This document discusses algebraic expressions and methods for working with them. It defines algebraic expressions as combinations of letters and numbers using mathematical operations. Letters represent unknown quantities called variables. It then provides examples of common algebraic expressions and explains how to express word problems in algebraic language. Finally, it covers topics like evaluating algebraic expressions for a given value, adding and multiplying terms, factoring expressions, and finding the numerical value of an expression.
1. PNFCO:
Sección 0101
Cristian Pinto S.
C.I: 30.173.719
Ministerio del poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto - Edo. Lara
2. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las letras
representar cantidades desconocidas y se denominan variables, incógnitas o indeterminadas.
Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del
lenguaje habitual.
Expresiones Algebraicas Comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
El 10% de un numero: 0,1x
La mitad de un número: x/2.
Un cuarto de un número: x/4.
Un número es proporcional a 2, 3, 4,: 2x,
3x, 4x,..
Un número al cuadrado: x2
Un número al cubo: x3
Dos números consecutivos: x y x + 1.
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x +
2.
Dos números consecutivos impares: 2x +
1 y 2x + 3.
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.
La suma de dos números es 24: x y 24 − x.
La diferencia de dos números es 24: x y 24 +
x.
El producto de dos números es 24: x y 24/x.
El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.
3. Expresar en Lenguaje Algebraico los
Siguientes Enunciados:
El perímetro de un rectángulo de base
“𝟕𝒄𝒎” y altura desconocida:
P= 7𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 𝑥 + 𝑥
P= 7𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 𝑥 + 𝑥
P= 14𝑐𝑚 + 2𝑥
Sabemos que la base del rectángulo, como dice
el enunciado es de 7𝑐𝑚 y la altura es
desconocida, en este caso representaremos la
altura con la letra “𝑥”, ahora recordemos que el
perímetro es igual a la suma de todos los lados,
tomando en cuenta que es un rectángulo,
sabemos que ambos lados van a ser igual a “𝑥” y
que el lado de arriba va a tener la misma
medida que la base, lo que quiere decir que el
perímetro es igual a 7𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 𝑥 + 𝑥 que
sería la suma de todos los lado, resolvemos la
ecuación y así podemos representar este
perímetro en expresión algebraica como:
“14𝑐𝑚 + 2𝑥”.
El 𝟐𝟖% de un numero:
𝑅) 0.28𝑥
Generalmente podemos representar el
100% de un número, con la unidad, es
decir con 1 si fuera el caso; luego
cantidades por debajo del 100% por
ejemplo 90% lo podemos representar
con decimales, lo cual sería 90% = 0.9
o 70% = 0.7, etc.
Para este ejercicio podemos expresar el
28% de un numero como 0.28𝑥 donde
0.28 representa el porcentaje y “𝑥” es
un numero cualquiera.
4. Valor Numérico de una
Expresión Algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es
el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y
realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L (5)= 2 • • 5 = 10 cm
S(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
5. Suma, Resta y Valor
Numérico de Expresiones Algebraicas
Para sumar o restar dos monomios y poder juntar los términos (simplificar),las
variables que hay en ellos deben ser las mismas y, además, tener las mismas
potencias. El resultado de la suma o resta será un monomio cuyo coeficiente será
la suma o resta de los coeficientes que se estén sumando o restando
multiplicando las variables con sus respectivas potencias. Por ejemplo,
la suma 3𝑥𝑦2
+ 7𝑥𝑦2
se puede simplificar ya que las variables o literales son las
mismas, 𝒙 y 𝒚, además estas tienen las mismas potencias, 𝒙 tiene potencia 𝟏y𝒚
tiene potencia 𝟐 en ambos monomios, por lo tanto la suma sería igual a:
3𝑥𝑦2 + 7𝑥𝑦2 = 3 + 7 𝑥𝑦2 = 10𝑥𝑦2
Por otro lado, la suma 2𝑥2
𝑦 + 3𝑥𝑦 no se puede simplificar ya que las potencias
del literal 𝒙 no son iguales, por lo tanto esta suma solo la podemos expresar
como 2𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦.
