Mk ed1 ed_8_ekf

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
1Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2)
[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  ,  . Αν:
 η f είναι συνεχής στο  ,  και
 f( ) f( )  
Τότε, για κάθε αριθμό  μεταξύ των f( ) και f( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον  0x ,  
τέτοιος ώστε 0f(x )  .
(Μονάδες 10)
Α2.
1) Διατυπώστε το Θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα
κλειστό διάστημα  ,  .
(Μονάδες 3)
2) Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;
(Μονάδες 2)
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή, ή με
Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:
α) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος  μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα
β) Αν f,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f) , τότε ορίζεται και η (h g) f
και αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες .
γ) Μία συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική
παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.
δ) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει f(x) g(x) , τότε
0 0x x x x
lim f(x) lim g(x)
 
 .
ε) Αν
0x x
lim f(x)

 , τότε f(x) 0 κοντά στο 0x .
(Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f :  με 0 f(x) 1  για κάθε x και η
συνάρτηση 2
f(x)
g(x)
f (x) 1


.

2
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .
(Μονάδες 5)
2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα και 1-1.
(Μονάδες 5)
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
f(g(x 1)) f(g(4x 2x))   έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και
μια αρνητική ρίζα.
(Μονάδες 10)
4. Να επιλυθεί η ανίσωση 3 2
(f g)(x 4) (f g)(3x )  .
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Γ
Έστω η συνάρτηση x
f(x) ln(e 1) x   .
1. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της.
(Μονάδες 3)
2. Να βρείτε το πρόσημο της f.
(Μονάδες 4)
3. Μελετήστε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
(Μονάδες 5)
4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και βρείτε την 1
f (x)
.
(Μονάδες 4)
5. Αν
1
h(x) ln
x
 , αποδείξτε ότι υπάρχει 0x 0 τέτοιο ώστε 0 0f(x ) h(x ) .
(Μονάδες 5)
6. Nα βρείτε το όριο:
3 2
2x
f(1)x x 2
lim
f(2)x x 1
 
 
.
(Μονάδες 4)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f :  έτσι ώστε να ισχύει 3
f (x) 2f(x) x 1   για κάθε x .
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.
(Μονάδες 3)
2. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το και στη συνέχεια να βρείτε την
αντίστροφή της.
(Μονάδες 5)
3. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με το άξονα x΄x .
(Μονάδες 3)
4. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες 4)
5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 1  .
(Μονάδες 4)

3
6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε 0x  .
(Μονάδες 6)
Καλή επιτυχία

«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»
2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
Σελίδα 1 από 3
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
2Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 2)
[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο   v v 1
1 1 0P x x x x
       ισχύει
   
0
0
x x
lim P x P x

 , με 0x  .
Μονάδες 10
2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] του
πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
3. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):
α) Δίνεται το παρακάτω σχήμα τότε
 
 
 
x 4
g x
lim .
f x
Μονάδες 2
β) Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη.
Μονάδες 2
γ) H f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση
y f(x) έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.
Μονάδες 2
δ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο σύνολο  1,4  με  f x 0 για κάθε
 x 1,4 και  f 3 2  . Τότε ισχύει  f x 0 για κάθε  x 1,4 .
Μονάδες 2
ε) Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει
   1 1
f 2015 4, f 1949 1 
    . Τότε δεν υπάρχει 0x  τέτοιο ώστε 0f(x ) 0 .
Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει
   2 2 2
f x 2f x x x x    για κάθε x και  f 0 1 .
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση    g x f x x  , x διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Μονάδες 10
2. Να αποδείξετε ότι      2
f x x 1 x .
Μονάδες 5
3. Να βρείτε τα όρια:
α)
 
x 0
f x 2 x
lim
x
  
β)  x
lim f x

Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Γ
1. Δίνεται η συνάρτηση  
 
2
2 ln x , 0 x e
f x
x ln x e 1 , e x
   
 
    
α) Να βρείτε τον αριθμό  έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο
ορισμού της.
Μονάδες 5
β) Αν
3
e
  , τότε η εξίσωση  f x 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα  1,2e .
Μονάδες 5
2. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν:  
 f x
f e 4ln x 3  , για κάθε x 0
και    
   
