Θέματα Προσομοίωσης μέχρι την εξίσωσης εφαπτομένης από την Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί
1. ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ
ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ Γ' ΣΑΞΗ
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΣΡΙΣΗ 9 ΙΑΝΟΤΑΡΙΟΤ 2018
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΣΕ (5)
Εισηγητής: αράφης Γιάννης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f x ln | x | , x
είναι παραγωγίςιμθ ςτο
και ιςχφει
1
ln | x |
x
.
Μονάδες 7
Α2. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Αν μια ςυνάρτθςθ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα [α,β] τότε παίρνει
υποχρεωτικά όλεσ τισ ενδιάμεςεσ τιμζσ μεταξφ των f και f .
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το
γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδισ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε γραφικά τθν απάντθςι ςασ ςτο ερϊτθμα (α).
Μονάδες 4
Α3. Να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθν πρόταςθ που δεν
ιςχφει για κάθε ςυνάρτθςθ:
α. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ
τότε είναι και ςυνεχισ ςτο 0x .
β. Αν θ ςυνάρτθςθ δεν είναι ςυνεχισ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ τότε
δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x .
ΣΕΛΟ 1Η ΑΠΟ 5 ΕΛΙΔΕ
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης
2. ΑΡΧΗ 2Η ΕΛΙΔΑ
γ. Αν θ ςυνάρτθςθ δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ τθσ
τότε είναι ςυνεχισ ςτο ςθμείο 0x .
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ,δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ,τθ λζξθ ωστό ,αν θ
πρόταςθ είναι ςωςτι,ι Λάθος ,αν θ πρόταςθ είναι λανκαςμζνθ.
α. Οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και f είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ
τον άξονα y'y.
β. Αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμϊν μιασ ςυνάρτθςθσ f , θ εξίςωςθ
y f x ζχει τουλάχιςτον μια λφςθ ωσ προσ x τότε θ f είναι 1-1.
γ. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f που είναι οριςμζνθ ςε ζνα ςφνολο 0 0,x x , . Ιςχφει
0 0 0x x x x x x
lim f x =- lim f x = lim f x
.
δ. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο , και υπάρχει 0 0x , : f x 0
τότε f f 0 .
ε. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςτο , τότε το ςφνολο
τιμϊν τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το διάςτθμα , ,oπου
x x
lim f x , = lim f x
.
Moνάδες 10
ΘΕΜΑ Β
το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ f.
ΣΕΛΟ 2Η ΑΠΟ 5 ΕΛΙΔΕ
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης
3. ΑΡΧΗ 3Η ΕΛΙΔΑ
i. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
Μονάδες 2
ii. Να βρείτε το πλικοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ f x , 1, .
Μονάδες 4
iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζνα τουλάχιςτον 0x 4,4 τζτοιο ϊςτε
0
1 3
2f 1 f 4f
2 2
f x
7
.
Μονάδες 6
το παρακάτω ςχιμα δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ ςυνάρτθςθσ g.
iv. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ και το ςφνολο τιμϊν τθσ g.
Μονάδες 2
v. Να υπολογίςετε,αν υπάρχουν,τα παρακάτω όρια:
x 2
1
lim
g x
, x 1
limg x
,
x 4
1
lim
g x
, x
lim g x
,
x
1
lim
g x
.
Μονάδες 6
vi. Να εξετάςετε ςε ποιεσ τιμζσ θ ςυνάρτθςθ g δεν είναι ςυνεχισ ςτο πεδίο οριςμοφ
τθσ. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ.
Μονάδες 2
ΣΕΛΟ 3Η ΑΠΟ 5 ΕΛΙΔΕ
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης
4. ΑΡΧΗ 4Η ΕΛΙΔΑ
vii. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ h x f g x .
Μονάδες 3
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f : για τθν οποία ιςχφει
2 2 2x
f x x e 2xf x για κάκε x, f και f 0 1 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι x
f x e x .
Μονάδες 4
Γ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικόσ 0x για τον οποίο ιςχφει
x0
0 0e x x
0e e x e 1
.
Μονάδες 6
Γ3. Να λφςετε τθν ανίςωςθ 1
f f | x | 1 f x 1 0
όπου 1
f x
είναι θ
αντίςτροφθ τθσ f.
Μονάδες 4
Γ4. Να αποδείξετε ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f και 1
f
δεν
τζμνονται.
Μονάδες 4
Γ5.
Ζςτω θ ςυνάρτθςθ x
g f x e x 1 , για κάκε x.
α. Να βρείτε τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ g.
Μονάδες 3
β. Να υπολογίςετε , αν υπάρχουν ,τα όρια :
i.
x 0
x 1
lim
x 1 g x
ii. x
lim g x x 1
Μονάδες 4
ΣΕΛΟ 4Η ΑΠΟ 5 ΕΛΙΔΕi
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης
5. ΑΡΧΗ 5Η ΕΛΙΔΑ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ
2
2 2
x 1 x , x 1,1
f x
ln x 1 x 1 , x 1,e
.
Δ1. Να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθ ςυνζχεια και να βρείτε τθν
παράγωγο,όπου υπάρχει, ςτο διάςτθμα 1,e .
Μονάδες 7
Δ2. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ ςτο ςθμείο
2 2
,f
2 2
.
Μονάδες 4
Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ςθμείο 0 0x ,f x με 0x 1,e ςτο
οποίο θ εφαπτομζνθ είναι παράλλθλθ ςτον άξονα x'x .
Μονάδες 7
Δ4. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f ζχει δφο κζςεισ ελαχίςτου και μια κζςθ μεγίςτου
ςτο διάςτθμα 1,e .
Μονάδες 7
ΣΕΛΟ 5Η ΑΠΟ 5 ΕΛΙΔΕ
11.01.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5
Ελληνογαλική Σχολή Καλαμαρί Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης