Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Aem problem set 14.3 (matematika teknik)

933 views

Published on

Contoh Soal Matematika Teknik - Integral Kompleks

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Aem problem set 14.3 (matematika teknik)

  1. 1. Problem Set 14.3 – AEM1–4Integrasikan ( z 2−4 )/( z 2+4 ) berlawanan arah jarum jam dengan lingkaran: 1. ∣z−i∣=2 2. ∣z−1∣=2 3. ∣z+ j3∣=2 4. ∣z∣=π /2Jawab:Persamaan f(z) didefinisikan sebagai berikut: (z 2−4) ( z2 −4) f ( z)= 2 = z +4 ( z+ j2)( z− j2)Sedangkan rumus integral tertutup: f (z ) ∮ z −z = j2 π f ( z 0) C 0 1. Untuk lingkaran ∣z−i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada j. Maka, nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2. Sehingga: ( z 2−4 ) ( z 2−4 ) 1 f (z)= = ( z+ j2)( z− j2) (z− j2) ( z+ j2) 2 z −4 f ( z)= (Pole -j2 diluar lingkaran, hasil integrasi = 0) z− j2 (z 2−4) [ ] ∮ z 2+4 = j2 π f (− j2)= j2π z− j2 C z 2−4 z=− j2 Substitusikan nilai -j2 ke f(z), maka
  2. 2. j2 π [ − j2− j2] (− j2 )2−4 = j2 π −4−4 − j4 =j2π −8 − j4 =4 π2. Untuk lingkaran ∣z−1∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada 1. Maka, nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2 dan j2. Hal ini dikarenakan titik j2 dan -j2 berada diluar lingkaran integrasi. Sehingga: (z 2−4) ∮ z 2+4 =0 C
  3. 3. 3. Untuk lingkaran ∣z+3i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada -3j. Gambar didapatkan sebagai berikut: Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut tidak analitik pada z = 2j. Sehingga, persamaan didapatkan sebagai berikut: ( z 2−4 ) ( z 2−4 ) 1 f (z)= = ( z + j2)( z− j2 ) (z+ j2) ( z− j2 ) z 2−4 f ( z)= (Pole j2 diluar lingkaran, hasil integrasi 0) z+ j2 Sehingga: 2 [ ] 2 (z −4) z −4 ∮ z 2+4 = j2 π f ( j2)= j2 π z + j2 C z = j2 j2 π [ ] [ ( j2)2−4 j2+ j2 = j2 π j4] −4−4 [ ] = j2 π −8 j4 =−4 π
  4. 4. 4. Pada lingkaran ∣z∣=π /2 maka, terdapat gambar sebagai berikut: Sama seperti no. 2, kedua pole terletak diluar lingkaran integrasi. Sehingga, (z 2−4) ∮ z2+4 =0 C5 – 10Dengan menggunakan rumus integral Cauchy, integrasikan persamaan berikut berlawananarah jarum jam. z +2 5. ∮ z−2 dz , C :∣z−1∣=2 C Jawab: Didapatkan sebuah lingkaran sebagai berikut: Pole bisa diintegrasikan, sehingga: f (z) ∮ z −z dz=∮ z+2 dz= j 2π f (z 0 ) C 0 C z−2 j 2 π [ z+2 ] z=2= j∗2∗pi(2+2)= j8 π
  5. 5. 3z e6. ∮ 3z−i dz , C :∣z∣=1 C Jawab: Persamaan diatas memiliki kontur garis serta posisi z 0 sebagai berikut: Sehingga: 3z e 3z f (z) e 3 ∮ z −z dz=∮ 3z− j dz=∮ j dz= j 2 π f ( z 0) 0 C C C z− 3 j 3 j2π 3[ ] e3z z= j 3 = j 2 π( e 3 3 )= j2πej 2 3 = j π[cos (1)+ j sin(1)]≃−1.76237+ j1.13161 3
  6. 6. sinh(π z )7. ∮ z 2−3z dz ,C :∣z∣=1 C Jawab: Persamaan diatas disederhanakan sebagai berikut: C sinh(π z ) ∮ z 2−3z dz=∮ C sinh( π z ) 3 z( z− ) dz=∮ [ C 3 z−3 − z] 1 sinh(π z) sinh(π z ) 2 = ∮ 1 [ sinh(π z ) 3 C z−3 dz−∮ C z ] sinh( π z) dz Sehingga, pada grafik lingkaran, posisi pole sebagai berikut: Pole z = 3 tidak termasuk dalam kurva C sehingga, hasil integrasinya adalah 0. Sedangkan, untuk z = 0 termasuk dalam lingkaran sehingga hasil integrasinya adalah j2πf(z0). Sehingga: 1 3[ 0−∮ C z] sinh (π z) dz 1 j2 π ( j2 π f ( z 0 ))= ( sinh (π(0)) )=0 3 3
  7. 7. dz8. ∮ z 2−1 , C :∣z−1∣=π /2 C Jawab: Persamaan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut (pecahan parsial): ∮ 2dz =∮ z−1 z+1 dz =∮ z−1 − z+1 dz 1 1 (1/2 1 /2 ) C z −1 C C 1 1 1 C ( 2 ∮ z−1 dz−∮ C z+1 dz ) Pada grafik, posisi-posisi dari z0 adalah: Untuk z0 = -1 akan memiliki hasil integrasi 0 (karena diluar kurva C). Sedangkan untuk z0 = 1 terdapat didalam kurva dan hasil integrasinya j2πf(z0) sehingga: f ( z)=1 ; f (z 0)=1 1 2 ( j2 π f (z 0)−0 ) = j π ( 1 )= j π
  8. 8. dz9. ∮ z 2−1 , C :∣z+1∣=1 C Jawab: Persamaan diatas sama dengan no.8 namun memiliki C yang berbeda, sehingga penyederhanaan persamaan adalah: ∮ 2dz =∮ z−1 z+1 dz =∮ z−1 − z+1 dz 1 1 1/2 1 /2 ( ) C z −1 C C 1 1 1 C ( 2 ∮ z−1 dz−∮ C z+1 dz ) dengan kurva C: Kali ini z0 = -1 hasil integrasinya j2πf(z0) (didalam kurva). Sedangkan untuk z0 = 1 hasil integrasinya 0 sehingga: 1 − j2 π 2 ( 0− j2 π f ( z 0) ) = 2 (1)=− j π
  9. 9. ez10. ∮ dz , C :∣z − j2∣=4 C z − j2 Jawab: Berdasarkan persamaan diatas, diketahui nilai z 0 = j2 dan f (z)=e z . Dengan melihat gambar, diketahui bahwa z0 terdapat didalam kurva C sehingga, hasil integrasinya adalah j2πf(z0). Maka: j2 j2 π f ( z 0)= j2 π(e )= j2 π ( cos (2)+ jsin(2) ) ≃−5.71328− j2.61473

×