2f x 4
f f e ln ln x 3 1   για κάθε
3/4
x e
 .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
Μονάδες 5
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .
Μονάδες 3

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση    x 2014
f f x f e 
 έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο
1
,1
e
 
 
 
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση 2
f(x) x x x1 ,  
1. Να δείξετε ότι f(x) 0 για κάθε x .
Μονάδες 4
2. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο  0, .
Μονάδες 3
3. Να δείξετε ότι
1
f( x)
f(x)
  (Μονάδες 2) και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
(Μονάδες 5).
Μονάδες 7
4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ,  ισχύει   2 2
1 1 1       να
αποδείξετε ότι 0   .
Μονάδες 5
5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f .
Μονάδες 6
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:
Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού
Γενικού Λυκείου Ηρακλείου.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο
Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.

3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
3Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3)
[Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε
είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
Μονάδες 10
2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;
Μονάδες 5
3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):
(1) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f δεν είναι
συνεχής στο 0x .
(2) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x ,τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη
στο 0x .
(3) Αν δεν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f καιg στο 0x , τότε, δεν μπορεί
να υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο 0x .
(4) Αν υπάρχουν στο τα όρια
0x x
lim f(x) και
0x x
lim(f(x) g(x)) , τότε υπάρχει και
το όριο της g στο 0x .
(5) Αν x
f(x) x , x 0 , τότε x 1
f (x) x x
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f :  και η συνάρτηση g :  ώστε
για κάθε x να ισχύει η σχέση:  f f(x) 2g(x) x  .
1. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο .
Μονάδες 5
2. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της h(x) f(x) g(x)  .
Μονάδες 5

3. Έστω 0x  με 0 0f(x ) x .
α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC τέμνονται σε ένα μόνο
σημείο.
Μονάδες 5
β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 0 0f(f(x x 2)) x x 2f(x x 2) 2        .
Μονάδες 5
γ) Να λύσετε την ανίσωση: 0 0f(f(ln x x 1)) ln x 1 x     .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση
2 2 x
1 x 1
, -1 x<0
xf(x)
1
ln(x e) 2 ( )e , x 0
2
όπου , .
1.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 0, να βρείτε τις τιμές των και .
Μονάδες 8
2. Αν = 1 και =0 ,
α) Να υπολογίσετε το όριο
x 1
f(x) 1
lim
x 1
.
Μονάδες 5
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον θετικό ημιάξοναOx σε ένα
τουλάχιστον σημείο.
Μονάδες 6
γ) Να υπολογίσετε το όριο
x 0
1
lim xf(x)
x
.
Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , της οποίας η γραφική παράσταση fC
διέρχεται από το σημείο Α(0,1).
1. α) Να υπολογίσετε το
2
x 0
f(x ) 1
lim
x
Μονάδες 4
β) Να αποδείξετε ότι
2
x 0
f (2x) 1
lim 4f (0)
x
Μονάδες 4
2. Αν επιπλέον για την f ισχύει, 2 2
f (x) 4f(x) x 3 για κάθε x , να βρείτε τον
τύπο της.
Μονάδες 7
3. Αν 2
f(x) 2 x 1, x
α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της fC , οι οποίες διέρχονται από το
σημείο
3
0,
2
.
Μονάδες 6
β) Έστω σημείο Μ της fC με θετική τετμημένη. Αν η τετμημένη του Μ
απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο με ταχύτητα 2cm/ sec, να βρείτε το
ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ.
Μονάδες 4
Το θέμα Β επιμελήθηκε ο Αρετάκης Δημήτριος, Μαθηματικός- MSc του ΓΕΛ Καστριτσίου
Πατρών.
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο
Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.

