tes

1. Iklan
MathType: Try now
Get it on the Microsoft app store and start using it for free!
Open
Iklan
Wiris
O K T O B E R 2 0 , 2 0 1 7 O L E H S U K A R D I
Soal dan Pembahasan – Operasi Biner dan Teori Grup Dasar
Struktur Aljabar atau sering dikenal sebagai Aljabar Abstrak adalah salah satu mata kuliah yang bakal ditempuh oleh mahasiswa yang berkecimpung dalam
program studi matematika atau yang terkait. Mata kuliah ini tidak menuntut kemampuan berhitung yang signifikan, melainkan lebih kepada pemahaman konsep
untuk membentuk suatu struktur matematika yang sah. Materi pertama dalam Aljabar Abstrak adalah teori grup, dan di dalamnya kita akan menjumpai definisi
operasi biner serta definisi grup. Sepertinya terdengar ribet, ya!
Setelah mempelajari materi tersebut, mahasiswa disarankan untuk mengerjakan soal-soal terkait untuk memantapkan pemahaman. Nah, berikut ini disajikan
soal dan pembahasan tentang operasi biner dan teori grup dasar. Semoga dapat bermanfaat.
Quote by Buya Hamka
Iman tanpa ilmu bagaikan lentera di tangan bayi. Namun ilmu tanpa iman bagaikan lentera di tangan pencuri.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diberikan suatu grup dan . Diketahui dan . Elemen identitas dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui bahwa untuk setiap . Karena grup, maka setiap anggota memiliki invers di . Dalam kasus ini, memiliki invers, yaitu
. Jadi, berlaku
Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan, diperoleh
Diperoleh bahwa invers anggota adalah dirinya sendiri. Menurut definisi grup, berlaku
Iklan
MathType: Try now
Get it on the Microsoft app store and
start using it for free!
Open
Iklan
Wiris
(G, ⋆) a, b ∈ G a ⋆ b = b ⋆ a
−1
b ⋆ a = a ⋆ b
−1
G ⋯ ⋅
a
5
a
3
a
a
4
a
2
a ⋆ b = b ⋆ a
−1
a, b ∈ G G G G a
a
−1
∈ G a ⋆ a
−1
= a
−1
⋆ a
−1
.
a ⋆ = a
−1
⋆
a = a
−1
.
a
−1
a
−1
G
a ⋆ a
−1
= e
a ⋆ a = e
a
2
= e.
MATHCYBER1997
God used beautiful mathematics in creating the world – Paul Dirac

2. Jadi, unsur identitas adalah .
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 2
Misalkan menyatakan himpunan matriks persegi berukuran dengan elemen-elemennya pada . Jika operasi menyatakan perkalian matriks dan
, maka adalah
A. grup abelian
B. grup non-abelian
C. monoid abelian dan bukan grup
D. monoid non-abelian dan bukan grup
E. tidak dapat ditentukan
Pembahasan
Soal Nomor 3
Semigrup adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner yang memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, sedangkan monoid adalah semigrup dengan identitas.
Pernyataan berikut yang benar adalah
A. monoid dan bukan grup
B. semigrup dan bukan monoid
C. monoid dan bukan grup
D. semigrup dan bukan monoid
E. Lebih dari satu pilihan jawaban di atas benar
Pembahasan
Soal Nomor 4
Diketahui grup permutasi . Order dari adalah (order dari adalah bilangan asli terkecil yang memenuhi dengan elemen
identitas).
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Soal Nomor 5
Misalkan dengan dan . Banyaknya unsur idempoten di adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Misalkan himpunan bilangan asli , didefinisikan dalam operasi , yaitu , berlaku .
Tunjukkan bahwa bukan grupoid.
G a
2
Mn(Z) n × n Z ∙
M = {M ∈ M2(Z) : |M | ≠ 0} (M, ∙) ⋯ ⋅
⋯ ⋅
Iklan
MathType: Try now
Get it on the Microsoft app
store and start using it for free!
Open
Iklan
Wiris
(Z, ×)
(Z
+
, ×)
(Z, +)
(Z
+
, +)
S4 (1 2 3 4) ∈ S4 ⋯ a ∈ G a
n
= e e
1 3 5
2 4
A = {e, x, x
2
, x
3
, y, xy, x
2
y, x
3
y} x
4
= y
2
= e xy = y
−1
x A ⋯ ⋅
1 3 5
2 4
N ⋆ ∀x, y ∈ N x ⋆ y = x + y − xy
(N, ⋆)

