1. Rombel 004 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang menjelaskan beberapa transformasi matematika.
2. Transformasi tersebut meliputi pencerminan, geseran, rotasi, dan setengah putaran serta hubungan antara transformasi tersebut.
3. Bukti langsung dan tak langsung diberikan untuk menunjukkan hubungan antara beberapa transformasi tersebut.
3. Suatu transformasi 𝑇 adalah transformasi
kesebangunan (atau disingkat kesebangunan)
apabila ada sebuah konstanta 𝑘 > 0 sehingga
untuk setiap pasang titik 𝑃, 𝑄 = 𝑘𝑃𝑄 dengan
𝑇 𝑃 = 𝑃’ dan 𝑇(𝑄) = 𝑄’.
DEFINISI TRANSFORMASI
4. Definisi:
Andaikan 𝐹 dan 𝐺 dua transformasi, dengan
𝐹: 𝑉 → 𝑉
𝐺: 𝑉 → 𝑉
Maka komposisi dari 𝐹 dan 𝐺 yang ditulis sebagai 𝐺 ∘
𝐹 didefinisikan sebagai
𝐺 ∘ 𝐹 𝑃 = 𝐺 𝐹 𝑃 , ∀𝑃 ∈ 𝑉
HASIL KALI TRANSFORMASI
5. Teorema 5.1:
Jika 𝐹: 𝑉 → 𝑉 dan 𝐺: 𝑉 → 𝑉 masing-masing
suatu transformasi, maka hasil kali
𝐻 = 𝐺 ∘ 𝐹: 𝑉 → 𝑉
adalah juga suatu transformasi.
HASIL KALI TRANSFORMASI
6. Transformasi yang digunakan dalam presentasi
ini adalah sebagai berikut.
1. Pencerminan terhadap garis 𝑠 𝑀𝑠
2. Geseran terhadap ruas garis 𝑃𝑄 𝐺 𝑃𝑄
3. Refleksi geser
4. Rotasi sejauh 𝜑 dengan pusat rotasi 𝐴 𝑅 𝜑,𝐴
5. Setengah putaran pada suatu titik 𝐵 𝑆 𝐵
7. Definisi:
Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis 𝑠 adalah
suatu fungsi 𝑀𝑠 yang didefinisikan untuk setiap titik
pada bidang 𝑉 sebagai berikut.
• Jika 𝑃 ∈ 𝑠 maka 𝑀𝑠 𝑃 = 𝑃
• Jika 𝑃 ∉ 𝑠 maka 𝑀𝑠 𝑃 = 𝑃′ sehingga garis 𝑠 adalah
sumbu 𝑃𝑃′
PENCERMINAN
8. Definisi:
Suatu padanan 𝐺 dinamakan suatu geseran apabila ada
ruas garis berarah 𝐴𝐵 sehingga setiap titik 𝑃 pada bidang
menjadi 𝑃’ dengan 𝐺(𝑃) = 𝑃’ dan 𝑃𝑃′ = 𝐴𝐵
Teorema 10.3:
Andaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang sejajar dan 𝐶𝐷 sebuah
garis berarah tegak lurus pada 𝑔 dengan 𝐶 ∈ 𝑔 dan 𝐷 ∈
ℎ. Apabila 𝐴𝐵 = 2𝐶𝐷 maka 𝐺 𝐴𝐵 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ.
GESERAN
9. Definisi:
Sebuah transformasi 𝑅 dinamakan refleksi geser apabila
ada garis 𝑔 dan sebuah ruas garis berarah 𝐴𝐵 yang
sejajar 𝑔 sehingga 𝑅 = 𝐺 𝐴𝐵 𝑀𝑔. Garis 𝑔 ini dinamakan
sumbu refleksi geser.
Oleh karena setiap translasi dapat diuraikan menjadi
hasil kali dua refleksi garis, maka suatu refleksi geser
dapat ditulis sebagai hasil kali tiga refleksi garis.
REFLEKSI GESER
10. Teorema 11.2:
Jika 𝑠 dan 𝑡 dua garis yang tidak tegak lurus dan
yang berpotongan di titik 𝐴 dan jika sudut antara
garis 𝑠 ke garis 𝑡 adalah
1
2
𝜑, maka 𝑅 𝐴,𝜑 =
𝑀𝑡 𝑀𝑠.
ROTASI
11. Definisi:
Suatu setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu
padanan 𝑆𝐴 yang didefinisikan untuk setiap titik pada
bidang sebagai berikut.
• Apabila 𝑃 ≠ 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′ sehingga 𝐴 titik
tengah ruas garis 𝑃𝑃′.
• 𝑆𝐴 𝐴 = 𝐴
SETENGAH PUTARAN
12. Teorema 7.1:
Andaikan 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak
lurus yang berpotongan di 𝐴, maka 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ.
Teorema 7.2:
Jika 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus, maka
𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑀ℎ 𝑀𝑔.
SETENGAH PUTARAN
15. Langkah-langkah menggambar
1. Menentukan titik 𝑩, yaitu titik perpotongan antara garis 𝒂 dan garis 𝒃.
2. Menentukan garis 𝒄 dan titik 𝑨 dimana 𝑨 ∈ 𝒄. Sudut yang terbentuk oleh
garis 𝒂 dan 𝒄 adalah
𝟏
𝟐
𝝋.
3. Menentukan garis 𝒅 dan 𝒆, dimana 𝒅 ∥ 𝒆.
4. Menentukan garis berarah 𝑲𝑳 yang tegak lurus garis 𝒅 dan garis 𝒆. Jarak
garis 𝒅 dan 𝒆 adalah
𝟏
𝟐
ukuran 𝑲𝑳.
5. Menentukan garis 𝒔.
6. Menentukan garis berarah 𝑷𝑸 yang tegak lurus garis 𝒔 dan garis 𝒆, dimana
jarak antara kedua garis
𝟏
𝟐
ukuran 𝑷𝑸.