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Limites RESUELTOS

E
Educación

LÍMITES RESUELTOS

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Ana Marı́a Albornoz R. 1
Ejercicios resueltos
1. Calcular los siguientes lı́mites algebraicos
1) lı́m
x→2
x2
+ 1
x2 − 1
=
22
+ 1
22 − 1
=
5
3
2) lı́m
x→1
x2
− 2x + 1
x3 − x
=
12
− 21 + 1
13 − 1
=
0
0
pero lı́m
x→1
x2
− 2x + 1
x3 − x
= lı́m
x→1
(x − 1)2
x(x2 − 1)
=
lı́m
x→1
(x − 1)2
x(x − 1)(x + 1)
= lı́m
x→1
(x − 1)
x(x + 1)
=
1 − 1
1(2)
=
0
2
= 0
3) lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
1 − x2
=
0
0
, pero lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
1 − x2
= lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
(1 − x)(1 + x)
=
lı́m
x→1
−(1 − x)
√
2 − x
(1 − x)(1 + x)
= lı́m
x→1
−1
√
2 − x
1 + x
=
−1
2
4) lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= ∞ − ∞ que es una forma indetermi-
nada.
Pero lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
(1 + x + x2
)
1 − x
−
3)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
(1 + x + x2
− 3)
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
(x2
+ x − 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
(x − 1)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
−(1 − x)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
−(x + 2)
(1 + x + x2)
=
−3
3
= −1
5) lı́m
x→1
x + 2
x2 − 5x + 4
+
x − 4
3(x2 − 3x + 2)
= lı́m
x→1
x + 2
(x − 4)(x − 1)
+
x − 4
3(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
3(x + 2)(x − 2) + (x − 4)(x − 4)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
3(x2
− 4) + (x − 4)2
)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
3x2
− 12 + x2
− 8x + 16
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4x2
− 8x + 4
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
4(x2
− 2x + 1)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4(x2
− 2x + 1)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
4(x − 1)2
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4(x − 1)
3(x − 4)(x − 2)
=
0
−24
= 0
Ana Marı́a Albornoz R. 2
6) lı́m
x→∞
2 + x − 3x3
5 − x2 + 3x3
= lı́m
x→∞
2+x−3x3
x3
5−x2+3x3
x3
= lı́m
x→∞
2
x3 + x
x3 − 3x3
x3
5
x3 − x2
x3 + 3x3
x3
=
0 + 0 − 3
0 − 0 + 3
= −1
7) lı́m
x→∞
x3
x2 + 1
− x = lı́m
x→∞
x3
− x(x2
+ 1)
x2 + 1
= lı́m
x→∞
x3
− x3
− x
x2 + 1
= lı́m
x→∞
−x
x2 + 1
=
lı́m
x→∞
− x
x2
x2
x2 + 1
x2
=
0
1 + 0
= 0
8) lı́m
x→∞
√
x2 + 1 − 3
√
x
4
√
x3 + 5x − x
= lı́m
x→∞
√
x2+1−3
√
x
x
4
√
x3+5x−x
x
= lı́m
x→∞
√
x2+1
x
− 3
√
x
x
4
√
x3+5x
x
− x
x
= lı́m
x→∞
q
x2+1
x2 − 3
x1/2
4
q
x3+5x
x4 − 1
= lı́m
x→∞
q
1 + 1
x2 − 3
√
x
4
q
1
x
+ 5
x3 − 1
=
√
1 + 0 − 0
4
√
0 + 0 − 1
= −1
9) lı́m
x→0
√
1 + x2 − 1
x
Racionalizando obtenemos
lı́m
x→0
√
1 + x2 − 1
x
√
1 + x2 + 1
√
1 + x2 + 1
= lı́m
x→0
1 + x2
− 1
x(
√
1 + x2 + 1)
=
lı́m
x→0
x2
x(
√
1 + x2 + 1)
= lı́m
x→0
x
√
1 + x2 + 1)
=
0
2
= 0
10) lı́m
x→5
√
