Derivadas por teorema

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
INGENIERIA EN PROCESOS QUÍMICOS
P.N.F. TRAYECTO I
                                         CÁTEDRA: MATEMÁTICA

1

http://www.damasorojas.com.ve
damasorojas8@gmail.com,damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com

TEOREMAS FUNDAMENTALES
Teorema 1: Derivada de una constante. ( ) '( ) 0f u a f u= ⇒ =
Teorema 2: Derivada de una variable.     ( ) '( ) 1f u u f u= ⇒ =
Teorema 3: Derivada de la potencia de una Variable. 1( ) '( )n nf u u f u nu −= ⇒ =
Teorema 4: Derivada para la suma algebraica de funciones.
( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f u F u G u f u F u G u= ± ⇒ = ±
Teorema 5: Derivada del producto de dos funciones
( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f u F u G u f u F u G u F u G u= ⇒ = +
Teorema 6: Derivada  de un cociente de funciones.
( ) '( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ; ( ) 0
2( ) ( )
F u F u G u F u G u
f u f u G u
G u G u
−
= ⇒ = ≠

Teorema 7: Derivada de una función Compuesta. Sea )()( xguyufy == que
determinan una función compuesta )).(( xgfy = Si g es diferenciable en x y ƒ es
diferenciable en   )(xgu = , entonces: uDyDyD xxx =
Una de las aplicaciones principales del teorema anterior es para desarrollar otras fórmulas
de derivación, por ejemplo:
Regla  de la potencia para funciones.
( ) [ ( )] '( ) [ ( )] '( )nf u F u f u n F u F u= ⇒ =

P.N.F. TRAYECTO I

2


DERIVAR Y SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2 4
2 4 3 3
2 3
2 3 3 2
2
1) 3 5
3 5 3.2 1 0 6 1
2) ( ) 1 3 2
( ) 1 3 2 0 3.2 2.4 6 8
3) 2 3 3 2
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 12 5
4) ( ) 2 1 2
2 1 2 2 2 1
2 1 3
f x x x
f x x x x x
g t t t
g t t t t t t t
f x x x
f x x x x x x x x
g x x x
g x x x x x
g x x
= − +
′ ′ ′′ = − + = − + = −
= − −
′ ′′′ = − − = − − = − −
= + −
′ ′′ = + − + − + = + + − = +
= − +
′ ′′ = − + + + −
′ = − ( ) ( )( ) ( )2 3 4 2
2 4 10 3 8x x x g x x x x′+ + ⇒ = − +
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
2
2 4
2 4 3 3
3 2
3
5) 3 5
3 5 3(2 ) 1 0 6 1
6) ( ) 1 3 2
( ) 1 3 2 0 3(2 ) 2(4 ) ( ) 6 8
7) 2 3 3 2
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 12 5
8) ( ) 3 3 1
( ) ( )
f x x x
f x x x x f x x
g t t t
g t t t t t g t t t
f x x x
f x x x x x f x x x f x x
h x x x x
h x x
= − +
′ ′ ′′ ′= − + = − + ⇒ = −
= − −
′ ′′′ ′= − − = − − ⇒ =− −
= + −
′ ′′ ′ ′= + − + − + ⇒ = + + − ⇒ = +
= + + +
′ ′= + 2 2
3( ) 3( ) (1) ( ) 3 6 3x x h x x x′ ′ ′ ′+ + ⇒ = + +

P.N.F. TRAYECTO I

3


( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 3
2 3 3 2 2 2 3
4 2
9) ( ) 2 1 2
2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 4
10 3 8
10) ( ) (4 7).(4 7)
( ) (4 7)(4 7) (4 7)(4 7) ( ) 4(4 7) 4(4 7)
( ) 8(4 7) ( ) 32 56
g x x x
g x x x x x g x x x x x
g x x x x
g t t t
g t t t t t g t t t
g t t g t t
= − +
′ ′′ ′= − + + + − ⇒ = − + +
′ = − +
= − −
′ ′ ′ ′= − − + − − ⇒ = − + −
′ ′= − ⇒ = −

( ) ( )
4 4 2
2
4 2 3 3 3
3
11) ( ) (2 1)
( ) ( ) (2 1) (2 1) ( ) (1)(2 1) (2) ( ) 4 1
1
12) ( ) 4 ( ) 4
2
( ) 4 ( ) 4(4 ) ( 2)( ) ( ) 16
f y y y
f y y y y y f y y y f y y
f x x f x x x
x
f x x x f x x x f x x
x
−
− −
= −
′ ′ ′ ′ ′= − + − ⇒ = − + ⇒ = −
= − ⇒ = −
′ ′′ ′ ′= − ⇒ = − − ⇒ = +

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
22 2 2 2 2
2
2 2 2
22 2 2
22
1
13) ( )
4
0(4 ) 1(4 ) 2 2
( ) ( ) ( )
(4 ) (4 ) 4
3
14) ( )
1
(3) 1 3( 1) 0( 1) 3 2 1
( ) ( )
( 1) 1
3(2 1)
( )
1
f t
t
t t t t
f t f t f t
t t t
h x
x x
x x x x x x x
h x h x
x x x x
x
h x
x x
=
−
′− − − −
′ ′ ′= ⇒ = − ⇒ =
− − −
=
+ +
′ ′+ + − + + + + − +
′ ′= ⇒ =
+ + + +
− +
′ =
+ +

