1. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
Bài số 3
CÁC MÔ HÌNH DÂN SỐ
GIỚI THIỆU MÔ HÌNH GIA TỐC – VẬN TỐC
► ĐẶT VẤN ĐỀ:
+ Phương trình vi phân dạng mũ /dP dt kP= , với nghiệm dạng 0( ) kt
P t P e= ,
như là một mô hình toán học cho sự tăng trưởng dân số tự nhiên: hằng số tỷ lệ giữa
sinh trưởng và diệt vong.
+ Xét một mô hình tăng trưởng dân số mà tỷ lệ giữa sinh trưởng và diệt vong
không nhất thiết là hằng số. Tuy nhiên, hàm tăng trưởng dân số P(t) sẽ xấp xỉ liên tục
tới mức tăng trưởng thực tế - mức tăng trưởng của quá trình tăng với số gia nguyên.
1. Mô hình tăng trưởng dân số
a. Phương trình tăng trưởng dân số:
Giả sử sự thay đổi dân số chỉ phụ thuộc vào sự sinh sản và sự diệt vong mà không
tính đến quá trình di cư hay nhập cư từ bên ngoài, hoặc vấn đề môi trường. Các hàm
tốc độ sinh sản và tốc độ diệt vong được định nghĩa như sau:
( )tβ là số lượng dân số được sinh ra trên một đợn vị thời gian tại thời điểm
t ;
( )tδ là số lượng dân số bị chết đi trên một đơn vị thời gian tại thời điểm t .
Khi đó số lượng dân số được sinh ra và chết đi trong khoảng thời gian [ , ]t t t+ ∆
được xác định (một cách xấp xỉ) bởi
sinh ra: ( ). ( ).t P t tβ ∆ , chết đi: ( ). ( ).t P t tδ ∆ .
Sự thay đổi dân số P∆ trong một khoảng thời gian :[ , ]t t t t∆ + ∆ là:
P∆ ={số lượng sinh ra} - {số lượng chết đi} ( ). ( ). ( ). ( ).t P t t t P t tβ δ≈ ∆ − ∆ .
Từ đó:
[ (t) (t)]. P(t)
P
t
β δ
∆
≈ −
∆
Sai số trong xấp xỉ này sẽ dần tới 0 khi 0t∆ → , như vậy, bằng cách cho qua giới
hạn ta nhận được phương trình vi phân:
( ).
dP
P
dt
= −β δ
(1)
Phương trình (1) là phương trình tăng trưởng dân số tổng quát.
Nếu β và δ là hằng số, phương trình (1) cho ta phương trình tăng trưởng dân số tự
nhiên với k = β δ− .
Ví dụ 1. Giả sử số lượng cá sấu ban đầu là 100 con,
Tỷ lệ chết là 0δ = (không có con cá sấu nào chết).
Nếu tỷ lệ sinh là (0.0005)Pβ = - tức số lượng cá sấu tăng – khi đó
phương trình (1) trở thành bài toán giá trị ban đầu:
2
(0.0005)
dP
P
dt
= , (0) 100P =

2. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
(với t tính theo năm). Theo phương pháp tách biến ta có
2
1
(0.0005) ,
1
(0.0005)
dP dt
P
t C
P
=
− = +
∫ ∫
Thế 0, 100t P= = suy ra 1
100
C −= và khi đó ta nhận được:
2000
( )
20
P t
t
=
−
.
Ta nhận ra rằng P → +∞ khi 20t → , do đó xảy ra vấn đề “bùng nổ dân số’’
xuất hiện trong 20 năm. Hướng đặc trưng và đường cong nghiệm trong Hình 1.7.1
cho thấy sự bùng nổ dân số luôn xuất hiện mỗi khi điều kiện ban đầu là một đại lượng
dương 0(0)P P= .
Hình 1.7.1. Độ dốc đặc trưng và đường cong nghiệm của phương
trình 2
/ (0.0005)dP dt P= trong Ví dụ 1.
b. Phương trình logistic : Giả sử tốc độ sinh β là một hàm giảm tuyến tính của
số lượng trong quần thể P, tức 0 1Pβ β β= − trong đó 0β và 1β là những hằng số
dương. Nếu tốc độ chết là hằng số 0δ δ= thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng
0 1 0( ) ;
dP
P P
dt
β β δ= − −
nghĩa là :
2
,
dP
aP bP
dt
= − (2)
ở đây 0 0a β δ= − và 1b β= .
Nếu các hệ số a và b : dương thì phương trình (2) được gọi là phương trình
logistic. Với giả thiết về mối liên hệ giữa hình thái của dân số P(t) với giá trị của các
tham số trong phương trình, ta có thể viết lại phương trình logistic dưới dạng
( ),
dP
kP M P
dt
= − (3)
trong đó k=b và M=a/b là những hằng số.
Ví dụ 2. Một quần thể được mô hình hóa bởi phương trình logistic
2
0.0004 (150 ) 0.06 0.0004
dP
P P P P
dt
= − = − . (4)
Sử dụng PP tách biến ta có :

3. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
0.06 0.06
1 1 1
0.0004 ( ) 0.0004
(150 ) 150 150
ln ln 150 0.06
150
C t t
dP
dt dP dt
P P P P
P
P P t C e e Be
P
= ⇔ + =
− −
− − = + ⇔ = ± =
−
∫ ∫ ∫ ∫
(trong đó B = ± eC
)
Tìm giá trị của B, và từ đó :
0.06
0
0150 150
t
PeP
P P
=
− −
.
Vậy nên :
0
0.06
0 0
150
( )
(150 ) t
P
P t
P P e−
=
+ −
(5)
tại thời điểm t với dữ kiện ban đầu 0 (0)P P= .
+ Hình 1.7.2 chỉ ra một số đường cong nghiệm tương ứng với những giá trị khác
nhau của dữ kiện ban đầu trong khoảng 0 20P = đến 0 300P = .
+ Nhận xét : tất cả những đường cong nghiệm đều có chung tiệm cận
Hình 1.7.2. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình logistic
2
' 0.06 0.0004P P P= − .
2. Giới hạn dân số và khả năng chứa đựng
► Nghiệm của bài toán biên logistic ban đầu
0( ), (0)
dP
kP M P P P
dt
= − = (6)
là
0
0 0
( )
( ) kMt
MP
P t
P M P e−
=
+ −
. (7)
+ Nếu 0P M= , thì (7) trở thành đại lượng không đổi (có giá trị hằng) “sự cân
bằng dân số” ( )P t M≡ .
+ Ngược lại, hình thái của logistic dân số phụ thuộc vào khả năng 00 P M< <
hoặc 0P M> .
- Nếu 00 P M< < , thì chúng ta thấy từ (6) và (7) rằng ' 0P > và
−
= = < =
+ − +
0 0 0
0 0 0 0
( ) .
( ) {sè d−¬ng}kMt
MP MP MP
P t M
P M P e P P
- Nếu 0P M> , khi đó từ (6) và (7) ta có ' 0P < và

4. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
−
= = > =
+ − +
0 0 0
0 0 0 0
( )
( ) {sè ©m}kMt
MP MP MP
P t M
P M P e P P
.
Nhận xét :+ Dưới mẫu số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0P và do thừa số mũ nó tiến
gần về 0 khi 0t → . Từ đó suy ra
0
0
lim ( ) .
0t
MP
P t M
P→∞
= =
+
(8)
+ Một quần thể thỏa mãn phương trình logistic không tăng trừ khi ta xét mô
hình tăng trưởng tự nhiên theo phương trình mũ 'P kP= .
+ Quần thể sẽ xấp xỉ tới dân số tới hạn hữu hạn M khi → +∞t .
Định nghĩa: M được gọi là khả năng chứa đựng của môi trường nếu nó là quần thể
cực đại mà môi trường có thể duy trì được trong một khoảng thời gian dài.
Hình 1.7.3. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình logistic
' ( ).P kP M P= −
Mỗi đường cong xuất phát từ một điểm bên dưới đường thẳng / 2P M=
có một điểm uốn nằm trên đường thẳng đó.
