Matematika Sains: Fungsi Pendidikan Sains Pps. Unesa 2013

1. MATSAINS
FUNGSI
Kelompok VIII
1. Sumarni
2. Budiman
3. M. Yasir

2. Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi
irrasional
Fungsi non-aljabar
(transenden)
Fungsi rasional
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
F.Pangkat
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
Aplikasi Dalam Ilmu Biologi

3. 1. PENGERTIAN RELASI & FUNGSI
Gambar 1.1
(diagram panah)
X
Y
a
1
b
2
c
3
d
4
A. Definisi relasi:
Relasi dari himpunan X ke
himpunan Y adalah aturan yang
menghubungkan anggota-anggota
himpunan X dengan anggotaanggota himpunan B.
5
Domain
daerah asal
Kodomain
daerah kawan
Range (daerah hasil)
Didapat dari himpunan kodomain
:1,2,3,4

4. B. Notasi fungsi, Daerah Asal (domain), dan Daerah Hasil
(Range/Nilai Funsi).
Pada notasi fungsi y = f(x), x biasanya disebut variabel bebas
(variabel yang tidak tergantung sembarang nila atau variabel lain),
dan y disebut variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung
pada nilai atau variabel yang lain. Nilai variabel terikat y tergantung
pada variabel x
Pada fungsi f : X → Y tersebut, himpunan X disebut daerah asal
(domain), fungsi f dinotasikan 𝐷 𝑓 . Himpuna B disebut daerah kawan
(kodomain) fungsi f dan himpunan unsur-unsur di B
yang
merupakan bayangan unsu-unsur di domain disebut daerah hasil
(range) fungsi f, dinotasikan 𝑅 𝑓 . Pada Gambar 1.1 diperoleh:
 𝐷𝑓
= A = {a, b, c, d}
 Kodomain f
= B = {1, 2, 3, 4, 5}

𝑅𝑓
= {1, 2, 3, 4}

5. C. Definisi Fungsi (Pemetaan):
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang
menghubungkan setiap anggota himpuna A dengan tepat satu
anggota himpunan B.
A
A
B
Garam
B
Garam
Asin
Asin
Gula
Manis
Gula
Manis
Cuka
Asam
Cuka
Asam
Lada
Pedas
Lada
Pedas
Pahit
Cabai
Pahit
Fungsi
Bukan fungsi
Gambar 1.2
(jenis rasa)

6. 2. MENYATAKAN BENTUK FUNGSI
a. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Diagram
Panah (dapat dilihat pada contoh gambar 1.1 dan 1.2)
b. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dalam
Koordinat Cartesius
B
Pahit
Asin
Asam
Manis
Pedas
Garam
Gula
Cuka
Lada
A

7. c. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan
Pasangan Berurutan.
 Relasi jenis rasa pada Gambar 1.2, memiliki himpunan jenis
makanan/bahan makanan A = {Garam, Gula, Cuka, Lada}, dan
himpunan jenis rasa B = {Asin, Manis, Asam, Pedas, Pahit}.
 Relasi jenis rasa ditulis :
R = {(Garam, Asin), (Gula, Manis), (Cuka, Asam), (Lada, Pedas)}
Catatan Pasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y)
dengan x menyatakan anggota suatu himpunan
tertentu, sebut A (domain), dan y menyatakan
anggota dari himpunan lain, sebut B (kodomain).
Pada bagian ini menyatakan relasi sebagai
himpunan pasangan berurutan (x,y).

8. 3. SIFAT-SIFAT FUNGSI
1. Fungsi
Satu-satu
(Injektif)
• Fungsi f:AB adalah fungsi injektif apabila
setiap dua elemen yang berlainan di A akan
dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B.
Misalnya:
Fungsi f pada R yang didefinisikan
dengan f(x) = x 2 bukan fungsi satusatu sebab f(-2) = (f(2)
A
1
Adapun fungsi pada A=(bilangan
asli) yang didefinisikan dengan
f(x)=2x
merupakan fungsi satusatu sebab kelipatan dua dari
setiap dua bilangan yang berlainan
adalah berlainan pula.
2
3
4
B
1
2
3
4
5
6
7
8

9. 2. Fungsi
Surjektif
(Onto)
• Fungsi f:AB adalah fungsi surjektif apabila
setiap elemen di B pasti merupakan peta dari
sekurang-kurangnya satu elemen di A atau “f
memetakan A Onto B”
Misalnya:
Fungsi f:RR yang didefinisikan
dengan f(x) = x 2 bukan fungsi Onto
karena himpunan bil. Negatif tidak
dimuat oleh hasil fungsi tersebut.
A
a
b
Misal A={a, b, c, d} dan B= ={x, y, z}
fungsi f:RR pada adalah fungsi
surjektif sebab daerah hasil f
adalah ama dengan kodomain dari
f (himpunan B).
c
d
B
x
y
z