P.N.F. TRAYECTO I

4


( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
2 3 2
2 3 2 2 3 2 3 2 2 2
4 3 4 3 2
1
15) ( ) ( )
2 21
(1) 2 (1)( )( 2) ( 2) 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
16) ( ) 1 1
( ) 1 1 1 1 ( ) 2 0 1 1 3 2 0
( ) 2 2 2 3 2 3 2
x
f x f x
x
x
x xx x x x
f x f x f x
x x x
g t t t t
g t t t t t t t g t t t t t t t
g t t t t t t t t g
= ⇒ =
−−
− −′ ′− − − −
′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =
− − −
= + + +
′ ′′ ′= + + + + + + + ⇒ = + + + + + + +
′ ′= + + + + + + ⇒
( )( ) ( )( )
( ) ( )
4 3 2
3 4
3 4 3 4
2 4 3 3
6 3 2 6 3 6 3 2
( ) 5 4 3 4
17) ( ) (2 3)(17 6 2)
( ) (2 3)(17 6 2) (2 3)(17 6 2)
( ) 6 17 6 2 2 3 68 6
( ) 102 36 12 136 216 18 ( ) 238 252 12 18
t t t t t
f x x x x
f x x x x x x x
f x x x x x x
f x x x x x x f x x x x
= + + +
= − − +
′ ′ ′= − − + + − − +
′ = − + + − −
′ ′= − + + − + ⇒ = − + +
( )
1 2
2
32
2 3 3
3 2 5 4 3 2
4 3 2
2
2
1 1
18) ( ) ( )
2 3 2 3
2 ( )( 1)( ) 1 2 4 3
( ) ( ) ( )
2 3 2 3 6
19) ( ) (6 2 )( 2 3) ( ) 6 12 16 4 6
( ) 30 48 48 8 6
2
20) ( )
( 4)
(2 ) ( 4) (2
( )
z z
g z g z
z z
zz z
g z g z g z
z z z
g y y y y y g y y y y y y
g y y y y y
x
f x
x
x x x
f x
− −
−−
= − ⇒ = −
−− −
′ ′ ′= − ⇒ = − + ⇒ =
= − + + ⇒ = + + − −
′ = + + − −
=
+
′ + −
′ =
2 2
2 2 2 2
)( 4) (2)( 4) (2 )(2 )
( )
( 4) ( 4)
x x x x
f x
x x
′− + −
′⇒ =
+ +

P.N.F. TRAYECTO I

5


( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
22 2 2
(2 8) (4 ) 2 8 4 2 8
( ) ( ) ( )
( 4) ( 4) ( 4)
2(4 )
( )
( 4)
( 1)
21) ( )
( 2 1)
( 1) ( 2 1) ( 1)( 2 1) (1)( 2 1) ( 1)(2 2)
( )
( 2 1) 1
(
( )
x x x x x
f x f x f x
x x x
x
f x
x
t
g t
t t
t t t t t t t t t t
g t
t t t
t
g t
+ − + − − +
′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =
+ + +
−
′ =
+
−
=
+ +
′ ′− + + − − + + + + − − +
′ = =
+ + ⎡ ⎤+
⎣ ⎦
′ =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4
2 2
4 4 34
2 1) (2 2 2 2) 2 1 2 2 2 2
( )
1 1
2 3 ( 2 3) ( 1)( 3) 3
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)1 1 1
t t t t t t t t t
g t
t t
t t t t t t t
g t g t g t g t
tt t t
+ + − + − − + + − − + +
′⇒ =
+ +
− + + − − − − + − −
′ ′ ′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
++ + +

( )
( )
( )
3 2
3 2 3 2
2
2 3 2
2
3 2 2 3 2
2
3 2
(2 3 17)
22) ( )
2 5
(2 3 17) (2 5) (2 5)(2 3 17)
( )
2 5
(6 2 3)(2 5) (2 3 17)(2)
( )
2 5
(12 30 4 10 6 15) (4 2 6 34)
( )
(2 5)
12 26 16 15 4
( )
x x x
h x
x
x x x x x x x x
h x
x
x x x x x x
h x
x
x x x x x x x x
h x
x
x x x x
h x
+ − +
=
−
′ ′+ − + − − − + − +
=
−
+ − − − + − +
=
−
− + − − + − + − +
=
−
− − + −
=
( ) ( )
3 2 3 2
2 2
2 6 34 8 28 10 19
2 5 2 5
x x x x x
x x
− + − − − −
=
− −

P.N.F. TRAYECTO I

6


( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3
3 2 3 3 3
2 2 23 3 3
3 2
2 3 2 3 2 3 2
2 2
3 2
3
23) ( )
7 5
3 7 5 3 3 7 3 21 15 9 21 6 15
( ) ( )
7 5 7 5 7 5
2
24) ( )
2 3
(3 4 )(2 3) ( 2 )(2) (6 17 12 ) (2 4 )
( )
(2 3) (2 3)
4 13
( )
x
g x
x x
x x x x x x x x x x
g x g x
x x x x x x
x x
g x
x
x x x x x x x x x x
g x
x x
x x
g x
=
+ −
+ − − + + − − − +
′ ′= = ⇒ =−
+ − + − + −
−
=
−
− − − − − + − −
′ = =
− −
−
′ = 2
12
(2 3)
x
x
+
−
( ) ( )
2
4 2
4 2 2 3 5 3 5 3
2 42 22
5 4 2 2 2
2 4 4 4 2 4 2 3
25) ( )
2 1
(2 )( 2 1) ( )(4 4 ) 2 4 2 4 4
( ) ( )
11
2 2 2 ( 1) 2 ( 1)( 1) 2 ( 1)
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( 1) ( 2) ( 1)
t
f t
t t
t t t t t t t t t t t
f t f t
tt
t t t t t t t t t
f t f t f t f t
t t t t
=
+ +
+ + − + + + − −
′ ′= ⇒ =
⎡ ⎤ ++⎢ ⎥⎣ ⎦
− − + − −
′ ′ ′ ′= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
+ + + +
5 3
6 4
4 2 6 4 5 3 5 3
6 4 2
10 8 6 4 2 10 8 6 5 3
6 4 2
10 8 6 4 2 10 8 6 5 3
6 4 2
1
26) ( )
1
(5 3 )( 1) ( 1)(6 4 )
'( )
( 1)
(5 8 3 5 3 ) (6 10 4 6 4 )
( )
( 1)
5 8 3 5 3 6 10 4 6 4
( )
( 1)
( )
x x
f x
x x
x x x x x x x x
f x
x x
x x x x x x x x x x
f x
x x
x x x x x x x x x x
f x
x x
f x
+ −
=
+ +
+ + + − + + +
=
+ +
+ + + + − + + − −
′ =
+ +
+ + + + − − − + +
′ =
+ +
′
10 8 6 5 4 3 2
6 4 2
2 6 5 4 3
( 1)
x x x x x x x
x x
− − − + + + +
=
+ +

