download pdf di http://rumah-belajar.org

1. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
BAB 5
RANGKAIAN RESISTIF UMUM
Setelah mempelajari Bab 5 Rangkaian Resistif Umum, Anda diharapkan:
1. Mampu menulis node equation untuk rangkaian resistif linier, yakni
→ → →
Y n e (t) = i s (t)
2. Mampu menulis node equation untuk rangkaian resistif non linier, yakni
→  → T → → → →
A g A e  = i s ( t ) dengan i = g( v )
 
ht
 
tp
3. Mampu menulis tableau equation untuk rangkaian resistif linier, yakni
://
 → → →
 →
A e   0 
→
 0T 0
→ →   → 
ru
→ →
− A 1 0 v =  0 
 → → →  →  → 
m
 0 M N   i   u s ( t )

   
 
ah
→ →
→
T w u (t)
-b
4. Mampu menulis tableau equation untuk rangkaian resistif non linier, yakni
el
T
→→ → → → → →
→ →  →
A i ( t ) = 0; v ( t ) − A e ( t ) = 0; h  v ( t ), i ( t ), t  = 0
aj
 
a
5. Memahami teorema superposisi dan aplikasinya.
r.o
6. Memahami teorema Thevenin dan aplikasinya.
7. Memahami teorema Norton dan aplikasinya.
rg
8. Memahami teorema representasi two-port dan aplikasinya..
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 84

2. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
1. Untuk rangkaian yang ditunjukkan pada P5.1a, tulis node equation dalam
bentuk matriks.
1 i3 3Ω 2 1 i3 3Ω 2
i1 i2 i4
1Ω 1Ω
2A 2Ω 4Ω 1A 2A 2Ω 4Ω 1A
i5
1Ω 1Ω
3 i6 3
2Ω 2Ω
P5.1a P5.1b
ht
Solusi
tp
Rangkaian pada P5.1a digambar kembali seperti pada P5.1b.
://
ru
KCL di titik1 : i1 + i 2 + i 3 − 2 = 0
m
e1 e 1 − e 3 e1 − e 2 11 1
+ + − 2 = 0 ⇔ e1 − e 2 − e 3 = 2 …(1)
ah
2 1 3 6 3
-b
KCL di titik 2 : − i 3 + i 4 + i 5 + 1 = 0
el
e1 − e 2 e 2 − e 3 e 2 e 19 1
aj
− + + = −1 ⇔ − 1 + e 2 − e 3 = −1 …(2)
3 4 1 3 12 4
a r.o
KCL di titik 3 : − i 2 − i 4 + i 6 − 1 = 0
rg
e1 − e 3 e 2 − e 3 e 3 1 7
− − + − 1 = 0 ⇔ − e1 − e 2 + e 3 = 1 …(3)
1 4 2 4 4
Persamaan (1), (2), dan (3) dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut
 11 − 1
6 3 − 1   e1   2 
    
− 1 19
3 12 − 1  e 2  = − 1
4
    
−1 − 1
 4
7 
4  e 3 
 1
 
→ → →
Yn e i s (t)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 85

3. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
2. Ulangi pertanyaan 1 untuk rangkaian pada P5.2a dan P5.2b.
2A
i5
1
2 Ω
1 2 1 i2 2 i3 i4 4
+ v2 − i4 i6 + +
i6
1Ω
i3 two-port
2 cos t
1
Ω 1
Ω 2v 2 5i 6 v4 2Ω
4
3 v3 resistif linier
− −
N
3 i5 3 Karakteristik N
1
Ω
5
i7 5Ω i3 = 2 v 3 − v 4
i4 = v3 + v 4
P5.2a P5.2b
ht
Solusi
tp
://
Rangkaian P5.2a Rangkaian P5.2b
ru
2 − 2 0   e1   2 cos t   1 −1 0 2  1 
5
e 0 
 0 7 − 4  e 2  =  0   − 1 3 − 2 − 1  e 2   − 2 
m
0 − 4 9  e 3  − 2 cos 1
     0 − 2 11 − 3  e  =  0 
  5 2
 3 
1 − 1 3  e 4   2 
ah
 0 2  
-b
3. Perhatikan rangkaian yang ditunjukkan pada P5.3a.
a. Tulis node equation.
el
b. Tentukan nilai konduktansi G sedemikian rupa sehingga rangkaian tidak
memiliki solusi yang unik.
aj
a
1 1Ω 2
r.o
+
rg
i s1 v1 G
1
2 Ω 3v1
−
P5.3a
Solusi
G + 1 − 1  e1  i s1 
a. Matriks konduktansi rangkaian adalah    =  
 −4
 3  e 2   0 
   
