More Related Content Similar to Morelia garcia Similar to Morelia garcia (20) Morelia garcia1. Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Instituto universitario de tecnología
Antonio José de sucre
Ejercicios
Alumno
Morelia García CI:24.385.336
2. 1/ Hallar el área de la región encerradas por los gráficos
a) 푓(푥) = 푥2 − 4, 푔(푥) = 푥 − 4
y
y= x2 - 4
1 x
Y= x- 4
퐼푛푡푒푟푠푒푐푐푖표푛: 푥2 − 4 = 푋 − 4 → 푋2 − 푋 = 0
푋(푋 − 1) = 0
푋 = 0 ; 푋 = 1
1
퐴 = ∫ (푥 − 4) − ( 푥2
0
1
− 4) 푑푥 = ∫ 푋 − 4 − 푥2 + 4 푑푥
0
1
퐴 = ∫ 푋 − 푋2
0
푑푥 =
푥2
2
−
푋3
3
⃒ 푑푒 표 푎 1
퐴 =
12
2
−
13
3
표2
2
− [
−
표3
3
]
퐴 =
1
6
푈2
3. b) 푦 = 푥 3, 푦 = 4푥
푋3 = 4푋
푋3 − 4푋 = 0
푋 (푋2 − 4) = 0
푋 (푋 + 2)(푋 − 2) = 0
푋 = 0 ; 푋 = 2 ; 푋 = −2
Y=x3 Y=4x
-2 2 Y=
Solución:
퐴푇 = 2 퐴1
퐴1 → 0 ≤ 푋 ≤ 2; 푋3 ≤ 푌 ≤ 4푋
2
퐴1 = ∫ 4푋 − 푋3 푑푥
0
Integrando
퐴1 = 4
푋2
2
−
푋4
4
⃒ de 0 a 2
퐴1 = 2 (2)2 −
24
4
= 4 푢2
퐴푇 = 2 ∗ 4 푢2 ; 퐴푇 = 8 푢2
4. c) 푥 =
12
푦
, 푥 = 0, 푦 = 1, 푦 = 푒2
푋 =
12
푌
; 푋 = 0 ; 푌 = 0 ; 푌 = 푒2
Y
X=12/y
y=e2
y=1
x
Tipo II
퐴 = 1 ≤ 푌 ≤ 푒2 ; 0 ≤ 푋 ≤
12
푌
퐴 = ∫
12
푦
푒2
1
푑푦 = 12 ln〈푌〉 ⃒ 푑푒 1 푎 푒2
퐴 = 12 [푙푛 푒2 − ln(1)]
퐴 = 12 ∗ 2
퐴 = 24 푢2
5. d) 푓(푥) = tan
푥
2
, 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥 = 0, 푥 =
1
2
휋
A: Tipo I
0 ≤ 푋 ≤
휋
2
; 0 ≤ 푌 ≤ 푡푎푛
푋
2
y y=tan(x/2)
x=π/2 x
퐴 = ∫ 푡푎푛
푋
2
휋
2
0
푑푥 ; 퐶표푚표 ∫ 푇푎푛 퐾푥푑푥 =
1
퐾
ln 푆푒푐 퐾 푋 + 퐶
퐴 =
1
1
2
퐿푛 |푆푒푐
1
2
푥| ⃒ 푑푒 0 푎
휋
2
1
cos
퐴 = 2 [퐿푛 |
휋
4
| − Ln |
1
|]
cos(0)
퐴 = 2 퐿푛 |
1
√2
2
| = 2 퐿푛 2 = 퐿푛 √2
2
= 퐿푛 (2) 푢2
6. 2/ hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por
las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x
Solución
Método Disco
0 ≤ 푋 ≤
휋
4
; 0 ≤ 푌 ≤ cos 2푌
y y=cos2x
x
π/4
휋
4
푉 = 휋 ∫ (cos 2푋)2
0
푑푥 = 휋 ∫ [
1 + cos 4푋
2
]
휋
4
0
푑푥
푉 =
휋
2
∫
휋
4
0
푑푥 +
휋
2
휋
4
∫ cos 4푋
0
푑푥 =
휋
2
푋 +
휋
2
푠푒푛 4푋
4
⃒ 푑푒 0 푎
휋