10. • Fungsi f:AB sedemikian rupa sehingga f
merupakan fungsi yang injektif dan surjektif,
3. Fungsi Bijektif
maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif
(korespondensi
satu-satu)
atau “A dan B berada dalam korespondensi
satu-satu”.
Misalnya:
Relasi dari himpunan A={a, b, c, d}
ke himpunan B={p, q, r} diagram
panah di samping adalah suatu
fungsi yang bijektif.
a
x
b
y
c
z

11. 4. JENIS-JENIS FUNGSI
A. Fungsi Linier
1. Definisi
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan sebagai
f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut
fungsi linier.
Grafik fungsi linier berupa garis lurus dan untuk
menggambar grafik fungsi linier dapat dilakukan
dengan dua cara yaitu :
1. Membuat tabel
2. Membuat titik potong dengan sumbu-x dan
sumbu-y.

12. Contoh: Suatu fungsi linier ditentukan oleh y = 4x - 2
dengan daerah asal {x -1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}.
a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .
b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.
c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.
Penyelesaian:
a. Ambil sembarang titik pada domain
X
-1
0
1
2
Y = 4x-2
-6
-2
2
6
Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)

13. b.
Y
c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )
y = 4x – 2
6
0 = 4x - 2
•
2 = 4x
x=
2
•
-2 -1 O
1 2
• -2
1
2
Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)
X
Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 )
y = 4x – 2
y = 4(0) – 2
y = -2
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)
•
-6

14. 2. Gradien Persamaan Garis Lurus
Cara menentukan gradien :
a. Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.
a
b. Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m 
b
c. Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2),
y  y1
gradiennya adalah m  2
x2  x1
Contoh :
1) Tentukan gradien persamaan garis berikut:
a. y = 3x – 4
b. 2x – 5y = 7
2) Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)

15. Penyelesaian:
1) a. Y = 3x – 4
gradien = m = 3
b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5
m =
2
a
=  5
b
2)
m
m

y2  y1
x2  x1
63
1  (2)
63
1 2
1
3. Menentukan Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m
adalah y – y1 = m ( x – x1 )
Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1

16. Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2
Jawab :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 1 = -2 ( x – (-2))
y - 1 = -2 (x + 4)
y - 1 = -2x – 4
y = -2x – 4 + 1
y = -2x – 3
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)
Jawab :
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
y 3 x 2

4  3 1 2
y 3 x  2

1
3
3 (y-3) = 1 (x+2)
3y - 9 = x + 2
3y – x -9 -2 = 0
3y–x-11= 0

17. b. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
y = f(x)  ax2 + bx + c dengan a, b, c  R dan a  0.
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris
2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nila a:
1). Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai
titik balik minimum, dinotasikan 𝑦 𝑚𝑖𝑛 atau
titik
balik
minimum.
2). Jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga
mempunyai titik balik maksimum. dinotasikan 𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑠 atau
titik balik maksimum.
Berdasarkan nilai diskriminan (D):
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = 𝑏2 – 4ac

18. Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X
a. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik
yang
berbeda.
b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah
titik.
c. Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak
menyinggung
sumbu X.

19. Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap
Sumbu X
a>0
D=0
a>0
D>0
X
(ii)
(i)
a>0
D<0
X
(iii)
X
X
X
a<0
D=0
X
(iv)
a<0
D>0
(v)
(vi)
a<0
aD0 0
<<
D<0

20. 3. Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
1). Mementukan titik potong dengan sumbu X (y=0)
2). Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x=0
3). Mentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik
−𝑏
 Persamaan sumbu simetri adalah x =
−𝑏
2𝑎
2𝑎
−𝐷
−4𝑎
 Koordinat titik puncak adalah
,
4) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika
diperlukan)

21. Contoh :
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2 – 4x – 5.
Penyelesaian :
1). Titik potong dengan sumbu X (y = 0)
x2 – 4x – 5 = 0
(x + 1)(x – 5) = 0
x = -1 atau x = 5
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (- 1, 0)
dan (5, 0).
2). Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
y = 02 – 4(0) – 5
y = -5
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )

22. 3). Sumbu simetri dan koordinat titik balik
 b  (4) 4
x

 2
2a
2(1)
2
 D  ((4) 2  4(1)(5))
y

 9
4a
4(1)
Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).
4). Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.
Jadi, titik bantunya (1, -8).

