220307 Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B Pert 10.pdf

1. Catatan Perkuliahan Aljabar I Kelas B
Pertemuan 10, Senin, 7 Maret 2022
Materi Perkuliahan
Subgrup (grup bagian)
Subbab 3.3
Berdasarkan pengamatan, diketahui
beberapa himpunan bagian dari suatu
himpunan yang merupakan grup juga
merupakan grup terhadap operasi yang
sama.
Seperti pada grup bilangan terhadap
operasi penjumlahan.
1. (ℝ, +) merupakan grup
2. (ℚ, +) merupakan grup
3. (ℤ, +) merupakan grup.

2. Sudah umum diketahui bahwa
ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
Definisi Subgrup.
Misalkan (𝐺𝐺,∗) merupakan grup.
Himpunan bagian tak kosong 𝐻𝐻
dari 𝐺𝐺 merupakan subgrup jika 𝐻𝐻
adalah grup terhadap operasi biner
yang sama dengan 𝐺𝐺.
Dengan demikian, jika ingin
memeriksa suatu himpunan bagian
dari suatu grup merupakan
subgroup atau bukan, harus
diperiksa semua syarat-syarat grup,
yaitu
1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Memuat elemen identitas

3. 4) Setiap elemen memiliki invers.
Karena sifat asosiatif diwariskan, dengan
demikian akan dipunyai teorema
ekivalen subgroup 1.
Teorema 1. Misalkan (𝐺𝐺,∗) adalah grup
dan 𝐻𝐻 himpunan bagian dari 𝐺𝐺, maka 𝐻𝐻
merupakan subgroup dari 𝐺𝐺 jika dan
hanya jika
1) 𝐻𝐻 bukan himpunan kosong.
2) Untuk setiap 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻, berlaku 𝑥𝑥 ∗
𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻
3) Untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻, maka 𝑥𝑥−1
∈ 𝐻𝐻.
Catatan. Untuk himpunan yang
berhingga, pemeriksaan terkait

4. subgroup masih dapat dilakukan dengan
menggunakan bantuan table Cayley.
Contoh 1. Diberikan grup (ℤ8, +).
Periksa apakah himpunan
𝐻𝐻 = {0,2,4,6}
Merupakan subgroup dari ℤ8 atau
bukan?
1. Jelas 𝐻𝐻 bukan himpunan kosong,
terdapat 0 ∈ 𝐻𝐻.
2. Untuk poin 2 dan 3, dapat
digunakan bantuan Tabel Cayley
+8 0 2 4 6
0 0 2 4 6
2 2 4 6 0
4 4 6 0 2
6 6 0 2 4

5. Invers dari 2 adalah 6 dan
sebaliknya.
Invers dari 4 adalah 4 sendiri
Invers dari 0 juga elemen 0 itu
sendiri. Dengan demikian, invers
dari setiap elemen 𝐻𝐻 merupakan
elemen 𝐻𝐻.
Berdasarkan beberapa hal tersebut,
dapat dipastikan bahwa
𝐻𝐻 = {0,2,4,6}
Merupakan subgroup dari ℤ8
Contoh 2. Diberikan grup himpunan
semua bilangan bulat, ℤ. Periksa apakah
himpunan
𝐻𝐻 = {3𝑘𝑘|𝑘𝑘 ∈ ℤ}
Merupakan subgroup dari ℤ atau bukan?

6. Jawab.
1. Dapat diperiksa bahwa 0 ∈ 𝐻𝐻,
karena 0 = 3 ⋅ 0, dengan 0 ∈ ℤ.
Dengan demikian 𝐻𝐻 ≠ ∅.
2. Akan dibuktikan untuk setiap 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈
𝐻𝐻 berlaku 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻
Ambil 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻, maka
𝑥𝑥 = 3𝑚𝑚
𝑦𝑦 = 3𝑛𝑛
Dengan 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℤ
Dapat dihitung
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3𝑚𝑚 + 3𝑛𝑛 = 3(𝑚𝑚 + 𝑛𝑛)
Karena 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℤ maka 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 ∈ ℤ,
artinya 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻.
3. Untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 maka −𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻.
Ambil 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻, maka

7. 𝑥𝑥 = 3𝑚𝑚
Dengan 𝑚𝑚 ∈ ℤ.
Dapat dihitung
−𝑥𝑥 = −3𝑚𝑚 = 3(−𝑚𝑚)
Karena 𝑚𝑚 ∈ ℤ maka −𝑚𝑚 ∈ ℤ.
Artinya −𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻.
Berdasarkan tiga hal tersebut, maka
terbukti 𝐻𝐻 = {3𝑘𝑘|𝑘𝑘 ∈ ℤ} merupakan
subgroup dari ℤ.
Secara umum, bentuk-bentuk subgroup
H seperti Contoh 2 dapat ditulis sebagai
𝑛𝑛ℤ.
Dengan demikian, subgroup 𝐻𝐻 pada
Contoh 2 dapat ditulis sebagai 3ℤ.

8. Artinya, 𝑛𝑛ℤ merupakan subgroup dari ℤ.
Contoh 3. Diberikan grup
𝐺𝐺𝐿𝐿2(ℝ) = 𝐺𝐺𝐺𝐺(2, ℝ)
= ��
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑
� �𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 ∈ ℝ, 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 ≠ 0�
Selidiki, apakah himpunan berikut
merupakan subgroup atau bukan.
1) 𝐻𝐻 = ��
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
� �𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0�
2) 𝐻𝐻 = ��
𝑎𝑎 0
0 𝑏𝑏
� �𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≠ 0�
Jawab.
Diberikan
𝐻𝐻 = ��
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
� �𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0�
1) Adb, 𝐻𝐻 ≠ ∅

9. Dapat diamati bahwa
�
1 0
0 1
� ∈ 𝐻𝐻
Artinya 𝐻𝐻 ≠ ∅
2) Adb, untuk setiap 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻 berlaku
𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻
Ambil sebarang 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝐻𝐻 maka
𝑥𝑥 = �
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
�
𝑦𝑦 = �
1 𝑐𝑐
0 𝑑𝑑
�
Dengan 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0 dan
𝑑𝑑 ≠ 0.
Dapat dihitung
𝑥𝑥𝑥𝑥 = �
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
� �
1 𝑐𝑐
0 𝑑𝑑
�
= �
1 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎𝑎𝑎
0 𝑏𝑏𝑏𝑏
�

10. Karena 𝑏𝑏 ≠ 0 dan 𝑑𝑑 ≠ 0 maka
𝑏𝑏𝑏𝑏 ≠ 0.
Artinya 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻
3) Adb, untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐻𝐻 berlaku
𝑥𝑥−1
∈ 𝐻𝐻
𝑥𝑥 = �
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
�
Dengan 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ dan 𝑏𝑏 ≠ 0.
Dapat dihitung
𝑥𝑥−1
=
1
𝑏𝑏
�
𝑏𝑏 −𝑎𝑎
0 1
� = �
1 −
𝑎𝑎
𝑏𝑏
0
1
𝑏𝑏
� ∈ 𝐻𝐻

11. Berdasarkan (1), (2), dan (3) maka
terbukti 𝐻𝐻 = ��
1 𝑎𝑎
0 𝑏𝑏
� �𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, 𝑏𝑏 ≠ 0�
merupakan subgroup dari 𝐺𝐺𝐿𝐿2(ℝ)
Silakan mencoba yang nomor 2, atau
soal-soal di buku exercise 3.3