El valor numérico de una expresión algebraica o fórmula matemática es el
número que se obtiene al quitar las letras o sustituir por números y realizar
las operaciones indicadas.
Valor Numérico es el valor obtenido al sustituir las variables por números y
desarrollar las operaciones.
6. Multiplicación y División
de Expresiones Algebraicas
Sabemos que al multiplicar dos términos con misma base, el resultado es la base elevado a la suma de las potencias, en
otras palabras, dados las expresiones con misma base y , su producto es:
Así, por ejemplo, el producto de y es:
Ahora, con monomios es muy parecido, dados dos monomios, al hacer su producto, el coeficiente resultante será el producto
de los respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas con la misma base y hacemos sus
respectivos productos, en caso de haber variables que solo aparezcan en un monomio pero no el otro, entonces lo pasamos
directamente. Así, por ejemplo, tomemos los monomios y , entonces sus producto es:
De manera análoga, sabemos que al dividir dos términos con misma base, el resultado es la base elevado a la resta de las
potencias (la potencia del numerador menos la potencia del denominador), en otras palabras, dados las expresiones con
misma base y su división es:
Así, por ejemplo, el producto de y es:
Ahora, con monomios es muy parecido, dados dos monomios, al hacer su división, el coeficiente resultante será división de
los respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas con la misma base y hacemos sus
respectivas divisiones, en caso de haber variables en el numerador que no estén en el denominador, entonces las pasamos
directamente, sin embargo, si hay variables en el denominador que no estén en el numerador, entonces las pasamos pero
cambiando el signo de la potencia. Así, por ejemplo, tomemos los monomios y , entonces sus división es:
7. Productos Notables
de Expresiones Algebraicas
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que
es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados
en los ejercicios.
A continuación, veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la
forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Suma de dos cantidades o binomio cuadrado
A 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de
la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b) 2
8. Factorización
La factorización es el procedimiento algebraico mediante el cual se convierte una
expresión algebraica en productos de términos más sencillos. De esta manera, se
simplifican muchos cálculos.
Los ejercicios de factorización ayudan a comprender esta técnica, que se utiliza mucho
en las matemáticas y consiste en el proceso de escribir una suma como un producto de
ciertos términos.
Fórmulas de factorización
1) 𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
2) 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑎 + 𝑏 2
3) 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 − 𝑏 2
4) 𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
5) 𝑎3
+ 𝑏3
= 𝑎 + 𝑏 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
9. Factorización por Productos Notables
En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la
descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un
número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de
producto.
Ejemplo: En la expresión (a + ab) es posible factorizar ya que en cada término
se tiene la letra “a”, por lo tanto, al factorizar se tiene que (a + ab) = a(1 +
b), si se realiza la multiplicación de los factores a(1 + b) se obtiene como
producto la primera expresión (a + ab).
Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos
matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla
en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores,
como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios
irreducibles.
10. Factorización de un Polinomio
Muchas de las factorizaciones se pueden realizar por inspección, en otras palabras,
observando los términos del polinomio y verificar si se tiene algún factor en común.
Ejemplos: A) 3x2 + 3 = 3(x2 + 1)
B) 2x2 + 3x = x(2x + 3)
C) 9ba + 9b = 9b(a + 1)
Como se puede observar el propósito de la factorización consiste en encontrar un
factor común en los términos dados. También el factorizar permite agrupar términos
para obtener una expresión algebraica simplificada. Por ejemplo se quiere factorizar:
X (a + 1) – a – 1
Primeramente se puede observar que agrupando – a – 1 se tendría un factor común al
término x(a + 1), por lo tanto, al agrupar se tiene:
x (a + 1) – (a + 1)
Observar que el término (a + 1) se puede representar como (1)(a + 1). Ahora es
posible agrupar los términos (a + 1), obteniendo:
(x – 1)(a + 1)
De está manera se manipula la expresión para la solución de ecuaciones más simples.
