Relasi dan fungsi

9,769 views

Published on

0 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
9,769
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
718
Comments
0
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Relasi dan fungsi

  1. 1. Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
  2. 2. RELASI DAN FUNGSIKompetensi Dasar :Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Indikator : 1. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas 2. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan contohnyaHal.: ‹#› Relasi dan Fungsi Adaptif
  3. 3. Hal.: 4 Relasi dan Fungsi Adaptif
  4. 4. RELASI DAN FUNGSIAda 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :1.Diagram panah2.Himpunan pasangan berurutan3.Diagram CartesiusContoh:Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil,sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A kehimpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebutdengan:a.Diagram panahb.Himpunan pasangan berurutanc.Diagram Cartesius Hal.: 6 Relasi dan Fungsi Adaptif
  5. 5. RELASI DAN FUNGSIJawab: c. Diagram Cartesiusa. Diagram panah Y “banyak roda dari” 1. . becak becak • 2. . mobil mobil • 3. . motor motor • 4. sepeda . sepeda • 5. . bemo bemo • A B O 1 2 3 4 X b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak) (3, bemo), (4, mobil )} Hal.: 7 Relasi dan Fungsi Adaptif
  6. 6. RELASI DAN FUNGSI Pengertian Fungsi :Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasiyang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , denganelemen pada B . . . . . . . . . . . A B f Hal.: 8 Relasi dan Fungsi Adaptif
  7. 7. RELASI DAN FUNGSI Beberapa cara penyajian fungsi :  Dengan diagram panah  f : D → K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya, un = n2 + 2n atau u(n) = n2 + 2n  Dengan diagram Kartesius  Himpunan pasangan berurutan  Dalam bentuk tabelHal.: 9 Relasi dan Fungsi Adaptif
  8. 8. RELASI DAN FUNGSI Contoh : grafik fungsiGambarlah grafik sebuah fungsi : f: x → f(x) = x2 dengan Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}. Y(–2,4) (2,4)  4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari –2.  – 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan dilambangkan f–1(4) = 2 atau – 2.  Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis (–1,1) (1,1) sejajar sumbu- Y yang memotong grafik hanya memotong di tepat satu titik saja. O (0,0) X Hal.: 10 Relasi dan Fungsi Adaptif
  9. 9. RELASI DAN FUNGSIBeberapa Fungsi Khusus  1). Fungsi Konstan  2). Fungsi Identitas  3). Fungsi Modulus  4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(−x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x)  5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar [[ x ] = {b | b ≤ x < b + 1, b bilangan bulat, x∈R} Misal, jika −2 ≤ x < −1 maka [[x] = −2  6). Fungsi Linear  7). Fungsi Kuadrat  8). Fungsi TurunanHal.: 11 Relasi dan Fungsi Adaptif
  10. 10. RELASI DAN FUNGSI Jenis Fungsi 1. Injektif ( Satu-satu) Fungsi f:A→B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu dan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2). 2. Surjektif (Onto) Fungsi f: A→B maka apabila f(A) ⊂ B dikenal fungsi into. Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x) = x2 bukan fungsi yang onto 3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Apabila f: A→ B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka “f adalah fungsi yang bijektif”Hal.: 12 Relasi dan Fungsi Adaptif
  11. 11. FUNGSI LINEAR1.Bentuk Umum Fungsi Linear Fungsi ini memetakan setiap x ∈ R kesuatu bentuk ax + b dengan a ≠ 0, a dan b konstanta. Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta2. Grafik Fungsi Linear Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 : 1. Dengan tabel 2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu yHal.: 13 Relasi dan Fungsi Adaptif
  12. 12. FUNGSI LINEARContoh :Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal {x -1 ≤x ≤ x ∈ 2, R}.a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y. Jawab a. Ambil sembarang titik pada domain X -1 0 1 2 Y = 4x-2 -6 -2 2 6 Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6) Hal.: 14 Relasi dan Fungsi Adaptif
  13. 13. FUNGSI LINEAR Y c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )b. y = 4x – 2 ⇔ 0 = 4x - 2 6 • ⇔ 2 = 4x ⇔x = 1 2 2 • Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0) 1 2 X -2 -1 O Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 ) y = 4x – 2 • -2 ⇔ y = 4(0) – 2 ⇔ y = -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2) • -6Hal.: 15 Relasi dan Fungsi Adaptif
  14. 14. FUNGSI LINEAR 3. Gradien Persamaan Garis Lurus Cara menentukan gradien : (i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m. −a (ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m= b (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah y2 − y1 m= x2 − x1 Contoh : 1. Tentukan gradien persamaan garis berikut a. y = 3x – 4 b. 2x – 5y = 7 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)Hal.: 16 Relasi dan Fungsi Adaptif
  15. 15. FUNGSI LINEARJawab :1a. Y = 3x – 4 gradien = m = 3 b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5 −a 2 m = = - b −52. m = y2 − y1 x2 − x1 6− 3 = 1 − ( − 2) 6− 3 = 1+ 2 = 1Hal.: 17 Relasi dan Fungsi Adaptif
  16. 16. FUNGSI LINEAR4. Menentukan Persamaan Garis Lurus Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah y – y1 = m ( x – x1 ) Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah y − y1 x − x1 y2 − y1 = x2 − x1 Contoh 1 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2 Jawab : y – y1 = m ( x – x 1 ) y – 1 = -2 ( x – (-2)) y - 1 = -2x – 4 y = -2x - 3Hal.: 18 Relasi dan Fungsi Adaptif
  17. 17. FUNGSI LINEARContoh 2 :Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4) Jawab : y − y1 x − x1 = x2 − x1 y2 − y1 y− 3 x+ 2 ⇔ 4 − 3 = 1+ 2 y− 3 x+ 2 ⇔ = 1 3 ⇔ 3(y – 3) = 1(x + 2) ⇔ 3y – 9 = x + 2 ⇔ 3y - x – 11 = 0Hal.: 19 Relasi dan Fungsi Adaptif
  18. 18. FUNGSI LINEAR5. Kedudukan dua garis lurus Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2 Dua garis saling sejajar jika m1 = m2 1 Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - m2 Contoh : 1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus pada 6x – 3y – 10 = 0Hal.: 20 Relasi dan Fungsi Adaptif
  19. 19. FUNGSI LINEARJawab :1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0 a 1 1 ⇒ m1 = − =− = b −2 2 1 ⇒ m1 = m2 maka m1 = 2 1Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah y – y1 = m ( x – x1) 2 ⇔ y+3 =½(x–2) ⇔ y+3 =½x–1 ⇔ 2y + 6 = x – 2 ⇔ x – 2y – 8 = 0Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 danmelalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0 Hal.: 21 Relasi dan Fungsi Adaptif
  20. 20. FUNGSI LINEAR2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0. a 6 ⇒ m1 = − = − =2 b −3 − 1 − 1 1 m1 ⋅ m2 = − ⇒m2 = 1 = =− m1 2 2 Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 5 = -½ (x + 3) 3 ⇔ y – 5 = -½x - 2 ⇔ 2y – 10 = -x – 3 ⇔ x + 2y – 10 + 3 = 0 ⇔ x + 2y – 7 = 0 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0. Hal.: 22 Relasi dan Fungsi Adaptif
  21. 21. FUNGSI KUADRAT1.Bentuk umum fungsi kuadrat y = f(x) →ax2+bx+c dengan a,b, c ∈ R dan a ≠ 0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris2. Sifat-sifat Grafik Fungsi KuadratBerdasarkan nilai a(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.Hal.: 23 Relasi dan Fungsi Adaptif
  22. 22. FUNGSI KUADRATBerdasarkan Nilai Diskriminan (D) Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2 – 4acHubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X. Hal.: 24 Relasi dan Fungsi Adaptif
  23. 23. FUNGSI KUADRATKedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X a>0 a>0 a>0 D=0 D>0 D<0 X(i) (ii) X (iii) X X X X a<0 a<0 D=0 D>0 a<0 (iv) (v) (vi) D<0 Hal.: 25 Relasi dan Fungsi Adaptif
  24. 24. FUNGSI KUADRAT 3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik −b• Persamaan sumbu simetri adalah x = 2a• Koordinat titik puncak / titik balik adalah   −b − D ,   2a 4a (iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan) Hal.: 26 Relasi dan Fungsi Adaptif
  25. 25. FUNGSI KUADRATContoh :Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.Jawab:(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0) x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = -1 atau x = 5Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0) y = 02 – 4(0) – 5 ⇔= -5 y Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 ) Hal.: 27 Relasi dan Fungsi Adaptif
  26. 26. FUNGSI KUADRAT(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik − b − (−4) 4 x= = = =2 4a 2(1) 2 − D − ((−4) 2 − 4(1)(−5)) y= = = −9 4a 4(1) Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8. Jadi, titik bantunya (1, -8). Hal.: 28 Relasi dan Fungsi Adaptif
  27. 27. FUNGSI KUADRATGrafiknya : Y • • X -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 • • -6 -7 -8 • • -9 •Hal.: 29 Relasi dan Fungsi Adaptif
  28. 28. FUNGSI KUADRATPersamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsimelalui tiga titik Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5) Jawab: f(x) = ax2 + bx + c f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4⇔ a + b + c = -4 . . . 1) f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3 ⇔ 0 + 0 + c = -3 ⇔ c = -3 . . . 2) f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5 ⇔ 16a + 4b + c = =5 . . . 3) Hal.: 30 Relasi dan Fungsi Adaptif