Ví dụ 3. Giả sử năm 1885 dân số của một quốc gia là 50 triệu và tốc độ tăng lúc
đó là 750,000 người trên năm. Vào năm 1940 dân số của quốc gia đó là 100 triệu và
tốc độ tăng trưởng tương ứng là 1 triệu người trên năm. Giả thiết rằng dân số của quốc
gia đó tuân theo phương trình logistic. Hãy xác định số dân số tới hạn M và dự đoán
dân số vào năm 2000.
Giải. Chúng ta thế các dữ kiện trong phương trình (3) và nhận được
0.75 50 ( 50), 1.00 100 ( 100).k M k M= − = −
Ta giải đồng thời với 200M = và 0.0001k = . Từ đó số dân số tới hạn của quốc
gia này là 200 triệu. Với các giá trị của M và k và với 0t = tương ứng với năm 1940
(ở đó 0 100P = ), ta nhận được từ phương trình (7) dân số vào năm 2000 sẽ là
(0.0001)(200)(60)
100. 200
(60)
100 (200 100)
P
e−
=
+ −
tức là khoảng 153.7 triệu người.

5. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
Sự kiện lịch sử:
Phương trình logistic được đưa ra (vào khoảng năm 1840) bởi nhà toán học và
nhân chủng học người Bỉ P.F. Verhulst và nó trở thành một mô hình cho sự tăng
trưởng dân số.
Ví dụ 4. Dân số nước Mỹ vào năm 1800 là 5.308 triệu và vào năm 1900 là 76,212
triệu. Nếu chúng ta lấy 0 5,308P = (với 0t = vào năm 1800) trong mô hình tăng
trưởng tự nhiên 0( ) rt
P t Pe= và thế 100, 76,212t P= = , ta tìm được
100
76,212 5,308 r
e= , do đó
1 76.212
ln 0,026643
100 5,308
r = ≈ .
Như vậy mô hình tăng trưởng tự nhiên đối với dân số nước Mỹ trong suốt thế kỷ
19 là
(0,026643)
( ) (5,308) t
P t e= (9)
(với đơn vị t là năm và P là triệu). Vì 0,026643
1,02700e ≈ , nên tốc độ tăng dân số trung
bình trong những năm từ 1800 đến 1900 vào khoảng 2,7 % trên năm.
Ví dụ 5. Dân số nước Mỹ năm 1850 là 23.192 triệu. Nếu lấy 0 5,308P = và thế
các dữ liệu 50, 23,192t P= = (với thời điểm 1850) và 100, 76,212t P= = (với thời
điểm 1900) trong mô hình logistic mô tả trong phương trình (7) chúng ta nhận được
hai phương trình
50
100
(5,308)
23,192
5,308 ( 5,308)
(5.308)
76,212
5,308 ( 5,308)
kM
kM
M
M e
M
M e
−
−
=
+ −
=
+ −
(10)
với hai Nn k và M. Hệ phi tuyến này có thể giải được với :
0,000167716, 188,121k M= = .
(0,031551)
998,546
( )
5,308 (182,813) t
P t
e−
=
+
(11)
Nhận xét : Bảng 1.7.4 cho ta thấy : hai mô hình đều cho kết quả tốt trong giai
đoạn thế kỷ 19. Tuy nhiên mô hình dạng mũ cho số liệu phân kỳ ngay từ thập niên
đầu của thế kỷ 20 trong khi mô hình logistic cho kết quả tương đối tốt cho tới tận
những năm 1940.
Định nghĩa : Sai số trung bình (trong mô hình) là căn bậc hai của trung bình các
bình phương của các sai số thành phần
+ Mục đích : Để đo mức độ cho phép của một mô hình hợp lý với dữ liệu thực tế.
+ Thông qua những số liệu trong giai đoạn 1800 – 1990 :
- Mô hình dạng mũ có sai số trung bình là 3.162 .
- Sai số trung bình của mô hình logistic chỉ là 0.452.
+ Từ đó suy ra từ số liệu trong những năm 1900 chúng ta có thể thấy mô hình
logistic dự đoán tốc độ tăng trưởng dân số nước Mỹ suốt thế kỷ 20 tốt hơn mô hình
dạng mũ.

6. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
Năm
Dân số thực
của nước Mỹ
Mô hình dân
số dạng mũ
Sai số dạng
mũ
Mô hình
logistic
Sai số
logistic
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
5.308
7.240
9.638
12.861
17.064
23.192
31.443
38.558
50.189
62.980
76.212
92.228
106.022
123.203
132.165
151.326
179.323
203.302
226.542
248.710
281.422
5.308
6.929
9.044
11.805
15.409
20.113
26.253
34.268
44.730
58.387
76.212
99.479
129.849
169.492
221.237
288.780
376.943
492.023
642.236
838.308
1094.240
0.000
0.311
0.594
1.056
1.655
3.079
5.190
4.290
5.459
4.593
0.000
-7.251
-23.827
-46.289
-89.072
-137.454
-197.620
-288.721
-415.694
-589.598
-812.818
5.308
7.202
9.735
13.095
17.501
23.192
30.405
39.326
50.034
62.435
76.213
90.834
105.612
119.834
132.886
144.354
154.052
161.990
168.316
173.252
177.038
0.000
0.038
-0.097
-0.234
-0.437
0.000
1.038
-0.768
0.155
0.545
-0.001
1.394
0.410
3.369
-0.721
6.972
25.271
41.312
58.226
76.458
104.384
Hình 1.7.4. So sánh kết quả của mô hình dạng mũ và mô hình logistic với dân số
thực của nước Mỹ (tính theo triệu)
3. Một số ứng dụng khác của phương trình logistic.
1.Trạng thái môi trường tới hạn. Một môi trường có thể là nơi sinh sống của tối
đa M cá thể. Ta có thể hy vọng tốc độ tăng trưởng β δ− (kết hợp tốc độ sinh ra và
tốc độ diệt vong) tỷ lệ với M P− , vì chúng ta có thể coi M P− như là khả năng của
khai triển sau đó. Khi đó ( )k M Pβ δ− = − , và
( ) ( ).
dP
P kP M P
dt
β δ= − = −
Ví dụ kinh điển của trạng thái môi trường tới hạn đó là quần thể sâu bệnh trong
một container kín.
2.Tình huống cạnh tranh. Nếu tốc độ sinh β là hằng số, tốc độ diệt vong δ tỷ lệ
với P, tức là Pδ α= , khi đó
( ) ( ).
dP
P P kP M P
dt
β α= − = −
3.Trạng thái tỷ lệ chung. Trong một quần thể có số lượng không đổi M, gọi P(t)
là số các cá thể bị nhiễm một bệnh lây lan và không chữa được. Bệnh bị lan ra do
những cuộc gặp gỡ tình cờ. Khi đó P’(t) có thể tỷ lệ với tích của P cá thể mắc bệnh và
M – P cá thể không mang bệnh, như vậy

7. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
( ).
dP
kP M P
dt
= −
Hơn nữa chúng ta khám phá ra rằng mô hình toán học là phương trình logistic.
Ví dụ 6. Giả sử tại thời điểm 0t = , mười ngàn người trong một thành phố có số
dân 100M = ngàn nhận được một tin đồn. Sau 1 tuần số người P(t) trong thành phố
đó biết tới tin đồn này lên tới (1) 20P = ngàn. Giả sử P(t) thỏa mãn phương trình
logistic, khi nào sẽ có 80% dân số trong thành phố biết tới tin đồn này ?
Giải. + Thế 0 10P = và 100M = (ngàn) vào phương trình (7) ta nhận được
100
1000
( )
10 90 kt
P t
e−
=
+
. (12)
+ Tìm k :
1 9
ln 0,008109
100 4
k = ≈ .
Với ( ) 80P t = , phương trình (12) có dạng
100
1000
80
10 90 kt
e−
=
+
,
và ta giải được với 100 1
36
kt
e−
= . Từ đó suy ra 80% dân số sẽ biết tới tin đồn khi
ln36 ln36
4,42
9100 ln
4
t
k
= = ≈ ,
tức là sau 4 tuần và 3 ngày.
