Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ HẢI DUNG
GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TSKH. VŨ HOÀNG LINH
Hà Nội - 2014

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Giới thiệu 1
1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . 1
1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao . . . . . . 2
1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân . . . . . 5
1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước . . 5
1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể . . . . . . . 6
2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số
chỉ số 1 19
2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số
chỉ số 2 30
3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ảnh hưởng của nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp BDF . . 35
i

MỤC LỤC
3.3.1 Sai số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Sự hội tụ của BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Phương pháp đa bước tổng quát . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton . 42
3.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii

Lời nói đầu
Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong
khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi
phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở
lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy
có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi
phân thường. Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và
duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc nghiên cứu những
vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên
phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng
mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ
mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất
lỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một đối tượng
vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân. Nhưng
nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí,
năng lượng,...) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràng
buộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và
phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số.
Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi
phân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối
với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm,
cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong
việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đa
bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số
2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài
phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
iii

MỤC LỤC
Chương 1: Giới thiệu
Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phân
đại số chỉ số cao. Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải
phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước.
Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số chỉ số 1
Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1,
phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán
nhiễu suy biến. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số.
Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số chỉ số 2
Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2,
phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sự
hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung. Lấy
ví dụ minh họa và thử nghiệm số.
iv

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình
và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS
Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi
trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động
viên trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em trong
lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp
đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Hải Dung

Chương 1
Giới thiệu
1.1 Phương trình vi phân đại số
1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Xét phương trình
εz + (z2
− 1)z + z = 0. (1.1)
Ta thay đồng nhất thức
εz + (z2
− 1)z =
d
dx
εz + (
z3
3
− z)
:=y
vào (1.1), ta có
y = −z =: f(y, z),
εz = y − (z3
3 − z) =: g(y, z).
(1.2)
Đặt ε = 0 trong (1.2) ta được một bài toán đơn giản
y = −z =: f(y, z),
0 = y − (z3
3 − z) =: g(y, z).
(1.3)
Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được
y = −z = (z2
− 1)z ,
1

Chương 1. Giới thiệu
từ đó suy ra ln |z| − z2
2 = x + C.
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số. Ta có
thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình
vi phân và phương trình đại số.
1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao
Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi
phân ẩn
F(x, u, u ) = 0, (1.4)
trong đó u : R → Rm
là lời giải, F : R × Rm
× Rm
→ Rm
là hàm số, ∂F
∂u
suy biến.
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân
d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân
F(u , u) = 0,
dF(u , u)
dx
= 0, . . . ,
dm
F(u , u)
dxm
= 0, (1.5)
sao cho từ phương trình (1.5) chúng ta rút ra được hệ phương trình vi
phân thường u = ϕ(u).
Hệ chỉ số 1. Xét phương trình vi phân đại số
y = f(y, z), (1.6)
0 = g(y, z). (1.7)
(không có z ). Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được
gy(y, z)f(y, z) + gz(y, z)z = 0,
suy ra
z = −g−1
z (y, z).gy(y, z)f(y, z),
2

nếu gz là khả nghịch trong lân cận của lời giải.
Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu gz khả nghịch.
Hệ chỉ số 2. Xét phương trình vi phân đại số
y = f(y, z), (1.8)
0 = g(y). (1.9)
Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số. Lấy đạo hàm (1.9)
ta thu được "ràng buộc ẩn"
0 = gy(y)f(y, z). (1.10)
Nếu gy(y)fz(y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương
trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1. Lấy vi phân phương trình
(1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9)
là phương trình vi phân chỉ số 2. Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y0)
và 0 = gy(y0)f(y0, z0) thì ta gọi chúng là "tương thích". Chỉ trong trường
hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương.
Chỉ số nhiễu
Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn
vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước.
Định nghĩa 1.2. Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời
giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải
u(x) của phương trình có nhiễu
F(x, u, u ) = δ(x), (1.11)
tồn tại trên [0, x) và có đánh giá
u(x) − u(x) ≤ C u(0) − u(0) + max
0≤ξ≤x
δ(ξ) + . . . + max
0≤ξ≤x
δ(m−1)
(ξ) ,
(1.12)
với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số.
3

Hệ chỉ số 1. Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta
xét hệ bị nhiễu
y = f(y, z) + δ1(x), (1.13)
0 = g(y, z) + δ2(x). (1.14)
Ta thấy hiệu z−z có thể được đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không
cần bất kỳ đạo hàm nào của lời giải. Vì gz là khả nghịch, từ phương trình
(1.14), (1.7), ta có
z(x) − z(x) ≤ C1 ( y(x) − y(x) + δ2(x) ) , (1.15)
với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ.
Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện Lips-
chitz cho f và ước lượng trên cho z(x)−z(x) cho ta e(x) = y(x) − y(x)
thỏa mãn
e(x) ≤ e(0) + C2
x
0
e(t)dt + C3
x
0
δ2(t) dt +
x
0
δ1(t)dt .
Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần trong tích phân cho δ2, phần
ngoài tích phân cho δ1. Điều này là đúng trong trường hợp nhiễu của
phương trình đại số (1.7) quan trọng hơn nhiễu của phương trình vi
phân (1.6). Cuối cùng ta áp dụng Bổ đề Gronwall
y(x) − y(x) ≤ C4( y(0) − y(0) +
x
0
δ2(t) dt + max
0≤ξ≤x
ξ
0
δ1(t)dt )
≤ C5( y(0) − y(0) + max
0≤ξ≤x
δ2(ξ) + max
0≤ξ≤x
δ1(ξ) ).
Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu
của bài toán là 1.
Hệ chỉ số 2. Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau:
y = f(y, z) + δ(x), (1.16)
4

0 = g(y) + θ(x). (1.17)
Đạo hàm (1.17) ta được
0 = gy(y)f(y, z) + gy(y)δ(x) + θ (x). (1.18)
Nếu gy(y)fz(y, z) là khả nghịch ta có thể sử dụng ước lượng cho trường
hợp chỉ số 1 (với δ2(x) thay bởi gy((x))δ(x) + θ (x)) thu được
y(x) − y(x) ≤ C y(0) − y(0) +
x
0
( δ(x) + θ (x) ) dξ ,
z(x) − z(x) ≤ C y(0) − y(0) + max
0≤ξ≤x
δ(ξ) + max
0≤ξ≤x
θ (ξ) .
(1.19)
Do ước lượng này phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của θ nên chỉ số
nhiễu của bài toán là 2.
1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước
Phương pháp đa bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu
y = f (x, y) ,
y (x0) = y0,
có dạng
αkym+k + αk−1ym+k−1 + . . . + α0ym = h(βkfm+k + . . . + β0fm), (1.20)
trong đó fi = f (xi, yi) , i = 0, 1, . . ..
Áp dụng cho phương trình thử
y = Jy, (1.21)
ta được
αkym+k + αk−1ym+k−1 + . . . + α0ym = hJ(βkym+k + . . . + β0ym).(1.22)
5

Đưa vào một cơ sở mới các vectơ ym+i là các vectơ riêng của J tương
ứng với giá trị riêng λ ta có
(αk − µβk)ym+k + . . . + (α0 − µβ0)ym = 0, µ = hλ. (1.23)
Miền ổn định
Giải (1.23) ta sử dụng phương pháp Lagrange.
Đặt yj = ζj
, chia 2 vế cho ζm
và xét phương trình đặc trưng
(αk − µβk)ζk
+ . . . + (α0 − µβ0) = (ζ) − µσ(ζ) = 0, (1.24)
với (ζ) =
k
j=0
αjζk−j
, σ(ζ) =
k
j=0
βjζk−j
.
Phương trình (1.23) có lời giải ổn định nếu tất cả các nghiệm của
(1.24) nhỏ hơn hoặc bằng 1, ( cụ thể | ζi |≤ 1 và | ζj |< 1 nếu ζj là
nghiệm bội.
Định nghĩa 1.3. Tập hợp S = {µ ∈ C, mọi nghiệm ζj(µ) của (1.24) thỏa
mãn | ζj(µ) |≤ 1, nghiệm bội thỏa mãn | ζj(µ) |< 1} được gọi là miền
ổn định của phương pháp (1.20).
S được gọi là miền ổn định A nếu S ⊃ ¯C (¯C là nửa trái đóng của mặt
phẳng phức).
- Nếu S ⊃ ¯C, µ −→ ∞ thì từ nghiệm của phương trình (1.24) suy ra
σ(ζ) = 0.
- Nếu µ = 0, từ phương trình (1.24) suy ra (ζ) = 0. Do đó 0 ∈ S.
1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể
Phương pháp Adams
Kí hiệu xi = x0 + ih là các điểm lưới, yn, yn−1, . . . , yn−k+1 là các xấp
xỉ của các nghiệm chính xác y (xn) , y (xn−1) , . . . , y (xn−k+1) của phương
trình vi phân
y = f (x, y) , (1.25)
y (x0) = y0.
Lấy tích phân (1.25) trong khoảng từ xn đến xn+1 ta được
y (xn+1) = y (xn) +
xn+1
xn
f (t, y (t)) dt. (1.26)
6

Vế phải của phương trình (1.26) xuất hiện lời giải chưa biết y (x),
nhưng từ các xấp xỉ yn, yn−1, . . . , yn−k+1 đã biết, giá trị
fi = f (xi, yi) , i = n − k + 1, . . . n
có thể tìm được và nó thay hàm f (t, y (t)) trong phương trình (1.26) bởi
đa thức nội suy tại các điểm {(xi, yi) , i = n − k + 1, . . . n}.
Đa thức này có thể được biểu diễn bằng sai phân lùi
0
fn = fn, j+1
fn = j
fn − j
fn−1
như sau
p (t) = p (xn + sh) =
k−1
j=0
(−1)j −s
j
j
fn. (1.27)
Khi đó phương trình (1.26) dẫn đến
yn+1 = yn +
xn+1
xn
p (t) dt
hoặc được đưa về dạng (sau khi thay phương trình (1.27) vào)
yn+1 = yn + h
k−1
j=0
γj
j
fn (1.28)
trong đó γj thỏa mãn
γj = (−1)j
1
0
−s
j
ds.
Với k = 1, 2, 3, 4 ta thu được các công thức sau:
k = 1 : yn+1 = yn + hfn (Phương pháp Euler hiển)
k = 2 : yn+1 = yn + h 3
2fn − 1
2fn−1
k = 3 : yn+1 = yn + h 23
12fn − 16
12fn−1 + 5
12fn−2
k = 3 : yn+1 = yn + h 55
24fn − 59
24fn−1 + 37
24fn−2 − 9
24fn−3 .
Phương pháp Adams hiển áp dụng cho công thức y = λy có dạng
yn+1 = yn + µ
k−1
j=0
γj
j
fn
7

hoặc đặt yn = ζn
và chia cho ζn
ta có
ζ − 1 = µ γ0 + γ1 1 −
1
ζ
+ γ2 1 −
2
ζ
+
1
ζ2
+ . . . .
Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành
µ =
ζ − 1
k−1
j=0
γj(1 − 1
ζ )j
, ζ = eiθ
.
Với k = 1 ta thu được đường tròn của phương pháp Euler, tâm là −1.
Các đường cong trong hình 1.1 là đồ thị với k = 2, 3, . . . , 6 và ta thấy
miền ổn định có kích thước giảm. Do đó phương pháp này không thích
hợp giải bài toán cương.
Hình 1.1: Miền ổn định của phương pháp Adams hiển
Hình 1.2: Miền ổn định của phương pháp Adams ẩn
Phương pháp Adams ẩn
Công thức (1.28) thu được bằng cách lấy tích phân các đa thức nội suy
(1.27) từ xn đến xn+1, tức là bên ngoài khoảng nội suy (xn−k+1, xn).
8

Điều đó cho thấy, một đa thức nội suy thường là xấp xỉ yếu bên ngoài
khoảng này. Do đó, Adams nghiên cứu phương pháp trong đó phương
trình (1.27) được thay thế bằng các đa thức nội suy mà sử dụng thêm
điểm (xn+1, fn+1), tức là
p∗
(t) = p∗
(xn + sh) =
k
j=0
(−1)j −s + 1
j
j
fn+1.
Thay vào phương trình (1.26) ta được phương pháp ẩn sau
yn+1 = yn + h
k
j=0
γ∗
j
j
fn+1,
trong đó γ∗
j
thỏa mãn
γ∗
j
= (−1)j
1
0
−s + 1
j
ds.
Do đó, các công thức thu được thường có dạng
yn+1 = yn + h (βkfn+1 + . . . + β0fn−k+1) .
Với k = 0, 1, 2, 3 ta có các công thức
k = 0 : yn+1 = yn + hfn+1 = yn + hf xn+1
, yn+1
k = 1 : yn+1 = yn + h 1
2fn+1 + 1
2fn
k = 2 : yn+1 = yn + h 5
12fn+1 − 8
12fn − 1
12fn−1
k = 3 : yn+1 = yn + h 9
24fn+1 − 19
24fn − 5
24fn−1 + 1
24fn−2 .
Phương pháp Adam ẩn áp dụng cho phương trình thử y = λy có
dạng
yn+1 = yn + µ
k
j=0
γ∗
j
j
fn+1.
Đặt yn = ζn
và chia hai vế cho ζn+1
ta được
1 =
1
ζ
+ µ γ∗
0 + γ∗
1 1 −
1
ζ
+ γ∗
2 1 −
2
ζ
+
1
ζ2
+ . . . .
9

Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành
µ =
1 − 1
ζ
k
j=0
γ∗
j 1 − 1
ζ
j
, ζ = eiθ
.
Với k = 1, đây là quy tắc hình thang ẩn và có ổn định - A. Với
k = 2, 3, . . . , 6 miền ổn định mặc dù rộng hơn so với phương pháp hiển
nhưng không chứa ¯C (Hình 1.2). Do đó phương pháp này không ổn định
- A.
Công thức dự báo hiệu chỉnh
Thông thường để tính yn+1 trong phương trình ẩn ta sử dụng kết
quả y∗
n+1 của phương pháp Adams hiển như một biến độc lập trong
βkf(xn+1, yn+1). Nó phá hủy tính ổn định của phương pháp. Điều kiện
ổn định thay đổi như sau: Công thức
y∗
n+1 = yn + µ(γ0yn + γ1(yn − yn−1) + γ2(yn − 2yn−1 + yn−2) + . . .).
(1.29)
Thay vào trong công thức hiệu chỉnh
yn+1 = yn + µ(γ∗
0y∗
n+1+
γ∗
1(y∗
n+1 − yn)+
γ∗
2(y∗
n+1 − 2yn + yn−1)+
γ∗
3(y∗
n+1 − 3yn + 3yn−1 − yn−2) + . . .).
(1.30)
Đó chính là µ trong (1.25) và (1.26). Đặt yn = ζn
và chia cho ζn
, ta
được phương trình bậc hai cho µ
Aµ2
+ Bµ + C = 0, (1.31)
với
A =
k
j=0
γ∗
j
k−1
j=0
γj 1 −
1
ζ
j
,
B = (1 − ζ)
k
j=0
γ∗
j + ζ
k
j=0
γ∗
j 1 −
1
ζ
j
,
C = 1 − ζ.
10

Với ζ = ei
θ, phương trình (1.27) có hai nghiệm. Điều này cho thấy
2 đường cong quỹ tích nghiệm xác định miền ổn định. Đường cong này
được mô tả ở Hình 1.3 và so sánh nó với phương pháp ẩn ta thấy chúng
không ổn định. Đặc biệt, với k = 1, quy tắc hình thang trở thành phương
pháp Runge - Kutta hiển bậc hai và miền ổn định-A bị phá hủy.
Hình 1.3: Miền ổn định của công thức hiệu chỉnh so với phương pháp ẩn
Phương pháp Nystrom
Thay phương trình (1.26) bởi phương trình
y (xn+1) = y (xn−1) +
xn+1
xn−1
f (t, y (t)) dt (1.32)
và thay thế hàm chưa biết f (t, y (t)) bởi đa thức nội suy p (t) ta thu
được công thức
yn+1 = yn−1 + h
k−1
j=0
κj
j
fn
với hệ số
κj = (−1)j
1
−1
−s
j
ds.
Phương pháp Nystrom hiển với k = 1, 2 là công thức trung điểm hiển
yn+1 = yn−1 + 2hfn,
và cho ta đường cong quỹ tích nghiệm
µ =
eiθ
− e−iθ
2
= i sin θ.
11

Đường cong này di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i và cho phép
miền ổn định trong khoảng (−i, +i). Tất cả các giá trị riêng ở bên trong
nửa trái của mặt phẳng phức cho ta tính không ổn định. Đây chính là
lí do nghiệm thứ hai −1 của (ζ) di chuyển ra ngoài vòng tròn đơn vị
khi µ di chuyển về âm vô cực. Hiện tượng đặc biệt này được gọi là "tính
không ổn định yếu" của quy tắc trung điểm và là "điểm đi vào" của điều
kiện ổn định nhanh Dahlquist.
Với k = 3 ta có công thức
yn+1 = yn−1 + µ
7
3
fn −
2
3
fn−1 +
1
3
fn−2 .
Phương pháp Milne- Simpson
Ta lại xét các phương trình tích phân (1.32) nhưng ta thay tích phân
bởi các đa thức p∗
(t), trong đó ngoài fn, . . . , fn−k+1 ta cũng nội suy fn+1.
Như thường lệ, ta thu được công thức
yn+1 = yn−1 + h
k
j=0
κ∗
j
j
fn+1
với hệ số κ∗
j được xác định
κ∗
j = (−1)j
1
−1
−s + 1
j
ds.
Phương pháp Milne - Simpson với k = 0, 1, 2, 4 là
k = 0 : yn+1 = yn−1 + 2hfn+1
k = 1 : yn+1 = yn−1 + 2hfn
k = 2 : yn+1 = yn−1 + h 1
3fn+1 + 4
3fn + 1
3fn−1
k = 4 : yn+1 = yn−1 + h 29
90fn+1 + 124
90 fn + 24
90fn−1 + 4
90fn−2 − 1
90fn−3 .
Phương pháp Milne- Simpson ẩn với k = 2, 3 có đường cong quỹ tích
nghiệm
µ =
eiθ
− e−iθ
1
3eiθ + 4
3 + 1
3e−iθ
= 3i
sinθ
cosθ + 2
,
di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i
√
3 . Vì vậy nó có dáng điệu
gần giống phương pháp Nystrom hiển với các khoảng ổn định to nhỏ
12

lồng vào nhau.
Phương pháp Nystrom và Milne- Simpson bậc cao có đường cong quỹ
tích nghiệm được định hướng xoay vòng (Hình 1.4). Vì thế miền ổn định
này có thể thu gọn thành miền ổn định ban đầu.
Phương pháp BDF
Hình 1.4: Đường cong quỹ tích nghiệm của phương pháp Nystrom và Milne
Giả sử xấp xỉ yn−k+1, . . . , yn của lời giải chính xác của phương trình
(1.25) là đã biết. Để xác định công thức của yn+1 ta xét các đa thức q (x)
nội suy các giá trị {(xi, yi) , i = n − k + 1, · · · , n + 1}. Đa thức này có
thể biểu diễn bằng sai phân lùi, cụ thể
q (x) = p (xn + sh) =
k
j=0
(−1)j −s + 1
j
j
yn+1.
Giá trị yn+1 sẽ được xác định bằng cách cho đa thức q(x) thỏa mãn
phương trình vi phân tại ít nhất một điểm lưới, tức là
q (xn+1−r) = f (xn+1−r, yn+1−r) .
Với r = 1 ta thu được công thức hiển. Với k = 1 và k = 2 nó tương
đương với phương pháp Euler hiển và công thức trung điểm hiển. Với
k = 3 ta có
1
3
yn+1 +
1
2
yn − yn−1 +
1
6
yn−2 = hfn.
Tuy nhiên công thức này, cũng như đối với k > 3 là không ổn định
và do đó không có ý nghĩa.
13