→
Yn
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 86

4. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
→
b. Agar memiliki solusi unik maka harus dipenuhi syarat det[Y n ] ≠ 0 (mengapa?)
1
Jadi bila G = maka rangkaian tidak memiliki solusi unik.
3
4. Tulis node equation untuk rangkaian non linier pada P5.4a.
1
Ω
i3 2
i2 1Ω 2 i5 2Ω
1 3
+ v2 − i4 i6
+
ℜ4 v4 2v2
2A
− 2
ht
ℜ 4 : v 4 = (i 4 )3
1
i1
tp
://
P5.4a
ru
m
Solusi
ah
KCL di titik 1 : − i1 + i 2 + i 3 = 0
-b
(e1 − e 2 ) (e1 − e 3 )
−2+ + =0
el
1 1
2
aj
⇔ 3e1 − e 2 − 2e 3 = 2
a
KCL di titik 2 : − i 2 + i 4 + i 5 = 0
r.o
(e1 − e 2 ) (e 2 − e 3 ) (e1 − e 2 ) ( (e − e 3 )
rg
+ e 2 − 0) + 2
3
− + v3 +
4 =0⇔− =0
1 2 1 2
3 1
⇔ −e 1 + e 2 + e 3 − e 3 = 0
2
2 2
KCL di titik 3 : − i 3 − i 5 + i 6 = 0
(e1 − e 3 ) (e 2 − e 3 )
− − + 2v 2 = 0
2
1
2 2
1
⇔ −2(e1 − e 3 ) − (e 2 − e 3 ) + 2(e1 − e 2 ) = 0
2
2
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 87

5. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
5. Ulangi pertanyaan 4 untuk rangkaian non linier pada P5.5a.
i3 dioda pn − junction
i5 3
1 i2 i4 + i6
i1 2 +
G 2S two-port
resistif v5 G 6S
i s1 ( t ) G1S v4 non linier Karakteristik N
i 4 = g 1 (v 4 , v 5 )
− − i 5 = g 2 (v 4 , v 5 )
N
P5.5a
Solusi
ht
  e − e2  
tp
KCL di titik 1 : G 1e1 + G 2 (e1 − e 2 ) + I s exp 1
  − 1 = i s1 ( t )

  VT  
://
ru
  e − e2  
KCL di titik 2 : g 1 (e 2 , e 3 ) = G 2 (e1 − e 2 ) + I s exp 1
  − 1

m
  VT  
ah
KCL di titik 3 : g 2 (e 2 , e 3 ) + G 6 e 3 = 0
-b
6. a. Dapatkah Anda menulis node equation untuk rangkaian yang ditunjukkan
el
pada P5.6a?
aj
b. Tulis tableau equation untuk rangkaian pada P5.6a. Identifikasi matriks
M, N, dan vektot us.
a r.o
i3 1Ω
rg
1 i2 1Ω 2 i5 i6 3
i1 i4 + + i7
two-port
resistif
vs (t ) 1
2 Ω v5 non linier v6 2i 4
Karakteristik N
− −
N i5 = 2v5 + i 6
4
i8 v 6 = − v 5 + 2i 6
2Ω
P5.6a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 88

6. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Solusi
a. Tidak, karena di dalam rangkaian tersebut terdapat sebuah elemen yang bukan
dikontrol tegangan (voltage-controlled), yakni sumber tegangan bebas vs(t)
(di cabang 1).
b. Perhatikan diagraph pad P5.6b
Titik 1 : i1 + i 2 = 0 1 1 0 0 0 0 0 0
→
Titik 2 : − i2 + i3 + i4 + i5 = 0 A=  0 −1 1 1 1 0 0 0
 0 0 −1 0 0 1 1 0
Titik 3 : − i3 + i6 + i7 = 0 − 1 0 0 − 1 − 1 0 0 1
 