P.N.F. TRAYECTO I

7


2 2 2
2
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2
2
2 2
1 3 1 4 1
27) ( )
1 3 3 ( 1) (3 3 )
(8 )(3 3 ) (4 1)(6 3) 24 24 24 12 6 3
( ) ( )
(3 3 ) (3 3 )
12 6 3
( )
(3 3 )
x x x x x
f x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
f x f x
x x x x
x x
f x
x x
+ + − −
= + = =
− − −
+ − − − − − + + −
′ ′= ⇒ =
− −
− + −
′ =
−
2
2
2 2
2 2 2 2
28) ( )
4
(2 )( 4) ( )(2 ) 8
( ) ( )
( 4) ( 4)
t
u t
t
t t t t t
u t u t
t t
=
−
− −
′ ′= ⇒ = −
− −
( )
3
2
3 2 3 2 2 2 3
2 2 2 2
4 2 2 4 2 4 2
22 2
4 5
29) ( )
( 9)
( 4 5)( 9) ( 4 5)( 9) (3 4)( 9) ( 4 5)(2 )
( ) ( )
( 9) ( 9)
3 27 4 36 2 8 10 31 10 36
( ) ( )
( 9) 9
x x
f x
x
x x x x x x x x x x x
f x f x
x x
x x x x x x x x x
f x f x
x x
− +
=
+
′− + + − − + + − + − − +
′ ′= ⇒ =
+ +
+ − − − + − + − −
′ ′= ⇒ =
+ +

( ) ( )
2
2 2
2 2
30) ( )
1
(2 )( 1) (1) 2
( ) ( )
1 1
x
f x
x
x x x x x
f x f x
x x
=
−
− − −
′ ′= ⇒ =
− −

2 2
3 2
31) ( )
3 2
(3)(3 2) (3 2)(3) 12
( ) ( )
(3 2) (3 2)
x
f x
x
x x
f x f x
x x
−
=
+
+ − −
′ ′= ⇒ =
+ +

P.N.F. TRAYECTO I

8


2
2
2 2 2
2 2 2 2
3
32) ( )
1
(6 )( 1) (3 )(2 1) 3 6
( ) ( )
( 1) ( 1)
x
f x
x x
x x x x x x x
f x f x
x x x x
=
+ +
+ + − + +
′ ′= ⇒ =
+ + + +
2
2
2 2 2 2
6
33) ( )
1
0(1 ) 6(2 ) 12
( ) ( )
(1 ) (1 )
f x
x
x x x
f x f x
x x
=
+
+ −
′ ′= ⇒ =
− −
4 2
3 2
34) ( ) 5 15 +4
( ) 20 30 ( ) 10 (2 3)
f x x x
f x x x f x x x
= −
′ ′= − ⇒ = −
3
2
2 2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
35) ( )
3
3 ( 3) (2 ) (3 9 2 ) ( 9)
( ) ( ) ( )
( 3) ( 3) ( 3)
x
f x
x
x x x x x x x x x
f x f x f x
x x x
=
+
+ − + − +
′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =
+ + +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
43
3 33 2 3 2
4
36) ( )
4
4( 4) 4 (2 ) 4 16 8 ) 4(4 )
( ) ( ) ( )
( 4) ( 4) ( 4)
37) 3 1
´ 4 3 1 3 3 ´ 12 3 1 1
x
f x
x
x x x x x x
f x f x f x
x x x
f x x x
f x x x x f x x x x
=
+
+ − + − −
′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =
+ + +
= − +
= − + − ⇒ = − + −

( )
( ) ( ) ( )
2
1
2 2
2
38) 3 4
1 2
´ 3 4 4 2 ´( )
2 3 4
f x x x
x
f x x x x f x
x x
−
= + −
−
= + − − ⇒ =
+ −

P.N.F. TRAYECTO I

9


( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
5
5 44 55
5 10
4 4 4
10 6
2
2
21
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 32
39) ( )
1
1 5 5 1
( ) ( )
1 1
1 5 1 5
( ) ( )
1 1
40) ( )
1 4
4
1 1 4
1 4 1 4 8 1 42
1 4 1 4
1 4 4 1
1 4 1 4 1 4
x
f x
x
x x x xx
f x f x
x x
x x x x x
f x f x
x x
w
f w
w
w
w
w w w w wdf df
dw w dw w
w wdf df
dw dww w w
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠
+ − +
′= ⇒ =
+ +
+ + −
′ ′= ⇒ =
+ +
=
−
− +
− − − − −
= ⇒ =
− −
− +
= ⇒ =
− − −
( ) ( )
2
3 2
41) ( )
2 3
(2 3)3 (3 2)2 6 9 6 4 5
( ) ( ) ( )
2 2(2 3) 2 3 2 3
r
f r
r
r r r r
f r f r f r
r r r
+
=
+
+ − + + − −
′ ′ ′= ⇒ ⇒ =
+ + +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
22 2 2
2
2 2 2
42) ( ) 1 2 2
1 2 2
( ) 2 2
2 2 2
2 2 11 2 4 3
( ) 2 2
2 2 2 2 2 2
f x x x x
x x
f x x x
x x
x x xx x x
f x x x
x x x x x x
= − − +
− −
′ = − + +
− +
− + + −− − +
′ = − + + = =
− + − + − +