4. Ngày tận thế chống lại Sự tuyệt chủng
Xét một quần thể P(t) gồm các động vật hoang dã trong đó những con cái chỉ có
duy nhất một cơ hội gặp những con đực để có thể thực hiện trách nhiệm bảo tồn nòi
giống. Ta luôn có cơ sở để hy vọng xuất hiện những cuộc gặp gỡ đó với tần suất tỷ lệ
với tích của P/2 con đực và P/2 con cái, tức là tần suất gặp gỡ tỷ lệ với 2
P . Từ đó
chúng ta giả thiết rằng số con sinh ra với tần số là
2
kP (trên một đơn vị thời gian, k là
hằng số). Khi đó tốc độ sinh trưởng (số con sinh ra / thời gian / số lượng trong quần
thể) được cho bởi kPβ = . Nếu tỷ lệ chết δ là hằng số thì phương trình quần thể tổng
quát (1) trở thành phương trình vi phân
2
( )
dP
kP P kP P M
dt
δ= − = − (13)
(ở đây 0M
k
δ
= > ).
Chú ý : vế phải trong phương trình (13) ngược dấu với vế phải trong phương trình
logistic (3). Chúng ta sẽ thấy hằng số M được gọi là ngưỡng số lượng cá thể trong
một quần thể, với ngưỡng này chúng ta sẽ điều chỉnh được số lượng cá thể trong một
quần thể mỗi khi số lượng cá thể ban đầu 0P của quần thể đó nhỏ hơn hoặc lớn hơn
M.

8. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
Ví dụ 7. Xét một quần thể động vật được mô hình hóa bởi phương trình
2
0,0004 ( 150) 0,0004 0,06
dP
P P P P
dt
= − = − (14)
Tìm ( )P t nếu :
a) (0) 200P =
b) (0) 100P = .
Giải. + Tách biến rồi lấy tích phân :
0,06 0,06
0,0004
( 150)
1 1 1
( ) 0,0004
150 150
ln ln 150 0,06
( )
150
C t t C
dP
dt
P P
dP dt
P P
P P t C
P
e e Be B e
P
− −
=
−
− − =
−
− − = − +
= ± = = ±
−
∫ ∫
∫ ∫ (15)
(a) Thế 0t = và 200P = vào (15) cho ta 4B = và :
0,06
0,06
600
( )
4 1
t
t
e
P t
e
−
−
=
−
.
Chú ý : khi t tăng và dần tới ln(4)/0,06 23,105T = ≈ , mẫu số vế phải của (16)
là đại lượng dương và giảm dần tới 0. Từ đó ( )P t → +∞ khi t T−
→ . Đây là hiện
tượng Ngày tận thế - trạng thái bùng nổ dân số.
(b) Thế 0t = và 100P = vào (15) cho ta 2B = − và :
0,06
0,06 0,06
300 300
( )
2 1 2
t
t t
e
P t
e e
−
−
= =
+ +
. (17)
Để ý rằng, khi t tăng và không bị chặn, mẫu số bên vế phải của (16) là đại lượng
dương và dần tới +∞ . Từ đó, ( ) 0P t → khi t → +∞ : đây chính là sự tuyệt chủng.
Hình 1.7.5 cho ta đường cong nghiệm cơ bản minh họa 2 trạng thái có thể xảy
ra của quần thể P(t) thỏa mãn phương trình (13). Nếu 0P M= thì số lượng cá thể còn
lại là hằng số. Tuy nhiên trạng thái cân bằng này thường không bền. Nếu 0P vượt quá
M (thậm chí là rất ít) thì P(t) tăng nhanh và không bị chặn, còn khi số lượng cá thể
ban đầu thấp hơn M (với tốc độ vừa phải) thì nó giảm (tương đối nhanh) về 0 khi
t → +∞ .

9. Bài giảng: Phương trình vi phân TS. Nguyễn Hữu Thọ
Hình 1.7.5. Đường cong nghiệm cơ bản của phương trình bùng nổ - tuyệt chủng
( )' .P kP P M= −
Bài tập : Các bài tập lẻ
Tự đọc thêm Mục 1.8
Đọc trước các Mục : 2.1, 2.2, 2.3 chuNn bị cho Bài số 4