Dividing Polynomials

1. Section 4-3
Dividing Polynomials

2. Essential Questions
• How do you divide polynomials using long
division?
• How do you divide polynomials using
synthetic division?

3. Vocabulary
1. Synthetic Division:

4. Vocabulary
1. Synthetic Division: A simpler process for
dividing a polynomial by a binomial using
the coefficients

5. Example 1
Simplify.
5a2
b −15ab3
+10a3
b4
5ab

6. Example 1
Simplify.
5a2
b −15ab3
+10a3
b4
5ab
5a2
b
5ab
−
15ab3
5ab
+
10a3
b4
5ab

7. Example 1
Simplify.
5a2
b −15ab3
+10a3
b4
5ab
5a2
b
5ab
−
15ab3
5ab
+
10a3
b4
5ab
a − 3b2
+ 2a2
b3

8. Example 1
Simplify.
5a2
b −15ab3
+10a3
b4
5ab
5a2
b
5ab
−
15ab3
5ab
+
10a3
b4
5ab
a − 3b2
+ 2a2
b3
2a2
b3
− 3b2
+ a

9. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)

10. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15

11. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x

12. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x

13. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x
3x −15

14. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x
3x −15
+3

15. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x
3x −15
+3
−3x +15

16. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x
3x −15
+3
−3x +15
0

17. Example 2
Simplify.
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5)
x − 5 x 2
− 2x −15
x
−x 2
+ 5x
3x −15
+3
−3x +15
0
(x 2
− 2x −15) ÷ (x − 5) = (x + 3)

18. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1

19. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
a2
− 5a + 3
2 − a

20. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

21. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

22. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

23. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

24. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
−3a + 3
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

25. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
−3a + 3
+3
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

26. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
−3a + 3
+3
3a − 6
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

27. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
−3a + 3
+3
3a − 6
−3
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

28. Example 3
Simplify.
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
−a + 2 a2
− 5a + 3
−a
−a2
+ 2a
−3a + 3
+3
3a − 6
−3
(a2
− 5a + 3)(2 − a)−1
= −a + 3 −
3
2 − a
a2
− 5a + 3
2 − a
a2
− 5a + 3
−a + 2

29. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)

30. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24

31. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2

32. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2

33. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x

34. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x

35. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x

36. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x
−6x 2
+ 30x − 24

37. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x
−6x 2
+ 30x − 24
−6

38. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x
−6x 2
+ 30x − 24
−6
6x 2
− 30x + 24

39. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x
−6x 2
+ 30x − 24
−6
6x 2
− 30x + 24
0

40. Example 4
Simplify.
(x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24) ÷ (x 2
− 5x + 4)
x 2
− 5x + 4 x 4
− 4x 3
− 7x 2
+ 34x − 24
x 2
−x 4
+ 5x 3
− 4x 2
x 3
−11x 2
+ 34x
+x
−x 3
+ 5x 2
− 4x
−6x 2
+ 30x − 24
−6
6x 2
− 30x + 24
0
x 2
+ x − 6

41. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)

42. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
1 −4 6 −4

43. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
1 −4 6 −4

44. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4

45. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4

46. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1

47. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2

48. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2

49. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2
−4

50. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2
−4
2

51. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2
−4
2
4

52. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2
−4
2
4
0

53. Example 5
Use synthetic division to find
(x 3
− 4x 2
+ 6x − 4) ÷ (x − 2)
2 1 −4 6 −4
1
2
−2
−4
2
4
0
x 2
− 2x + 2

54. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)

55. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2 2

56. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )

57. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

58. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

59. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

60. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

61. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

62. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

63. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

64. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
−1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

65. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
−1
1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2

66. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
−1
1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2
1
2

67. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
−1
1 1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2
1
2

68. Example 6
Use synthetic division to find
(4y 3
− 6y 2
+ 4y +1) ÷ (2y −1)
2
1
−2
−1
1 1
2y 2
− 2y +1+
1
2y −1
1
2
2 2
(2y 3
− 3y 2
+ 2y + 1
2 ) ÷ (y − 1
2 )
2 −3 2 11
2
1
2