Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial

1. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
1
EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
MEDIANTE EL USO DE LOGARITMOS DERIVE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.
1). 𝑦 =
√1 − 𝑥2 (1 + 𝑥3
)2
(1 + 𝑥2)4
Solución: Aplicando logaritmo natural (ln) en ambos miembros de la función obtendremos lo siguiente:
𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛
√(1 − 𝑥2) (1 + 𝑥3
)2
(1 + 𝑥2)4
Aplicando ahora las propiedades de los logaritmos:
1. ln 𝑢 𝑛
= 𝑛 ln 𝑢
2. ln 𝑢𝑣 = ln 𝑢 + ln 𝑣
3. ln
𝑢
𝑣
= ln 𝑢 − ln 𝑣
ln 𝑦 = ln √(1 − 𝑥2) (1+ 𝑥3
)2
− ln(1 + 𝑥2)4
→ 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3
ln 𝑦 = ln √(1 − 𝑥2) + ln(1 + 𝑥3
)2
− ln(1 + 𝑥2)4
→ 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 2
ln 𝑦 =
1
2
ln(1 − 𝑥2
) + 2ln(1 + 𝑥3) − 4 ln(1 + 𝑥2) → 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 1
Aplicando derivada a ambos miembros de la función:
[ln 𝑦]′
= [
1
2
ln(1 − 𝑥2) + 2 ln(1 + 𝑥3)− 4ln(1 + 𝑥2)]
′
Por fórmula la derivada de la función logarítmica es:
[ln 𝑢(𝑥)]′
=
𝑢′
(𝑥)
𝑢( 𝑥)
∴
𝑦′
𝑦
=
1
2
(1 − 𝑥2
)′
(1 − 𝑥2)
+ 2
(1 + 𝑥3
)′
(1 + 𝑥3)
− 4
(1 + 𝑥2)′
(1 + 𝑥2)
Por fórmula la derivada de una función a un exponente es:
[𝑢 𝑛
(𝑥)]′ = 𝑛𝑢 𝑛 −1
(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥)
∴ [ 𝑥2]′ = 2𝑥2−1( 𝑥′) → [ 𝑥2]′ = 2𝑥 ∙ (1) → [ 𝑥2]′ = 2𝑥 𝑦 𝑎𝑠𝑖 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑦′
𝑦
=
1
2
−2𝑥
(1 − 𝑥2)
+ 2
3𝑥2
(1 + 𝑥3)
− 4
2𝑥
(1 + 𝑥2)

2. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
2
𝑦′
𝑦
=
1
2
−2𝑥
(1 − 𝑥2)
+ 2
3𝑥2
(1 + 𝑥3)
− 4
2𝑥
(1 + 𝑥2)
𝑦′
𝑦
=
−𝑥
(1 − 𝑥2)
+
6𝑥2
(1 + 𝑥3)
−
8𝑥
(1 + 𝑥2)
𝑦′
𝑦
=
−𝑥(1 + 𝑥3)(1 + 𝑥2) + 6𝑥2(1− 𝑥2)(1+ 𝑥2) − 8𝑥(1 − 𝑥2
)(1+ 𝑥3
)
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1 + 𝑥2)
𝑦′
𝑦
=
−𝑥(1 + 𝑥2
+ 𝑥3
+ 𝑥5
) + 6𝑥2(1 − 𝑥4) − 8𝑥(1 + 𝑥3
− 𝑥2
− 𝑥5
)
(1 − 𝑥2)(1+ 𝑥3)(1+ 𝑥2)
𝑦′
𝑦
=
(−𝑥 − 𝑥3
− 𝑥4
− 𝑥6
) + (6𝑥2
− 6𝑥6
) − (8𝑥 + 8𝑥4
− 8𝑥3
− 8𝑥6
)
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1 + 𝑥2)
Agrupando términos semejantes y realizando operaciones algebraicas:
𝑦′
𝑦
=
(−𝑥6
− 6𝑥6
+ 8𝑥6)+ (−8𝑥4
− 𝑥4) + (8𝑥3
− 𝑥3)+ 6𝑥2
+ (−8𝑥 − 𝑥)
(1 − 𝑥2)(1+ 𝑥3)(1+ 𝑥2)
𝑦′
𝑦
=
𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1+ 𝑥2)
∴ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑦′
𝑦′ = 𝑦 [
𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1+ 𝑥2)
]
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 =
√1 − 𝑥2 (1 + 𝑥3
)2
(1 + 𝑥2)4
∴ 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎.
𝑦′
= [
√1 − 𝑥2 (1+ 𝑥3)2
(1 + 𝑥2)4
][
𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1 + 𝑥2)
]
𝑦′
= [
√1 − 𝑥2 (1+ 𝑥3)2
(1 + 𝑥2)4
][
𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥
(1 − 𝑥2)(1 + 𝑥3)(1 + 𝑥2)
]
𝑦′
= [
(1− 𝑥2
)
1
2
−1
(1 + 𝑥3)2−1
(1 + 𝑥2)4+1
] [ 𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥]
𝑦′
= [
(1 + 𝑥3
)
(1 − 𝑥2)
1
2 (1+ 𝑥2)5
] [ 𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥] ∴
𝑦′
=
( 𝑥6
− 9𝑥4
+ 7𝑥3
+ 6𝑥2
− 9𝑥)(1+ 𝑥3
)
√1 − 𝑥2 (1+ 𝑥2)5
𝑂𝑘.

3. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
3
2). 𝑦 = √
(𝑥2 + 4)
√(1 + 𝑥2) (𝑥3 + 2)
4
Solución: Aplicando logaritmo natural (ln) en ambos miembros de la función obtendremos lo siguiente:
ln 𝑦 = ln √
(𝑥2 + 4)
√(1 + 𝑥2) (𝑥3 + 2)
4
Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene que:
ln 𝑦 =
1
4
ln
(𝑥2
+ 4)
√(1 + 𝑥2) (𝑥3 + 2)
ln 𝑦 =
1
4
[ln( 𝑥2
+ 4) − ln√(1 + 𝑥2) ( 𝑥3
+ 2)]
ln 𝑦 =
1
4
[ln( 𝑥2
+ 4) −
1
2
ln(1 + 𝑥2
)− ln(𝑥3
+ 2) ]
Aplicando derivada a ambos miembros de la función:
[ln 𝑦]′ =
1
4
[ln( 𝑥2
+ 4) −
1
2
ln(1 + 𝑥2)− ln( 𝑥3
+ 2)]
′
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
( 𝑥2
+ 4)′
( 𝑥2 + 4)
−
1
2
∙
(1 + 𝑥2)′
(1 + 𝑥2)
−
( 𝑥3
+ 2)′
( 𝑥3 + 2)
]
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥
( 𝑥2 + 4)
−
1
2
∙
2𝑥
(1 + 𝑥2)
−
3𝑥2
( 𝑥3 + 2)
]
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥
( 𝑥2 + 4)
−
𝑥
(1 + 𝑥2)
−
3𝑥2
( 𝑥3 + 2)
]
Realizando operaciones algebraicas y agrupación de términos semejantes:
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥(1 + 𝑥2)( 𝑥3
+ 2) − 𝑥( 𝑥2
+ 4)( 𝑥3
+ 2) − 3𝑥2( 𝑥2
+ 4)(1+ 𝑥2)
( 𝑥2 + 4)(1+ 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥(𝑥3
+ 2 + 𝑥5
+ 2𝑥2
) − 𝑥(𝑥5
+ 2𝑥2
+ 4𝑥3
+ 8) − 3𝑥2
(𝑥2
+ 𝑥4
+ 4 + 4𝑥2
)
( 𝑥2 + 4)(1+ 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥(𝑥3
+ 2 + 𝑥5
+ 2𝑥2
) − 𝑥(𝑥5
+ 2𝑥2
+ 4𝑥3
+ 8) − 3𝑥2
(5𝑥2
+ 𝑥4
+ 4)
( 𝑥2 + 4)(1 + 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
2𝑥6
+ 2𝑥4
+ 4𝑥3
+ 4𝑥 − 𝑥6
− 4𝑥4
− 2𝑥3
− 8𝑥 − 3𝑥6
− 15𝑥4
− 12𝑥2
( 𝑥2 + 4)(1 + 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]

4. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
4
𝑦′
𝑦
=
1
4
[
−2𝑥6
− 17𝑥4
+ 2𝑥3
− 12𝑥2
− 4𝑥
( 𝑥2 + 4)(1 + 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
] ∴ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑦′
𝑦′ = 𝑦 [
−2𝑥6
− 17𝑥4
+ 2𝑥3
− 12𝑥2
− 4𝑥
4( 𝑥2 + 4)(1+ 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑦 = √
(𝑥2 + 4)
√(1 + 𝑥2) (𝑥3 + 2)
4
ó 𝑦 = (
( 𝑥2
+ 4)
√(1 + 𝑥2) ( 𝑥3 + 2)
)
1
4
Sustituyendo a y en la función derivada tenemos que:
𝑦′
= [(
( 𝑥2
+ 4)
√(1 + 𝑥2) ( 𝑥3 + 2)
)
1
4
] [
−2𝑥6
− 17𝑥4
+ 2𝑥3
− 12𝑥2
− 4𝑥
4( 𝑥2 + 4)(1+ 𝑥2)( 𝑥3 + 2)
]
Realizando operaciones de simplificación, entonces se tiene que:
𝑦′
= [(
( 𝑥2
+ 4)
√(1 + 𝑥2) ( 𝑥3 + 2)
)
1
4
] [(
(−2𝑥6
− 17𝑥4
+ 2𝑥3
− 12𝑥2
− 4𝑥)4
44 ( 𝑥2 + 4)4 (1 + 𝑥2)4 ( 𝑥3 + 2)4
)
1
4
]
𝑦′
= [(
( 𝑥2
+ 4)(−2𝑥6
− 17𝑥4
+ 2𝑥3
− 12𝑥2
− 4𝑥)4
44 √(1 + 𝑥2) ( 𝑥3 + 2) ( 𝑥2 + 4)4 (1 + 𝑥2)4 ( 𝑥3 + 2)4
)
1
4
]
𝑦′
= √
( 𝑥2 + 4)1−4 (−2𝑥6 − 17𝑥4 + 2𝑥3 − 12𝑥2 − 4𝑥)4
256 (1+ 𝑥2)4+
1
2 ( 𝑥3 + 2)4+1
4
𝑦′
= √
( 𝑥2 + 4)−3 (−2𝑥6 − 17𝑥4 + 2𝑥3 − 12𝑥2 − 4𝑥)4
256 √ (1 + 𝑥2)9 ( 𝑥3 + 2)5
4
∴
𝑦′
= √
(−2𝑥6 − 17𝑥4 + 2𝑥3 − 12𝑥2 − 4𝑥)4
256 ( 𝑥2 + 4)3√ (1 + 𝑥2)9 ( 𝑥3 + 2)5
4
𝑂𝑘.

5. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
5
3). 𝑦 = √
(𝑥 − 5)8(𝑥 + 2)4
(𝑥 + 3)7
9
Solución: se aplicaran las propiedades de los logaritmos.
ln 𝑦 = ln √
(𝑥 − 5)8(𝑥 + 2)4
(𝑥 + 3)7
9
→ ln 𝑦 =
1
9
ln
(𝑥 − 5)8
(𝑥 + 2)4
(𝑥 + 3)7
ln 𝑦 =
1
9
[ln(𝑥 − 5)8
(𝑥 + 2)4
− ln(𝑥 + 3)7]
ln 𝑦 =
1
9
[8ln( 𝑥 − 5) + 4ln( 𝑥 + 2) − 7ln(𝑥 + 3)]
Derivando ambos miembros de la función y resolviendo algebraicamente.
𝑦′
𝑦
=
1
9
[8
1
𝑥 − 5
+ 4
1
𝑥 + 2
− 7
1
𝑥 + 3
]
𝑦′
𝑦
=
1
9
[
8( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) + 4( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) − 7(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
]
𝑦′
𝑦
=
1
9
[
8( 𝑥2
+ 5𝑥 + 6) + 4( 𝑥2
− 2𝑥 − 15) − 7(𝑥2
− 3𝑥 − 10)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
]
𝑦′
𝑦
=
1
9
[
8𝑥2
+ 40𝑥 + 48 + 4𝑥2
− 8𝑥 − 60 − 7𝑥2
+ 21𝑥 + 70
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
]
𝑦′
𝑦
=
1
9
[
5𝑥2
+ 53𝑥 + 58
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
] → 𝑦′ = 𝑦 [
5𝑥2
+ 53𝑥 + 58
9(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
]
𝑦′ = [ √
(𝑥 − 5)8(𝑥 + 2)4
(𝑥 + 3)7
9
][
5𝑥2
+ 53𝑥 + 58
9(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
]
𝑦′ = [ √
(𝑥 − 5)8(𝑥 + 2)4(5𝑥2 + 53𝑥 + 58)9
99(𝑥 + 3)7(𝑥 − 5)9(𝑥 + 2)9(𝑥 + 3)9
9
]
𝑦′
= √
(5𝑥2 + 53𝑥 + 58)9
99( 𝑥 + 3)16( 𝑥 + 2)5( 𝑥 − 5)
9
𝑂𝑘.

6. CÁLCULO DIFERENCIAL ING. DAVID PÉREZ VILLA
6
DERIVE LAS SIGUIENTES FUNCIONES.
1). 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2
(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)
Solución:
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ (𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
))
′
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)
′
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)[
(3𝑥 + 2)(3𝑥 − 2)′
− (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2)′
(3𝑥 + 2)2
]
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)[
(3𝑥 + 2)(3)− (3𝑥 − 2)(3)
(3𝑥 + 2)2
]
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)[
9𝑥 + 6 − 9𝑥 + 6
(3𝑥 + 2)2
]
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)[
9𝑥 + 6 − 9𝑥 + 6
(3𝑥 + 2)2
]
𝑦′
= 2𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
)[
12
(3𝑥 + 2)2
]
𝑦′
=
24
(3𝑥 + 2)2
∙ 𝑠𝑒𝑛 (
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) ∙ cos(
3𝑥 − 2
3𝑥 + 2
) 𝑂𝑘.
2).cos ( 𝑥 − 𝑦) = 𝑦 cos 𝑥
Solución:
(cos ( 𝑥 − 𝑦))′ = (𝑦cos 𝑥)′
−𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦)( 𝑥 − 𝑦)′ = 𝑦 (cos 𝑥)′ + cos 𝑥 (𝑦)′
−𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑦′) = 𝑦 (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 𝑥′))+ cos 𝑥 ( 𝑦′)
−𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) + 𝑦′ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) = −𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦′ cos 𝑥
𝑦′[ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) − cos 𝑥] = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑦′ =
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦) − cos 𝑥
𝑂𝑘.