Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran dan hubungannya dengan jari-jari lingkaran, termasuk rumus untuk menghitung panjang garis singgung persekutuan dalam dan luar dua lingkaran, serta panjang minimal tali yang mengikat tiga buah lingkaran yang sama ukurannya.

1. Garis Singgung
Lingkaran

2. Letak titik terhadap lingkaran

3. Hubungan garis terhadap lingkaran
Garis 𝑔 memotong
lingkaran
Garis 𝑔 menyinggung
lingkaran
Garis 𝑔 tidak memotong
lingkaran

4. Garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran
• Melalui suatu titik di luar lingkaran, dapat dibentuk tepat dua buah
garis singgung, yaitu garis 𝑨𝑷 dan garis 𝑩𝑷.
• Sehingga garis singgung 𝑨𝑷 tegak lurus terhadap jari-jari 𝑶𝑨 dan
garis singgung 𝑩𝑷 tegak lurus terhadap jari-jari 𝑶𝑩.

5. • Bangun datar 𝑃𝐴𝑂𝐵 adalah layang-layang. Layang-layang 𝑃𝐴𝑂𝐵 dibentuk oleh
dua buah segitiga yang kongruen, yaitu ∆𝑷𝑨𝑶 dan ∆𝑷𝑩𝑶.
• Karena ∆𝑃𝐴𝑂 merupakan segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras:
𝑃𝑂2
= 𝐴𝑃2
+ 𝐴𝑂2
𝐴𝑃2
= 𝑃𝑂2
− 𝐴𝑂2
𝑨𝑷 = 𝑷𝑶𝟐 − 𝑨𝑶𝟐
𝑨𝑷 = panjang garis singgung lingkaran
𝑶𝑷 = jarak titik pusat ke titik di luar lingkaran
𝑶𝑨 = 𝑶𝑩 = jari-jari lingkaran

6. Garis Singgung Persekutuan Dalam
• Terdapat 2 buah lingkaran yang berpusat pada titik 𝑀 dan 𝑁.
• Garis 𝐴𝐵 menyinggung lingkaran 𝑀 pada titik 𝐴 dan menyinggung
lingkaran 𝑁 pada titik 𝐵, sehingga garis 𝐴𝐵 merupakan garis
singgung persekutuan lingkaran 𝑀 dan 𝑁, karena garis 𝐴𝐵 berada di
antara pusat kedua lingkaran, maka dinamakan garis singgung
persekutuan dalam.

7. • Garis 𝐴𝐵 merupakan garis singgung persekutuan dalam.
• Kemudian dibuat 𝐴𝐵 sejajar 𝑁𝑂.
• Jari-jari lingkaran berpusat di 𝑀 adalah 𝑀𝐴 = 𝑅 (Jari-jari lingkaran besar).
• Jari-jari lingkaran berpusat di 𝑁 adalah 𝑁𝐵 = 𝑟 (Jari-jari lingkaran kecil).
• Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 𝑀𝑁 = 𝑝
• Panjang 𝑀𝑂 = 𝑅 + 𝑟.
• 𝑀𝐴 tegak lurus dengan 𝐴𝐵 (karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan
jari-jari yang melalui titik singgungnya) dan 𝐴𝐵 sejajar 𝑁𝑂, maka 𝑚∠𝑀𝑂𝑁 = 90°.

8. • Perhatikan ∆𝑀𝑂𝑁 yang merupakan segitiga siku-siku di 𝑂,
maka berlaku teorema Pythagoras
𝑀𝑁2 = 𝑀𝑂2 + 𝑂𝑁2
𝑂𝑁2
= 𝑀𝑁2
− 𝑀𝑂2
𝑑 = 𝑝2 − (𝑅 + 𝑟)2
• Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran:
𝑑 = 𝑝2 − (𝑅 + 𝑟)2

9. Garis Singgung Persekutuan Luar
• Terdapat 2 buah lingkaran yang berpusat pada titik P dan Q.
• Garis 𝐴𝐵 menyinggung lingkaran 𝑃 pada titik 𝐴 dan menyinggung
lingkaran 𝑄 pada titik 𝐵, sehingga garis 𝐴𝐵 merupakan garis
singgung persekutuan lingkaran 𝑃 dan 𝑄, karena garis 𝐴𝐵 tidak
berada di antara pusat kedua lingkaran, maka dinamakan garis
singgung persekutuan luar.

10. • Garis 𝐴𝐵 merupakan garis singgung persekutuan luar.
• Kemudian dibuat 𝐴𝐵 sejajar 𝑆𝑄.
• Jari-jari lingkaran berpusat di 𝑃 adalah 𝑃𝐴 = 𝑅 (Jari-jari lingkaran besar).
• Jari-jari lingkaran berpusat di 𝑄 adalah 𝑄𝐵 = 𝑟 (Jari-jari lingkaran kecil).
• Jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 𝑃𝑄 = 𝑘
• Panjang 𝑆𝑃 = 𝑅 − 𝑟.
• 𝐴𝑃 tegak lurus dengan 𝐴𝐵 (karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-
jari yang melalui titik singgungnya) dan 𝐴𝐵 sejajar 𝑆𝑄, maka 𝑚∠𝑃𝑆𝑄 = 90°.

11. • Perhatikan ∆𝑃𝑆𝑄 yang merupakan segitiga siku-siku di 𝑆, maka
berlaku teorema Pythagoras
𝑃𝑄2 = 𝑆𝑄2 + 𝑆𝑃2
𝑆𝑄2
= 𝑃𝑄2
− 𝑆𝑃2
𝑙 = 𝑝2 − (𝑅 − 𝑟)2
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran:
𝑙 = 𝑝2 − (𝑅 − 𝑟)2

12. Panjang Tali yang Mengelilingi Beberapa
Lingkaran yang Sama
• Misalkan ada tiga buah lingkaran yang sama besar
jari-jarinya 𝑟 dan panjang 𝐸𝐹 = 2𝑟, kemudian ketiga
lingkaran tersebut diikat seperti pada gambar di
atas. Panjang minimal tali (𝑲) pengikat tiga buah
lingkaran itu dirumuskan sebagai:
• 𝑲 = 𝟑 × 𝟐𝒓 + 𝟑 × (
𝟏
𝟑
× 𝒌𝒆𝒍𝒊𝒍𝒊𝒏𝒈 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏)
Sehingga:
• 𝑲 = 𝟔𝒓 + 𝒌𝒆𝒍𝒊𝒍𝒊𝒏𝒈 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏

13. Penyelesaian:
• Jika titik pusat lingkaran yang kena tali di hubungkan
dengan sebuah garis (garis merah), maka banyaknya jari-
jari yang kena garis ada 12 (𝑛 = 12)
• 𝑝 = 𝑛𝑟 + 2𝜋𝑟
• 𝑝 = 12 × 28 𝑐𝑚 + 2 × (
22
7
) × 28 𝑐𝑚
• 𝑝 = 336 𝑐𝑚 + 176 𝑐𝑚
• 𝒑 = 𝟓𝟏𝟐 𝒄𝒎

14. Penyelesaian:
• Jika titik pusat lingkaran yang kena tali di hubungkan dengan
sebuah garis (garis merah), maka banyaknya jari-jari yang
kena garis ada 12 (𝑛 = 12)
• 𝑝 = 𝑛𝑟 + 2𝜋𝑟
• 𝑝 = 12 × 10 𝑐𝑚 + 2 × (3,14) × 10 𝑐𝑚
• 𝑝 = 120 𝑐𝑚 + 62,8 𝑐𝑚
• 𝒑 = 𝟏𝟖𝟐, 𝟖 𝒄𝒎