3. Pembahasan
Soal Nomor 2
Diberikan merupakan himpunan bilangan bulat positif dan didefinisikan untuk setiap . Apakah operasi pada himpunan tersebut
bersifat tertutup, komutatif, atau asosiatif?
Pembahasan
Dengan meninjau definisi harga mutlak
Perhatikan bahwa jika dan hanya jika , padahal bukanlah anggota sehingga operasi tidak bersifat tertutup dalam . Sebagai
contoh, ambil , akibatnya
Jika operasi tersebut memenuhi sifat komutatif, maka haruslah berlaku dengan
Perhatikan bahwa
Jadi, operasi terbukti memenuhi sifat komutatif.
Jika operasi tersebut memenuhi sifat asosiatif, maka haruslah berlaku dengan
Perhatikan bahwa
$$begin{aligned} x * (y * z) & = x * |y -z| = |x -|y -z|| (x * y) * z & = |x -y| * z = ||x -y| -z|. end{aligned}$$Diperoleh bahwa
Jadi, operasi tidak terbukti memenuhi sifat asosiatif.
[collapse]
Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa untuk , bukan grup.
Pembahasan
Soal Nomor 4
Diketahui dan . Tunjukkan bahwa merupakan grup.
Pembahasan
Soal Nomor 5
Operasi bilangan pada himpunan bilangan rasional didefinisikan sebagai Tentukan:
a. ;
b. elemen identitas operasi tersebut;
c. invers dari .
Pembahasan
Soal Nomor 6
Untuk semua bilangan bulat didefinisikan . Untuk , didefinisikan
dan
Untuk , tunjukkan bahwa dan adalah operasi biner.
Pembahasan
Z
+
x ∗ y = |x − y| x, y ∈ Z
+
∗
|x − y| =
⎧
⎨
⎩
x − y, jika x > y
0, jika x = y
−x + y, jika x < y
|x − y| = 0 x = y 0 Z
+
∗ Z
+
x = y = 3 |x − y| = |3 − 3| = 0 ∉ Z
+
.
x ∗ y = y ∗ x x, y ∈ Z
+
.
x ∗ y = |x − y|
= |(−1)(y–x)|
= | − 1| ⋅ |y − x|
= 1 ⋅ |y − x|
= |y − x|
= y ∗ x.
∗
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z x, y, z ∈ Z
+
.
x ∗ (y ∗ z) ≠ (x ∗ y) ∗ z.
∗
G = {0, 1} (G, ×)
G = {bilangan rasional positif} a ∗ b =
ab
2
, ∀a, b ∈ G (G, ∗)
∗ Q
a
b
∗
c
d
=
a
b
−
4
5
+
c
d
.
1
2
∗
2
3
2
5
n ≥ 2 Zn = {0, 1, 2, ⋯ , n − 1} ∀a, b ∈ Zn
a +n b = (a + b) mod n,
a ×n b = (a × b) mod n.
n = 8 +n ×n
MathType: Try now
Iklan Wiris Open