x − 1 − 2
x − 5
Racionalizando obtenemos
lı́m
x→5
√
x − 1 − 2
x − 5
√
x − 1 + 2
√
x − 1 + 2
= lı́m
x→5
x − 1 − 4
(x − 5)(
√
x − 1 + 2)
= lı́m
x→5
x − 5
(x − 5)(
√
x − 1 + 2)
=
lı́m
x→5
1
√
x − 1 + 2
=
1
4
11) lı́m
x→1
3
√
7 + x3 −
√
3 + x2
x − 1
= lı́m
x→1
3
√
7 + x3 −
√
3 + x2 + 2 − 2
x − 1
=
lı́m
x→1
3
√
7 + x3 − 2
x − 1
−
√
3 + x2 − 2
x − 1
Racionalizando cada fracción obtenemos:
lı́m
x→1
3
√
7 + x3 − 2
x − 1
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4
−
√
3 + x2 − 2
x − 1
√
3 + x2 + 2
√
3 + x2 + 2
=
lı́m
x→1
(7 + x3
) − 8
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
3 + x2
− 4
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=
lı́m
x→1
x3
− 1
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
x2
− 1
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=
Ana Marı́a Albornoz R. 3
lı́m
x→1
(x − 1)(x2
+ x + 1)
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=
lı́m
x→1
((x2
+ x + 1)
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
(x + 1)
(
√
3 + x2 + 2)
=
1 + 1 + 1
4 + 4 + 4
−
2
2 + 2
=
3
12
−
2
4
=
1
4
−
2
4
= −
1
4
12) lı́m
x→∞
p
(x + m)(x + n) − x Racionalizando queda:
lı́m
x→∞
p
(x + m)(x + n)−x
p
(x + m)(x + n) + x
p
(x + m)(x + n) + x
= lı́m
x→∞
(x + m)(x + n) − x2
p
(x + m)(x + n) + x
=
lı́m
x→∞
x2
+ (m + n)x + mn − x2
p
(x + m)(x + n) + x
= lı́m
x→∞
(m + n)x + mn
p
x2 + (m + n)x + mn + x
Dividiendo
por la
potencia más grande de x, que es x2
queda:
lı́m
x→∞
(m + n) + mn
x
q
1 + (m+n)
x
+ mn
x2 + 1
=
(m + n) + 0
√
1 + 0 + 0 + 1
=
m + n
2
13) lı́m
x→2
1
2 − x
−
3
8 − x3
= lı́m
x→2
1
2 − x
−
3
(2 − x)(4 + 2x + x2)
= lı́m
x→2
4 + 2x + x2
− 3
(2 − x)(4 + 2x + x2)
=
lı́m
x→2
x2
+ 2x + 1
(2 − x)(4 + 2x + x2)
=
4 + 4 + 1
0
= ∞
14) lı́m
x→1
2
8x2
− 1
6x2 − 5x + 1
=
1
0
= ∞
lı́m
x→1
2
8x2
− 2x − 1
6x2 − 5x + 1
= lı́m
x→1
2
(2x − 1)(4x + 1)
(3x − 1)(2x − 1)
= lı́m
x→1
2
4x + 1
3x − 1
=
2 + 1
3
2
−1
=
3
1
2
= 6
15) lı́m
x→∞
3x4
− 2x + 1
3x2 + 6x − 2
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x4
queda:
lı́m
x→∞
3 − 2
x3 + 1
x4
3
x2 + 6
x3 − 2
x4
=
3
0
= ∞
16) lı́m
x→0
√
x2 + 4 − 2
√
x2 + 9 − 3
= lı́m
x→0
√
x2 + 4 − 2
√
x2 + 9 − 3
√
x2 + 4 + 2
√
x2 + 4 + 2
√
x2 + 9 + 3
√
x2 + 9 + 3
=
lı́m
x→0
(x2
+ 4 − 4)(
√
x2 + 9 + 3)
(x2 + 9 − 9)(
√
x2 + 4 + 2)
= lı́m
x→0
(x2
)(
√
x2 + 9 + 3)
(x2)(
√
x2 + 4 + 2)
=
Ana Marı́a Albornoz R. 4
lı́m
x→0
√
x2 + 9 + 3
√
x2 + 4 + 2
=
√
0 + 9 + 3
√
0 + 4 + 2
=
3 + 3
2 + 2
=
6
4
=
3
2
17) lı́m
x→4
√
1 + 2x − 3
x − 4
= lı́m
x→4
√
1 + 2x − 3
x − 4
√
1 + 2x + 3
√
1 + 2x + 3
= lı́m
x→4
1 + 2x − 9
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
=
lı́m
x→4
2x − 8
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
= lı́m
x→4
2(x − 4)
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
= lı́m
x→4
2
√
1 + 2x + 3
=
2
6
=
1
3
18) lı́m
x→∞
3x
+ x
3x − 2x
Primero calcularemos lı́m
x→∞
x
3x
usando el teorema del Sandwich.
Sabemos que 3x
≥ x3
Para x > 3 Por lo tanto
x
3x
≤
x
x3
además
x
3x
≥
1
3x
por
lo que
podemos afirmar que:
1
3x
≤
x
3x
≤
x
x3
⇒
1
3x
≤
x
3x
≤
1
x2
Aplicando lı́mite
lı́m
x→∞
1
3x
≤ lı́m
x→∞
x
3x
≤ lı́m
x→∞
1
x2
⇒ 0 ≤ lı́m
x→∞
x
3x
≤ 0 Por lo que lı́m
x→∞
x
3x
= 0
Dividiendo el limite que queremos calcular por 3x
queda:
lı́m
x→∞
3x
+ x
3x − 2x
= lı́m
x→∞
1 + x
3x
1 − 2x
3x
= lı́m
x→∞
1 + x
3x
1 − 2 x
3x
= lı́m
x→∞
1 + 0
1 − 2(0)
= 1
19) lı́m
x→∞
3
√
x2 + 1
x − 2
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x queda:
lı́m
x→∞
3
q
x2
x3 + 1
x3
x
x
− 2
x
= lı́m
x→∞
3
q
1
x
+ 1
x3
1 − 2
x
=
0
1
= 0
20) lı́m
x→∞
2x2
+ 1
3
√
x7 + 2x
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x7/3
queda:
lı́m
x→∞
2x2
x7/3 + 1
x7/3
3
q
x7
x7 + 2x
x7
= lı́m
x→∞
2
x1/3 + 1
x7/3
3
q
1 + 2
x6
=
0
1
= 0
21) lı́m
x→0
√
x2 + a2 − a
√
x2 + b2 − b
= lı́m
x→0
√
x2 + a2 − a
√
x2 + b2 − b
√
x2 + a2 + a
√
x2 + a2 + a
√
x2 + b2 + b
√
x2 + b2 + b
=
lı́m
x→0
(x2
+ a2
− a2
)(
√
x2 + b2 + b)
(x2 + b2 − b2)(
√
x2 + a2 + a)
= lı́m
x→0
x2
(
√
x2 + b2 + b)
x2(
√
x2 + a2 + a)
=
lı́m
x→0
√
x2 + b2 + b
√
x2 + a2 + a
=
√
b2 + b
√
a2 + a
=
2b
2a
=
b
a

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Limites RESUELTOS

  • 1. Ana Marı́a Albornoz R. 1 Ejercicios resueltos 1. Calcular los siguientes lı́mites algebraicos 1) lı́m x→2 x2 + 1 x2 − 1 = 22 + 1 22 − 1 = 5 3 2) lı́m x→1 x2 − 2x + 1 x3 − x = 12 − 21 + 1 13 − 1 = 0 0 pero lı́m x→1 x2 − 2x + 1 x3 − x = lı́m x→1 (x − 1)2 x(x2 − 1) = lı́m x→1 (x − 1)2 x(x − 1)(x + 1) = lı́m x→1 (x − 1) x(x + 1) = 1 − 1 1(2) = 0 2 = 0 3) lı́m x→1 (x − 1) √ 2 − x 1 − x2 = 0 0 , pero lı́m x→1 (x − 1) √ 2 − x 1 − x2 = lı́m x→1 (x − 1) √ 2 − x (1 − x)(1 + x) = lı́m x→1 −(1 − x) √ 2 − x (1 − x)(1 + x) = lı́m x→1 −1 √ 2 − x 1 + x = −1 2 4) lı́m x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 lı́m x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 = ∞ − ∞ que es una forma indetermi- nada. Pero lı́m x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 = lı́m x→1 1 1 − x − 3 (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 (1 + x + x2 ) 1 − x − 3) (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 (1 + x + x2 − 3) (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 (x2 + x − 2) (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 (x − 1)(x + 2) (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 −(1 − x)(x + 2) (1 − x)(1 + x + x2) = lı́m x→1 −(x + 2) (1 + x + x2) = −3 3 = −1 5) lı́m x→1 x + 2 x2 − 5x + 4 + x − 4 3(x2 − 3x + 2) = lı́m x→1 x + 2 (x − 4)(x − 1) + x − 4 3(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 3(x + 2)(x − 2) + (x − 4)(x − 4) 