Ejercicios resueltos del libro de venero, vectores en el plano, suma y resta de vectores y sus demostraciones,Problemas resueltos del libro de venero, para estudiantes de ingeniería y matemáticas.

1. “AÑO DE LA UNIVERSALIZACIÓN DE LA SALUD "
DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE APURÍMAC
INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO
“JOSÉ MARÍA ARGUEDAS”
ANDAHUAYLAS
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
GEOMETRÍA II
INTRODUCCIÓN A VECTORES EN EL PLANO
PRESENTADO POR:
VILLAFUERTE CONTRERAS, Eles Raúl.
ANDAHUAYLAS, SAN JERÓNIMO.
2020

2. “ConoCeréis la verdad,
y
la verdad
os
hará libres”
Jesús de Nazaret.

3. VECTORES EN EL PLANO
I. ÁLGEBRA VECTORIAL
BIDIMENSIONAL
SERIE DE EJERCICIOS
1. Si
( ) ( ) ( )
( ) ( )1
2, 3 , 5,4 , 3,1 ,
1, 1 4,3 , encuentrao
b c
P y P
− − −
− −
= − = =
= − =
a
a) 𝒂̅ + 𝒃̅
SOLUCIÓN
− −
= +
= − +
= + − +
=
(2, 3) (5,4)
(2 5, 3 4)
(7,1).
a b
b) 𝒂̅ − 𝒃̅
SOLUCIÓN
(2, 3) (5,4)
(2 5, 3 4)
( 3, 7).
a b
− −
= −
= − −
= − − −
= − −
c) 𝟑𝒂̅ + 𝟒𝒃̅̅̅̅
3 4
3(2, 3) 4(5,4)
(6, 9) (20,16)
(6 20, 9 16)
(26,7).
a b
− −
= +
= − +
= − +
= + − +
=
d) 𝒙, 𝒔𝒊 𝟒𝒙̅ + 𝒂̅ = 𝟑𝒃̅
SOLUCIÓN
, 4 3
( , )
4( , ) (2, 3) 3(5,4)
(4 ,4 ) (2, 3) (15,12)
(4 2,4 3) (15,12)
4 2 15
4 3 12
4 13 Y 4 15
13 / 4 Y 15 / 4
x si x a b
Donde x x y
x y
x y
x y
x
y
x y
x
− − − −
−
= + =
=
= + − =
= + − =
= + − =
+ =
= 
− =
= =
 = =
e) 𝑷 𝒐 + 𝟐(𝑷 𝟏 + 𝑷 𝟎)
SOLUCIÓN
0 1 0
1 0
1 0
= +2( - )
=(1,-1)+2( - )
=(1,-1)+2 -2
(1, 1) 2(4,3) 2(1, 1)
(1, 1) (8,6) ( 2,2)
(9,5) ( 2,2)
(7,7)
p p p
p p
p p
= − + − −
= − + + −
= + −