Với r = 0 ta có công thức ẩn
k
j=0
δ∗
j
j
yn+1 = hfn+1
với hệ số
δ∗
j = (−1)j d
ds
−s + 1
j s=1
.
Theo định nghĩa hệ số nhị thức
(−1)j −s + 1
j
=
1
j!
(s − 1) s (s + 1) . . . (s + j − 2)
hệ số δ∗
j thu được bằng cách sai phân trực tiếp
δ∗
0 = 0, δ∗
j =
1
j
, j ≥ 1.
Do đó, công thức ẩn trở thành
k
j=1
1
j
j
yn+1 = hfn+1.
Với k = 1, ..., 6 ta có công thức
k = 1 : yn+1 − yn = hfn+1
k = 2 : 3
2yn+1 − 2yn + 1
2yn−1 = hfn+1
k = 3 : 11
6 yn+1 − 3yn + 3
2yn−1 − 1
3yn−2 = hfn+1
k = 4 : 25
12yn+1 − 4yn + 3yn−1 − 4
3yn−2 + 1
4yn−3 = hfn+1
k = 5 : 137
60 yn+1 − 5yn + 5yn−1 − 10
3 yn−2 + 5
4yn−3 − 1
5yn−4 = hfn+1
k = 6 : 147
60 yn+1 − 6yn + 15
2 yn−1 − 20
3 yn−2 + 15
4 yn−3 − 6
5yn−4 + 1
6yn−5
= hfn+1.
Với k > 6 phương pháp BDF là không ổn định.
Áp dụng công thức sai phân lùi
k
j=1
1
j
j
yn+1 = hfn+1 cho phương trình
thử y = Jy ta có
k
j=1
1
j
j
yn+1 = hJyn+1.
14

Thay yn+i là các vectơ riêng của J, λ là giá trị riêng tương ứng, ta
được
k
j=1
1
j
j
yn+1 = µyn+1, µ = hλ,
suy ra µ =
k
j=1
1
j
j
yn+1
yn+1
= yn+1−yn
yn+1
+ 1
2
yn+1−2yn+yn−1
yn+1
+ . . ..
Đặt yn = ζn
. Ta có
µ = 1 − 1
ζ + 1
2 1 − 2
ζ + 1
ζ2 + . . .
=
k
j=1
1
j 1 − 1
ζ
j
=
k
j=1
1
j 1 − e−iθ j
.
Với k = 1 ta được công thức Euler ẩn với miền ổn định S = {µ : |µ − 1| ≥ 1}.
Với k = 2 đường cong quỹ tích nghiệm có (Hình 1.5)
µ = 1 −
1
ζ
+
1
2
1 −
2
ζ
+
1
ζ2
=
3
2
−
2
ζ
+
1
2ζ2
⇒ Re(µ) =
3
2
− 2 cos θ + cos 2θ ≥ 0, ∀θ.
Do đó phương pháp là ổn định A và có cấp chính xác là 2. Tuy nhiên
với k = 3, 4, 5, 6 miền ổn định của phương pháp càng ngày càng không
ổn định ở một nửa trục ảo. Với k = 7 công thức không ổn định.
Hình 1.5: Đường cong quỹ tích nghiệm và miền ổn định của phương pháp BDF
15

Định lý 1.1. Nếu phương pháp đa bước (1.20):
αkym+k + αk−1ym+k−1 + . . . + α0ym = h(βkfm+k + . . . + β0fm)
là ổn định - A thì
Re
(ζ)
σ(ζ)
> 0 , |ζ| > 1. (1.33)
Ngược lại, công thức vẫn đúng: từ (1.33) suy ra (1.20) ổn định - A.
Chứng minh.
Nếu phương pháp là ổn định - A thì tất cả các nghiệm của phương
trình
phải thỏa mãn |ζ| > 1 với ∀Re (µ) ≤ 0. Do đó, Re (µ) ≥ 0, ∀ |ς| > 1.
Ngược lại, đặt µ = (ζ)
σ(ζ). Giả sử có công thức (1.33) và công thức là
tối giản. Ta cố định µ0, Re(µ0) ≤ 0 và gọi µ0 là 1 nghiệm của phương
trình
Khi đó ta có σ(ζ0) = 0, suy ra µ0 = (ζ0)
σ(ζ0). Và từ (1.33) ta suy ra |ζ0| ≤ 1.
Ta có thể chỉ ra rằng ζ0 là nghiệm đơn nếu |ζ0| = 1. Vì ζ0 là đối số
liên tục nên từ (1.33) suy ra |ζ0| = 1 và Re(µ0) < 0 (mâu thuẫn). Vì
vậy chứng tỏ rằng Re(µ0) = 0, nghiệm thỏa mãn |ζ0| = 1 là nghiệm đơn.
Trong lân cận nghiệm ta có
(ζ)
σ(ζ)
− µ0 = C1 (ζ − ζ0) + C2 (ζ − ζ0)2
+ . . .
và từ (1.33) suy ra C1 = 0. Tuy nhiên, điều này chỉ có thể xảy ra nếu ζ0
là nghiệm đơn của (1.20).
Ta thấy phương pháp đa bước với bậc p ≥ 3 không ổn định - A. Định
lý sau sẽ giải thích điều này.
Định lý 1.2. Phương pháp đa bước ổn định - A phải có bậc p ≤ 2. Nếu
bậc bằng 2 thì hằng số sai số thỏa mãn C ≤ −1
12 . Quy tắc hình thang là
phương pháp ổn định - A bậc 2 với C = −1
12 .
16

Nhắc lại: Định lý III.2.4. trong [2]
Phương pháp đa bước (1.20) có bậc p nếu và chỉ nếu một trong các
điều kiện tương đương sau thỏa mãn:
i)
k
i=0
αi = 0 và
k
i=0
αiiq
= q
k
i=0
βiiq−1
với q = 1, . . . p;
ii) eh
− hσ eh
= O hp+1
, h → 0;
iii) ρ(ς)
log ς − σ (ς) = O ((ς − 1)p
) , ς → 1.
Chứng minh.
Theo định lý III.2.4 ta có: vì phương pháp đa bước có bậc p nên
eh
− hσ eh
= O hp+1
, h → 0
và vì
L(y, x, h) = Cp+1hp+1
y(p+1)
(x) + O hp+2
,
với toán tử vi phân tuyến tính L được xác định bởi
L (y, x, h) =
k
i=0
(αiy (x + ih) − hβiy (x + ih))
nên
(eh
) − hσ(eh
) = Cp+1hp+1
+ . . . , h → 0. (1.34)
Mặt khác, do
(1) = 0, (1) = σ (1)
nên ta có
(eh
) = (1 + h + . . .) = (1) + (1)h + . . . = σ(1)h + . . . .
Chia (1.34) cho h (eh
) ta được
1
h
−
σ(eh
)
(eh)
= Chp−1
+ . . . , h → 0, (1.35)
trong đó C là hằng số sai số.
Với ζ = eh
ta có công thức mới tương đương
1
log ζ
−
σ(ζ)
(ζ)
= C(ζ − 1)p−1
+ . . . , ζ → 1. (1.36)
17

Trong công thức này, lấy p = 2. Phương pháp bất kỳ bậc cao đều có
C = 0. Khi phương pháp có bậc 1, ta không thể chứng minh.
Công thức giống công thức hình thang với T (ζ) = ζ − 1, σT (ζ) =
1
2(ζ + 1) trở thành chuỗi
1
log ζ
−
σT (ζ)
T (ζ)
= −
1
12
(ζ − 1) + . . . , ζ → 1. (1.37)
Lấy (1.37) trừ (1.36) ta được
d(ζ) :=
σ(ζ)
(ζ)
−
σT (ζ)
T (ζ)
= −C −
1
12
(ζ − 1) + . . . , ζ → 1. (1.38)
Từ (1.33) ta có
Re
(ζ)
σ(ζ)
> 0 ⇔ Re
σ(ζ)
(ζ)
> 0, |ζ| > 1. (1.39)
Đây là đặc điểm của công thức hình thang: Re(. . .) = 0 với |ζ| = 1.
Do đó, ¯C chính là miền ổn định. Vậy, từ (1.38) ta có
lim
ζ→ζ0
|ζ|>1
Red(ζ) ≥ 0, |ζ0| = 1. (1.40)
Giới hạn của d (ζ) là nghiệm của (ζ) với miền ổn định không nằm
ngoài vòng tròn đơn vị. Vì vậy theo nguyên lý cực trị, (1.35) vẫn đúng
với mọi vị trí nằm ngoài đường tròn đơn vị. Cho ζ = 1 + ε, Reε > 0, |ε|
nhỏ ta có (1.38) suy ra −C − 1
12 > 0 hoặc d(ζ) ≡ 0.
18

Chương 2
Phương pháp đa bước giải phương
trình vi phân đại số chỉ số 1
2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước
Bài toán nhiễu suy biến có dạng
y = f(y, z), (2.1)
z = g(y, z),
trong đó y, z là các vectơ. Giả sử f, g là hàm vectơ đủ trơn có số chiều
giống như y, z. Đặt ε = 0 ta được phương trình vi phân đại số
y = f(y, z), (2.2)
0 = g(y, z), (2.3)
với giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y0, z0). Giả sử
gz(y, z) (2.4)
là khả nghịch trong lân cận của lời giải. Khi đó phương trình (2.3) có
nghiệm duy nhất địa phương z = G(y). Thay vào phương trình (2.2) ta
được
y = f(y, G(y)). (2.5)
Do đó phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn điều kiện
(2.4) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Phương pháp đa bước áp
dụng cho bài toán (2.1) là:
k
i=0
αiyn+i = h.
k
i=0
βif(yn+i, zn+i), (2.6)
19

