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡
- 19. 例：Ellipse Fitting（重み反復法） 19 𝛉 =𝑎, 𝑏, 𝑐 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖 2 , 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖 2 , 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1 𝐕0[𝛏𝑖] = 𝑥𝑖 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 ,𝐕 𝟎 𝛉 𝑡 は𝛼に依存， 観測点ごとに異なる重み （ノイズの非一様性を考慮） 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝛉 = 1 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡
- 20. 例：Ellipse Fitting（Taubin法） 20 𝛉 =𝑎, 𝑏, 𝑐 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖 2 , 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖 2 , 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1 𝐕0[𝛏𝑖] = 𝑥𝑖 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 観測点ごとに一様な重み （ノイズは一様と仮定） 非線形変換データ𝛏の共分散 （ノイズの異方性を考慮） 𝐍 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝐍𝛉 = 1
- 21. 例：Ellipse Fitting（くりこみ法） 21 𝛉 =𝑎, 𝑏, 𝑐 𝛏𝑖 = 𝑥𝑖 2 , 𝑥𝑖 𝑦𝑖, 𝑦𝑖 2 , 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 1 𝐕0[𝛏𝑖] = 𝑥𝑖 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ⋯ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 観測点ごとに異なる重み （ノイズの非一様性） Taubin法的な制約 （ノイズの異方性） 𝑤 𝛼 𝑡 = 1 𝛉 𝑡 , 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡 𝐍 = 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝐕𝟎 𝛏 𝛼 𝛉 𝑡 = min 𝛉 1 𝑁 𝛼=1 𝑁 𝑤 𝛼 𝛏 𝛼, 𝛉 2 𝑠. 𝑡. 𝛉, 𝐍𝛉 = 1
- 22.