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 3(x2 − 4) + (x − 4)2 ) 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 3x2 − 12 + x2 − 8x + 16 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 4x2 − 8x + 4 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 4(x2 − 2x + 1) 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 4(x2 − 2x + 1) 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 4(x − 1)2 3(x − 4)(x − 2)(x − 1) = lı́m x→1 4(x − 1) 3(x − 4)(x − 2) = 0 −24 = 0
  • 2. Ana Marı́a Albornoz R. 2 6) lı́m x→∞ 2 + x − 3x3 5 − x2 + 3x3 = lı́m x→∞ 2+x−3x3 x3 5−x2+3x3 x3 = lı́m x→∞ 2 x3 + x x3 − 3x3 x3 5 x3 − x2 x3 + 3x3 x3 = 0 + 0 − 3 0 − 0 + 3 = −1 7) lı́m x→∞ x3 x2 + 1 − x = lı́m x→∞ x3 − x(x2 + 1) x2 + 1 = lı́m x→∞ x3 − x3 − x x2 + 1 = lı́m x→∞ −x x2 + 1 = lı́m x→∞ − x x2 x2 x2 + 1 x2 = 0 1 + 0 = 0 8) lı́m x→∞ √ x2 + 1 − 3 √ x 4 √ x3 + 5x − x = lı́m x→∞ √ x2+1−3 √ x x 4 √ x3+5x−x x = lı́m x→∞ √ x2+1 x − 3 √ x x 4 √ x3+5x x − x x = lı́m x→∞ q x2+1 x2 − 3 x1/2 4 q x3+5x x4 − 1 = lı́m x→∞ q 1 + 1 x2 − 3 √ x 4 q 1 x + 5 x3 − 1 = √ 1 + 0 − 0 4 √ 0 + 0 − 1 = −1 9) lı́m x→0 √ 1 + x2 − 1 x Racionalizando obtenemos lı́m x→0 √ 1 + x2 − 1 x √ 1 + x2 + 1 √ 1 + x2 + 1 = lı́m x→0 1 + x2 − 1 x( √ 1 + x2 + 1) = lı́m x→0 x2 x( √ 1 + x2 + 1) = lı́m x→0 x √ 1 + x2 + 1) = 0 2 = 0 10) lı́m x→5 √ x − 1 − 2 x − 5 Racionalizando obtenemos lı́m x→5 √ x − 1 − 2 x − 5 √ x − 1 + 2 √ x − 1 + 2 = lı́m x→5 x − 1 − 4 (x − 5)( √ x − 1 + 2) = lı́m x→5 x − 5 (x − 5)( √ x − 1 + 2) = lı́m x→5 1 √ x − 1 + 2 = 1 4 11) lı́m x→1 3 √ 7 + x3 − √ 3 + x2 x − 1 = lı́m x→1 3 √ 7 + x3 − √ 3 + x2 + 2 − 2 x − 1 = lı́m x→1 3 √ 7 + x3 − 2 x − 1 − √ 3 + x2 − 2 x − 1 Racionalizando cada fracción obtenemos: lı́m x→1 3 √ 7 + x3 − 2 x − 1 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4 − √ 3 + x2 − 2 x − 1 √ 3 + x2 + 2 √ 3 + x2 + 2 = lı́m x→1 (7 + x3 ) − 8 (x − 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − 3 + x2 − 4 (x − 1)( √ 3 + x2 + 2) = lı́m x→1 x3 − 1 (x − 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − x2 − 1 (x − 1)( √ 3 + x2 + 2) =
  • 3. Ana Marı́a Albornoz R. 3 lı́m x→1 (x − 1)(x2 + x + 1) (x − 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − (x − 1)(x + 1) (x − 1)( √ 3 + x2 + 2) = lı́m x→1 ((x2 + x + 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − (x + 1) ( √ 3 + x2 + 2) = 1 + 1 + 1 4 + 4 + 4 − 2 2 + 2 = 3 12 − 2 4 = 1 4 − 2 4 = − 1 4 12) lı́m x→∞ p (x + m)(x + n) − x Racionalizando queda: lı́m x→∞ p (x + m)(x + n)−x p (x + m)(x + n) + x p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ (x + m)(x + n) − x2 p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ x2 + (m + n)x + mn − x2 