4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ
4Ο
ΘΕΜΑ Α
1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση   xf x  είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει:
 
1
2 x
f x  .
Μονάδες 10
2.Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
3.Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):
α) Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x0, αλλά δεν είναι συνεχής στο x0, τότε
δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.
Μονάδες 2
β) Αν για την 1 1 συνάρτηση f ισχύει      f x f 1 x f κx λ    για κάθε x ,
τότε 0κ  .
Μονάδες 2
γ) Αν για μια συνάρτηση f συνεχή στο  α, β ισχύουν  lim
x α
f x

  και
 lim
x β
f x

  ,τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο  α, β .
Μονάδες 2
δ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο
καμπής.
Μονάδες 2
ε) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  ισχύει  1 0f  , τότε το  1f
είναι πάντα τοπικό ακρότατο.
Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση g:(0, )  , με:
 g x xln x cx 1  
όπου c . H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της
 (e,g e ) είναι παράλληλη στην ευθεία:
: x y 2015 0   
α) Να βρείτε τον αριθμό c.
Μονάδες 5
β) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 7
γ) Να βρείτε τα όρια  x 0
xlim g

και  x
glim x

.
Μονάδες 7
δ) Με τη βοήθεια του Συνόλου Τιμών της g , ή με οποιονδήποτε άλλο ενδεδειγμένο
τρόπο, μπορείτε να αποδείξετε ότι:
x x 1
x e 

ισχύει για κάθε x 0 .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:  , δύο φορές παραγωγίσιμες των οποίων οι
γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο ίδιο σημείο του άξονα y y και ισχύει ότι:
   f x g x  , για κάθε x (1) και
1
2 x
f(x)g(x) x x e   για κάθε x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει k , ώστε:
   f x g x kx  , για κάθε x
Μονάδες 8

β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο  τις ευθείες ε1, ε2
αντίστοιχα με 1 1x  και 1 2x  αποδείξτε 1 2x 0x  .
Μονάδες 8
γ) Αν η g(x) έχει δύο ρίζες τις 1 2x ,x με 1 2x x του προηγουμένου θεωρήματος,
να αποδείξετε ότι εξίσωση  f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο .
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f :(0, )  η οποία είναι συνεχής στο (0, ) με f(2) ln2 ,
1
f e
e
 
 
 
και για κάθε x (0,1) (1, )  ισχύουν τα εξής:
 η f είναι παραγωγίσιμη
 xf(x) 1 | x(x 1) | f (x) 0   

1
f(x)
x

1. Να δείξετε ότι f(1) 1 .
Μονάδες 5
2. Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των συναρτήσεων F(x) (x 1)f(x)  και G(x) ln x
είναι παράλληλες σε όλα τα σημεία με ίδια τετμημένη 0 (0,1) (1 )x ,   .
Μονάδες 4
3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (Μονάδες 4) και να εξετάσετε την
παραγωγισιμότητά της στο 0x 1 (Μονάδες 2).
Μονάδες 6
Αν είναι
lnx
, x 1
f(x) x 1
1, x 1




 

, τότε:

4. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) (Μονάδες 4) και ότι f(x) 1
για κάθε x 1 (Μονάδες 2).
Μονάδες 6
5. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και (x) με
x
x 1
(x) 1
e

   , τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο στο διάστημα [1, ) .
Μονάδες 4
Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και
Μοτσάκο Βασίλειο.

5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
5Ο
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
 Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε
όλο το Δ.
 Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε
όλο το Δ.
Μονάδες 9
Α2.
1) Να αναφαίρετε τις πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f που
ορίζεται σε ένα διάστημα Δ.
Μονάδες 2
2) Που αναζητούμε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;
Μονάδες 2
3) Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ΄ένα διάστημα Δ;
Μονάδες 2
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι
σωστή, ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:
α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης
f στο διάστημα  1,10 .
1) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα    1,1 , 4,8 . Σ Λ
2) Η f είναι κοίλη στα    1,0 , 2,5 και  6,7 . Σ Λ
3) Τα -1,4,10 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων. Σ Λ
4) Τα 0,2,5,6,7 είναι θέσεις σημείων καμπής. Σ Λ

β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα  ,  και έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο  ,  ισχύει f( )f( ) 0   . Σ Λ
γ) Αν f,g δύο συναρτήσεις ορισμένες κοντά στο  0x ,    και ισχύουν:
α) f(x) g(x) , κοντά στο 0x και β)
0x x
lim f(x)

