1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo Lara
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Integrante:
Rachell Fernández C.I 30.129.553
PNF ADMINISTRACIÓN
Aula: 0102
Marzo, 2021.
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por medio
de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación,
de manera finita.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o
variables. Por ejemplo:
El grado de 2𝑥2
𝑦3
z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Por ejemplo:
2𝑥2
𝑦3
𝑧 Es semejante a 5𝑥2
𝑦3
𝑧
3. Tipos de polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente
hasta el término de mayor grado. Por ejemplo:
𝑃 (𝑥) = 2𝑥3
− 5𝑥 − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor
a menor grado. Por ejemplo:
𝑃 (𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥 − 3
Tipos de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
𝑃(𝑥) = 2
Polinomio de primer grado
𝑃(𝑥) = 3𝑥 + 2
Polinomio de segundo grado
𝑃 (𝑥) = 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2
Polinomio de tercer grado
𝑃 (𝑥) = 𝑥3
− 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2
Polinomio de cuarto grado
𝑃 (𝑥) = 𝑥4
+ 𝑥3
− 2𝑥2
+ 3𝑥 + 2
4. Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro
monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes. Por ejemplo:
𝒂𝒙𝒏
+ 𝒃𝒙𝒏
= (𝒂 + 𝒃) 𝒃𝒙𝒏
2𝑥2
𝑦3
𝑧 + 3𝑥2
𝑦3
𝑧 = 5𝑥2
𝑦3
𝑧
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2𝑥2
𝑦3
+ 3𝑥2
𝑦3
𝑧
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo
grado. Por ejemplo:
𝑃 (𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥 − 3
𝑄 (𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥2
+ 2𝑥3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
𝑄 (𝑥) = 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥
𝑃 (𝑥) + 𝑄 (𝑥) = (2𝑥3
+ 5𝑥 − 3) + (2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
𝑃 (𝑥) + 𝑄 (𝑥) = 2𝑥3
+ 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 5𝑥 + 4𝑥 − 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
𝑃 (𝑥) + 𝑄 (𝑥) = 4𝑥3
− 3𝑥2
+ 9𝑥 − 3
5. Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
𝑃 (𝑥) − 𝑄 (𝑥) = (2𝑥3
+ 5𝑥 − 3) − (2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥)
𝑃 (𝑥) − 𝑄 (𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥 − 3 − 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 4𝑥
𝑃 (𝑥) − 𝑄 (𝑥) = 2𝑥3
− 2𝑥3
+ 3𝑥2
+ 5𝑥 − 4𝑥 − 3
𝑃 (𝑥) − 𝑄 (𝑥) = 3𝑥2
+ 𝑥 − 3
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el
número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas.
Multiplicación de expresiones algebraicas
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. Por ejemplo:
5 × (2𝑥2
𝑦3
𝑧) = 10𝑥2
𝑦3
𝑧
Es común que para indicar la multiplicación no pongamos el signo por entre el
número y el paréntesis
4(2𝑥2
𝑦3
𝑧) = 8𝑥2
𝑦3
𝑧
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las
potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.
𝒂𝒙𝒏
× 𝒃𝒙𝒎
= (𝒂 × 𝒃)𝒙𝒏+𝒎
6. Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio da como resultado otro polinomio,
el cual tiene el mismo grado del polinomio que se multiplico y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 × (2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥 − 2) = 6𝑥3
− 9𝑥2
+ 12𝑥 − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por
todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Por ejemplo:
3𝑥2
× (2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑥 − 2) = 6𝑥5
− 9𝑥4
+ 12𝑥3
− 6𝑥2
Multiplicación de dos polinomios
El resultado de multiplicar dos polinomios es la suma del producto de todos los
monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.
Recordatorio: Al multiplicar dos potencias con la misma base, los exponentes se
suman. Por ejemplo:
𝒙𝟑
× 𝒙𝟐
= 𝒙𝟑+𝟐
= 𝒙𝟓
Ejemplo 1:
(2𝑥 + 3) × 4𝑥
Vamos a multiplicar el binomio 2𝑥 + 3 por el monomio 4𝑥. Para ello, multiplicamos
2𝑥 por 4𝑥 y 3 por 4𝑥:
(2𝑥 + 3) × 4𝑥 =
= 2𝑥 × 4𝑥 + 3 × 4𝑥
El producto 2𝑥 × 4𝑥 se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los
exponentes de sus partes literales (1 y 1):
2𝑥 × 4𝑥 + 3 × 4𝑥 =
= 8𝑥2
+ 3 × 4𝑥
Hacemos lo mismo con el producto 3 × 4𝑥 (ahora los exponentes son 0 y 1):
8𝑥2
+ 3 × 4𝑥 =
= 8𝑥2
+ 12𝑥
7. Por tanto, el producto calculado es
(2𝑥 + 3) × 4𝑥 = 8𝑥2
+ 12𝑥
División de expresiones algebraicas
Cociente de monomios
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las partes literales
teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Por ejemplo:
𝒂𝒙𝒏
÷ 𝒃𝒙𝒎
= (𝒂 ÷ 𝒃)𝒃𝒙𝒏−𝒎
6𝑥3
𝑦4
𝑧2
3𝑥2𝑦2𝑧2
= 2𝑥𝑦2
Cociente de polinomios
División de un polinomio por un monomio
La división de un polinomio por un monomio (sólo si es posible) se obtiene
dividiendo cada término del polinomio por el monomio, obteniendo como resultado
otro polinomio.