P.N.F. TRAYECTO I

10


( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3
2
2 2 3 2 2
2 2 2 2
4 32 3
3 32 3
1
43) ( )
1
1 11 1
2 1 12 1 2 1
´( )
1 1
1 1 1
´( ) ´( )
2 1 1 1 1
44) ( )
3
3 ( 3) (2 ) ( 9)
´( ) ´( )
( 3) ( 3)
45) ( ) 3 2 5
´( ) 4 3 2 2 5 3 6
x
f x
x
x xx x
x xx x
f x
x x
x x
f x f x
x x x x
x
f x
x
x x x x x x
f x f x
x x
f x x x
f x x x x x
−
=
+
+ − −+ −
−
− +− +
= =
+ +
+ − +
= ⇒ =
+ − + −
=
+
+ − +
= ⇒ =
+ +
= + −
= + − + ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 42 3 2
2 33 2 3 2
2 33 2 3
2 5 3
´( ) 2 2 5 3 4 2 5 9 3
´( ) 2 2 5 3 17 27 20
x x
f x x x x x x x
f x x x x x x
− +
⎡ ⎤= − + − + +⎣ ⎦
= − + + −
[ ]
2 3
2 3 3 2 2
2
2 2 2 2
46) ( ) ( 1) ( 2)
´( ) ( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2) 3 ( 1) ( 2)
´( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 2) 3 ( 1)
´( ) ( 1)( 2) 6 10 2 ´( ) 2( 1)( 2) 3 5 1
f x x x x
f x x x x x x x x x
f x x x x x x x x x
f x x x x x f x x x x x
= − −
= − − + − − + − −
= − − − − + − + −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − + ⇒ = − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2
2 2 3 3
47) ( ) 10 ( 1)
´( ) 30 ( 1) 20 ( 1) ´( ) 10 ( 1)(5 3)
f x x x
f x x x x x f x x x x
= −
= − + − ⇒ = − −

P.N.F. TRAYECTO I

11


2
2 2 1 2 2 1 2 2 2
2
2 1 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 2 4
48) ( ) 4
´( ) 4 (4 ) ( 2 ) ´ ) (4 ) 4
2
2 2
´ ) 2(4 ) 2 ´ )
4
36
49) ( )
(9 )
36(9 ) 36 4 (9 ) 36(9 ) 9 4
´( ) ´( )
(9 ) (9 )
f x x x
x
f x x x x f x x x x
x
f x x x f x
x
x
f x
x
x x x x x x x
f x f x
x x
f
− −
−
= −
⎡ ⎤= − + − − ⇒ = − − −⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⇒ =⎣ ⎦
−
=
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ =
− −
2
2 3
1
2 2 2
2
2
108 3
´( )
(9 )
50) (3 2)
3
( 1)(3 2) (3 2) ( 1)(3 2) (3) 3(3 2)
(3 2)
51) ( ) (4 7) (4 7)(4 7).
( ) (4 7)(4 7) (4 7)(4 7) 4(4 7) 4(4 7) ( ) 8(4
x
x
x
y x
dy dy dy dy
x x x x
dx dx dx dx x
g t t t t
g t t t t t t t g t
−
− − −
⎡ ⎤+⎣ ⎦=
−
= −
′= − − − ⇒ = − − ⇒ = − − ⇒ = −
−
= − = − −
′ ′ ′ ′= − − + − − = − + − ⇒ =
( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
3 5
2 2
3
2
33
3 3 2
7)
52) ( ) 1
1 1 1
1 1 ( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
( 1)( 1)(1) ( 1)( 1)(1) ( 1)( 1)(1) 3( 1)
1
53) ( )
3 3(3
( ) ( ) ( ) ( ) (3 1) ( )
2
t
h x x
h x x x x
h x x x x x x x x x x
h x x x x x x x h x x
f x
x x
f x x x f x x x x f x
− −
−
= +
= + + +
′ ′ ′ ′= + + + + + + + + + + +
′ ′= + + + + + + + + ⇒ = +
=
−
′ ′= − ⇒ = − − − ⇒ = −
2
3 5 2
1)
2( )
x
x x
−
−