  29. 29. FUNGSI KUADRATSubstitusi 2) ke 1) a + b – 3 = -4⇔ a + b = -1 . . . 4)Substitusi 2) ke 3) 16a + 4b – 3 = 5⇔ 16a + 4b = 8 . . . 5)Dari 4) dan 5) diperoleh : a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4 16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _ -12a = -12 a = 1Substitusi a = 1 ke 4) 1 + b = -1 b = -2Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3 Hal.: 31 Relasi dan Fungsi Adaptif
  30. 30. FUNGSI KUADRAT Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut . f ( x) = a( x − x )( x − x ) 1 2 Contoh : Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)Hal.: 32 Relasi dan Fungsi Adaptif
  31. 31. FUNGSI KUADRATJawab :f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :3 = a(0 - 1)(x + 3)3 = -3aa = -1Persamaan fungsi kuadratnya menjadi : f ( x) = −1( x − 1)( x + 3) = −1( x 2 + 2 x −3) f ( x) = − x 2 − 2 x + 3Jadi fungsi kuadratnya adalah f ( x) = − x 2 − 2 x + 3 Hal.: 33 Relasi dan Fungsi Adaptif
  32. 32. FUNGSI KUADRATPersamaan fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + capabila diketahui titik puncak grafik (x p’ y p ) dansatu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumusberikut. f ( x) = a( x − y p ) + y p 2Hal.: 34 Relasi dan Fungsi Adaptif
  33. 33. FUNGSI KUADRATContoh :Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) danmelalui (3, -7)Jawab :f(x) = a(x – xp)2 + yp (xp , yp) = (-1, 9)f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi : -7 = a(3 + 1)2 + 9⇔= 16 a -16⇔ 1 a=Hal.: 35 Relasi dan Fungsi Adaptif
  34. 34. FUNGSI EKSPONEN • 2– 3 –3• f(x) =2 X • 2–2X –2 • –1• • 2– 1 0• • 20 1• • 21 2• • 22 3• • 23 ... ... n• • 2n D = domain K = kodomainHal.: 36 Relasi dan Fungsi Adaptif
  35. 35. FUNGSI EKSPONEN YGrafik f: x → f(x) = 2x • (5,32) • untuk x bulat dalam [0, 5] 2x adalah: x 0 1 2 3 4 5 • (4,16) •F(x)=2x 1 2 4 8 16 32 • (3,8) • • (2,4) • • (1,2) • • (0,1) Hal.: 37 Relasi dan Fungsi O Adaptif X
  36. 36. FUNGSI EKSPONEN x dan g(x) = 1  X  Grafik f(x) = 2 2    Y 7 x 1   2 6  f(x)= 2 x g(x)  1 x 5 =    2 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 2 3 X Hal.: 38 Relasi dan Fungsi Adaptif
  37. 37. FUNGSI EKSPONEN Sifat Kedua grafik melalui titik (0, 1) Y Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y 7 x 1  Grafik f: x → 2x merupakan grafik x  2 6  f(x)= 2 x 1  naik/mendaki dan grafik g: x → 2  1 x    5g(x) =   merupakan grafik yang menurun, dan 2   4 keduanya berada di atas sumbu X 3 (nilai fungsi senantiasa positif) 2 1 Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai x 1  nilai 2 dan nilai   x –3 –2 –1 O 1 2 3 X 2  untuk berbagai nilai x realSebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2. Hal.: 39 Relasi dan Fungsi Adaptif
  38. 38. FUNGSI LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen. Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut : f ( x)= log x a Untuk a > 1, a ∈ RHal.: 40 Relasi dan Fungsi Adaptif
  39. 39. FUNGSI LOGARITMASecara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritmaadalah sebagai berikut : Y y = ax y = a log x X oHal.: 41 Relasi dan Fungsi Adaptif
  40. 40. FUNGSI LOGARITMAContoh 1 :Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalena. 8 = 23b. ¼ = 2-2Jawab :a. 8 = 23 ⇒ log 8 = 3 2b. ¼ = 2-2 ⇒2 log ¼ = -2Contoh 2 :Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalena. 4 = 2 log 16 1b. -6 = 2 log 64Jawab :a. 4 = 2log 16 ⇒ 24 = 16b. -6 = 2log 64 ⇒ 2-6 = 1 1 64Hal.: 42 Relasi dan Fungsi Adaptif
  41. 41. FUNGSI LOGARITMA Contoh 3 :Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2Jawab :Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut. x f(x) = 2 log x+2 ¼ 0 ½ 1 1 2 2 3 4 4 8 5 Hal.: 43 Relasi dan Fungsi Adaptif
  42. 42. FUNGSI LOGARITMAGrafiknya Y 6 5 f ( x)= 2 log x + 2 4 3 2 1 X-1 -2 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Hal.: 44 Relasi dan Fungsi Adaptif
  43. 43. FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin x 1 amplitudo 0 900 1800 2700 3600-1 1 periodeHal.: 45 Relasi dan Fungsi Adaptif
  44. 44. FUNGSI TRIGONOMETRI Periode 3600 Grafik y = 2 sin x 2 Amlpitudo 2 1 0 900 1800 2700 3600-1 Y=sin x-2Hal.: 46 Relasi dan Fungsi Adaptif
  45. 45. FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = sin 2x pereode 1 amplitudo 0 450 900 1350 1800 2250 2700 3150 3600-1 Y=sin xHal.: 47 Relasi dan Fungsi Adaptif
  46. 46. FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = cos x 1 amplitudo π -900 -900 00 900 1800 2700 -1 1 periodeHal.: 48 Relasi dan Fungsi Adaptif
  47. 47. FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik y = 2cos x periode 2 amplitudo 1 -900 00 900 1800 2700 -1 Y=cos x -2Hal.: 49 Relasi dan Fungsi Adaptif

×