f) (𝑷 𝟏 + 𝑷 𝟎)/𝟐
SOLUCIÓN
 
 
1( ) / 2
1
(1, 1) (4,3)
2
1
(5,2)
2
5
( ,1).
2
oP P+
= − +
=


4. g) 𝑷 𝒐 + 𝒕𝒂̅ 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 =
𝟎, ±𝟏, ±𝟐, ±𝟑
SOLUCIÓN
0
0
0
0
0
0
(1, 1) (2, 3)
(1, 1) (0,0)
(1, 1).
1
(1, 1) 1(2, 3)
(1, 1) (2, 3)
(3, 4).
1
(1, 1) 1(2, 3)
(1, 1) (2, 3)
( 1, 2).
2
(1, 1) 2(2, 3)
(1, 1) (4, 6)
(5, 7).
2
t
p ta
o
t
p ta
t
p ta
t
p ta
t
p ta
→ =
= +
= − + −
= − +
= −
→ =
= +
= − + −
= − + −
= −
→ = −
= +
= − − −
= − − −
= − −
→ =
= +
= − + −
= − + −
= −
→ = −
= +
0
(1, 1) 2(2, 3)
(1, 1) ( 4,6)
( 3,5).
3
(1, 1) 3(2, 3)
(1, 1) (6, 9)
(7, 10).
t
p ta
= − − −
= − + −
= −
→ =
= +
= − + −
= − + −
= −
0
3
(1, 1) 3(2, 3)
(1, 1) ( 6,9)
( 5,8).
t
p ta
→ = −
= +
= − − −
= − + −
= −
2. Demuestre que si 𝑡 ≠ 0
entonces 𝑠𝑎̅ + 𝑡𝑥̅ = 𝑏̅ tiene
única solución
𝒙̅ =
𝟏
𝒕
(𝒃̅ + 𝒔𝒂̅)
SOLUCIÓN
𝒔, 𝒕 = 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 ó 𝒑𝒂𝒓á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐
𝒂̅ = (𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐)
𝒙̅ = (𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)
𝒃̅ = (𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐)
𝒔((𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐) + 𝒕(𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)
= (𝒃 𝟏, 𝒃 𝟐)
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
1
( )
1
( )
1
( , ) ( )
sa sa tx tx b b
sa tx sa tx b b
b sa tx
b sa tx
tx b sa
tx b sa
x b sa
t
x b sa
t
x x x b sa
t
+ =
+ + =
= +
= +
= −
= +
= −
= +
= = +

5. 3. Resolver para el vector
incógnita 𝑥̅:
a) 2(0,3) + 8𝑥̅ = (1, −6)
SOLUCIÓN
1 2
1 2
1 2
1
2
1
2
( , )
2(0,3) 8 (1, 6)
(0,6) (8 ,8 ) (1, 6)
(8 ,6 8 ) (1, 6)
8 1
6 8 6
1
8
12
8
1 12
( , )
8 8
x x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
= =
= + = −
= + = −
= + = −
=

+ = −
→ =
−
→ =
−
=
b) −3(1,3) + 2𝑥̅ = 5(0, −2) + 4𝑥̅
SOLUCIÓN
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
2
1
2
( , )
( 3, 9) 2 (0, 10) 4
( 3, 9) (2 ,2 ) (0, 10) 4( , )
( 3 2 , 9 2 ) (4 , 10)
2 3
10 9
3
2
1
3
( , 9)
2
x x x
x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
= =
= − − + = − +
= − − + = − +
= − + − + = −
= −

− = −
−
→ =
→ = −
−
= −
c) 3(𝑥̅ − (8, −2)) = 6(7,0)
SOLUCIÓN
 
 
 
1 2
1 2
1 2
( , )
3 (8, 2) 6(7,0)
3 ( , ) (8, 2) (42,0)
3 ( 8, 2) (42,0)
(22, 2)
x x x
x
x x
x x
x
= =
= − − =
= − − =
= − + =
 = −
 1 2
1
2
1
2
( 8, 2) (12,0)
8 14
2
22
2
x x
x
x
x
x
= − + =
− =

= −
→ =
→ = −
4. En cada una de las siguientes
relaciones indicar, si existe el
número real 𝑟: que satisface.
a) (3, −2) = (6,4)
SOLUCIÓN
1
1 2
1
2 2
1 2
(3, 2) (6,4)
(3, 2) (6 ,4 )
3 6 =
2 4
es real.
r
r r
r r
o
r r
r r no
−
− =
− =
= →


− = → =
  
b) (3, −2) = (−6,4)
SOLUCIÓN
1
1 2
1
2 2
1 2
(3, 2) ( 6,4)
(3, 2) ( 6 ,4 )
3 6 =-
2 4
es real.
r
r r
r r
o
r r
r r
− = −
− = −
= − →


− = → = −
 = 
c) 𝑟(4,2) + 3(4, −2) = 2(6, −3)
SOLUCIÓN
1
2
1 2
(4,2) 3(4, 2) 2(6, 3)
(4 ,2 ) (12, 6) (12, 6)
(4 12,2 6) (12, 6)
4 12 12 =0
2 6 6 0
es real.
r
r r
r r
r r
o
r r
r r
+ − = −
+ − = −
+ − = −
+ = →