P.N.F. TRAYECTO I

12


( )
1 3 1 5
-2 3 1 5 -4 5 1 3
2 3 4 5 2 3 4 5
5
4 4
2 3
54) ( ) (2 1) (3 2)
2 3
( ) (2 1) (3 2) (3 2) (2 1)
3 5
10(3 2) 9(2 1) 48 11
( ) ( )
15(2 1) (3 2) 15(2 1) (3 2)
55) (3 4)
5(3 4) 3 15(3 4)
56) ( 3 4)
f x x x
f x x x x x
x x x
f x f x
x x x x
y x
dy dy
x x
dx dx
y x x
dy
dx
= + −
′ = + − + − +
− + + −
′ ′= ⇒ =
+ − + −
= +
= + ⇒ = +
= + +
2 2 2 2 2
3 4
3 5 3 3 5 2 2 3 5
2
3 5
4 7
4 7 4 7
3( 3 4) ( 3 4) 3( 3 4) (2 3)
57) ( ) (7 2 )
( ) 4(7 2 ) (7 2 ) 4(7 2 ) ( 6 ) 24 (7 2 )
24
( )
(7 2 )
58) ( ) (2 ) (3 )
( ) ((2 ) ) (3 ) (2 ) ((3 ) )
( )
dy
x x x x x x x
dx
f x x
f x x x x x x x
x
f x
x
f x x x
f x x x x x
f x
−
− − −
′= + + + + ⇒ = + + +
= −
′ ′= − − − = − − − = −
′ =
−
= − +
′ ′′ = − + + − +
′ = 3 7 4 6
3 7 4 6
3 7 4 6
3 6 3 6
2 5 3 2
2
4(2 ) (2 ) (3 ) (2 ) 7(3 ) (3 )
( ) 4(2 ) ( 1)(3 ) (2 ) 7(3 ) (1)
( ) 4(2 ) (3 ) 7(2 ) (3 )
( ) (2 ) (3 ) (14 7 12 4 ) ( ) (2 ) (3 ) (2 11 )
59) ( ) (1 )
((
x x x x x x
f x x x x x
f x x x x x
f x x x x x f x x x x
y x x x
dy
x x
dx
′ ′− − + + − + +
′ = − − + + − +
′ = − − + + − +
′ ′= − + − − − ⇒ = − + −
= + +
= + 5 3 2 2 5 3 2
2 4 2 3 2 2 5 3 3
) ) (1 ) ( ) ((1 ) )
5( ) ( ) (1 ) ( ) 2(1 )(1 )
x x x x
dy
x x x x x x x x x
dx
′ ′+ + + +
′ ′= + + + + + + +

P.N.F. TRAYECTO I

13


2 4 3 2 2 5 3 2
2 4 3 3 2 2
2 4 3 3 4 3 4
2 4 3 4 3
3
5( ) (1 2 )(1 ) 2( ) (1 )(3 )
( ) (1 ) 5(1 )(1 2 ) 6 ( )
( ) (1 ) 6 6 5 10 10 5)
( ) (1 )(16 11 10 5)
( 2)
60) ( )
(3 4)
(
( )
dy
x x x x x x x x
dx
dy
x x x x x x x x
dx
dy
x x x x x x x x
dx
dy
x x x x x x
dx
x
f x
x
x
f x
= + + + + + +
⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦
= + + + + +
+
=
−
+
′ =
[ ]
3 3 3 2
2 63
23 2
6 4
2
43
3
2) (3 4) ( 2)(3 4) (3 4) ( 2)3(3 4) (3 4)
( )
(3 4)(3 4)
(3 4) 3 4 9 18)(3 4) 3( 2)(3 4) 3
( ) ( )
(3 4) (3 4)
(6 22)
( )
(3 4)
61) 1 (1 )
4 1 (1 )
x x x x x x x
f x
xx
x x xx x x
f x f x
x x
x
f x
x
y x
dy
x
dx
′′ ′− − + − − − + − −
′⇒ =
−⎡ ⎤−⎣ ⎦
− − − −− − + −
′ ′= ⇒ =
− −
− +
′ =
−
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
⎡= + +⎣
3 33 3 2
33 2
2 3
22 3 3
2 2 3
2 3 2 3
3 2 3 6
7
1 (1 ) 4 1 (1 ) 3(1 )
12 1 (1 ) (1 )
62) ( ) ( )
1 2 1 2
´( ) 3( ) (1 2 ) ´( ) 3 1 3
( 1) ( 2) ( 2
´( ) 3 ´( ) 3
dy
x x x
dx
dy
x x
dx
f s s s
s s
f s s s s f s s
s s s s
s s s s
f s f s
s
−
− −
′⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + ⇒ = + + +⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦
= −
⎛ ⎞− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + ⇒ = − + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + −
= ⇒ =
3 3 9 3
7 7
1)( 2) 3( 3 2
´( )
s s s
f s
s s
+ + − +
⇒ =

P.N.F. TRAYECTO I

14


2
2
6 4 3
2 3
2 2 3 3
3 2 4
2 2 4 3 2 3 2 2 3 2
1
63) ( ) 1
1 1 2 2 4 4 2 2 2
( ) 2 1 2 ( ) 4 4 2 ( )
64) ( ) (1 ) (1 )
( ) 3(1 ) (1 ) 8 (1 ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) (11 8 3)
65) ( ) (
g t t
t
t t t t
g t t t g t t t g t
t t t t t
f u u u
f u u u u u u f u u u u u
g w w
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + − −⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′ ′= + + − ⇒ = + + − − ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
= + +
′ ′= + + + + + ⇒ = + + + +
= 2 5
4 2 5 4 2
21
31 2 2
2 3 3
3 4)( 4)
( ) 5( 4) ( 3 4) ( 4) (2 3) ( 4) (7 10 8)
1
66) ( ) 1
1 1 1 2( 1)( 2 2)
( ) ( 2) 1 1 1 ( )
(2 )
w w
g w w w w w w w w w
h v v
v
v v v
h v v h v
v v v v v
−−
−− −
− + +
′ = + − + + + − = + − +
⎡ ⎤⎛ ⎞
= − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= − − − + − ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4
2 3
55 2 2
2 3 2 3 4 3 4
53 2 15 2 11 2
2 4 2 5 4 2
1 1 1
67) ( )
1 1 1 1 2 3 1 2 3
( ) 4 ( ) 4
2 3 4 ( 2 3) 4 ( 2 3)
( ) 4 ( ) ( )
1 ( 1) (
p t
t t t
t t t t
p t p t
t t t t t t t t
t t t t t t t t t
p t p t p t
t t t t t t t t
−
−−
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= + + + + ⇒ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +
′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
5 10
4
5 11 4
5 11
1)
68) ( ) (5 4 3)
40 250
( ) 10(5 4 3) (25 4) ( )
(5 4 3)
f z z z
z
f z z z z f z
z z
−
−
+
= − +
−
′ ′=− − + − ⇒ =
− +