División entera de polinomios
𝐷 (𝑥) 𝑑 (𝑥) ≠ 0
𝑅 (𝑥) 𝐶 (𝑥)
𝑫 (𝒙) = 𝒅(𝒙) × 𝑪(𝒙) + 𝑹(𝒙)
De este modo, llamamos exacta a la división cuando R(x) es igual a 0. Para realizar
la división debemos actuar del mismo modo que la división entera de números
naturales.
Vemos el siguiente ejemplo:
Siendo:
𝑃 (𝑥) = 3𝑥3
+ 13𝑥2
− 13𝑥 + 2
𝑉 (𝑥) = 3𝑥 − 2
Realizar la siguiente operación:
(3𝑥3
+ 13𝑥2
− 13𝑥 + 2) ÷ (3𝑥 − 2) =
8. Así: 𝐶 (𝑥) = 𝑥2
− 5𝑥 + 1 y 𝑅 (𝑥) = 0
Productos notables de Expresiones Algebraicas
Productos Notables
Los Productos Notables o Identidades Notables son los resultados de ciertas
multiplicaciones que se obtienen de forma directa sin necesidad de aplicar la
propiedad distributiva, esto es por la forma que representan.
Son herramientas o fórmulas muy importantes en forma práctica para facilitar la
resolución de problemas algebraicos. La aplicación de cada Identidad depende de
lo que plantea un problema y de la habilidad para resolverlos.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ello el
método de factorización empleando productos notables consiste en identificar en el
polinomio la presencia de una expresión cuya forma corresponda a la de un
producto notable para luego aplicar la fórmula correspondiente y así reescribir el
polinomio en su forma factorizada.
Identidades Notables Principales
Binomio al Cuadrado
El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da un trinomio cuadrado perfecto, esto
es el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo
término, más el cuadrado del segundo término.
(𝒂 + 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
3𝑥3
+ 13𝑥2
− 13𝑥 + 2 3𝑥 − 2
−3𝑥3
+ 2𝑥2
𝑥2
+ 5𝑥 − 1
0 + 15𝑥2
− 13𝑥 + 2
−15𝑥2
+ 10𝑥
0 − 3𝑥 + 2
+ 3𝑥 − 2
0
9. Similarmente con el binomio diferencia al cuadrado:
(𝒂 − 𝒃)𝟐
= 𝒂𝟐
− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
El binomio al cuadrado es el más conocido de los productos notables y quizá el más
utilizado en los problemas algebraicos.
Factor común
Este producto notable establece que podemos conocer el resultado de la
multiplicación de un monomio 𝑐 por un binomio (𝑎 + 𝑏) aplicando la ley distributiva:
𝒄 𝒄𝒅𝒐𝒕(𝒂 + 𝒃) = 𝒄 𝒄𝒅𝒐𝒕 𝒂 + 𝒄 𝒄𝒅𝒐𝒕 𝒃
Trinomio al Cuadrado
Al desarrollar el trinomio de un cuadrado se obtiene la suma de los cuadrados de
los tres términos, más el doble de la suma de los productos tomados de dos en dos.
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄)
Diferencia de Cuadrados
La diferencia de cuadrados nos dice que el producto de dos binomios; uno que
presenta la suma de dos expresiones y el otro la diferencia de las mismas
expresiones nos da el cuadrado de la primera, menos el cuadrado de la segunda.
𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
= (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)
Binomio al Cubo
Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene el cubo del primer término, más el
producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del triple
del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.
(𝒂 + 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
+ 𝒃𝟑
Semejantemente con el binomio diferencia al cubo:
(𝒂 − 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
− 𝟑𝒂𝟐
𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐
− 𝒃𝟑
De tal forma que, si le damos forma a estas dos expresiones tendremos los
siguientes resultados del binomio al cubo, el cual puede ser muy importante para la
resolución de los ejercicios.
(𝒂 + 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
+ 𝒃𝟑
+ 𝟑𝒂𝒃(𝒂 + 𝒃)
(𝒂 − 𝒃)𝟑
= 𝒂𝟑
− 𝒃𝟑
− 𝟑𝒂𝒃(𝒂 − 𝒃)
