1. Dokumen tersebut membahas tentang struktur aljabar mulai dari himpunan, pemetaan, bilangan bulat, operasi biner, grup, ring, dan daerah integral. 2. Topik utama yang dibahas antara lain definisi grup, subgrup, homorfisma, grup permutasi, definisi ring dan daerah integral, serta teorema-teorema terkait relasi ekivalen dan partisi himpunan. 3. Referensi yang digunakan antara lain buku Elementary Modern Algebra karya Gilbert

1. STRUKTUR ALJABAR
Mohamad Salam

2. Pendahuluan
Himpunan
Pemetaan
Bilangan Bulat
Operasi Biner

3. Grup
Definisi Grup dan contoh grup
Sub Grup
Sub grup Normal dan Grup hasil bagi
Homorfisma
Automorfisma
Grup Permutasi

4. Ring (Gelanggang), Daerah
Integral dan Lapangan
Definisi dari gelanggang
Daerah integral
Lapangan

5. REFERENSI
1. I.N. Herstein, Topics in Algebra,
secon edition, 1975.
2. Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert,
Elements of Modern Aljebra, fifth
edition, 2000, publiser Gary
Ostedt.
3. Buku-buku lain yang berkaitan
dengan materi yang akan dibahas

6. HIMPUNAN
1. Himpunan adalah suatu kumpulan obyek
yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Obyek-obyek dalam himpunan
dinamakan anggota himpunan.
2. Untuk membentuk himpunan dapat
digunakan metode Roster yaitu dengan
cara menyebut atau mendaftar semua
anggota dan metode Rule yaitu dengan
menyebut syarat keanggotaannya.

7. HIMPUNAN
1. Himpunan A dikatakan sebagai
himpunan bagian dari himpunan
B jika setiap anggota himpunan A
merupakan anggota himpunan B
dan dinotasikan dengan .
2. Himpunan A=B jika dan hanya jika
dan
B
A 
B
A  A
B

8. HIMPUNAN
1. Dari suatu himpunan A dapat dibuat
himpunan kuasa yaitu himpunan
yang anggota-anggotanya adalah
himpunan bagian dari himpunan A.
2. Komplemen dari himpunan A adalah
semua anggota dari semesta yang
bukan anggota A, dan dinotasikan C
A

9. HIMPUNAN
1. Gabungan dari dua buah himpunan
A dan B, ditulis adalah
2. Irisan dari dua himpunan A dan B,
ditulis dengan , adalah
himpunan
3. Diberikan sembarang dua buah
himpunan A dan B, maka A-B adalah
himpunan
B
A   
B
atau
A
: 
 x
x
x
B
A 
 
B
dan
A
: 
 x
x
x
 
B
:
A 
 x
x

10. HIMPUNAN
1. Dua himpunan A dan B dikatakan
saling asing apaa bila
2. Misalkan diberikan dua buah
himpunan A dan B, maka himpunan
AxB adalah didefinisikan sebagai
himpunan semua pasangan terurut
(a,b) dimana a anggota A dan b
anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika
dan hanya jika c = e dan d = f.


B
A 

11. RELASI EKIVALEN
Relasi biner  pada Himpunan A
dikatakan relasi ekivalen pada A,
jika untuk setiap a, b, c dalam A
memenuhi :
1. a a (refleksif)
2. jika a b maka b a (simetri)
3. jika a  b dan b  c maka a  c
(transitif)

12. RELASI EKIVALEN
1. Misalkan S sembarang himpunan dan
didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan
hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut
suatu relasi ekivalen pada S.
2. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat,
diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b
adalah bilangan bulat genap.
3. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan
n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S,
definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n.
4. Misalkan A, B himpunan dan f:AB suatu fungsi.
Jika didefinisikan pada A dengan x y jika f(x)=f(y)

13. DEFINISI CLASS EKIVALEN
Jika A suatu himpunan dan jika 
suatu relasi ekivalen pada A, maka
class ekivalen dari a anggota A
adalah himpunan semua x
anggota A dimana a berelasi
dengan x. Dan kita notasikan
dengan cl(a).

14. class EKIVALEN
1. Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab
untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka
pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S.
Class ekivalen pada a adalah a sendiri.
2. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan
a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan
bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua
bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m
bilangan bulat.
3. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1
bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan
ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen
pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a
+ kn, dimana k bilangan bulat.

15. TEOREMA
Class ekivalen yang berbeda dari suatu
relasi ekivalen pada A dapat
menentukan suatu dekomposisi pada A
melalui gabungan dari sub himpunan
yang saling asing. Sebaliknya diberikan
dekomposisi dari A melalui gabungan
dari sub himpunan tak kosong yang
saling asing kita dapat mendefinisikan
suatu relasi ekivalen pada A dari sub
himpunan-subhimpunan class ekivalen
yang berbeda tersebut.

16. Partisi
• Suatu partisi (partition) dari
himpunan X merupakan suatu
keluarga himpunan bagian tidak
kosong dari X yang saling asing dan
gabungannya sama dengan X.
• Partisi merupakan hal yang penting
dalam matematika dan terdapat
hubungan antara relasi ekuivalensi
dan partisi

17. PEMETAAN
DEFINISI
Jika S dan T himpunan-himpunan tak
kosong, maka pemetaan dari S ke T
adalah sub himpunan M dari SxT
sedemikian sehingga untuk setiap sS
terdapat secara tunggal t T sedemikian
sehingga pasangan terurut (s,t) M.