 − = − → =
 = 

6. d) 2𝑟(4,6) + 3(−2,4) =
2(−3,6) + 4𝑟(2,3)
SOLUCIÓN
1
2
1 2
2 (4,6) 3( 2,4) 2( 3,6) 4 (2,3)
(8 ,12 ) ( 6,12) ( 6,12) (8 ,12 )
(8 ,12 ) ( 6,12) ( 6 8 ,12 12 )
(8 6,12 12) ( 6 8 ,12 12 )
8 6 6 8 =0
12 12 12 12 0
es real.
r r
r r r r
r r r r
r r r r
r r r
o
r r r
r r
+ − = − +
+ − = − +
+ − = − + +
− + = − + +
− = − + →


 + = + → =
 = 
5. Hallar los pares de los
números reales 𝑟 𝑦 𝑠: tales
que.
a) 𝑟(3, −2) + 5(6,4) = 0̅
SOLUCIÓN
(3, 2) (6,4) 0
0 (0,0)
(3 , 2 ) (6,4) (0,0)
(3 , 2 ) (6 ,4 ) (0,0)
(3 6 , 2 4 ) (0,0)
r s
r r s
r r s s
r s r s
− + =
=
− + =
− + =
+ − + =
3 6 0
2 4 0
6 12 0 2
6 12 0 3
0 24s=0
s=0
r=0
0.
r s
r s
r s x
r s x
s r
+ =

− + =
+ = →

− + = →
+
→
→
 = =
b) 𝑟(3, −2) + 5(6, −4) = 0̅
SOLUCIÓN
(3, 2) (6, 4) 0
0 (0,0)
(3 , 2 ) (6, 4) (0,0)
(3 , 2 ) (6 , 4 ) (0,0)
(3 6 , 2 4 ) (0,0)
3 6 0
2 4 0
r +2s =0
6 12 0 2
6 12 0 3
0 0=0
s=0
r=0
r s
r r s
r r s s
r s r s
r s
r s
r s x
r s x
− + − =
=
− + − =
− + − =
+ − − =
 + =

− − =
+ = →

− − = →
+
→
→
 ( 0).
Para la ecuación : r +2s =0
Todos los s r= =
c) 𝑟(8, −2) + 𝑠(−12,3) = 0̅
SOLUCIÓN
(8, 2) ( 12,3) 0
0 (0,0)
(8 , 2 ) ( 12 ,3 ) (0,0)
(8 12 , 2 3 ) (0,0)
8 12 0
2 3 0
6r - 9s =0
2r - 3s =0
8 12 0
8 12 0 4
0 0 = 0
s=0
r
r s
r r s s
r s r s
r r
r s
r s
r s x
− + − =
=
− + − =
− − + =
 − =

− + =
− =

− + = →
+
→
→ =0
( 0).
Para la ecuación : 2r - 3s =0
Todos los s r = =

7. d) 𝑟(5,1) + 𝑠(3,5) = (5,5)
SOLUCIÓN
10
11
10
11
10
11
5
11
(5,1) (3,5) (5,5)
(5 , ) (3 ,5 ) (5,5)
(5 3 , 5 ) (5,5)
5 3 5
5 5
5 3 5
-5 25 25 ( 5)
22 20
s =
5 3( ) 5
s =
r =
r s
r r s s
r s r s
r s
r s
r s
r s x
s
r
+ =
+ =
+ + =
 + =

+ =
 + =

− = − → −
− = −
→ + =
e) 𝑟(4,3) + 𝑠(−2,6) = (4, −57)
SOLUCIÓN
(4,3) ( 2,6) (4, 57)
(4 ,3 ) ( 2 ,6 ) (4, 57)
(4 2 ,3 6 ) (4, 57)
4 2 4
3 6 57
12 6 12 3
3 6 57
15 45
r = -3
4 2 4
4( 3) 2 4
-12-2s=4
r s
r r s s
r s r s
r s
r s
r s x
r s
r
r s
s
+ − = −
+ − = −
− + = −
 − =