4. Soal Nomor 7
Misalkan sembarang. Didefinisikan operasi dengan . Tunjukkan bahwa bukan operasi biner.
Pembahasan
Untuk menunjukkan bahwa bukan operasi biner, berarti kita harus membuktikan (memberi penyangkal) bahwa operasi tersebut tidak bersifat tertutup. Dengan
kata lain, kita harus menemukan dua buah bilangan rasional tak yang bila dioperasikan tidak menghasilkan bilangan rasional tak .
Ambil atau , dengan , maka hasil operasi menghasilkan bilangan yang bukan anggota himpunan .
Untuk , diperoleh
Untuk , diperoleh
Jadi, operasi tersebut tidak bersifat tertutup dan oleh karenanya bukan termasuk operasi biner. (Terbukti)
[collapse]
Soal Nomor 8
Misalkan adalah himpunan bilangan bulat berkelipatan . Tunjukkan bahwa merupakan grup abelian.
Pembahasan
Soal Nomor 9
Misalkan bilangan bulat dan didefinisikan operasi biner , . Tunjukkan bahwa merupakan grup abelian.
Pembahasan
Soal Nomor 10
Misalkan grup sedemikian sehingga , untuk . Tunjukkan bahwa merupakan grup komutatif (abelian).
Pembahasan
Soal Nomor 11
Tunjukkan bahwa jika setiap unsur dalam grup merupakan invers dari dirinya sendiri, maka grup abelian.
Pembahasan
Soal Nomor 12
Misalkan menyatakan himpunan semua bilangan real kecuali . Operasi didefinisikan pada dengan aturan , untuk setiap .
Buktikan bahwa adalah grup di bawah operasi tersebut.
Pembahasan
Soal Nomor 13
Misalkan adalah grup permutasi atas . Banyaknya unsur berorde di adalah
Pembahasan
Soal Nomor 14
Jika adalah grup dan , buktikan bahwa adalah grup abelian.
Pembahasan
Soal Nomor 15
Buktikan bahwa semua grup dengan order kurang dari adalah abelian.
Pembahasan
a
b
,
c
d
∈ Q − {0} ∗
a
b
∗
c
d
=
a + c
b
2
+ d
∗
∗
0 0
a = −c d = −b
2
a, b, c, d ∈ Z − {0} ∗ Q − {0}
a = −c
a
b
∗
c
d
=
a + c
b
2
+ d
=
−c + c
b
2
+ d
=
0
b
2
+ d
= 0 ∉ Q − {0}.
d = −b
2
a
b
∗
c
d
=
a + c
b
2
+ d
=
a + c
b
2
− b
2
=
a + c
0
= ∅ ∉ Q − {0}.
■
P 3 (P , +)
Z x ∗ y = x + y − 1 ∀x, y ∈ Z (Z, ∗)
G (ab)
2
= a
2
b
2
∀a, b ∈ G G
G G
R −1 ∗ R a ∗ b = a + b + ab a, b ∈ R
R
S5 {1, 2, 3, 4, 5} 2 S5 ⋯ ⋅
G a
2
= e, ∀a ∈ G G
5

5. Soal Nomor 16
Jika grup dengan dan untuk setiap , buktikan bahwa .
Pembahasan
Postingan Terkait
5 Replies to “Soal dan Pembahasan – Operasi Biner dan Teori Grup Dasar”
D E S E M B E R 2 5 , 2 0 2 0 P U K U L 9 : 4 5 A M
Diberikan himpunan G={a+b✓2:a,b€Q,a≠0vb≠0}buktikan bahwa himpunan G adalah grup terhadap operasi perkalian biasa pada bilangan real?
O K T O B E R 2 2 , 2 0 2 0 P U K U L 8 : 5 0 A M
Kak, bukannya nomor 2 itu det M nya tidak sama dengan 0. Bukannya artinya elemen invers selalu ada kak?
O K T O B E R 2 2 , 2 0 2 0 P U K U L 7 : 0 0 P M
Tidak selalu inversnya itu juga anggota M. Karena entri-entrinya harus bulat, sedangkan 1/det (M) dikalikan ke dalam bisa aja hasilnya nanti pecahan.
A P R I L 2 0 , 2 0 2 0 P U K U L 1 0 : 5 2 P M
Sangat membantu KK terimakasih banyak
Mau bertanya
Kalo soal ya seperti ini gimana yah
G a
5
= e aba
−1
= b
2
a, b ∈ G |b| = 31
Iklan
MathType: Try now
Get it on the Microsoft app
store and start using it for free!
Open
Iklan
Wiris
Iklan
MathType: Try now
Get it on the Microsoft app store and
start using it for free!
Open
Iklan
Wiris
November 5, 2017 Soal dan Pembahasan – Grup Siklik
November 6, 2017 Soal dan Pembahasan -Ujian Tengah Semester (UTS) Struktur Aljabar (Teori Grup)
Januari 7, 2018 Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal
November 5, 2017 Soal Latihan dan Penyelesaian – Subgrup (Struktur Aljabar)
S T R U K T U R A L J A B A R
A B E L I A N , A D I T I F , E L E M E N I D E N T I TA S , G R U P , G R U P P E R M U TA S I , G R U P O I D , I D E M P O T E N , M O N O I D , M U LT I P L I K AT I F , O P E R A S I B I N E R , S E M I G R U P
Fince
Abdilla Nurul Azisah MN.
Sukardi
Ujang

6. Operasi pada q, untuk setiap a/b,c/d €q dimana/b=5/6 dan c/d=1/2 hitung 5/6*1/2
Mohon bantuannya KK terimakasih
A P R I L 2 1 , 2 0 2 0 P U K U L 6 : 1 9 P M
Sepertinya info soalnya kurang. Definisi operasi tidak diberikan.
Sukardi