 , τότε θα ισχύει:
0
limg( )
x x
x

  . Σ Λ
δ) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η συνάρτηση f δεν
παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο
διάστημα Δ. Σ Λ
ε) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό
σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της
1
f 
. Σ Λ
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση 2
f(x) x 2ln x  , x 0 .
1) Να μελετηθεί και να γίνει η γραφική της παράσταση.
Μονάδες 10
2) Αποδείξτε ότι ισχύει
2
x 1
2e x

 , για κάθε x 0 .
Μονάδες 3
3) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
2
x k 2
e x
 για τις διάφορες τιμές του
k 0 .
Μονάδες 5
4) Βρείτε την τιμή του  ώστε η συνάρτηση
2ln x
, x 0
f(x)g(x)
, x 0


 
  
, να είναι
συνεχής.
Μονάδες 3
5) Για 1   , αποδείξτε ότι η συνάρτηση g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,e) .
Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει:
3
f (x) 6f(x) 3x 2017   , για κάθε x .
1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 3
2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη.
Μονάδες 3
3) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι όλο το και βρείτε
τον τύπο της 1
f 
.
Μονάδες 6
4) Να βρείτε τα όρια: α)
x 670
lim f(x)

και β)
1
4x
f (x) x
lim
x



.
Μονάδες 6
5) Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 1
h(x) f (x)
 στο σημείο
A(0,h(0)) και αποδείξετε ότι αυτή ΄΄διαπερνά΄΄ την καμπύλη της γραφικής
παράστασης της h (ή ότι το σημείο Α είναι σημείο καμπής).
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα  1,4 .
Αν το σύνολο τιμών της f είναι το  2,3 και f(1) 2 , f(4) 1 τότε:
1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (1,4) , έτσι ώστε 0f(x ) 0 .
Μονάδες 3
2) Να αποδείξετε ότι η fC δέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτόμενες και έχει
ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής.
Μονάδες 5
3) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ): y x 2    τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον
σημείο με τετμημένη στο  1,4 .
Μονάδες 4
4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,4) , έτσι ώστε η εφαπτομένη
της fC στο  M ,f( )  να διέρχεται από το σημείο Α(0,2).
Μονάδες 5

5) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον 1 2, (1,4)   με 1 2   έτσι ώστε
1 2
1 1 3
f ( ) 2f ( ) 2
  
  
Μονάδες 3
6) Ένα σημείο Κ κινείται στην ευθεία   του ερωτήματος (3), η οποία τέμνει τον
άξονα x x στο Μ και Λ η προβολή του Κ στον άξονα x x . Το σημείο Λ
απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων O(0,0) με ρυθμό 1 / secm . Να βρείτε
το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΚΛΜ τη χρονική στιγμή 0t που η
τετμημένη του Κ είναι ίση με τη τεταγμένη του.
Μονάδες 5

6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
6Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ
[Κεφάλαια 1, 2, 3 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο
Δ, να αποδείξετε ότι:
α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής    G x F x c  , c είναι παράγουσες της f
στο Δ και
β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή    G x F x c  , c .
Μονάδες 8
2. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή
παράγουσα της f στο Δ;
Μονάδες 4
3. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα
σημεία της f ;
Μονάδες 3
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή
με Λάθος αν είναι λανθασμένη:
α) Εάν  , τότε το f(x)dx

 είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που
βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που
βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.
β)  
1
2
u
u
f g(x) g (x)dx f(u)du


   , όπου f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x) ,
du g (x)dx και 1u g( )  , 2u g( )  .
γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα  ,  και f(x) 0 για κάθε  x ,   ,
τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , στον
άξονα x x και τις κατακόρυφες ευθείες x   και x  , ισούται με f(x)dx


 .
δ) Αν
0x x
lim f(x) 0

 και f(x) 0 κοντά στο 0x , τότε
0x x
1
lim
f(x)
  .