p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ (m + n)x + mn p x2 + (m + n)x + mn + x Dividiendo por la potencia más grande de x, que es x2 queda: lı́m x→∞ (m + n) + mn x q 1 + (m+n) x + mn x2 + 1 = (m + n) + 0 √ 1 + 0 + 0 + 1 = m + n 2 13) lı́m x→2 1 2 − x − 3 8 − x3 = lı́m x→2 1 2 − x − 3 (2 − x)(4 + 2x + x2) = lı́m x→2 4 + 2x + x2 − 3 (2 − x)(4 + 2x + x2) = lı́m x→2 x2 + 2x + 1 (2 − x)(4 + 2x + x2) = 4 + 4 + 1 0 = ∞ 14) lı́m x→1 2 8x2 − 1 6x2 − 5x + 1 = 1 0 = ∞ lı́m x→1 2 8x2 − 2x − 1 6x2 − 5x + 1 = lı́m x→1 2 (2x − 1)(4x + 1) (3x − 1)(2x − 1) = lı́m x→1 2 4x + 1 3x − 1 = 2 + 1 3 2 −1 = 3 1 2 = 6 15) lı́m x→∞ 3x4 − 2x + 1 3x2 + 6x − 2 Dividiendo por la potencia más grande de x que es x4 queda: lı́m x→∞ 3 − 2 x3 + 1 x4 3 x2 + 6 x3 − 2 x4 = 3 0 = ∞ 16) lı́m x→0 √ x2 + 4 − 2 √ x2 + 9 − 3 = lı́m x→0 √ x2 + 4 − 2 √ x2 + 9 − 3 √ x2 + 4 + 2 √ x2 + 4 + 2 √ x2 + 9 + 3 √ x2 + 9 + 3 = lı́m x→0 (x2 + 4 − 4)( √ x2 + 9 + 3) (x2 + 9 − 9)( √ x2 + 4 + 2) = lı́m x→0 (x2 )( √ x2 + 9 + 3) (x2)( √ x2 + 4 + 2) =
  • 4. Ana Marı́a Albornoz R. 4 lı́m x→0 √ x2 + 9 + 3 √ x2 + 4 + 2 = √ 0 + 9 + 3 √ 0 + 4 + 2 = 3 + 3 2 + 2 = 6 4 = 3 2 17) lı́m x→4 √ 1 + 2x − 3 x − 4 = lı́m x→4 √ 1 + 2x − 3 x − 4 √ 1 + 2x + 3 √ 1 + 2x + 3 = lı́m x→4 1 + 2x − 9 (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2x − 8 (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2(x − 4) (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2 √ 1 + 2x + 3 = 2 6 = 1 3 18) lı́m x→∞ 3x + x 3x − 2x Primero calcularemos lı́m x→∞ x 3x usando el teorema del Sandwich. Sabemos que 3x ≥ x3 Para x > 3 Por lo tanto x 3x ≤ x x3 además x 3x ≥ 1 3x por lo que podemos afirmar que: 1 3x ≤ x 3x ≤ x x3 ⇒ 1 3x ≤ x 3x ≤ 1 x2 Aplicando lı́mite lı́m x→∞ 1 3x ≤ lı́m x→∞ x 3x ≤ lı́m x→∞ 1 x2 ⇒ 0 ≤ lı́m x→∞ x 3x ≤ 0 Por lo que lı́m x→∞ x 3x = 0 Dividiendo el limite que queremos calcular por 3x queda: lı́m x→∞ 3x + x 3x − 2x = lı́m x→∞ 1 + x 3x 1 − 2x 3x = lı́m x→∞ 1 + x 3x 1 − 2 x 3x = lı́m x→∞ 1 + 0 1 − 2(0) = 1 19) lı́m x→∞ 3 √ x2 + 1 x − 2 Dividiendo por la potencia más grande de x que es x queda: lı́m x→∞ 3 q x2 x3 + 1 x3 x x − 2 x = lı́m x→∞ 3 q 1 x + 1 x3 1 − 2 x = 0 1 = 0 20) lı́m x→∞ 2x2 + 1 3 √ x7 + 2x Dividiendo por la potencia más grande de x que es x7/3 queda: lı́m x→∞ 2x2 x7/3 + 1 x7/3 3 q x7 x7 + 2x x7 = lı́m x→∞ 2 x1/3 + 1 x7/3 3 q 1 + 2 x6 = 0 1 = 0 21) lı́m x→0 √ x2 + a2 − a √ x2 + b2 − b = lı́m x→0 √ x2 + a2 − a √ x2 + b2 − b √ x2 + a2 + a √ x2 + a2 + a √ x2 + b2 + b √ x2 + b2 + b = lı́m x→0 (x2 + a2 − a2 )( √ x2 + b2 + b) (x2 + b2 − b2)( √ x2 + a2 + a) = lı́m x→0 x2 ( √ x2 + b2 + b) x2( √ x2 + a2 + a) = lı́m x→0 √ x2 + b2 + b √ x2 + a2 + a = √ b2 + b √ a2 + a = 2b 2a = b a