23. Grafiknya :
Y
•
-1
0
1
X
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
•
•
-6
-7
-8
-9
•
•
•
•
5

24. Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2 + bx + c apabila diketahui grafik fungsi
melalui tiga titik
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)
Jawab:
f(x) = ax2 + bx + c
f(1) = a(1)2 + b(1) + c = -4
a + b + c = -4 . . . 1)
f(0) = a(0)2 + b(0) + c = -3
0 + 0 + c = -3
c = -3 . . . 2)
f(4) = a(4)2 + b(4) + c = 5
16a + 4b + c = =5 . . .
3)

25. Substitusi 2) ke 1)
a + b – 3 = -4
a + b = -1 . . . 4)
Substitusi 2) ke 3)
16a + 4b – 3 = 5
16a + 4b = 8 . . . 5)
Dari 4) dan 5) diperoleh :
a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4
16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _
-12a = -12
a = 1
Substitusi a = 1 ke 4)
1 + b = -1
b = -2
Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2 -2x -3

26. Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui
dua titik potong terhadap sumbu X dan satu titik lainnya dapat
ditentukan dengan rumus berikut .
f ( x)  a( x  x )(x  x )
1
2
Contoh :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di
titik A (1,0), B (-3,0), dan memotong sumbu Y di titik (0,3)

27. Penyelesaian:
f ( x)  a( x  x1 )( x  x2 )
Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :
f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)
Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :
3 = a(0 - 1)(x + 3)
3 = -3a
a = -1
Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :
f ( x)  1( x  1)( x  3)
 1( x2  2 x  3)
f ( x)   x 2  2 x  3
2
Jadi fungsi kuadratnya adalah f ( x)   x  2 x  3

28. Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c apabila diketahui
titik puncak grafik (xp’ yp) dan satu titik lainnya dapat ditentukan
dengan rumus berikut.
f ( x)  a ( x  x p ) 2  y p
Contoh :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan
melalui (3, -7)
Jawab :
f(x) = a(x – xp)2 + yp
(xp , yp) = (-1, 9)
f(x) = a(x + 1 )2 + 9 . . . 1)
Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi :
-7 = a(3 + 1)2 + 9
-16 = 16 a
a = -1

29. Catatan
Persamaan kuadrat
a𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟𝑖 𝑎𝑘𝑎𝑟 −
𝑎𝑘𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛:
1. Pemfaktoran
2. Meelengkapi bentuk kuadrat sempurna
3. Rumus abc: 𝑥1,2 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎

30. d. Fungsi Eksponensial
X
f(x) =2X
–3
–2 
–1
0
1
2
3
...
n
D = domain
2– 3
2–2
2– 1
20
21
22
23
...
2n
K = kodomain

31. Grafik f: x  f(x) = 2x untuk x bulat dala [0, 5]
Y
(5,32)

adalah:
x
0
1
2
3
4
5
F(x)=2x 1
2
4
8
16
2x
32
(4,16)

(3,8)

(2,4)

(1,2)

(0,1)
O
X

32. Grafik f(x) = 2
X




1
dan g(x) = 2




x
Y
7


6
1

2

g(x)
1 x

2


=


x
f(x)= 2
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
1 2 3 X
x

33. Kedua grafik melalui titik (0, 1)
Sifat
Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
Y
7


6
1

2

g(x)
1 x

2


=


x
f(x)= 2
x
Grafik f: x  2x merupakan grafik x
 
naik/mendaki dan grafik g: x   1 
 

5
2
merupakan grafik yang menurun, dan
keduanya berada di atas sumbu X
(nilai fungsi senantiasa positif)
4
3
2
1
–3 –2 –1 O
1 2 3 X
Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai
x
x dan nilai  1 


nilai 2


 2
untuk berbagai nilai x real
Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.
Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.