+ = −
 − = →

+ = −
= −
→ − =
− − =
s=-8
s = -8
r = -3
f) 𝑟(3, −1) + 𝑠(−6,2) = (2,2)
SOLUCIÓN
(3, 1) ( 6,2) (2,2)
(3 , ) ( 6 ,2 ) (2,2)
(3 6 , 2 ) (2,2)
3 6 2
2 2
2 4 4
3 6 2
3 6 6 3
s=0
s= 0
la ecuación 4 6 2
r s
r r s s
r s r s
r s
r s
r s
r s
r s x
Para r s
− + − =
− + − =
− − + =
 − =

− + =
− =
 − =

− + = →
→ − =
6. Determinar la abscisa del
punto 𝑀, sabiendo que su
ordenada es igual a 4 y que
su distancia al punto 𝑁 =
(1, −2) es igual a 10
unidades.
SOLUCIÓN
2 2 2
2
2
2
(10) (4 2) ( 1)
100 36 2 1
100 36 1 2
0 2 63
7=7x
-9=-9x
-2x
7 0 x=9
x
x x
x x
x x
x
x
x
= + + −
= + − +
− − = −
= − −
 = −

8. 7. Compruebe si los siguientes
triángulos son isósceles ó
rectángulos, siendo sus
vértices
a) (−3,4)(4,3)(0,0)
b) (−4, −2)(−3,5)(0,1)
RESOVIENDO
a) (−3,4)(4,3)(0,0)
SOLUCIÓN
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
PM=M-P= ( 3 0) (4 0)
M-P= ( 3) (4)
PM 5
PA=A-P= (4 0) (3 0)
M-P= (4) (3)
PM 5
AM=M-A= ( 3 4) (4 3)
M-P= ( 7) (1)
PM 5 2
Comprobando, si estriángulo rectángulo
(
− + + +
− +
=
+ + +
+
=
− − + −
− +
=
2 2 2
5 2) 5 5
50 50
Es un triángulo rectángulo,y es
isosceles.
= +
=

b) (−4, −2)(−3,5)(0,1)
SOLUCIÓN
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
PA=A-P= ( 3 0) (5 1)
A-P= ( 3) (4)
PA 5
PM=M-P= ( 4 0) ( 2 1)
M-P= (4) ( 3)
PM 5
MA=A-M= ( 3 4) (5 2)
A-M= (1) (7)
MA 5 2
Comprobando, si estriángulo rectángul
− + + −
− +
=
− − + − −
+ −
=
− + + +
+
=
2 2 2
o
(5 2) 5 5
50 50
Es un triángulo rectángulo,y es
isosceles.
= +
=

8. Encuentre en el eje de las
ordenadas un punto que diste
5 unidades del punto
𝑃 = (−3,1).

9. SOLUCIÓN
2 2 2
2
2
2
(5) (0 3) ( 1)
25 9 2 1
15 2
0 2 15
y 3= 3y
y -5=-5y
-2y
3 ó x=5
Los puntos (0,-3) ó (0,5).
y
y y
y y
y y
y
= + + −
= + − +
= −
= − −
 = −

9. Halle en el eje de las
ordenadas un punto
equidistante del origen de
coordenadas y de 𝑃 =
(3, −5).
SOLUCIÓN
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
BC=C-B= (0 0) (0 )
C-B= ( )
BC ( )
BP=P-B= (3 0) (5 )
P-B= 9 25 10
equidistan
BP
( ) = 9 25 10
y =9 25 10
10y=-34
17
y= , (0,
5
y
y
y
y
y y
BC
y y y
y y
punto
+ + −
=
− + −
+ + +
=
+ + +
+ + +
−
 −17 / 5).
10.Encuentre en el eje de las
abscisas un punto
equidistante de los puntos
𝑃 = (−1,0) 𝑦 𝑄 = (7, −4).

10. SOLUCIÓN
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
RP=P-R= ( 1) (0)
P-R= ( 1)
RQ=Q-R= ( 7) (4)
equidistan
RP
( 1) = ( 7) (4)
x +2x+1= 14 65
2x+1=-14x+65
16x=64
x=4
y=4, en el
x
x
x
RQ
x x
x x
+ +
+
− +
=
+ − +
− +
 (4,0).punto
BIBLIOGRAFÍA
➢ J. Armando Venero B. (2009),
Ed. Gemar, Lima -Perú.