11. Métodos de Factorización
Métodos generales: Hay sólo unos pocos métodos generales que pueden ser
aplicados a cualquier polinomio ya sea en una variable o varias variables.
Factor común: Encontrando, por inspección, el monomio que es el máximo
común divisor de todos los términos del polinomio y factorizándolo como un
factor común que es una aplicación de la ley distributiva. Este es
comúnmente el más usado en la técnica de factorización.
Teorema del factor: Para un polinomio de una variable, p(x), el teorema del
factor establece que a es una raíz del polinomio (que es, p(a) = 0, también
llamado un cero del polinomio) si y solo si (x - a) es un factor de p(x). El otro
factor en una factorización de p(x) puede ser obtenido por la división
polinómica o división sintética.
12. Ejercicios de Factorización
𝑥4
− 16
𝑥4
− 16 = 𝑥4
− 16
= (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 4)
= 𝑥2
+ 4 𝑥2
− 4
= (𝑥2
+ 4)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
= 𝑥2
+ 4
Para factorizar 𝑥4
− 16 aplicamos diferencia de
cuadrados:
𝑥4
− 16 = (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 4)
Aplicamos nuevamente diferencia de cuadrados al
segundo factor:
𝑥4
− 16 = 𝑥2
+ 4 𝑥2
− 4 = (𝑥2
+ 4)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces
𝑥 = −2 y 𝑥 = 2
Debemos recordar que el factor 𝑥2
+ 4 no posee raíces
reales.
2𝑥4
+ 4𝑥2
2𝑥4
+ 4𝑥2
= 2𝑥4
+ 2.2𝑥2
= 2𝑥2
(𝑥2
+ 2)
Para factorizar 2𝑥4
+ 4𝑥2
, notamos que 2𝑥2
es
factor común de cada uno de los términos
2𝑥4
+ 4𝑥2
= 2𝑥2
(𝑥2
+ 2)
En este caso solo existe la raíz 𝑥 = 0, ya que el
polinomio 𝑥2
+ 2 no tiene raíces, esto es, no
existe un número real 𝑥 tal que 𝑥2
+ 2 = 0
13. Radicación
En las matemáticas, la radicación es el proceso de hallar raíces de orden “n” de
un número “a”.
De modo que se verifica que 𝑛
𝑎 = 𝑥, donde “n” es llamado índice u orden, “a”
es llamado radicando, y "x” es una raíz enésima.
La raíz de orden dos de “a”, se llama raíz cuadrada de “a” y se escribe como o
𝑎, o también 2
𝑎.
La raíz de orden tres de “a” , se llama raíz cúbica de “a” y se escribe como 3
𝑎.
Las raíces de órdenes superiores se nombran usando números ordinales, por
ejemplo raíz cuarta o raíz séptima.
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
14. Ejercicios de Radicación
“
3
8 𝑥 64)”
3
8 𝑥 64) =
3
8 𝑥
3
64
3
8𝑥
3
64 = 2𝑥4
3
8 𝑥 64) = 8
Para hallar la raíz en este caso,
hemos aplicado la propiedad de la
raíz de un producto y separamos
3
8 de
3
64, hallamos la raíz de
cada una de ellas
3
8 = 2
3
64 = 4
Multiplicamos los resultados de
ambas, y así habremos hallado la
raíz cubica del producto en este
caso “8 𝑥 64”.
“ 81”
81 =
4
81
81 3
27 3
9 3
3 3
1
81 = 3
Para resolver este caso, debemos
aplicar la propiedad de la raíz de
una raíz, que consiste en
multiplicar los dos índices,
simplificando así el ejercicio para
poderlo descomponer en factores
primos y así hallar la raíz
cuadrada de 81.