4
푉 = [
휋
2
휋
4
(
) +
휋
8
푠푒푛 4
휋
4
] − [0 +
휋
8
푠푒푛 0] =
휋2
8
7. b) 푥 = 4푦, 푥 = √푦 3 , 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 8
Método Disco
y
1/8
-1/8
x=8
4푌 = √푌 3
(4푌)3 = √푌 3 3
64 푌3 = 푌
64 푌3 − 푌 = 0
푌 (64 푌2 − 1) = 0 → (푌 = 0) ; ( 푌 = −
1
8
) ; ( 푌 =
1
8
)
푉1 → −
1
8
≤ 푌 ≤ 0 ; 4푌 ≤ 푋 ≤ √푌 3
0
푉1 = 휋 ∫ ( √푌 3 − 8)2
−
1
8
− (4푌 − 8)2 푑푦
8. 푉1 = 휋 ∫ 푌
2
3
0
−
1
8
− 16 푌
1
3 + 64 − 16 푌2 + 64 푌 − 64 푑푦
푉1 = 휋 [
5
3
5
3
푌
− 16
4
3
4
3
푌
− 16
푌3
3
+ 64
푌2
2
] ⃒ 푑푒 −
1
8
푎 0
푉1 = 휋 {[0] − [
3
5
− (
1
8
5
⁄3
)
− 12 (−
1
8
4
⁄3
)
+ 32 (−
1
8
)2] −
−1
8
16 (
)3
3
}
푉1= 휋 [
3
160
+
3
4
−
1
96
−
1
2
] =
31
120
휋
푉2 → 0 ≤ 푌 ≤
1
8
; √푌 3 ≤ 푋 ≤ 4푌
1
8
푉2 = 휋 ∫ (4푌 − 8)2 − ( √푌 3 − 8)2
0
푑푦
푉2 = 휋 ∫ 16 푌2 − 64 푌 + 64 − 푌
2
3
1
8
0
− 16 푌
1
3 − 64 푑푦
푉2 = 휋 ∫ 16 푌2 − 64 푌 − 푌
2
3
1
8
0
− 16 푌
1
3 푑푦
푉2 = 휋 [16
푌3
3
− 64
푌2
2
−
5
3
5
3
푌
+ 16
4
3
4
3
푌
] ⃒ 푑푒 0 푎
1
8
푉2 = 휋 {
1
8
)3
3
16 (
1
8
− 32 (
)2 −
3
5
(
1
8
5
⁄3
)
1
8
+ 12 (
4
⁄3
)
− (0)}
푉2= 휋 [
1
96
−
1
2
−
3
160
+
3
4
] =
29
120
휋
푉푇=
31
120
휋 +
29
120
휋 =
휋
2
푢2
9. c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la
elipse
푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1
Capa Cilíndricas
Por Simetría
y
b
x
-a a
푉푇 = 2 푉1
푑표푛푑푒 푉1 푒푠푡푎 푑푎푑표 푝표푟
0 ≤ 푌 ≤ 푏 ; 0 ≤ 푋 ≤
푎
푏
√푏2 − 푌2
퐷푒푠푝푒푗푎푛푑표 푋:
푋2
푌2
= 1 −
푎2 푏2
푏2 − 푌2
푋2 = 푎2 [
푏2 ]
푎2
푏2 (푏2 − 푌2)) =
푋 = √(
푎
푏
√(푏2 − 푌2)
푉1 = 2휋 ∫ 푦 ∗
푎
푏
푏
0
√푏2 − 푌2 푑푦 = 2
푎
푏
푏
휋 ∫ 푦
0
√푏2 − 푌2 푑푦
Cambio de Variable
푢 = 푏2 − 푌2 ; 푑푢 = −2푌 푑푦 → −
푑푢
2
= 푌푑푦
푆푖 푌 = 푏 → 푢 = 0
푆푖 푌 = 0 → 푢 = 푏2
10. 푉1 = 2
푎
푏
휋 (
1
2
) ∫ 푢
1
2 푑푢 =
0
푏2
−
푎
푏
휋 [
3
2
3
2
푢
] 푑푒 푏2 푎 0
푽ퟏ = −
풂
풃
휋 ∗
2
3
[√03 − √(푏2)3] = −
풂
풃
휋 ∗
2
3
[−푏3] =
2
3
푎 푏2휋
푽푻 = ퟐ [
ퟐ
ퟑ
푎 푏2휋] =
4
3
푎 푏2휋
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.