18. CONTOH PEMETAAN
1. Misalkan S sembarang himpunan; definisikan
:SS dengan (s) = s untuk setiap sS. Pemetaan
 disebut pemetaan identitas dari S
2. Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t0
suatu elemen dari T. Definisikan :ST dengan 
:s  t0 untuk setiap s S.
3. Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional
positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan
bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional
s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana
m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan
kecuali 1. Definisikan :ST dengan (s) = (m,n).

19. CONTOH PEMETAAN
4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat
dan S = ; misalkan T adalah
himpunan dari bilangan rasional; definisikan
:ST, dengan ((m,n))=m/n untuk setiap
(m,n) dalam S.
5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S =
JxJ. Definisikan :SJ dengan (m,n)=m+n.
6. Misalkan S dan T sembarang himpunan;
definisikan :SxTS dengan (a,b) = a untuk
setiap (a,b)SxT.  ini disebut proyeksi dari
SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan
proyeksi dari SxT pada T.
 
 
0
:
, 
 n
JxJ
n
m

20. CONTOH PEMETAAN
7. Misalkan S adalah himpunan yang terdiri
dari elemen-elemen x1, x2, x3. Definisikan
:SS dengan (x1)=x2, (x2)=x3, (x3)=x1.
8. Misalkan S adalah himpunan bilangan
bulat dan T adalah himpunan yang
terdiri dari elemen-elemen E dan 0.
Definisikan :ST dengan (n)=E
jika n bilangan genap dan (n)=0
jika n bilangan ganjil

21. CONTOH PEMETAAN
• Misalkan diberikan himpunan
S hingga, kita dapat
mengkonstruksi himpunan
baru S*, yaitu himpunan
semua subhimpunan dari S.
• Misalkan S adalah himpunan
dan T = S*; definisikan :ST
dengan (s) = dalam S = S-
{s}.
 C
s

22. CONTOH PEMETAAN
• Misalkan S suatu himpunan
dengan suatu relasi
ekivalen, dan misalkan T
adalah himpunan dari
semua klas ekivalen dalam
S. Definisikan :ST
dengan (s) = cl(s).

23. DEFINISI
1. Pemetaan  dari S kedalam T
adalah dikatakan onto
(pada) T, jika diberikan tT
terdapat suatu sS
sedemikian sehingga (s)=t.
2. Pemetaan  dari S kedalam T
adalah dikatakan pemetaan
satu-satu jika untuk
sembarang s1s2 maka
(s1)(s2)

24. DEFINISI
Pemetaan yang bersifat
satu-satu dan pada dari S
ke T disebut
korespondensi satu-satu.

25. DEFINISI
1. Dua pemetaan ,  dari S
kedalam T dikatakan sama,
jika (s)= (s) untuk setiap s
anggota S.
2. Jika  : S  T dan : T U
maka komposisi dari  dan 
adalah pemetaan : SU
yang didefinisikan dengan
(s)=((s)) untuk setiap s
anggota S

26. Contoh
1. Misalkan S = {x1,x2,x3} dan T =
S. Misalkan :SS yang
didefinisikan dengan
(x1) = x2, (x2) = x3, (x3) = x1
dan  :SS dengan
(x1) = x1, (x2) = x3, (x3) = x2
Apakah   =  ?

27. Contoh
2. Misalkan S Himpunan bilangan
bulat, T = SxS, andaikan :ST
yang didefinisikan dengan
(m) =(m-1,1). Misalkan U=S
dan andaikan bahwa : TU
yang didefinisikan dengan
(m,n) = m+n. Sehingga
:SS, demikian juga
:TT. Apa yang dapat
dikatakan antara  dan 

28. Contoh
3. Misalkan S Himpunan bilangan real,
T himpunan bilangan bulat dan
U={E,0}. Definisikan  :ST
dengan (s) = bilangan bulat
terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan s, dan : TU yang
didefinisikan dengan (n) = E jika
n genap dan (n) = 0 jika n ganjil.
Sebagai catatan  tidak dapat
didefinisikan.

29. Lemma
1. Jika : ST, :T U dan
:UV, maka ()=
()
2. Misalkan : ST, :T U;
maka:
a.   adalah pada jika  dan
 pada.
b.   adalah satu-satu jika 
dan  satu-satu.

30. Lemma
Pemetaan : ST adalah
korespondensi satu-satu
diantara S dan T jika
terdapat pemetaan :TS
sedemikian sehingga 
dan  adalah pemetaan
identitas pada S dan T
Masing-masing.

31. Definisi
Jika S suatu himpunan tak
kosong maka A(S) adalah
himpunan semua
pemetaan satu-satu dan
pada dari S pada dirinya
sendiri.

32. Teorema
Jika , ,  adalah elemen
A(S), maka :
1.  adalah di A(S)
2. ()= ()
3. Terdapat suatu elemen
(pemetaan identitas) di A(S)
sedemikian sehingga
4. Terdapat elemen anggaota
A(S) sedemikian




 
 

1






 
 


 1
1

33. Lemma
Jika S mempunyai lebih
dari dua unsur, maka kita
dapat menemukan dua
unsur ,  dalam A(S)
sedemikian sehingga 
 