Chương 2. Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1
k
i=0
αizn+i =
k
i=0
βig(yn+i, zn+i). (2.7)
Cho = 0 ta có
k
i=0
αiyn+i = h.
k
i=0
0 =
k
i=0
βig(yn+i, zn+i). (2.9)
Định lý 2.1. Giả sử phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn
điều kiện (2.4). Xét phương pháp đa bước cấp chính xác p, ổn định tại
0 và ∞ (0 và ∞ nằm trong miền ổn định) và giả sử sai số của giá trị
ban đầu yj, zj, j = 0, 1, . . . , k − 1 là O(hp
). Khi đó sai số toàn cục của
phương pháp (2.6), (2.7) thỏa mãn
yn − y(xn) = O(hp
),
zn − z(xn) = O(hp
).
với xn − x0 = nh ≤ const.
Chứng minh.
Công thức (2.9) là ổn định truy hồi với δn = g(yn, zn) vì ∞ nằm trong
miền ổn định của phương pháp. Cùng với giả thiết giá trị ban đầu ta
suy ra δn = O(hp
) với mọi n ≥ 0. Theo định lý hàm ẩn g(yn, zn) = δn có
thể giải zn và cho ta
zn = G(yn) + O(hp
), (2.10)
với G(y) xác định từ công thức y = f(y, G(y)). Thay (2.10) vào (2.8)
ta được công thức đa bước cho phương trình vi phân (2.5) với nhiễu
O(hp+1
). Khi đó phát biểu trên được suy ra từ chứng minh hội tụ của
phương pháp đa bước.
Sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến
Ma trận Jacobian của
y = f(y, z),
z = g(y, z),
20

có dạng
fy fz
ε−1
gy ε−1
gz
và nó có giá trị riêng xấp xỉ −1
λ, trong đó λ là giá trị riêng của gz.
Ta giả sử giá trị riêng của gz có phần thực âm hay chính xác hơn, ta
giả thiết giá trị riêng λ của gz(y, z) nằm trong | arg − π |< α với (y, z)
là lân cận của lời giải.
Định lý 2.2. (Lubich 1991) Giả sử phương pháp đa bước có bậc p, ổn
định - A(α) và ổn định mạnh tại ∞. Nếu phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện (2.8) thì sai số bị chặn với h ≥ và nh ≤ ¯x − x0 xác định bởi
yn − y (xn) + zn − z (xn)
≤ C( max
0≤j<k
yj − y (xj) + hp xn
x0
y(p+1)
(x) dx
+ (h + n
) max
0≤j<k
zj − z (xj) + εhp
max
x0≤x≤xn
z(p+1)
(x) )
với 0 < < 1. Ước lượng này đúng cho h ≤ h0 (h0 đủ nhỏ, độc lập với
) và với điều kiện giá trị ban đầu là đủ nhỏ, h và - độc lập là lân cận
của lời giải chính xác. Hằng số C và là độc lập với và h.
Chứng minh.
a) Thay lời giải chính xác của (2.1) vào (2.6), (2.7) ta được
k
i=0
αiy(xn+i) = h.
k
i=0
βif(y(xn+i), z(xn+i)) + dn+k, (2.11)
k
i=0
αiz(xn+i) =
h
k
i=0
βig(y(xn+i), z(xn+i)) + en+k. (2.12)
Trong đó nhiễu dn+k, en+k có thể ước lượng (với n ≥ 0) như sau:
dn+k ≤ C1hp
xn+1
xn
y(p+1)
(x) dx, (2.13)
en+k ≤ C2hp+1
max
xn≤x≤xn+k
z(p+1)
(x) . (2.14)
21

Ta định nghĩa sai số toàn cục bởi ∆yn = yn −y(xn), ∆zn = zn −z(xn)
và đưa vào sai phân
∆fn+k =
k
i=0
βi (f(yn+i, zn+i) − f(y(xn+i), z(xn+i))), n ≥ 0,
∆fi = 0 với j < k. Lấy phương trình (2.11) trừ cho phương trình (2.6)
với n ≥ 0 ta được
k
i=0
αi∆yn+i = h.∆fn+k − dn+k. (2.15)
Ta đã định nghĩa d0, d1, . . . , dk−1 nên phương trình (2.15) luôn đúng
với số âm n. Giải ∆yn cho ta
∆yn = h
n
j=0
rn−j(0)∆fj −
n
j=0
rn−j(0)dj,
trong đó rj(0) là hệ số trong giải thức rời rạc (với µ = 0)
r (ς, µ) = (δ (ς) − µ)−1 ς−k
σ (ς−1)
=
j≥0
rj (µ)ςj
với
δ (ς) =
ς−1
σ (ς−1)
=
α0ςk
+ . . . + αk−1ς + αk
β0ςk + . . . + βk−1ς + βk
.
( tức là hệ số của r(ζ, 0) = ζ−k
(ζ−1)). Từ tính ổn định- 0 của phương pháp,
dãy rj(0) là bị chặn, vì thế từ điều kiện Lipschitz của f(y, z) ta có
∆yn ≤ h
n
j=0
(M ∆yj + N ∆zj ) + C3
n
j=0
dj . (2.16)
Lấy vi phân (2.11) và (2.7) và trừ 2 vế cho
h
k
i=0
βjJ∆zn+i, (2.17)
trong đó J = gz(y0, z0), ta được
k
i=0
(αiI − βi
h
J)∆zn+i =
h
∆gn+k − en+k, (2.18)
22

với
∆gn+k =
k
i=0
βi(g(yn+i, zn+i) − g(y(xn+i), z(xn+i)) − J∆zn+i), (2.19)
và ∆gi = 0 với j < k. Ta lại định nghĩa e0, e1, . . . , ek−1 sao cho phương
trình (2.18) đúng với n âm và giải phương trình (2.18) cho ta ∆zn
∆zn =
h
n
j=0
rn−j(
h
J)∆gj −
n
j=0
rn−j(
h
J)ej, (2.20)
trong đó ma trận rj(h
J) được định nghĩa bởi công thức
h
j≥0
rj(
h
J)ζj
=
h
δ(ζ)I − J
−1 ζ−k
σ(ζ−1)
, (2.21)
với
δ (ς) =
ς−1
σ (ς−1)
=
α0ςk
+ . . . + αk−1ς + αk
β0ςk + . . . + βk−1ς + βk
.
Trong phần c) ta sẽ chứng minh
h
rj(
h
J) ≤ C.κj
, 0 < κ < 1. (2.22)
Khi đó thay vào phương trình (2.20) ta được
∆zn ≤
n
j=0
κn−j
(L ∆yj + l ∆zj ) + C4
h
n
j=0
κn−j
ej . (2.23)
Chú ý rằng hằng số Lipschitz l có thể làm nhỏ một cách tùy ý nhờ
sự co giãn của khoảng đang xét.
b) Từ bất đẳng thức (2.16) và (2.23), ta định nghĩa dãy un và vn
un = h
n
j=0
(Muj + Nvj) + C3
n
j=0
dj , (2.24)
vn =
n
j=0
κn−j
(Luj + lvj) + C4
h
n
j=0
κn−j
ej .
23

Sử dụng phép quy nạp ta có
∆yn ≤ un, ∆zn ≤ vn,
với điều kiện l < 1 và h ≤ h0. Do đó (2.24) có thể viết lại như sau
un = un−1 + hMun + hNvn + C3 dn , u−1 = 0,
vn = κvn−1 + Lun + lvn + C4
h
en , v−1 = 0.
Giải un, vn ta có (với = κ
1−l )
un
vn
= A (h)
un−1
vn−1
+
dn
en
, (2.25)
A (h) =
1 + 0 (h) 0 (h)
0 (1) + 0 (h)
trong đó
|dn| ≤ C5( dn + en ), |en| ≤ C6( dn +
h
en ). (2.26)
Thay (2.25) nhiều lần ta thu được
un
vn
=
n
j=0
A(h)n−j dj
ej
. (2.27)
Nếu l đủ nhỏ thì = κ/(1 − l) < 1 và nếu h ≤ h0 thì các giá trị riêng
của A(h) là khác nhau và A(h) có thể chéo hóa như sau
A (h) = T−1
(h)
1 + 0 (h) 0
0 σ + 0 (h)
T (h) ,
T (h) =
1 0 (h)
0 (1) 1
Thay vào (2.27) ta có
un + vn ≤ Const.
n
j=1
dj +
n
j=1
(h + n−j
)ej .
Vì thế d0, d1, . . . , dk−1 là tổ hợp tuyến tính của ∆y0, . . . , ∆yk−1 và
e0, e1, . . . , ek−1 là tổ hợp tuyến tính của ∆zj và h
∆zj. Từ đánh giá (2.20)
24

và (2.8) ta suy ra điều phải chứng minh.
Vì giả thiết của l ( = κ
1−l < 1) ta có thể chứng minh định lý cho một
khoảng đủ nhỏ (nhưng - độc lập). Khoảng compact [x0, x] có thể xác
định bởi khai triển lặp đi lặp lại của ước lượng ở trên.
c)Ta chứng minh (2.22). Ta chỉ ra rằng
h
rj
h
gz(y, z) ≤ Cκj
, 0 < κ < 1. (2.28)
luôn nằm trên lân cận compact của lời giải. Điều này là cần thiết nếu
ước lượng trên là áp dụng cho mọi khoảng con. Để chứng minh bất đẳng
thức (2.28) ta nhớ rằng rj(h
J) đã được định nghĩa bởi (2.21).
Nếu ta có thể chỉ ra rằng
h
δ(ζ)I − gz(y, z)
−1 ζ−k
σ(ζ−k)
≤ C, |ζ| ≤
1
κ
(2.29)
thì ước lượng (2.28) được suy trực tiếp từ công thức khoảng Cauchy
h
rj
h
J =
1
2πi |ζ|= 1
κ
h
δ(ζ)I − J
−1 ζ−k
σ(ζ−1)
.ζ−j−1
dζ
bởi định nghĩa của miền ổn định S của phương pháp đa bước, giá trị
riêng δ(ζ) nằm ngoài S với bất kì |ζ| < 1. Nhắc lại rằng, phương pháp là
ổn định A(α), ổn định chặt tại ∞ và phương trình vi phân thỏa mãn điều
kiện: giá trị riêng λ của gz(y, z) nằm trong | arg−π |< α với (y, z) là lân
cận của lời giải. Do đó tập hợp giá trị riêng của gz(y, z) (với (y, z) biến
đổi trong lân cận compact của lời giải) là tách từ {γδ(ζ); γ ≤ 1, |ζ| ≤ 1}.
2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình
vi phân đại số
2.2.1 Phương pháp Euler ẩn
Xét phương trình vi phân đại số tổng quát
0 = F (t, y, y )
Ý tưởng về một rời rạc trực tiếp rất đơn giản: xấp xỉ y và y bởi công
thức rời rạc đa bước hoặc Runge- Kutta. Ví dụ áp dụng phương pháp
25