푦 = 4 − 푥2, 푒푗푒 푥, 푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥 = 3
y
x
X=3
푆푖 푌 = 0 ; 4 − 푋2 = 0 → 푋2 = 4 → √푋2 = √4 → |푋| = 2 → (푋 = −2); (푋 = 2)
Radio 푅(푋) = 3 − 푋 푀é푡표푑표 푑푒 푐표푟푡푒푧푎푠 퐶푖푙푖푛푑푟푖푐푎
푏
푉 = 2 휋 ∫ 푅(푋)
푎
[퐹(푋) − 퐺(푋)] 푑푥
2
푉 = 2 휋 ∫ (3 − 푋)
−2
[(4 − 푋2) − 0] 푑푥
2
푉 = 2 휋 ∫ (3 − 푋) (4 − 푋2)
−2
푑푥
2
푉 = 2 휋 ∫ 12 − 3푋2 − 4푋 + 푋3
−2
푑푥
푉 = 2 휋 [12푋 − 3
푋3
3
− 4
푋2
2
+
푋4
4
] 푑푒 − 2 푎 2
11. 푉 = 2 휋 {[12(2) − 23 − 2(2)2 +
(2)4
4
] − [12(−2) − (−2)3 − 2(−2)2 +
(−2)4
4
] }
푉 = 2 휋 [12 − (−20)]
푉 = 64 휋 푢3
3/ Hallar la longitud de la curva dada
a) 푦 =
푥3
6
+
1
2푥
, 푑푒푠푑푒 푥 = 1 ℎ푎푠푡푎 푥 = 3
푏
퐿 = ∫ √1 + 퐹′푥2
푎
푑푥
y
1 2 3
Derivando
푦′ =
3푥2
6
+
1
2
−1
푥2 ) =
(
푥2
2
−
1
2푥2 =
2푥4 − 2
4푥2
2푥4 − 2
4푥2 )2
3
퐿 = ∫ √1 + (
1
푑푥
퐿 = ∫ √1 +
4푥8 − 8푥4 + 4
16푥4
3
1
푑푥
16푥4 − 4푥8 − 8푥4 + 4
퐿 = ∫ √
16푥4
3
1
푑푥
12. 퐿 = ∫
√4푥8 + 8푥4 + 4
4푥2
3
1
푑푥
퐿 = ∫
√(2푥4 + 2)2
4푥2
3
1
푑푥 = ∫
2푥4 + 2
4푥2
3
1
푑푥
퐿 = ∫
1
2
3
1
푥2 +
1
2
푥−2 푑푥 =
1
2
푥3
3
+
1
2
푥−1
−1
⃒푑푒 1 푎 3
퐿 =
1
6
푥3 −
1
2푥
⃒ 푑푒 1 푎 3
퐿 = [
1
6
33 −
1
2(3)
] − [
1
6
−
1
2
] =
14
3
b) 푦 = 푙푛푠푒푐푥, 푑푒푠푑푒 푥 = 0, ℎ푎푠푡푎 푥 =
휋
3
푦 = ln(sec 푥) 퐷푒푠푑푒 푥 = 0 ℎ푎푠푡푎 푥 =
휋
3
y
휋
3
퐿 = ∫ √1 + ((ln sec 푥)′)2
0
푑푥
퐿 = ∫ √1 + [
1
sec 푥
∗ (푆푒푐 푥 ∗ 푡푔푥)]
2
휋
3
0
푑푥
휋
3
퐿 = ∫ √1 + 푡푔2푥
0
푑푥
13. 휋
3
퐿 = ∫ √sec2 푥
0
푑푥
휋
3
퐿 = ∫ sec2 푥
0
푑푥 = 푙푛|푆푒푐 푥 ∗ 푡푔푥| 푑푒 표 푎
휋
3
1
푐표푠
퐿 = 푙푛 |
휋
3
+
푠푒푛
휋
3
푐표푠
휋
3
| − ln |
1
푐표푠0
+
푠푒푛 0
푐표푠0
|
퐿 = ln |
1
1
2
+
√3
2
1
2
| − ln(1)
퐿 = ln(2 + √3)