ε) Έστω μια συνάρτηση fπαραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα
σημείο του 0x , στο οποίο η f είναι συνεχής.
Αν f (x) 0  στο 0( , x ) και f (x) 0  στο 0(x , ) , τότε το 0f(x ) είναι τοπικό ελάχιστο
της f.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 1,  για την οποία ισχύουν:
 f(e) 0

f (x)
x
f(x)
f (x) e
x
   , για κάθε x 1.
Β1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι  f(x) x ln lnx   .
Μονάδες 5
Β2. Να βρείτε τη μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 8
Β3. Να δείξετε ότι η εξίσωση    
x 1
lnx ,x 1,
m
   έχει ακριβώς μία λύση για κάθε
m 0 .
Μονάδες 5
Β4. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2
f(x 2) f(3x) 3x x 2   
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g:  ,για την οποία ισχύει:
 
 2
1
g' x
3g x

 
για κάθε x όπου μία σταθερά στο σύνολο .
Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της , στο σημείο της A(0,g(0)) έχει
εξίσωση:
x 2018y 2018 0  
α) Να βρείτε τον αριθμό .
Μονάδες 4

β) Να αποδείξετε ότι    3
g x 2015 g x x 2016    για κάθε x .
Μονάδες 5
γ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι το , να αποδείξτε ότι η συνάρτηση g
αντιστρέφεται και έχει τύπο 1 3
g (x) x 2015x 2016
   .
Μονάδες 4
δ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της gC .
Μονάδες 6
ε) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:
1
2
g (x)
f(x)
x g(x) (g (x) 2015)


  
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Έστω μια συνάρτηση f με τύπο *lnx
f(x) ,
x
 

για την οποία ισχύει:
f(x) x 1  για κάθε x 0
Δ1. Να δείξετε ότι 1. 
Μονάδες 4
Δ2. Για 1. 
(α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
Μονάδες 4
(β) Να δείξετε ότι
1
f(x)
e
 για κάθε x 0 .
Μονάδες 3
(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2
ln x 2 x 0   , έχει το πολύ μία ρίζα στο  0, , για κάθε
1
e
   .
Μονάδες 4
(δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  1,e τέτοιο ώστε
2
2
1 ln .
e e

  


Μονάδες 5
(ε) Αν η αντίστροφη της f στο  0,e είναι συνεχής να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από την 1
f
C  , τους άξονες x x , y y και την ευθεία
1
x .
e

Μονάδες 5
Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-MSc του 2ου ΓΕΛ Ηρακλείου
Κρήτης.

7o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
7Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα
σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.
Αποδείξτε ότι αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο 0 0(α,x ) (x ,β) , τότε το 0f(x ) δεν είναι
τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β).
Μονάδες 10
2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση
της f στο Δ;
Μονάδες 5
3.Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ), αν είναι σωστή,
ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:
1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού
της, τότε
0
0 0
0
h x
f(x h) f(x )
f (x ) lim
h
 
  .
2) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού
της, τότε η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό.
3) Έστω συνάρτησηf συνεχής στο διάστημα [α,β]. Αν f(α)f(β)>0, η εξίσωση
f(x)=0 δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β).
4) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και
δεν είναι 1-1, τότε υπάρχει 0x  στο οποίο η γραφική παράσταση της f έχει
οριζόντια εφαπτομένη.
5) Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x και τις
ευθείες x=ακαι x=β είναι
β
α
E( ) f(x) dx   .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο 0 με f (0) 1  και για κάθε x,y ισχύει:
y x
f(x) f(y)
f(x y)
e e
   .

1. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x , με
0
0 0x
1
f (x ) f(x )
e
   .
Μονάδες 8
2. Αποδείξτε ότι ο τύπος της f είναι x
x
f(x)
e
 .
Μονάδες 4
3. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 6
4. Αν Ε είναι το εμβαδόν της fC , του άξονα x΄x και των ευθειών x=2 & x=3, αποδείξτε
ότι ισχύει 3 2
3 2
E
e e
  .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει:
 
