1. C´lculo Diferencial e Integral - Ecuaciones y sistemas.
a Farith J. Brice˜ o N.
n
Objetivos a cubrir C´digo : MAT-CDI.2
o
• Soluci´n de una ecuaci´n.
o o
• Sistema de ecuaciones lineales n ecuaciones con n inc´gnitas. Soluci´n de un sistema.
o o
Ejercicios
1. Resolver las siguientes ecuaciones
3x 4 1 3 2 3z + 4 3z − 4
1. 5x + 3 = 2x − 1 2. + 4 = 5x − 3. + = 4. =
5 5 a2 −4 a−2 a+2 5z + 8 5z + 8
(t − 2) t2 − 2t − 15 a x
5. 16x4 − 81 = 0 6. 2x2 + 3x − 5 = 0 7. =0 8. = 2
t2 − 3 x+a x − a2
5 −2 a−1 1 3x2 − 2x + 4 2 t2 − t3
9. = 10. 2+a
= 11. = 1 − 2x 12. = 4
3t + 2 2t − 1 a 2a − 2 2−x t+1 t +2
1 1 1 1 3 6t2 2 2 2 1
13. x3 + = 2x 14. + = − 15. 2−1
− =− 16. =
x x 4 3x 4 9t 3 3t − 1 x−2 2+x
2. Resolver las siguientes ecuaciones
1. x2 + 2x = 0 2. x − 3x2 = 0 3. x2 − 2x − 8 = 0 4. x2 + 9x − 1 = 0
5. x2 + 9x = 10 6. x2 − 2x − 7 = 0 7. 3x2 + 5x + 1 = 0 8. 2x2 + 7x + 2 = 0
9. x2 − 16 = 0 10. −4x2 + 121 = 0 11. 27x3 − 64 = 0 12. x3 + 5x2 − x = 5
13. x3 − 5x2 = 0 14. 5x3 + 3x = 0 15. x3 − 2x + 1 = 0 16. x3 + 3x2 + x − 1 = 0
3. Resuelva las siguientes ecuaciones literales
a x
1. (x + a) (x − b) = x2 − 5x 2. = 2 3. t (3 − 3b) − 1 = t (2 − 3b) − b2
x+a x − a2
4. az − a (a + b) = −z (1 + ab) 5. (v + b) (v − c) − (v + c) (v − 2b) = c (b + 2) + 3b
x − 3a 2a − x 1 b a b
6. 2
− =− 7. + = 8. (z − b)2 − (z + b)2 = b (b − 7z)
a ab a d (x − b) b c
a a a a a b x 4 4
9. = 2 10. + + = 11. − 2 + =0
z2 + 2za + a 2 z + a2 2y 3y y 3 x+n x −n 2 4x − 4n
4. Hallar las soluciones de los siguientes sistemas
   
 2x + 3y = 4
  x − 2y = 0
  4x − 6y = 1
 
 4x − 5y = 8
1. 2. 3. 4.
 −3x + y = 5
  −x + y = 3
  x − 2y = 1
  2x + y = −10

   
 3x − 4y = 5
  5x − 2y = 5
  x − 3y = −5
  4x − 2y = 0

5. 6. 7. 8.
 2x + 3y = 9
  2x + 3y = 6
 
 3x − y = 5  3x − y = 3

1

2.   
 5x − 2y + 7z = −2

  3x + 2y − z = 10

  −4x1 + 2x2 + 4x3 = 1



 
 

  
9. x + 6y − 3z = 8 10. x + y + 4z = −1 11. 6x1 − 2x2 − 5x3 = 0

 
 

  
 4y − 2x + z = −10

  6x − 2y + 7z = 11

  −6x1 + 4x2 + 7x3 = 3


  
 5x1 + 4x2 − 2x3 = 0

  x − 3y + z = 13

  15x + 10y − 5z = −4



 
 

  
12. x − 3x2 + 4x3 = 0 13. 4x + 2y + z = −2 14. 25x − 15y − 21z = −13
 1
 
 