Titik 4 : − i1 − i 4 − i 5 + i 8 = 0
→
ht
Persamaan KCL dan KVL dapat diperoleh dari matriks A yakni
→T →
tp
→→ →
KCL : A I = 0 dan KVL : v − A e = 0 di mana
://
→
1 2 2 3 3
i = [i1 i8 ]
T
ru
i2 i3 i4 i5 i6 i7
m
→
v = [v1 v8 ]
T
v2 v3 v4 v5 v6 v7 1 4 5 6 7
ah
→
e = [e1 e4 ]
-b
T
e2 e3 8
el
4
Persamaan cabang
P5.6b
aj
cabang 1 : v1 − v s ( t ) = 0 cabang 5 : 2v 5 − i 5 + i 6 = 0
a
cabang 2 : v 2 − 1.i 2 = 0 : − v 5 − v 6 + 2i 6 = 0
r.o
cabang 6
cabang 3 : v 3 − 1.i 3 = 0 cabang 7 : v 7 − 2i 4 = 0
1
rg
cabang 4 : v 4 − .i 4 = 0 cabang 8 : v 8 − 2..i 8 = 0
2
Persamaan cabang di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut
v  0 0   1   v s ( t )
i
1 0 0 0 0 0 0 0   1  0 0 0 0 0 0
i 2 
0 0 0   v2 0 − 1 0 0 0 0 0 0    0 
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0   v3 0 0 − 1 0 0 0 0 0  i 3   0 
0 0 0 1 0 0 0 0   v 4  + 0 0 0 −1 0 0 0 0  i 4   0 
⇔ 2
=
0 0 0 0 2 0 0 0   v 5  0 0 0 0 −1 1 0 0  i 5   0 
0 0 0 0 − 1 − 1 0 0   v  0 0 0 0 0 2 0 0  i 6   0 
0 0 0 0 0 0 1 0   v  0 0 0 0  i   0 
6
0 −2 0 0
0 0 0 0 0
 0 0 1   7  0 0
 v  0 0 0 0 0 − 2 i 7   0 
  
Atau dalam bentuk tableau matrix →8 
→
 →
 8 →
M N → u s (t)
v i
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 89

7. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Atau dalam bentuk tableau matrix berikut
 → → →
 →   → 
 0T 0 A e   0 
 → → →
 →   → 
− A 1 0 v =  0 
 → → →  →  → 
 0 M N  i  u s 
    
T w u
Perhatikan bahwa matriks T berdimensi [(n-1) + 2b] x [(n-1) + 2b] di mana n
adalah jumlah titik (node) dan b adalah jumlah cabang (branch) pada diagraph
rangkaian. Karena tingkat kompleksitas matriks tersebut, secara praktis adalah
→ → →
tidak mungkin untuk mencari solusi e , v, dan i secara manual. Tujuan
ht
memperkenalkan tableau matrix pada bab ini adalah memberikan gambaran
kepada Anda tentang teknik-teknik perhitungan yang digunakan oleh program-
tp
program simulasi rangkaian listrik seperti SPICE (Simulation Program with
://
Integrated Circuit Emphasis) dalam mencari solusi rangkaian.
ru
7. Gunakan teorema superposisi untuk mencari i3 pada P5.1a.
m
1' '
i3 3Ω 2' 1" i" 3Ω 2"
ah
3
-b
1Ω 1Ω
2A 2Ω 4Ω 2Ω 4Ω 1A
el
1Ω 1Ω
aj
a
2Ω 3' 2Ω 3"
r.o
P5.7a P5.7b
Solusi
rg
Bila hanya ada sumber arus 2 A (P5.7a), maka node equation-nya menjadi (lihat
kembali solusi pertanyaan 1)
 11 − 1 − 1   e 1   2
'

6 3
    2 − 1
3
− 1  11 2 − 1
6
− 1 19 − 1  e '2  = 0; det 0 19 − 1 det − 1 0 − 1 

3 12 4
     12
7 
4
 3 4

0 − 4
1
4  52  − 1 0 7  16
4
7  '  e2 = =
'
−1 − 1
 e
4  3 
0 
  e1 =
'
= ; →
4 →
29 det Y n 29
→ det Y n
Yn
52 16
−
e −e
' '
29 29 = 12 A
i3 =
' 1
= 2
3 3 29
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 90

8. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Bila hanya ada sumber arus 1 A (P5.7b)
 11 − 1
6 3 − 1  e1   0 
"
0 −1 3
− 1  11
6 0 − 1
     det − 1 19 − 1 det − 1 − 1 − 1 
− 1  e"  = − 1;  3 7 
4
− 3 12
1 19
 12
7 
4