Euler ẩn cho hệ phương trình vi phân đại số này ta thu được
0 = F tn, yn,
yn − yn−1
hn
. (2.30)
Nói chung, đây là một hệ m phương trình phi tuyến ẩn yn. Tuy nhiên
phương pháp này không phải lúc nào cũng sử dụng được. Trong trường
hợp xấu nhất, có những hệ phương trình vi phân đại số chỉ số cao đơn
giản với lời giải xác định bằng phương pháp Euler ẩn, và thật ra tất
cả các phương pháp đa bước và Runge - Kutta, là không ổn định hoặc
thậm chí không áp dụng được.
Xét phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1
y = f (t, y, z) ,
0 = g (t, y, z)
(2.31)
trong đó gz không suy biến.
Dễ thấy rằng phương pháp Euler ẩn vẫn giữ nguyên các tính chất của
phương trình vi phân thường (cấp chính xác, miền ổn định, sự hội tụ).
Từ định lý hàm ẩn, tồn tại hàm g sao cho
z = g(t, y).
Khi đó phương trình vi phân đại số (2.31) tương đương phương trình
vi phân thường
y = f (t, y, g(t, y)) . (2.32)
Xét phương pháp Euler ẩn áp dụng cho (2.31)
yn − yn−1
hn
= f (tn, yn, zn) , (2.33)
0 = g (tn, yn, zn) . (2.34)
Giải zn từ (2.34) và thay vào (2.33) ta được
yn − yn−1
hn
= f (tn, yn, g(tn, yn)) .
Đây chỉ là rời rạc Euler ẩn của phương trình vi phân thường cơ bản
(2.32). Do đó, phương pháp Euler ẩn có cấp chính xác là 1, ổn định và
hội tụ đối với phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1.
Đối với bài toán phi tuyến dạng (2.30) phép lặp Newtơn cho yn, bắt
đầu từ xấp xỉ y0
n, dựa trên giả thiết từ các bước trước đó, ta có
yν+1
n = yν
n −
1
hn
∂F
∂y
+
∂F
∂y
−1
F tn, yν
n,
yν
n − yn−1
hn
.
26

2.2.2 Phương pháp BDF
Xét phương trình vi phân đại số tổng quát dạng
0 = F (t, y, y ) .
Phương pháp BDF áp dụng cho bài toán này là
F tn, yn,
1
β0h
k
j=0
αjyn−j = 0,
trong đó β0 và αj, j = 0, . . . , k là hệ số của phương pháp BDF.
Công thức BDF là ẩn và thường được thực hiện cùng với phương
pháp Newton để giải các hệ phi tuyến tại mỗi bước. Giả sử α0 = 1, ta có
bảng các công thức BDF k bước với k ≤ 6 (với k = 1 chính là phương
pháp Euler ẩn).
2.3 Thử nghiệm số
Ví dụ 2.1. Giải phương trình vi phân đại số sau bằng phương pháp
Euler ẩn
y = y − yz + cos t − sin t + et
sin2
t + sin3
t
0 = −y2
+ z + 2et
sin t + e2t
y(0) = 1, z(0) = 0
với lời giải chính xác y(t) = et
+ sin t, z(t) = sin2
t.
27

Giải
Sử dụng phương pháp Euler ẩn ta có bảng kết quả như sau:(lấy
h = 0.1)
Ví dụ 2.2. Giải phương trình vi phân đại số trong ví dụ 2.1 bằng phương
pháp BDF 2 bước, BDF 3 bước.
Giải
Sử dụng phương pháp BDF 2 bước ta có bảng kết quả như sau: (lấy
h = 0.1)
28

Sử dụng phương pháp BDF 3 bước ta có bảng kết quả như sau: (lấy
h = 0.1)
29

Chương 3
Phương pháp đa bước giải phương
trình vi phân đại số chỉ số 2
Xét phương trình vi phân đại số nửa hiện
y = f(y, z), (3.1)
0 = g(y).
Giả sử f, g là đủ trơn và
gy(y).fz(y, z) (3.2)
là khả nghịch trong lân cận của lời giải. Khi đó phương trình vi phân
đại số có chỉ số 2. Phương pháp đa bước áp dụng cho phương trình (3.1) là
k
i=0
αiyn+i = h.
k
i=0
0 = g(yn+k). (3.4)
Có thể thay (3.4) bởi
0 =
k
i=0
βig(yn+i) (3.5)
thu được nhờ đặt = 0 trong (2.7).
30

3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số
Phương pháp (3.3), (3.4) có dạng là hệ phi tuyến của yn+k, zn+k. Ta
có kết quả sau cho sự tồn tại của lời giải của hệ này.
Định lý 3.1. Giả sử bài toán (3.1) có lời giải chính xác y(x), z(x), các
giá trị đầu thỏa mãn với j = 0, ..., k − 1 và xj = xo + jh,
yj − y(xj) = O(h),
zj − z(xj) = O(h), (3.6)
g(yj) = O(h2
).
Nếu điều kiện (3.2) thỏa mãn trong lân cận của lời giải này và nếu
βk = 0 thì hệ phi tuyến
k
i=0
αiyi = h.
k
i=0
βif(yi, zi), (3.7)
0 = g(yk), (3.8)
có lời giải với h ≤ ho. Lời giải này là duy nhất địa phương và thỏa mãn
yk − y(xk) = O(h), (3.9)
zk − z(xk) = O(h).
Chứng minh.
Đặt
η = −
k−1
i=o
αi
αk
yi + h
k−1
i=0
βi
αk
f(yi, zi) (3.10)
và giả thiết ζ là đóng với z(xk) sao cho gy(η)f(η, ζ) = 0. Hơn nữa, thay
h(βk
αk
) bởi cỡ bước mới và ta kí hiệu là h. Khi đó hệ phương trình (3.7)
tương đương
yk = η + hf(yk, zk), (3.11)
31

0 = g(yk). (3.12)
là phương pháp Euler ẩn.
Ta tiếp tục chỉ ra rằng
η − y(xk) = O(h),
ζ − z(xk) = O(h), (3.13)
g(η) = O(h2
).
Thật vậy, vì yj − y(xj) = O(h) và
k
i=0
αi = 0 nên η − y(xk) = O(h).
Theo giả thiết của ζ và của điều kiện (3.2) ta suy ra ζ −z(xk) = O(h).
Ta thay tất cả f(yi, zi) trong đánh giá (3.9) bởi f(y(xk), z(xk)) và đưa
vào sai số có cỡ O(h2
) trong η. Khi đó
η − y(xk) = −
k
i=0
αi
αk
(yi − y(xk)) + h(
k−1
i=0
βi
αk
)f(y(xk), z(xk)) + O(h2
).
Vì (1.9) và (1.10) nên suy ra
g(η) = −
k
i=0
αi
αk
gy(y(xk))(yi − y(xk)) + O(h2
). (3.14)
Vì gy(y(xk))(yi − y(xk)) = g(yi) + O(h2
) và zj − z(xj) = O(h) nên
g(η) = O(h2
).
Để chỉ ra sự tồn tại của lời giải duy nhất địa phương của hệ phương
trình (3.11), (3.12) ta sẽ viết nó dưới dạng sau:
0 = g(yk) = g(yk) − g(η(h)) + g(η(h)) (3.15)
=
1
0
gy(η(h) + τ(yk − η(h)))dτ.(yk − η(h)) + g(η(h))
trong đó η phụ thuộc vào h. Thay yk − η(h) = hf(yk, zk) từ (3.11) và
chia cho h ta được hệ
yk − η(h) − hf(yk, zk) = 0, (3.16)
1
0
gy(η(h) + τ(yk − η(h)))dτ.f(yk, zk) +
1
h
g(η(h)) = 0. (3.17)
32

tương tự như hệ phương trình (1.8), (1.10). Cho h = 0 ta suy ra yk =
η(0), zk = ζ(0) thỏa mãn (3.16), (3.17) vì g(η(h)) = O(h2
) và gy(η).f(η, ζ) =
0.
Hơn nữa, vi phân của (3.16), (3.17) theo (yk, zk) có dạng
I + O(h) O(h)
O(1) (gyfz)(η, ζ) + O(h)
(3.18)
có nghịch đảo bị chặn với h ≤ h0. Do đó định lý hàm ẩn cho ta sự tồn
tại của lời giải duy nhất địa phương của (3.16), (3.17) và do đó luôn có
(3.11), (3.12) và (3.7), (3.8).
3.2 Ảnh hưởng của nhiễu
Định lý 3.2. Cho yk, zk là nghiệm của hệ phương trình (3.7), (3.8) và
xét giá trị nhiễu yk, zk thỏa mãn
k
i=0
αiyi = h
k
i=0
βif (yi, zi) + hδ, (3.19)
0 = g(yk) + θ. (3.20)
Thêm các giả thiết của Định lý 3.1: Giả sử j = 0, . . . .k − 1,
yj − yj = O(h2
),
zj − zj = O(h), (3.21)
δ = O(h),
θ = O(h2
).
Khi đó với h ≤ h0 ta có ước lượng
yk − yk ≤ C Y0 − Y0 + h Z0 − Z0 + h δ + θ ,
(3.22)
33

ˆzk − zk ≤ C
h (
k−1
j=0
gy (ˆyk) (ˆyj − yj) + h ˆY0 − Y0
+h ˆZ0 − Z0 + h δ + θ ),
trong đó
Y0 − Y0 = (yk−1 − yk−1, . . . , y0 − y0)T
,
Y0 − Y0 = max
0≤j≤k−1
yj − yj ,
và tương tự với z.
Chứng minh.
Tương tự chứng minh Định lý 3.1, ta đặt
η = −
k−1
i=0
αi
αk
yi + h
k−1
i=0
βi
αk
f(yi, zi)
và thay đổi h và δ. Khi đó (3.18) trở thành
yk = η + hf (yk, zk) + hδ, (3.23)
0 = g (yk) + θ. (3.24)
Tương tự như trong chứng minh Định lý 3.1 ta có yk − η = O(h) và
zk − ζ = O(h), trong đó ζ thỏa mãn gy(η)f(η, ζ) = 0. Mặt khác, từ hệ
phương trình (3.16), (3.17) ta viết lại (3.24) như sau:
0 =
1
0
gy(η + τ(yk − η))dτ.(f(yk, zk) + δ) +
1
h
g(η) +
1
h
θ. (3.25)
Trừ phương trình (3.25) cho phương trình (3.17) và với giả thiết gyfz
khả nghịch ta suy ra
zk − zk ≤ C( yk − yk + η − η + δ + 1
h g(η) − g(η) + 1
h θ ).
(3.26)
Điều kiện Lipschitz của f áp dụng cho hiệu (3.23) và (3.16) cho ta
yk − yk ≤ η − η + hL( yk − yk + zk − zk ) + h δ .
34