  
 6x1 + 2x2 + 7x3 = 0

  3x − y − 2z = −5

  −10x + 25y + 16z = 9



   x +x +x +x =4
 1
 2 3 4
 3x1 − 2x2 + 5x3 = 0

  3x + 4y − 6z = 2






 
 
 3x + 5x − 2x = 6
   1 3 4
15. −x1 + 4x2 − 2x3 = 0 16. 4x + 2y − z = 6 17.
   −2x − x + 6x = −7

 
 
 1 2 4
 2x1 − 5x2 + x3 = 0

  2x + 6y − 11z = 4






 4x1 + 2x2 − 3x3 = −4


 4x − 2x + 5x − x = 0


 1 2 3 4



 3x + 4x − 2x + 2x = 0
 1 2 3 4
18.
 3x + 4x − 5x = 0


 1 3 4



 4x1 − 6x2 + 7x3 − 8x4 = 0

Respuestas
a2
1.1. − 4 ;
3
1.2. 12
11
; 1.3. − 11; 1.4. ∅; 1.5. 3
2
, −3;
2
1.6. − 5 , 1;
2
1.7. 2, −3, 5; 1.8. a−1
si a = 1;
√ √
1 5 17 17
1.9. 16
; 1.10. 2
− 2
, 2
+ 5;
2
1.11. − 2, −1; 1.12. ∅; 1.13. 1, −1; 1.14. − 2 ;
3
1.15. − 4 ;
9
√ √
85−9
1.16. − 6; 2.1. x = 0, x = −2; 2.2. x = 0, x = 1
3
; 2.3. x = −2, x = 4; 2.4. x = 2
, x = − 9+2 85 ;
√ √ √ √
13
2.5. x = −10, x = 1; 2.6. x = 1 + 2 2, x = 1 − 2 2; 2.7. x = 6
− 5, x = −5 −
6 6
13
6
;
√ √
33
2.8. x = 4
− 7, x = −7 −
4 4
33
4
; 2.9. x = 4, x = −4; 2.10. x = 11
2
, x = − 11 ;
2
2.11. x = 4
3
;
1
√ √
2.12. x = −5, x = 1, x = −1; 2.13. x = 0, x = 5; 2.14. x = 0; 2.15. x = 1, x = 2
5 − 1, x = −1 −
2 2
1
2
5;
√ √ ab a2 a2 +ab 3b+2c
2.16. x = −1, x = 2 − 1, x = −1 − 2; 3.1. a−b+5
; 3.2. a−1
; 3.3. 1 − b2 ; 3.4. a+ab+1
; 3.5. 3b−2c
;
√ √
b2 c−abcd+b3 d 1 11a n−1− n2 −6n+17 n−1+ n2 −6n+17
3.6. 2a; 3.7. b2 d−acd
; 3.8. 3
b; 3.9. 0; 3.10. 2b
; 3.11. 2
, 2
;
3
4.1. x = −1, y = 2; 4.2. x = −6, y = −3; 4.3. x = −2, y = − 2 ; 4.4. x = −3, y = −4; 4.5. x = 3, y = 1;
27 20 5 5 47
4.6. x = 19
, y= 19
; 4.7. x = 2
, y= 2
; 4.8. x = 3, y = 6; 4.9. x = 16
, y = − 13 , z = − 5 ;
32 2
1
4.10. x = 3, y = 0, z = −1; 4.11. x1 = x
2 3
+ 1 , x2 =
2
3
2
− x3 ; 4.12. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0;
3
4.13. x = 0, y = −3, z = 4; 4.14. x = 5
z − 2, y =
5
1
5
− 2 z;
5
4.15. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0;
4.16. No tiene soluci´n;
o 4.17. x1 = −2, x2 = 5, x3 = 2, x4 = −1; 4.18. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0;
C´lculo Diferencial e Integral - Ecuaciones y sistemas.
a Farith Brice˜o
n
´
Ultima actualizaci´n: Febrero 2011
o e-mail : farith 72@hotmail.com
2