4 2
    1 −4
1
4  8 e2 =
" −1 1 4 
=−
68
 −1 − 1 7  "
1 e1 =
"
= ; →
4  e3    145
→
 4 29 det Y n
→
det Y n
Yn
8  68 
− − 
e −e
" "
29  145  36
i3 =
" 1
= 2
= A
3 3 145
12 36 96
Jadi besarnya nilai i3 adalah i 3 = i 3 + i " =
'
3 + = ≈ 0,662A
29 145 15
ht
tp
8. Gunakan teorema superposisi untuk mencari arus i1 untuk rangkaian pada
P5.8a.
://
i1 R 1 = 2Ω R 3 = 2Ω
ru
m
6V
2
3 A R 2 = 2Ω 12V
ah
-b
P5.8a
el
Solusi
aj
Bila hanya ada sumber tegangan 6 V
a
6 6
i1 =
'
= = 2A
r.o
R 1 + R 2 // R 3 2 + 1
rg
Bila hanya ada sumber tegangan 12 V
R2  12  1  12 
i1 =
"
. −
 R // R + R  = 2 . − 1 + 2  = −2A

R1 + R 2  1 2 3   
pembagi arus
2
Bila hanya ada sumber arus A
3
R 2 // R 3 2 1 2 2
i1 = −
"'
. =− . =− A
R 1 + R 2 // R 3 3 2 +1 3 9
 2 2
Jadi berdasarkan teorema superposisi i1 = i1 + i1 + i1 = 2 + (− 2) +  −  = − A
' " "'
 9 9
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 91

9. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
9. Tentukan tegangan vo untuk rangkaian yang ditunjukkan pada P5.9a.
Asumsikan model op amp ideal pada daerah linier.
10 k Ω
−
∞ +
10 k Ω +
2 mA vo
−
5kΩ
6V 5kΩ
ht
P5.9a
tp
://
Solusi
ru
Bila hanya ada sumber tegangan 6 V maka v 'o = 6V
m
Bila hanya ada sumber arus 2 mA maka v " = −20V
ah
o
Jadi berdasarkan prinsip superposisi v 0 = v 'o + v " = 6 + (− 20) = −14V
-b
o
el
10. Tentukan tegangan vo pada rangkaian P5.10a. Gunakan teorema
aj
superposisi.
a
2i1
r.o
i1
+
rg
5 kΩ v1 +
2V 3kΩ vo 5mA
−
10V 3v1 −
P5.10a
Solusi
Bila hanya ada sumber tegangan 10 V maka v 'o = 3.2i = 6i di mana i1 = -1 mA
sehingga v 'o = −6V .
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 92

10. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
1
Bila hanya ada sumber tegangan 2 V maka v " = 3.2i = 6i di mana i1 = − mA
o
5
6
sehingga v " = − V .
o
5
Bila hanya ada sumber arus 5 mA maka v "' = 3.(5 + 2i1 ) di mana i1 = 0 sehingga
o
v "' = 15V .
o
 6 4
Berdasarkan teorema superposisi v o = v 'o + v " + v "' = −6 +  −  + 15 = 7 V .
o o
 5 5
11. Gunakan teorema Thevenin untuk mencari tegangan vo untuk rangkaian
P5.11a.
ht
tp
i1 2Ω
i
://
2Ω
i 1 i1 2
io +
ru
+ 1Ω
v 1Ω
vo ℜo 2i1 1Ω 1A v 1Ω
m
2i1 1A
− 2V 2V
ah
−
( )
-b
ℜ o : i o = 2 2v 3 − v o
o
el
aj
P5.11a P5.11b
a
Solusi
r.o
Tentukan terlebih dahulu rangkaian pengganti Thevenin untuk rangkaian yang
rg
berada di sebelah kanan resistor non linier ℜ o (bagian yang berada dalam garis
putus-putus).
Pendekatan pertama: Mencari rangkaian pengganti Thevenin identik dengan
mencari hubungan v-i seperti pada P5.11b.
v−2
KCL di titik 1 : − i + + i1 = 0 …(1)
1
e e −v
KCL di titik 2 : 2i1 + 2 − 1 + 2 =0 …(2)
1 2
v − e2
Dari persamaan cabang untuk resistor 2 Ω : i1 = …(3)
2
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 93

11. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
1 3
Manipulasi aljabar ketiga persamaan tersebut menghasilkan v = i+ …(4)
2 2
R TH v OC
Pendekatan kedua: Perhatikan kembali persamaan (4) pada pendekatan pertama di
atas. Bila nilai i = 0 (open circuit) maka kita akan memperoleh nilai v = vOC dan
bila vOC = 0 (menol-kan semua sumber bebas. Perhatikan bahwa suku vOC hanya
akan muncul bila di dalam rangkaian terdapat sumber bebas) maka kita akan
v
mendapatkan nilai = R TH . Berdasarkan pengamatan ini maka Anda dapat
i
mencari rangkaian pengganti Thevenin dengan menghitung nilai resistansi
pengganti RTH dan vOC secara terpisah.
ht
2Ω 2Ω i1 2Ω
i=0 i1 i=0 i1 i
+ + +
tp
1Ω 1Ω 1Ω
v OC1 2i1 1Ω v OC 2 2i1 1Ω 1A v 2i1 1Ω
://
2V
ru
− − −
m
P5.11c P5.11d P5.11e
ah
• Mencari nilai vOC
-b
Bila hanya ada sumber tegangan 2V maka dari P5.11c tampak vOC1 = 2- i1 dan
vOC1 = 2i1- i1 = i1 sehingga diperoleh vOC1 = 1 V.
el
aj
Bila hanya ada sumber arus 1 A maka dari P5.11d tampak vOC2 = -i1 dan
1
a
vOC2 = 2i1 + (1-i1) sehingga diperoleh vOC2 = V .
r.o
2
1 3
rg
Berdasarkan teorema superposisi v OC = v OC1 + v OC 2 = 1 + = V
2 2
• Mencari nilai RTH
Untuk mencari niali RTH, nol-kan semua sumber bebas (P5.11e). Selanjutnya, cari
hubungan v-i. Dari P5.11e tampak v = i – i1 dan v = 2i1 –i1 sehingga diperoleh
v 1
= R TH =
i 2
1 3
Sehingga rangkain pengganti Thevenin-nya adalah v = i+
2 2
R TH v OC
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 94

12. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
1
1 Ω
Ω io i 2
i 2
+ +
+
3 vo v 3
v V V
2 2
−
− −
(
ℜo : i o = 2 2v − vo
3
o )
P5.11f P5.11g
Rangkaian pengganti Thevenin tampak pada P5.11f. Pasang kembali resistor non
linier ℜ o pada rangkaian pengganti Thevenin seperti pada P5.11g. Dari P5.11g dan
ht
karakteristik resistor non linier tampak bahwa
tp
3
vo − 1
://
i + i o = 0 ⇔ 2(v 3 − v o ) +
 3 3
2 =0 ⇔ v = 
o o
1 2
ru
2
m
12. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin dan Norton untuk
ah
a. Rangkaian P5.12a
b. Rangkaian P5.12b
-b
2A
el
N R1 i1 i2
n1 : n 2 i
aj
2v 4
+ + + i 1: 2
+ +
a
i6
v1 v2 v
r.o
vs (t) v 2i 6 v4 1Ω
− − − − −
rg
P5.12a P5.12b
Solusi
Untuk rangkaian pada P5.12a
Rangkaian pada P5.12a digambar kembali seperti pada P5.12c.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 95

13. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
2A
N R1 i1 i2
n1 : n 2 2v 4
+ + + i 1 2 i3 1: 2 i4 3
+ i2 + + i6
v1 v2 v i
vs (t )
v 2i 6 v3 v4 1Ω
− − − − − −
P5.12c P5.12d
Perhatikan bahwa pada kasus ini kita menggunakan sumber arus i untuk men-
drive rangkaian (pada pertanyaan 11 dan 12.b kita menggunakan sumber tegangan
v).
ht
Dari persamaan trafo ideal diperoleh
tp
n2 n n2 n2
i1 = − i2 = − 2 i ...(1) dan v2 = v1 ⇔ v= v1 ...(2)
://
n1 n1 n1 n1
ru
Dari rangkaian juga tampak v1 = v s ( t ) − R 1i1 ...(3).
m
Substitusi persamaan (3) ke (2) menghasilkan
ah
n2  
(v s ( t ) − R 1 i 1 ) ⇔ i 1 = 1  v s ( t ) − n 1
-b
v= v ...(4).
n1 R1 
 n2 