Kết hợp 2 ước lượng trên ta có
yk − yk ≤ C ( η − η + h δ + θ ) , (3.27)
zk − zk ≤
C
h
( g(η)(η − η) + h η − η + h δ + θ ).
Kết luận được suy ra từ định nghĩa của η, ζ và từ yk − η = O(h).
3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp
BDF
3.3.1 Sai số địa phương
Xét giá trị ban đầu yj = y(xj), zj = z(xj) (j = 0, . . . , k−1) với lời giải
chính xác của phương trình (3.1) và áp dụng công thức đa bước (3.7).
Hiệu yk−y(xk), zk−z(xk) được gọi là sai số địa phương của phương pháp.
Bổ đề 3.1. Giả sử phương trình vi phân đại số (3.1) thỏa mãn điều kiện
(3.2) và phương pháp đa bước (3.7) có cấp chính xác p. Khi đó sai số địa
phương thỏa mãn
yk − y(xk) = O(hp+1
), (3.28)
zk − z(xk) = O(hp
).
Chứng minh.
Đặt yj = y(xj),zj = z(xj) với j = 0, . . . , k. Các giá trị này thỏa mãn
(3.19), (3.20) với δ = O(hp
) và θ = 0.
Do đó yj = yj, zj = zj với j < k. Từ Định lý 3.2 ta có điều phải
chứng minh.
3.3.2 Sự hội tụ của BDF
Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp BDF đơn giản hơn phương
pháp đa bước vì yn+k chỉ phụ thuộc yn, . . . , yn+k−1 và không phụ thuộc
35

vào zn, . . . , zn+k−1 (β0 = . . . = βk−1 = 0). Vì vậy, y và z có thể xử lý
riêng biệt.
Định lý 3.3. Xét phương trình vi phân đại số chỉ số 2 (3.1) thỏa mãn
điều kiện (3.2). Khi đó sơ đồ BDF k - bước là hội tụ với cấp chính xác
p = k nếu k ≤ 6, tức là
yn − y(xn) = O(hp
), zn − z(xn) = O(hp
), xn = nh ≤ Const, (3.29)
với bất kì giá trị ban đầu thỏa mãn
yj − y(xj) = O(hp+1
), j = 0, . . . , k − 1. (3.30)
Chú ý: Giả thiết (3.30) có thể thay bằng
yj − y(xj) = O(hp
), k ≥ 3, k = 1.
Chứng minh.
a) Trong khi tìm lời giải số {yn, zn} (mà đã xác định y0
n, z0
n ) ta xét lời
giải đa bước yl
n, zl
n , l = 1, 2, . . . với giá trị ban đầu yl
j = y (xj) , zl
j =
z (xj) trong đó j = l − 1, . . . , l + k − 2 trong lời giải chính xác. Mục
đích đầu tiên là đánh giá yl
n − yl+1
n trong số hạng của sai số địa phương
yl
l+k−1 − yl+1
l+k−1 (hoặc sai số ban đầu nếu l = 0). Để đơn giản ta bỏ qua
chỉ số dưới và xét hai lời giải đa bước lân cận (yn, zn) và (yn, zn). Để có
thể áp dụng Định lý 3.2 ta cố định 3 hằng số đủ lớn C0, C1, C2 và giả sử
nh ≤ const thỏa mãn
yn − y(xn) ≤ C0h,
yn − yn ≤ C1h2
,
zn − z(xn) ≤ C2h.
(3.31)
Nó sẽ được chứng minh trong phần c).
Kí hiệu:
∆yn = yn − yn
∆zn = zn − zn
∆Yn = (∆yn+k−1, . . . , ∆yn)T
Ta có yn+k, zn+k không phụ thuộc vào zn, . . . , zn+k−1 trong sơ đồ BDF.
Từ định lý 3.2 với δ = 0, θ = 0 ta suy ra
∆yn+k ≤ C ∆Yn , (3.32)
36

∆zn+k ≤
C
h
k−1
j=0
gy (yn+k) ∆yn+j + h ∆Yn , (3.33)
trong đó C không phụ thuộc vào việc chọn C0, C1, C2 nếu h đủ nhỏ. Từ
giả thiết (3.31), (3.32), (3.33) ta suy ra ∆yn+k = O(h2
), ∆zn+k = O(h) .
Do đó ta thu được sự tuyến tính hóa của công thức đa bước
k
i=0
αi∆yn+i = hβkfz (yn+k, zn+k)∆zn+k + O(h ∆Yn ), (3.34)
0 = gy (yn+k) ∆yn+k + O(h ∆Yn ). (3.35)
Tiếp tục ta sử dụng phép chiếu
Qn = fz(gyfz)−1
gy (yn+k, zn+k) ,
Pn = I − Qn
(3.36)
với
P2
n = Pn, Q2
n = Qn, PnQn = QnPn = 0, Qn+1 = Qn + O(h). (3.37)
Quan hệ cuối cùng của (3.36) suy ra từ (3.31) và tính trơn của lời
giải y(x), z(x). Khi đó ta nhân (3.34) với Pn+k (với đánh giá ∆zn+k) và
(3.35) với fz(gyfz)−1
. Cùng với (3.37) ta thu được
k
i=0
αiPn+i∆yn+i =O(h ∆Yn ),
Qn+k∆yn+k = O (h ∆Yn ) .
(3.38)
Đưa vào vectơ
Un = (Pn+k−1∆yn+k−1, . . . , Pn∆yn)T
,
Vn = (Qn+k−1∆yn+k−1, . . . , Qn∆yn)T
,
ta có ∆Yn = Un + Vn và (3.38) trở thành
Un+1 = (A ⊗ I) Un + O (h ∆Un + h ∆Vn ) (3.39)
37

Vn+1 = (N ⊗ I) Vn + O (h ∆Un + h ∆Vn ) (3.40)
trong đó (với αj = αj/αk
)
A =





−α,
k−1 . . . −α,
1 −α,
0
1 0 0
... ...
...
1 0





,
N =





0 . . . 0 0
1 0 0
... ...
...
1 0





.
Chọn U sao cho A ⊗ I ≤ 1. Khi đó chọn V sao cho N ⊗ I ≤
ρ < 1. Do đó từ (3.39), (3.40) ta suy ra
Un+1
Vn+1
≤
1 + O(h) O(h)
O(h) ρ + O(h)
Un
Vn
. (3.41)
Chéo hóa ma trận trong (3.41) ta được
∆Yn ≤ Const1( Un + Vn )
≤ Const2( U0 + (ρn
+ h) V0 ),
(3.42)
Vn ≤ Const3( hUo + (ρn
+ h) V0 ). (3.43)
Vectơ U0 và V0 là cố định của sai số địa phương hoặc của sai số trong
giá trị ban đầu, nó có cỡ O(hp+1
) trong (3.28) và (3.30).
Vì thế từ đánh giá (3.42), (3.43) suy ra sai số lan truyền thỏa mãn
∆yn ≤ C3hp+1
,
g (yn+k) ∆y+j ≤ C4 (ρn
+ h) hp+1
, j = 0, . . . k − 1.
(3.44)
Cộng lại với nhau ta được
yn − y (xn) ≤
n−k+1
l=0
yl
n − yl+1
n ≤ C5hp
(3.45)
38

là ước lượng muốn có của thành phần y.
b) Vì zn chỉ phụ thuộc vào yn−k, . . . , yn−1 nhưng không phụ thuộc vào
các giá trị z trước nên ta có thể áp dụng Định lý 3.2 với yj = y(xj), zj =
z(xj), δ = O(hp
), θ = 0. Ta suy ra
zn − z(xn) ≤
C
h
k
j=1
gy (y (xn)) (yn−j − y (xn−j)) + O (hp
) . (3.46)
Sử dụng (3.44) và yl
n = y (xn) + O (hp
) suy ra
gy (y (xn)) (yn−j − y (xn−j)) =
n−k+1
l=0
gy (y (xn)) yl
n−j
− yl+1
n−j
≤
n−k+1
l=0
gy yl
n
yl
n−j
− yl+1
n−j
+ O(h2p+1
)
= O(hp+1
)
suy ra
zn − z(xn) ≤ C6hp
. (3.47)
c) Tổng quát, hằng số C3, C5, C6 sẽ phụ thuộc vào C0, C1, C2 với giả thiết
(3.32). Với p ≥ 2 ta có thể thu gọn cỡ bước h vì
C5hp−1
≤ C0, C3hp−1
≤ C1, C6hp−1
≤ C2
và lời giải số sẽ không bao giờ vi phạm điều kiện (3.32) trong khoảng
đang xét.
Với p = 1 (phương pháp Euler ẩn), có thể thay đánh giá (3.34) bởi
∆zn+k ≤ C ∆Yn . (3.48)
Thay (3.35) ta có
∆yn+1 − ∆yn = O(h ∆yn ) (3.49)
trong đó hằng số ẩn của số hạng O(...) là phụ thuộc vào C0, C1, C2 nếu
h đủ nhỏ. Phương pháp tiêu chuẩn này cho ta kết quả của sự hội tụ.
3.4 Phương pháp đa bước tổng quát
Cho phương pháp đa bước tổng quát (3.3) với đa thức ban đầu
ρ(ζ) =
k
i=0
αiζi
39