P.N.F. TRAYECTO I

15


( )
( ) ( )
( )
( )
652 3 4
45 452 3 4 2 3 2 3 3 2
2 2
2 2 2 2
2
2
4 -1 2
4 -1 2
69) ( ) 1 ( )
( ) 6 1 ( ) 5 1 4( ) (2 3 )
70) ( ) ( 4) 4
1
( ) 2 4 ( 4) 2 ( ) 2 4 4
2 4
( ) 3 4
71) ( ) (1 )
( ) (1 )
g x x x x
g x x x x x x x x x x x
h x x x
h x x x x x h x x x x x
x
h x x x
f t t t
f t t
⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
= + +
′ ′= + + + ⇒ = + + +
+
′ = +
= +
′ = + −
4 4
4 -3 2 3
4 1 2 4 3 2 4 3 2
1 1 2 1
(1 ) (4 ) ( ) ( )
2 (1 ) (1 ) (1 )
t t
t t t f t f t
t t t
−
+ ⇒ = − ⇒ =
+ + +

( )2 3 2
2 1 2 2
2 1 2
2 1 2 2 -1 2 2
2 2
2 1 2 2 -1 2 2
2 2
3
72) ( ) (2 7)
3 3
( ) (2 7) (4 1) (4 1) 2 7
2 2
73) ( ) (1 )
1
( ) (1 ) (1 ) (1 )
2
1 1 2
( ) (1 ) (1 ) ( 2 ) ( ) 1- ( )
2 1- 1
1
74) ( )
f x x x
f x x x x x x x
f x x x
f x x x x x
x x
f x x x x x f x x f x
x x
f x x
x
= − +
′ = − + − = − − +
= −
′ ′= − + − − ⇒
−
′ ′ ′= − + − − ⇒ = − ⇒ =
−
⎛⎛ ⎞
= −⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝
22 2 2 2 2
2 2 4
1 1 1 1 3( 1)( 1)
( ) 3 1 ( ) 3 ( )
x x x x
f x x f x f x
x x x x x
⎞
⎟⎜ ⎟
⎠
⎛ ⎞− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= − + ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

P.N.F. TRAYECTO I

16


( )
( ) ( ) ( )
2 2 1 2
3
2 1 2 2 2 3 2
2 3 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 1 2 2 1 2
75) ( ) (1 )
1 2
( ) 2 (1 ) (1 ) 2 ( )
2 (1 )
1
76) ( )
1
. 1 1 . 1 2( 1)2( ) ( )
2
2( 1) 2
( ) ( )
2 ( 1) 2 ( 1)
77) ( ) (3
g z z z
z z
g z z z z z z g z
z
v
f v
v
v v v v v v
f v f v
v v
v v v
f v f v
v v v v
f x x
−
− −
−
−
= +
+⎛ ⎞′ ′= + + − + ⇒ =⎜ ⎟
+⎝ ⎠
+
=
+ − + + − +
′ ′= ⇒ =
− + +
′ ′= ⇒ =−
+ +
= 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
4 )
1 2 3(1 2 )
( ) (3 4 ) (3 4 ) ( 4) ( ) (3 4 ) ( )
2 (3 4 ) 3 4
x
x x
f x x x x f x x f x
x x
−
−
−
′ ′ ′= − + − − ⇒ = − − ⇒ =
− −
( ) ( )
1 2 13
13 1 2
1 2 13 2 3 1 2
1 2 2 3
2 3 1 2 2 3
2 1 2
2
2
78) ( ) 1 2
1 1 (2 ) (1 )
( ) (1 ) ( 1)(2 ) (2 ) ( 1)(1 ) ( )
2 3 2(1 ) 3(2 )
3(2 ) 2(1 ) 5 8
( ) ( )
6(2 ) (1 ) 6(2 )
(1 )
79) ( )
1
1 (1
2
( )
f x x x
x x
f x x x x x f x
x x
x x x
f x f x
x x x
t t
g t
t
t
g t
− −
= − −
⎛ ⎞− −
′ ′= − − − + − − − ⇒ = +⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
− + − −
′ ′=− ⇒ =
− − −
− +
=
− +
′ =
( ) ( ) ( )1 22 1 2 2 1 2
2 1 2 2)
2 2 3
) 2 2 (1 ) 1 (1 ) 2 (1
( )
( )
t t t t t t t t t t
g t
t t
−
−
⎛ ⎞
− − +⎜ ⎟ − + − − +
⎝ ⎠ ′⇒ =

P.N.F. TRAYECTO I

17


( )
( )
( ) ( )( )
( )
2 3
1 2
1 3
1 3 1 2 1 2 1 2 2 3
4 3 1 2 43
1/ 2
2
2 1
80) ( )
3 4
(3 4) (2 1) (2 1) (2 1) (3 4)
( )
(3 4)
(3 4) (2 1) 3
( ) ( )
(3 4) (2 1) (3 4) (2 1)
1
81) ( )
1
1 1 11 1
´( )
2 1 1
´(
x
f x
x
x x x x x
f x
x
x x x
f x f x
x x x x
x
f x
x
x xx
f x
x x
f
− − −
−
+
=
+
+ + − + − + +
′ =
+
+ − + +
′ ′= ⇒ =
+ + + +
+
=
−
⎡ ⎤− − + −⎛ ⎞+
= ⎢ ⎥⎜ ⎟
− −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1/ 2 1/ 2
2 2
1/ 2
2
4
3
1 1 1 1 1 1 2
) ´( )
2 1 2 11 1
1 1 1 1
´( ) ´( )
2 1 11
1
1
1
´( )
1 1
x x x x
x f x
x xx x
x
f x f x
x xx
x
x
f x
x x
− −
−
/
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ /+ − + + +
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
/− −− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞+
= ⇒ =⎜ ⎟
/ − +−⎝ ⎠ −
−
=
+ −
2
2 2
2 2
2
2 2
82) ( )
1
(2 2)( 1) ( 2 2) (2 2)( 1) ( 2 2)
´( ) ´( )
( 1) ( 1)
( 2)
´( )
( 1)
x x
f x
x
x x x x x x x x
f x f x
x x
x x
f x
x
− +
=
−
− − − − + − − − − +
= ⇒ =
− −
−
=
−

P.N.F. TRAYECTO I

18


2
2
2 2 3 3 2
4 4
2 2
4 3
2
2
2 2
2
83) ( )
( 1)
(2 2)( 1) 2( 2 )( 1) 2( 1) 2( 2 )( 1)
´( ) ´( )
( 1) ( 1)
2( 1) ( 1) ( 2 ) 2
´( ) ´( )
( 1) ( 1)
2
84) ( )
( 1)
(1 2 )( 1) 2(2 )( 1)
´( )
( 1)
x x
f x
x
x x x x x x x x x
f x f x
x x
x x x x
f x f x
x x
x x
f x
x
x x x x x
f x
x
−
=
−
− − − − − − − − −
= ⇒ =
− −
⎡ ⎤− − − −⎣ ⎦= ⇒ =
− −
+ −
=
−
− − − + − −
=
−
2
4 4
2
3 3
( 1) (1 2 )( 1) 2(2 )
´( )
( 1)
(1 2 )( 1) 2(2 ) 5
´( ) ´( )
( 1) ( 1)
x x x x x
f x
x
x x x x x
f x f x
x x
⎡ ⎤− − − − + −⎣ ⎦⇒ =
−
⎡ ⎤− − − + − −⎣ ⎦= ⇒ =
− −

[ ]
[ ]
2
3
2 2 32 3 3 2
6 6
3 3
4 4
2
2
2 2
( 1) ( 2)
85) ( )
3 ( 1) ( 3 2(3 3) ( 3 2)3
´( ) ´( )
3 3 2 6 1
´( ) ´( )
( 1)
86) ( )
1
( 1) 2( 1) ( 1)2( 1)( 1) ( 1)
´( ) ´( ) ´
( 1) ( 1)
x x
f x
x
x x x x xx x x x x
f x f x
x x
x x x x x
f x f x
x x
x
f x
x
x x xx x x
f x f x f
x x
− +
⎡ ⎤− − − +− − − + ⎣ ⎦= ⇒ =
⎡ ⎤− − + − −⎣ ⎦= ⇒ =
−
=
+
− + − −− + − −
= ⇒ = ⇒
+ +
[ ]
2
( 1) 3
( )
( 1)
x x
x
x
− +
=
+

P.N.F. TRAYECTO I

19


[ ]
1 1
2 2
1
2
2 2
2 4
2 2
4 3
2 2
22
2 2 2
2
( 1)( 3) 2( 1)( 1) 2( 2 3)( 1)
87) ( ) ´( )
( 1) ( 1)
2( 1) 2 1 2 3 2 4
´( ) ´( )
( 1) ( 1)
( 3) ( 3) 2
288) ( ) ´( )
( 3)3
( 3) 3
´( )
( 3)
x x x x x x x
f x f x
x x
x x x x x
f x f x
x x
x
x x x
x
f x f x
xx
x x x
f x f
x
−
−
− + + + − + − +
= ⇒ = ⇒
+ +
⎡ ⎤+ + + − − +⎣ ⎦= ⇒ =
+ +
+ − +
= ⇒ =
+−
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦= ⇒
+ 2 3
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
3
´( )
( 3)
2 4 ( 2) 2 (2 1) 2 ( 4)
89) ( ) ´( ) ´( )
2 ( 2) ( 2)
3 2
90) ( )
2 1
(2 3)( 2 1) ( 3 2)(2 2)
´( )
( 2 1)
2 4 2 3 6 3 2 6 4 2
´( )
x
x
x x x x x x x x
f x f x f x
x x x x x x
x x
f x
x x
x x x x x x
f x
x x
x x x x x x x x x
f x
=
+
− − − − − +
= ⇒ = ⇒ =
− − − − − −
− +
=
+ +
− + + − − + +
=
+ +
+ + − − − − + − − +
=
1 1
12 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
6 4
( 2 1)
4 2 3 3 6 4 2 4 5 2 7
´( ) ´( )
( 2 1) ( 2 1)
1
91) ( )
1
2
2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)2´( ) ´( )
1 1
2 2 1
´( )
( 1
x
x x
x x x x x x x x
f x f x
x x x x
x
f x
x
x
x x x x x x x x
f x f x
x x
x x x
f x
x
−
−
−
+ +
+ − − + − − − − −
= ⇒ =
+ + + +
+
=
−
− − + − ⎡ ⎤− − − +⎣ ⎦= ⇒ =
− −
⎡ ⎤− − −⎣ ⎦=
−
2
3 2 3
( 3)
´( )
) ( 1)
x x
f x
x
−
⇒ =
−