el
aj
2
n  n 
Substitusi persamaan (4) ke (1) menghasilkan v = R 1  2  i +  2  v s ( t ) …(5)
  n 
a
 n1   1
r.o
2
1  n1   n  v (t)
rg
Persamaan (5) dapat ditulis menjadi i =   v− 1  s
n  n  R yang
R1  2   2 1
merupakan persamaan rangkaian pengganti Norton.
Untuk rangkaian pada P5.12b
Rangkaian pada P5.12b digambar kembali seperti pada P5.12d.
KCL di titik 1 : i = 2i 6 + i 2 …(1)
KCL di titik 2 : 2 + i 3 = i 2 …(2)
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 96

14. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
KCL di titik 3 : i 4 + i 6 = 2 …(3)
Dari KVL Anda juga akan memperoleh v = 2 v 4 + v 3 …(4) dan v 4 = i 6 …(5)
Dari persamaan transformator ideal diperoleh 2 v 3 = v 4 …(6)
dan i 3 = −2i 4 …(7)
Manipulasi persamaan di atas menghasilkan
i = 2v 4 + i 2 (substitusi persamaan (5) ke (1))
2 − 2i 4 = i 2 (subtitusi persamaan (7) ke (2))
v4 + i4 = 2 (substitusi persamaan (5) ke (3))
ht
1
v = 2v 4 + v 4 (substitusi persamaan (6) ke (4))
tp
2
5 5
://
Dari persamaan-persaman tersebut diperoleh v = i + (rangkaian pengganti
8 4
ru
8
Thevenin) atau i = v − 2 (rangkaian pengganti Norton).
m
5
ah
13. Ulangi pertanyaan 12 untuk rangkaian pad P5.13a.
-b
+ v −
el
i G = 1S 2Ω 2Ω
aj
i6
a
1Ω 5Ω
r.o
1A 5i 6
rg
P5.13a
Solusi
47 11
Rangkaian pengganti Thevenin v= i+
23 23
23 11
Rangkaian pengganti Norton i= v−
47 47
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 97

15. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
14. a. Dengan menggunakan superposisi, tentukan rangkaian pengganti
Thevenin dan Norton pada terminal A-A’ (dengan terminal B-B’ terbuka)
untuk rangkaian pada P5.14a.
b. Ulangi pertanyaan (a) untuk terminal B-B’ (terminal A-A’ terbuka).
1Ω
B
+
v1 3Ω
5V A − 2v1 1Ω 3A
2Ω
A'
B'
ht
P5.14a
tp
Solusi
://
26 4
ru
a. Rangkaian pengganti Thevenin v = i+
17 17
m
17 2
ah
Rangkaian pengganti Norton i = v−
26 13
-b
5 10
b. Rangkaian pengganti Thevenin v = i+
el
17 17
aj
17
Rangkaian pengganti Norton i = v−2
a
5
r.o
15. Tentukan rangkaian pengganti Thevenin untuk rangkaian op amp yang
rg
ditunjukkan pada P5.15a. Gunakan model op amp finite-gain di daerah
linier.
+ v
i
1kΩ 1
−
∞ +
+
vo
2
500Ω −
2V
1kΩ
6V
P5.15a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 98

16. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Solusi
Dari model op amp finite-gain diperoleh v o = Av d …(1)
2 − e1
KCL di titik 1: i + =0 …(2)
1
e2 − 6 e2 − vo
KCL di titik 2: + =0 ⇔ (e 2 − 6) + 2(e 2 − Av d ) = 0 …(3)
1 1
2
Dari KVL diperoleh e 2 − e1 = v d …(4) dan e1 = v + v o ⇔ e1 = v + Av d …(5)
Manipulasi persamaan-persamaan di atas menghasilkan
ht
A+3 4A − 6
tp
v=− i+ i dalam mA …(6)
2A − 3 2A − 3
://
16. Ulangi pertanyaan 15, namun dengan model op amp ideal.
ru
m
Solusi
ah
1
v=− i+2 , i dalam mA.
2
-b
Ambil limit A → ∞ untuk persamaan (6) pada pertanyaan 15. Hasil apakah yang
el
Anda peroleh?
aj
17. Gunakan teorema superposisi untuk mencari tegangan vo pada P5.17a.
a r.o
v1
rg
i1 R i3
R R
− vo +
R R
i2 R i4
v2
P5.17a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 99

17. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Solusi
Perhatikan bahwa bagian “atas” dan “bawah” rangkaian adalah simetri. Cari
terlebih dahulu rangkaian pengganti Thevenin untuk salah satu sisi dan karena
sifat kesimetrian rangkaian, rangkaian pengganti di sisi lainnya akan persis (lihat
P5.17c).
v1
v OC,a
2R
i1 R i3 − vo +
R R
v OC,b
ht
− vo + 2R
io = 0
tp
://
P5.17b P5.17c
ru
• Mencari nilai vOC,a (Lihat P5.17b)
m
i. Bila hanya ada sumber i3 maka v 'o = i 3 R
ah
ii. Bila hanya ada sumber v1 maka v " = v1
o
-b
iii. Bila hanya ada sumber i1 maka v "' = i1 R
o
el
Berdasarkan prinsip superpoisi maka v OC,a = v 'o + v " + v "' = i 3 R + v1 + i1 R
o o
aj
a
• Mencari nilai RTH
r.o
v
Nolkan semua sumber maka Anda akan memperoleh = 2R (Perhatikan bahwa
rg
i
peng-short-circuit-an sumber tegangan v1 menyebabkan resistor R yang terpasang
paralel dengannya tidak dialiri arus).
Dengan cara yang sama Anda dapat memperoleh rangkaian pengganti Thevenin
untuk rangkaian bagian “bawah”, yakni v OC ,b = i 4 R + v 2 + i 2 R dan RTH = 2R.
Rangkaian pengganti Thevenin tampak pada P5.17c.
Dengan menggunakan teorema superposisi diperoleh
1
vo = (v OC,a − v OC,b ) = 1 (v1 − v 2 ) + 1 R ([i1 + i 3 ] − [i 2 + i 4 ])
2 2 2
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 100

18. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
18. Cari rangkaian pengganti Thevenin dan Norton untuk rangkaian pada
P5.18a, b, dan c.
10V 5V
i i i 1Ω
+ + io + + io
v 10Ω i v io 5A 10Ω v v1 io 2Ω
− − − −
v1
P5.18a P5.18b P5.18c
ht
Solusi
tp
• Untuk rangkaian P5.18a
://
Dari KVL diperoleh v = 10 + 10(i − i ) ⇔ v = 10
ru
Jadi rangkaian P5.18a berfungsi sebagai sebuah baterai 10 V. Tidak ada
m
rangkaian pengganti Norton.
ah
•
-b
Untuk rangkaian pada P5.18b
el
Dari KCL diperoleh i + i o = 5 + i o ⇔ i=5
aj
Jadi, rangkaian P5.18b berfungsi sebagai sebuah sumber arus 5 A. Tidak ada
a
rangkaian pengganti Thevenin.
r.o
rg
• Untuk rangkaian pada P5.18c
Dari KCL diperoleh i + i o = i o ⇔ i=0
Dari KVL diperoleh v = 1.i + v1 − v1 ⇔ v = i1 = 0
Jadi tidak ada rangkaian pengganti Thevenin maupun Norton untuk rangkaian
ini. One-port dengan karakteristik seperti itu dikenal dengan istilah nullator.
Perhatikan bahwa port masukan pada model op amp ideal di daerah linier
memiliki karakteristik ini.
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 101

19. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
19. Dengan menggunakan teorema Norton, tentukan semua nilai iR dan vR yang
mungkin untuk rangkaian pada P5.19a.
2i1
iR +
2i1
ℜ vR i1 5A
2Ω
ℜ : iR = v2
R −
P5.19a
ht
Solusi
tp
://
Cari terlebih dahulu rangkaian pengganti Norton untuk rangkaian di sebelah
kanan resistor non linier ℜo (rangkaian yang berada di dalam garis putus-putus).
ru
Rangkaian tersebut identik dengan sebuah sumber arus – 5A sehingga iR = 5 A
m
dan v R = ± 5 V
ah
Aplikasi-aplikasi teorema superposisi dan Thevenin-Norton dapat Anda temukan
kembali di Bab 9,namun untuk analisis keadaan-tunak sinusoidal (sinusoidal
-b
steady-state).
el
20. Gunakan teorema Norton untuk menulis node equation untuk rangkaian
aj
pada P5.20a
a
2Ω
1
Ω 1
Ω
r.o
1 2 2 1 2 2
1
Ω 1
Ω
rg
3 3
10V 1Ω 1Ω 1A 5A 2Ω 1Ω 1Ω 1A
P5.20a P5.20b
Solusi
Perhatikan bahwa dari rangkaian asli pada P5.20a, Anda tidak bisa menulis node
equation karena terdapat elemen yang tidak dikontrol oleh tegangan, yakni sebauh
sumber tegangan bebas 10 V. Namun perhatikan pula bahwa sumber tersebut
tersambung secara seri dengan sebuah resistor R, yang identik dengan model
rangkaian pengganti Thevenin. Jadi Anda dapat mengganti rangkaian Thevenin
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 102

20. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
tersebut ke rangkaian pengganti Norton. Rangkaian hasil modifikasi (P5.20b)
tidak mengandung lagi elemen yang tidak dikontrol tegangan sehingga Anda
dapat menulis node equation seperti berikut
 13 − 2  e1  5
− 2 3  e 2  = 1
2
    
21. a. Tentukan representasi hybrid 2 untuk two-port pada P5.21a.
b. Susun kembali persamaan dari (a) ke representasi terkontrol tegangan
(voltage-controlled).
c. Ulangi (b) untuk representasi terkontrol arus (current-controlled).
2A
ht
1Ω 2 1Ω 1 i1
+
tp
1Ω v1
://
1V
−
ru
−
v2
m
i2 +
ah
P5.21a
-b
Solusi
el
aj
a. Representasi hybrid 2
a
e 2 − e1
KCL di titik 1: i1 + 2 + =0
r.o
…(1)
1
rg
e 2 e 2 − e1 1 − e2 e + i −1
KCL di titik 2: 2 + + − i2 − = 0 ⇔ e2 = 1 2 …(2)
1 1 1 3
Dari rangkaian tampak bahwa e1 = v1 dan e2 = v2. Substitusi kembali hasil ini ke
persamaan (1) dan (2) menghasilkan
i 1 + 2 + (v 2 − v 1 ) = 0 …(3)
v1 + i 2 − 1
v2 = …(4)
3
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 103

21. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
2 1 5
Substitusi (4) ke (3) menghasilkan i1 = v1 − i 2 − …(5)
3 3 3
Persmaan (5) dan (4) dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut
 i1   2 − 1   v1  − 5 
v 2  =  1 + 1
3 3 3
 i 2  − 3 
1 
  3 3    
b. Representasi voltage-controlled
Persamaan (4) dapat ditulis kembali dalam bentuk i 2 = − v1 + 3v 2 + 1 …..(6)
Persamaan (3) dan (6) dapat ditulis dalam bentuk matriks
ht
 i1   1 − 1  v1  − 2
 = +
tp
i 2  − 1 3   v 2   1 
   
://
c. Representasi current-controlled
ru
3 1 5
m
Persamaan (5) dapat ditulis kembali dalam bentuk v1 = i1 + i 2 + …(7)
2 2 2
ah
1 1 1
Substitusi persamaan (7) ke (4) menghasilkan v 2 = i1 + i 2 +
-b
2 2 2
el
 v1   3 1
  i1   5 
aj
  = 1  i 2  +  1 
2 2 2
v 2   2
1
2    2
a r.o
22. Ulangi pertanyaan 21 untuk two-port pada P5.22a.
rg
i1
10Ω
+
10Ω
v1 2 sin t v2 i2
−
5V
5 cos t
P5.22a
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 104

22. Bab 5 Rangkaian Resistif Umum
Solusi
a. Representasi hybrid 2
 i1   10
1
− 1  v1  − 1 − 2 sin t − 1 cos t 
= + 2 2
v 2   1
  10   i 2  
   − 5 cos t 

b. Representasi voltage-controlled
 i1   1 − 10   v1  − 1 − 2 sin t − cos t 
1
i 2  = − 10 + 2 1
5
1 
   1 10  
v2  
  2 cos t


c. Representasi current-controlled
ht
 v1  10 10   i1  5 + 20 sin t + 5 cos t 
 = +
tp
 v 2  10 20 i 2  
   5 + 20 sin t 

://
ru
m
ah
-b
el
aj
a r.o
rg
Diktat Pendukung Teori Rangkaian 105