x 1
f x+2 -5
lim = 6
x-1
1. Να αποδείξετε ότι:
α)  f 3 =5και β)  f 3 =6
Μονάδες 6
2. Να υπολογίσετε το όριο
x+2 - f(x)
lim
ημ(x-3)x 3
.
Μονάδες 7
3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) = xf(x)-3x-7συνx ,
x τέμνει τον άξονα x x τουλάχιστον σε ένα σημείο.
Μονάδες 5
4. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g :  , για την οποία ισχύει
g (x) f (3)  , για κάθε x . Αποδείξτε ότι η εξίσωση 6
g(x) = x , έχει το πολύ μία ρίζα
μεγαλύτερη του 1.
Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  έτσι ώστε 3
f (x) f(x) 2x  .
α) Να βρείτε το πρόσημο της f .
Μονάδες 3
β) Βρείτε τις ρίζες και τη μονοτονία της f .
Μονάδες 3
γ) Αποδείξτε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και εξετάστε την ως προς την
κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 5
δ) Αποδείξτε ότι για κάθε x>0 ισχύει: xf (x) f(x) 2x   .
Μονάδες 6
ε) Αν η f έχει σύνολο τιμών το να βρείτε την αντίστροφή της.
Μονάδες 3
στ) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=0 και x=5.
Μονάδες 5
Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Κωνσταντόπουλος Λεωνίδας, Μαθηματικός-MSc του Γυμνασίου
Βάρδας Ηλείας.

8o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ
8Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)
ΘΕΜΑ Α
1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του
Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,
να αποδείξετε ότι: 0f '(x ) 0.
Μονάδες 8
2. Πότε μια συνάρτηση f :A  λέγεται συνάρτηση 1-1;
Μονάδες 3
3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού
της;
Μονάδες 4
4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή
με Λάθος αν είναι λανθασμένη.
α). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f (0) 0  , τότε το 0 είναι θέση
τοπικού ακρότατου.
β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και f g τότε υποχρεωτικά ισχύει
f g g f .
γ) Αν
0x x
lim f(x)

  ή , τότε
0x x
lim f(x)

 .
δ) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως
αύξουσα στο Δ, τότε υποχρεωτικά f '(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.
ε)  f(x) g'(x) dx f '(x) g(x) dx f(x) g(x)
 


 
    όπου f', g' είναι συνεχείς συναρτήσεις
στο [ , ]  .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται συνάρτηση f , με 2x 5
f(x) e (x 1)   .
1. Να βρεθεί η μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της.
Μονάδες 5

2. Να αποδείξετε, ότι η γραφική παράσταση fC , της f , τέμνει τον άξονα x x , σ’ ένα
ακριβώς σημείο.
Μονάδες 5
3. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 3
g (x) 2g(x) 5f(x)  , για κάθε
x , να αποδείξετε ότι:
i. H g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .
Μονάδες 5
ii. Η γραφική παράσταση gC , της g , τέμνει τον άξονα x x στο ίδιο σημείο
με την fC .
Μονάδες 5
4. Να λυθεί η ανίσωση 2
g(f(x)) g(e ) .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση  2
f (x) 3f(x) x 0, x 2,      . Αν
για κάθε  x 2,   ισχύει f(x) 1  , τότε:
1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο  2,  .
Μονάδες 5
2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο  2,  .
Μονάδες 5
3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 5
4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
(4,f(4)) .
Μονάδες 5
5. Να αποδείξετε ότι για κάθε  x 2,   , ισχύει 5f(x) x 1  .
Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση    x 2
f x e x 4x 6   και η παραγωγίσιμη συνάρτηση
g :  , έτσι ώστε να ισχύουν         
2
g 1 2xg x g x 1 f x 6 0      για κάθε
x και
   
h 0
g 1 2h g 1 h
lim 0
h
  
 .
Να αποδείξετε ότι :
1.  g 1 0 
Μονάδες 5
2. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC για x  .
Μονάδες 3
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
Μονάδες 3
3. Να βρείτε σημείο Α της hC με    h x f x ώστε το σημείο  B 1,0 να απέχει
την ελάχιστη απόσταση από την hC και να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της hC
είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ
Μονάδες 7
4. Αν 0
2

   και  
 
 g
g 0
f x dx 0

 , να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
     0 0 0 0x 0, :g x x g x    
Μονάδες 7
Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών.

Mk ed1 ed_8_ekf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Mk ed1 ed_8_ekf

Similar to Mk ed1 ed_8_ekf (20)

More from Christos Loizos

More from Christos Loizos (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Mk ed1 ed_8_ekf