P.N.F. TRAYECTO I

20


( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
22
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2
3
2
2
6 21 2 3 2 3 2 6 4
92) ( ) ( ) ( )
5 4 5 4 5 4
12 1 5 4 6 2 5
´( )
5 4
60 48 5 4 30 5 10 30 48 6
´( ) ´( )
5 4 5 4
6 5 8 1
´( )
5 4
1
93)
1
1 1
´
3 1
x xx x x x x
f x f x f x
x x x
x x x x
f x
x
x x x x x x x
f x f x
x x
x x
f x
x
x
y
x
x
y
x
− − +− + + − −
= ⇒ = ⇒ =
− − −
− − − − − − +
=
−
− + − + + + − − + −
= ⇒ =
− −
⎡ ⎤− + −⎣ ⎦=
−
+
=
−
+
=
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
2/3 2/32 2 2
2 22 22 2
2 22
2 2 62 2
2
2
2 2 42 2 23
62
3
22
2 1 1 2 1 1 4
´
3 11 1
4 4
´ ´
1 11 3 11 1
4 4
´ ´
1 1 1
1
1
2 2
94)
1 1
´
3
3
3
3
x x x x x x
y
xx x
x x
y y
x xx xx x
x x
y y
x x x
x
x
x x
y y
x x
y
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ⇒ =
⎛ ⎞+ +−⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ −
= ⇒ =
+ + −
−
−
⎛ ⎞
= ⇒ = ⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
( )
1
2
2
2 1 2 11 2
2 1 1
x xx
x x
−
⎡ ⎤+ −⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

P.N.F. TRAYECTO I

21


( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
1
2
1
2
1 1
2 2
1
2
2 2 3
2 2 2
2 2 2 4
2 4 2 2 4 3
2 4
2 4 2 4 2 3
3 5 3
2 4
1 2 2 2 1 1 1
´ ´ ´
21 12 2 1
2
11
2 1 2 1 2 1
95)
21 1
14 2 1 2 4
2´
4 2 1 2 4 4 2
' '
x x
y y y
xx xx x x
xx
x x x
y y y
x x x x x x
x x x x x x x x
y
x x
x x x x x x x x x x x
y y
x x
−
−
⎡ ⎤+ −
= ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎛ ⎞ +⎣ ⎦
⎜ ⎟ ++⎝ ⎠
− − −
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
+ − − + +
=
+
⎡ ⎤+ + − − + + − −⎣ ⎦= ⇒ =
+
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
5 3
32 4
23
3 32 4 2 4
1 1
2 21
2
2
1
2
2
1
2
4 2
4 14
' '
1
96) ( )
1
1 1
1 1
2 21 1
´( )
2 1 1
1
1 1
1 2´( )
1 1
2
1
1
(2)
1 2´( )
1 1
2
1
x x x
x x
x xx x
y y
x x x x
x
f x
x
x x x x
x
f x
x x
x x x
f x
x x
x
x
f x
x
x
− −
−
−
−
+ +
+
−+
= → =
+ +
+
=
−
⎡ ⎤⎛ ⎞
− − + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎛ ⎞+ ⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥−⎝ ⎠ −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥+ −
⎢ ⎥⎣ ⎦−
=
+ −
−
( ) ( )
1
2
2 2
1
´( )
1 1
2
1
x
f x
xx x
x
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ −

P.N.F. TRAYECTO I

22


( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 12 42 2
2 2
1/22 2 2
1/22 2
2
2
1/2 1/22 2 2 2 2
2 2
1/2 1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
´( ) ´( )
1 112 2 1
1 1
1
´( )
3
2 1 1
97)
2 1
'
2
1
'
'
'
f x f x
x xx x x x
x x
f x
x x x
y x x
x x x
y x
x
y x x x
x
y x x x x
y x
−
−
− −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⇒ =⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥− −⎣ ⎦
− −
=
+ −
= −
− − ⎛ ⎞
= − + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
= − − − +
−
= − − − + −
= −
π
π π
π
π
π
π
π π
π
π
π π π π
π ( ) ( )
( ) ( )
1
2
1 1
2
1/2 1/22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1/22 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
'
' 2 ` 2
98) ( ) 4
: ( ) ( 4) ( ) (( 4) )
1 1
´( ) (( 4) ) (( 4) ) ´( ) (( 4) )
2 2
x x y x x x
y x x y x
f x x
Se utiliza la siguiente propiedad a a f x x f x x
f x x x f x x
−
−
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + ⇒ = − − − +⎣ ⎦⎣ ⎦
= − − ⇒ = −
= −
= ⇒ = − ⇒ = −
′= − − ⇒ = −
π π π π π
π π π
2 2
2 2
22 2
(2( 4)2 )
2 ( 4) 2 ( 4)
´( ) ´( )
4( 4)
x x
x x x x
f x f x
xx
−
− −
= ⇒ =
−−

P.N.F. TRAYECTO I

23


( ) ( )
1
2
3
2 3 2 2 2 2 2 2
22 2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
99) ( )
1
( ) ( ) ´( ) 3( ) ( )´ ´( ) 3( ) ( ) 2
2
33 ( )
´( ) ´( ) ´( ) 3
( )
100) ( ) 3 2
2 3 3 2 2 3 3 2
( ) ( )
3 2 ( 1)( 2)
101) ( )
1
1
( 1)
( )
f x x
f x x f x x x f x x x x
x xx x
f x f x f x x x
xx
f x x x
x x x x x x
f x f x
x x x x
x
f x
x
x
x
f x
−
=
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= − +
− − + − − +
′ ′= ⇒ =
− + − −
=
+
−
+
′ =
2
2 2 2 2
2 2
1
1 ( 1) 1
( )
1 1
xx x
x x x
f x
x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠′⇒ =
+ +

DÁMASO ROJAS
JULIO 2009

Derivadas por teorema

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (12)

Similar to Derivadas por teorema

Similar to Derivadas por teorema (20)

Derivadas por teorema