σ(ζ) =
k
i=0
βiζi
Ta có kết quả về sự hội tụ.
Định lý 3.4. Xét phương trình vi phân đại số chỉ số 2 (3.1) thỏa mãn
điều kiện (3.2). Giả thiết phương pháp đa bước là ổn định và ổn định
mạnh tại ∞ (phần tử 0 của σ(ζ) thuộc đường tròn đơn vị |ζ|< 1). Nếu
nó có cấp chính xác p≥ 2 thì sai số toàn cục thỏa mãn
yn − y(xn) = 0(hp
),
zn − z(xn) = 0(hp
),
xn = nh ≤ const,
với bất kì giá trị ban đầu thỏa mãn (j = 0, . . . , k − 1)
yj − y(xj) = 0(hp+1
),
zj − z(xj) = 0(hp
).
(3.50)
Chứng minh.
Trong (3.31) ta giả thiết
zn − zn ≤ C3h.
Thay vào (3.32), (3.33) ta có
∆yn+k ≤ C( ∆yn + h ∆Zn ,
∆Zn+k ≤
c
h
(
k−1
j=0
gy(ym+k)∆yn+j + h ∆Yn + h ∆Zn )
và (3.34), (3.35) trở thành
k
i=0
αi∆yn+1 = h
k
i=0
βifz(yn+k, zn+k)∆zn+i + 0(h ∆Yn + h2
∆Zn ,
0 = gy(n+k)∆yn+k + 0(h ∆Yn + h2
∆Zn
). (3.51)
40

Sử dụng phép truy hồi cho ∆Zn ta thu được kết quả sau: nhân phương
trình trên của (3.51) với
((gyfz)−1
gy)(yn+k, zn+k)
và lấy
h
k
i=0
βi∆Zn+i =
k
i=0
αi((gyfz)−1
gy)(yn+k, zn+k)∆yn+i+0(h ∆Yn +h2
∆zn )
(3.52)
với phép chiếu Pn, Qn của (3.36) và vectơ Un, Vn ta thu được (3.39), (3.40)
và cộng thêm các số hạng 0(h2
Zn ). Từ (3.52) ta có
h∆Zn+1 = (B ⊗ I)h∆Zn + 0(h Un + Vn + h2
∆Zn ),
trong đó
B =





−Bk−1 ... −B1 −B0
1 0 0
... ...
1 0





với Bj = Bj/Bk
. Trong phần này ta sử dụng chuẩn B ⊗ I ≤ K < 1
(do phương pháp ổn định chặt tại ∞). Do đó ta có bất đẳng thức


U
Vn+1
h ∆Zn+1

 ≤


1 + 0(h) 0(h) 0(h)
0(h) f + 0(h) 0(h)
0(h) 0(1) K + 0(h)




Un
Vn
h ∆Zn


từ đó
∆yn ≤ C3hp+1
, ∆Zn ≤ C7(ρn
+ kn
+ h)hp
,
gy(n+k∆yn+j ≤ C4(ρn
+ kn
+ h)hp+1
với j = 0, ..., k − 1.
Cộng các sai số lan truyền trong (3.45) lại ta thu được ước lượng cho
thành phần y và z.
41

3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp
Newton
Hệ phi tuyến (3.3), (3.4) thường được giải bởi phép lặp Newtơn và nó
có ích cho việc nghiên cứu sự hội tụ. Sử dụng η trong (3.10) và thay đổi
h. Khi đó hệ phi tuyến trở thành (bỏ qua chỉ số)
y − η − hf(y, z) = 0, (3.53)
g(y) = 0.
Ma trận Jacobian của hệ phi tuyến (3.53) là
J =
I − hfy −hfz
gy 0
(3.54)
và nghịch đảo có dạng
J−1
=
P + 0(h) fz(gyfz)−1
+ 0(h)
−h−1
(gyfz)−1
g(y) + 0(1) −h−1
(gyfz)−1
+ 0(1)
trong đó
P = I − fz(gyfz)−1
gy
là hình chiếu của (3.36). Ta xét phương pháp Newtơn như phép lặp với
hàm
φ(y, z) =
y
z
− J0
−1 y − η − hf(y, z)
g(y)
. (3.55)
Chỉ số dưới 0 trong J0 cho biết đối số của đạo hàm trong (3.54) là
ước lượng tại một vài xấp xỉ cố định (η, ζ) cho lời giải của (3.53). Ta sẽ
sử dụng kí hiệu {fy}0 thay cho fy (η, ς). Tính toán trực tiếp Φ (y, z) ta
được


fz(gyfz)−1
0
{gy}0 − gy + O (h) h{P}0fz + O h2
h−1
(gyfz)−1
0
{gy}0 − gy + O (1) (gyfz)−1
gy
0
({fz}0 − fz) + O (h)

 .
Nếu ta giả thiết (η, ς) xấp xỉ với điểm cố định (3.55) với sai số O (h),
khi đó ta có tại điểm cố định này
42

Φ (y, z) =
O (h) O h2
O (1) O (h)
.
Với ma trận D = diag(I, hI) ta có Dφ (y, z)D−1
= 0(h). Do đó
trong chuẩn y +h z ta đạt được hệ số h trong mỗi phép lặp Newtơn
đơn giản.
3.6 Thử nghiệm số
Ví dụ 3.1. Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler ẩn
y1 = λy1 − y4
y2 + y3 = (2λ − sin2
t)(y2 + y3) +
1
2
(y2 − y3)2
0 = y2 − y3 − 2(sin t)(y1 − 1)
0 = y2 + y3 − 2(y1 − 1)2
,
trong đó λ là tham số, y1 (0) = 2, y2 (0) = 1.
Giải
Ta đưa bài toán về phương trình vi phân chỉ số 2 bằng cách đặt
x1 = y1, x2 = 1
2(y2 + y3), z1 = 1
2(y2 − y3), z2 = y4. Ta có
x1 = λx1 − z2
x2 = 2λ − sin2
t x2 + sin2
t (x1 − 1)2
0 = x2 − (x1 − 1)2
Đây chính là phương trình vi phân đại số chỉ số 2.
43

Dùng phương pháp Euler ẩn ta có bảng kết quả sau:(lấy h = 0.1).
Ví dụ 3.2. Xét bài toán trong Ví dụ 3.1, hãy giải bằng phương pháp
BDF 2 bước, 3 bước, 4 bước.
Kết quả thử nghiệm số của phương pháp BDF 2 bước cho phương trình
vi phân đại số chỉ số 2 (lấy h = 0.1).
44

Kết quả thử nghiệm số của phương pháp BDF 3 bước cho phương
trình vi phân đại số chỉ số 2 (lấy h = 0.1).
Kết quả thử nghiệm số của phương pháp BDF 4 bước cho phương trình
vi phân đại số chỉ số 2 (lấy h = 0.1).
45

Kết luận
Luận văn trình bày về giải số phương trình vi phân đại số bằng
phương pháp đa bước. Việc giải số phương trình vi phân đại số bằng
phương pháp đa bước được trình bày lần lượt từ giới thiệu phương trình
vi phân đến một số phương pháp đa bước cụ thể như: phương pháp
Adams, phương pháp Nystrom, phương pháp BDF k bước. Tiếp theo,
luận văn đã trình bày được khái niệm phương trình vi phân đại số chỉ
số 1, phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và những vấn đề liên quan: sự
hội tụ, sai số, ảnh hưởng của nhiễu,.... Bên cạnh đó, luận văn cũng đã
trình bày một số chứng minh chi tiết liên quan đến sai số, sự ảnh hưởng
của nhiễu, sự hội tụ... Đặc biệt, luận văn có trình bày một số ví dụ, bài
toán minh họa cùng với việc thử nghiệm số các bài toán đó.

Tài liệu tham khảo
1. Phạm Kỳ Anh, 2008,Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà
Nội.
2. E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner (1993), Solving Ordinary Dif-
ferential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second
edition.
3. E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner (1991), Solving Ordinary Dif-
ferential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems,
Springer-Verlag, second revised edition.
4. J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equa-
tions, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers.
5. Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordi-
nary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations.
6. L. Shampine, M. W. Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite.
7. W. Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential
equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York. 64c.

Phụ lục
Chương trình chạy matlab cho phần thử nghiệm số.
Ví dụ 2.1. Phương pháp Euler ẩn cho phương trình vi phân đại số chỉ
số 1.
1 clear all
2 syms y t z
3 y01 =[1];
4 z01 =[0]
5 h=0.1;
6 f=y−y∗z+cos ( t )−sin ( t )+exp( t ) ∗( sin ( t ) )^2+(sin ( t ) ) ^3;
7 nghiem = [ 1 ; 0 ] ;
8 for i =1:10
9 T=h∗ i ;
10 % phuong trinh euler an
11 g=[y−y01 ( i )−h∗subs ( f , t ,T);−z+y^2−2∗exp(T)∗sin (T)
−exp(2∗T) ] ;
12 dcx=1;
13 % Phuong phap newton
14 while dcx >0.00001
15 diemdau=nghiem ;
16 b=subs (g ,{ y z } ,{ nghiem (1 ,1) nghiem (2 ,1) }) ;
17 a=[ diff (g , y) , diff (g , z ) ] ;
18 c=subs ( inv ( a ) ,{y z } ,{ nghiem (1 ,1) nghiem (2 ,1)
}) ;
19 nghiem=nghiem−c∗b ;
20 dcx=sqrt (( nghiem (1 ,1)−diemdau (1 ,1) )^2+(
nghiem (2 ,1)−diemdau (2 ,1) ) ^2) ;
21 end
22 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
23 y01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;

Phụ lục
24 z01 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
25 end
26 % kq so sanh
27 ssy = [ ] ; ssz = [ ] ;
28 for i =1:11
29 ssy= [ ssy , y01 ( i )−exp(( i −1)∗h)−sin (( i −1)∗h) ] ;
30 ssz =[ ssz , z01 ( i )−sin (( i −1)∗h) ^2];
31 end
32 t =0:0.1:1;
33 nghcxy=exp( t )+sin ( t ) ;
34 nghcxz=sin ( t ) .∗ sin ( t ) ;
35 % lay ket qua theo thu tu nghiem tim dc y , z nghiem
chinh xac y , z so sanh nghiem y va so sanh nghiem
z
36 [ y01 ’ , z01 ’ , nghcxy ’ , nghcxz ’ , ssy ’ , ssz ’ ]
Ví dụ 2.2. Phương pháp BDF 2 bước, 3 bước cho phương trình vi
phân đại số chỉ số 1.
Phương pháp BDF 2 bước
1 clear all
2 syms y t z
3 y01=[1 1 . 2 ] ;
4 z01=[0 0 . 1 ] ;
5 h=0.1;
7 nghiem = [ 1 ; 0 ] ;
8 for i =2:10
9 T=h∗ i ;
10 % phuong phap bdf 2 buoc
11 g=[y−4/3∗y01 ( i )+1/3∗y01 ( i −1)−2/3∗h∗subs ( f , t ,T);−
z+y^2−2∗exp(T)∗sin (T)−exp(2∗T) ] ;
12 dcx=1;
14 while dcx >0.00001
15 diemdau=nghiem ;
17 a=[ diff (g , y) , diff (g , z ) ] ;
49

Phụ lục
}) ;
nghiem (2 ,1)−diemdau (2 ,1) ) ^2) ;
21 end
22 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
23 y01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;
24 z01 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
25 end
26 % kq so sanh
27 ssy = [ ] ; ssz = [ ] ;
28 for i =1:11
30 ssz =[ ssz , z01 ( i )−sin (( i −1)∗h) ^2];
31 end
32 t =0:0.1:1;
z
1 clear all
2 syms y t z
3 y01=[1 1.2 1 . 4 2 ] ;
4 z01=[0 0.01 0 . 0 3 ] ;
5 h=0.1;
7 nghiem = [ 1 ; 0 ] ;
8 for i =3:10
9 T=h∗ i ;
10 % phuong phap bdf 3 buoc
11 g=[y−(18/11)∗y01 ( i ) +(9/11)∗y01 ( i −1) −(2/11)∗y01 ( i
−2) −(6/11)∗h∗subs ( f , t ,T);−z+y^2−2∗exp(T)∗sin (
T)−exp(2∗T) ] ;
12 dcx=1;
50

Phụ lục
14 while dcx >0.00001
15 diemdau=nghiem ;
17 a=[ diff (g , y) , diff (g , z ) ] ;
}) ;
nghiem (2 ,1)−diemdau (2 ,1) ) ^2) ;
21 end
22 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
23 y01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;
24 z01 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
25 end
26 % kq so sanh
27 ssy = [ ] ; ssz = [ ] ;
28 for i =1:11
30 ssz =[ ssz , z01 ( i )−sin (( i −1)∗h) ^2];
31 end
32 t =0:0.1:1;
z
Ví dụ 3.1. Phương pháp Euler ẩn cho phương trình vi phân đại số chỉ
số 2.
1 clear all
2 syms x1 x2 z x y1 t real
3 ld =0.5;
4 x01=2;
5 h=0.1;
6 t0 =0;
7 x2=(x1−1)^2;
51

Phụ lục
8 x02=(x01−1)^2;
9 z0 =0.5;
10 nghiemcantim=[x01 , x02 , z0 ] ;
11 f =[ ld ∗x1−z ;(2∗ ld −(sin ( t ) ) ^2)∗x2+(sin ( t ) ) ^2∗(x1−1)
^2];
12 nghiem = [ 2 ; 1 ] ;
13 for i =1:10
14 t=t0+h∗ i ;
15 % phuong trinh euler an
16 g=[x1−x01 ; x2−x02]−h∗ f ;
17 dcx=1;
19 while dcx >0.0001
20 diemdau=nghiem ;
21 b=subs (g ,{ x1 z } , {nghiem (1 ,1) nghiem (2 ,1) }) ;
22 a=[ diff (g , x1 ) diff (g , z ) ] ;
23 c=subs ( inv ( a ) ,{ x1 z } , {nghiem (1 ,1) nghiem
(2 ,1) }) ;
nghiem (2 ,1)−diemdau (2 ,1) ) ^2) ;
26 dcx=eval ( dcx ) ;
27 end
28 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
29 nghiem=eval ( nghiem ) ;
30 x01=nghiem (1 ,1) ;
31 x02=(x01−1)^2;
32 z1=nghiem (2 ,1) ;
33 nghiemcantim=[nghiemcantim ; x01 , x02 , z1 ] ;
34 end
35 nghiemcantim
36 hold on
37 plot ( nghiemcantim ( : , 1 ) , ’ g ’ )
38 plot ( nghiemcantim ( : , 2 ) )
39 plot ( nghiemcantim ( : , 3 ) , ’ r ’ )
Ví dụ 3.2. Phương pháp BDF 2 bước, 3 bước, 4 bước cho phương
trình vi phân đại số chỉ số 2.
52

Phụ lục
1 % phuong phap 2 buoc cho bai 2.
2 clear all
4 ld =0.1;
5 x01=[2 2 . 0 1 0 1 ] ;
6 for k=1:2
7 x02 (k)=(x01 (k)−1)^2;
8 end
9 h=0.1;
10 t0 =0;
11 z0 =[0.1 0 . 1 ] ;
12 %phuong trinh .
13 f =[ ld ∗x1−z ;(2∗ ld −(sin ( t ) ) ^2)∗x2+(sin ( t ) ) ^2∗(x1−1)^2;
x2−(x1−1) ^2];
14
15 nghiem = [ 2 ; 1 ; 0 . 1 ] ;
16 for i =2:10
17 T=t0+h∗ i ;
18 % phuong phap BDF 2 buoc
19 g=[x1 ; x2 ;0] −(4/3) ∗[ x01 ( i ) ; x02 ( i ) ;0]+(1/3) ∗[ x01 ( i
−1) ; x02 ( i −1);0] −(2/3) ∗h∗subs ( f , t ,T) ;
20 dcx=1;
23 diemdau=nghiem ;
24 b=subs (g ,{ x1 x2 z } , {nghiem (1 ,1) nghiem (2 ,1)
nghiem (3 ,1) }) ;
25 a=[ diff (g , x1 ) diff (g , x2 ) diff (g , z ) ] ;
26 c=subs ( inv ( a ) ,{ x1 x2 z } ,{ nghiem (1 ,1) nghiem
(2 ,1) nghiem (3 ,1) }) ;
nghiem (2 ,1)−diemdau (2 ,1) )^2+(nghiem (3 ,1)−
diemdau (3 ,1) ) ^2) ;
29
30 end
53

Phụ lục
31 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
32
33 x01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;
34 x02 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
35 z0 ( i +1)=nghiem (3 ,1) ;
36
37 end
38 nghiemchinhxac=zeros (10 ,3) ;
39 nghiemcantim =zeros (10 ,3) ;
40 for l =1:11
41 nghiemchinhxac ( l , : ) =[exp( ld ∗h∗( l −1)) +1,exp(2∗ ld ∗h∗( l
−1)) , ld ] ;
42 nghiemcantim ( l , : ) =[x01 ( l ) x02 ( l ) z0 ( l ) ] ;
43 end
44 %sai so mac phai so voi nghiem chinh xac
45 ss=nghiemcantim−nghiemchinhxac ;
46 %ket qua ca hien t h i gom nghiem can tim , nghiem
chinh xac va sai so
47 [ nghiemcantim nghiemchinhxac ss ]
2 clear all
4 ld =0.1;
5 x01=[2 2.0101 2 . 0 2 0 2 6 ] ;
6 for k=1:3
7 x02 (k)=(x01 (k)−1)^2;
8 end
9 h=0.1;
10 t0 =0;
11 z0 =[0.1 0.1 0 . 1 ] ;
12 %phuong trinh .
x2−(x1−1) ^2];
14
15 nghiem = [ 2 ; 1 ; 0 . 1 ] ;
16 for i =3:10
54

Phụ lục
17 T=t0+h∗ i ;
19 g=[x1 ; x2 ;0] −(18/11) ∗[ x01 ( i ) ; x02 ( i ) ;0]+(9/11) ∗[
x01 ( i −1) ; x02 ( i −1);0] −(2/11) ∗[ x01 ( i −2) ; x02 ( i
−2);0] −(6/11) ∗h∗subs ( f , t ,T) ;
20 dcx=1;
23 diemdau=nghiem ;
nghiem (3 ,1) }) ;
(2 ,1) nghiem (3 ,1) }) ;
diemdau (3 ,1) ) ^2) ;
29
30 end
31 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
32
33 x01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;
34 x02 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
35 z0 ( i +1)=nghiem (3 ,1) ;
36
37 end
40 for l =1:11
−1)) , ld ] ;
43 end
55

Phụ lục
chinh xac va sai so
2 clear all
4 ld =0.1;
5 x01=[2 2.0101 2.02026 2 . 0 3 0 5 ] ;
6 for k=1:4
7 x02 (k)=(x01 (k)−1)^2;
8 end
9 h=0.1;
10 t0 =0;
11 z0 =[0.1 0.1 0.1 0 . 1 ] ;
12 %phuong trinh .
x2−(x1−1) ^2];
14
15 nghiem = [ 2 ; 1 ; 0 . 1 ] ;
16 for i =4:10
17 T=t0+h∗ i ;
19 g=[x1 ; x2 ;0] −(48/25) ∗[ x01 ( i ) ; x02 ( i ) ;0]+(36/25) ∗[
x01 ( i −1) ; x02 ( i −1);0] −(16/25) ∗[ x01 ( i −2) ; x02 ( i
−2) ;0]+(3/25) ∗[ x01 ( i −3) ; x02 ( i −3);0] −(12/25) ∗
h∗subs ( f , t ,T) ;
20 dcx=1;
23 diemdau=nghiem ;
nghiem (3 ,1) }) ;
(2 ,1) nghiem (3 ,1) }) ;
56

Phụ lục
diemdau (3 ,1) ) ^2) ;
29
30 end
31 %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
32
33 x01 ( i +1)=nghiem (1 ,1) ;
34 x02 ( i +1)=nghiem (2 ,1) ;
35 z0 ( i +1)=nghiem (3 ,1) ;
36
37 end
40 for l =1:11
−1)) , ld ] ;
43 end
chinh xac va sai so
47 %format long
57

Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ

Similar to Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Giải số phương trình vi phân đại số bằng đa bước, 9đ