34. d. Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi eksponen.
Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :
f ( x) log x
a
Untuk a > 1, a R

35. Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah
sebagai berikut :
Y
y  ax
y a log x
o
X

36. Contoh 1 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2
Jawab :
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2
log 8 = 3
2 log ¼ = -2
2
Contoh 1 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen
a. 4 = 2 log 16
b. -6 = 2 1log
64
Jawab :
a. 4 = 2log 16
1
b. -6 = 2log 64


24 = 16
1
2-6 = 64

37. Contoh 3 :
Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x+2
Jawab :
Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel
berikut:
x
f(x) = 2 log x+2
¼
0
½
1
1
2
2
3
4
4
8
5

38. Grafiknya:
Y
6
5
f ( x)2 log x  2
4
3
2
1
-1 -2 O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X

39. 5. APLIKASI FUNGSI DALAM ILMU BIOLOGI
1. Menghitung waktu generasi pertumbuhan mikrobia
Jika 100 sel setelah ditumbuhkan selama 5 jam menghasilkan 1.720.320
sel, maka berapakah jumlah generasi yang tumbuh?
Jawab:
NT = NO X 2 𝑛
Waktu Generasi= t/n





Nt : Population at time t
t : time
N0: initial population size
2 : binary fission
n : number of generations in
time
t: waktu pertumbuhan
eksponensial,
n: jumlah generasi
jumlah generasi dapat dihitung sebagai berikut:
n = Log Nt – Log N0= Log 1.720.320 – Log 100= 14
Log 2
0,301
Waktu Generasi: t/n = 60 menit x 5 = 21 menit/generasi
14

40. GENERATION TIME
Generation Time (Doubling Time)
– time required for a cell to divide
– most about 1 Hrs To 3 Hrs.


Generation time varies with:
◦ Organism
◦ Available nutrients
◦ Temperature
◦ pH, etc.
Can be short (10 min) or long (hours)

41. GENERATION TIME
n
n

43. CELLS POPULATION DURING EXPONENTIAL PHASE
Time
(minutes)
Generation
(n)
2n
0
0
20=1
1x1=1
20
1
21=2
1x2=2
40
2
22=4
1x4=4
60
3
23=8
1x8=8
80
4
24=16
1 x 16 = 16
100
5
25=32
1 x 32 = 32
120
6
26=64
1 x 64 = 64
Cells
population
(Nt=N0 x 2n)

44. NT = NO X 2N





Nt : Population at time t
t : time
N0: initial population size
2 : binary fission
n : number of generations in time

n = (log Nt –log No)/(0,301)

n = (ln Nt –ln N0)/(0,693)

n = (2log Nt - 2log N0)

45. GENERATION TIME
Growth Rate Constant (k)

k = number of generations (n) per unit of
time (t)

k = n/t = (log Nt –log No)/(0,301 t) (hours-1)

n = k x t  Nt = No x 2kxt


g: Generation Time (Doubling
Time)
g = 1/k =(0,301t)/(log Nt –log No)
hours

46. BACTERIAL GROWTH CURVE
 All microorganisms undergo similar growth patterns.
 Each growth Curve has 4 Phases

47. CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG
1. Persentase orang albino pada masyarakat
Diketahui ferekuensi orang albino pada suatu masyarakat ialah 1 :
10.000
(dipersentasekan : 0,01%)
Carilah persentase orang pembawa (Aa)
Orang albino : aa
• Ini berarti ada kira-kira 2 orang
pembawa setiap 100 orang
aa
= 𝒒 𝟐 = 1 / 10000
penduduk, atau 1 orang tiap 50
q
= 𝟏/𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
penduduk
= 0,01
P + q = 1 maka p = 1 - q = 1 – 0, 01 2
Dari rumus persamaan kuadrat di
= 0.99
atas dapat kita lihat, bahwa orang
Orang pembawa Aa berfrekuensi 2 pq
hetrozihot itu jauh lebih banyak dari
= 2 x 0,99 x 0,01
orang homozogot baik yang resesif
maupun yang dominan
= 0,0198
= 0,0198 x 100%
= 1,98%

48. CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG
2. Untuk Gen Rangkaian Kelamin
Pada orang indonesia persentage orang laki-laki butawarna kira-kira 4 %.
Carilah persentage perempuan buta warna. Cari pula persentage
perempuan pembawa. Laki-laki butawarna
memiliki genotif : cbY,
hemozigot, karna itu hanya satu alel cb terdapat pada individu laki-laki.
Jawab: Misalnya frekuensi alel Cb (normal)= p, frekuensi alel cb =q.
Laki-laki cbY berfrekuensi q = 0.04
Maka p = 1 – 0,04 = 0,96
Perempuan buta warna cbcb
Perempuan pembawa Cbcb
berfrekuensi
berfrekuensi :
2 pq
= 2 x 0,96 x 0,04
q2
= 0,042 = 0,0016.
= 0,0768
= 0,0016 x 100%
= 0,0768 x 100%
= 0,16%
= 7,68 %

49. CONTOH PENGGUNAAN HUKUM HARDY –WEIBERG
3. Penggunaan pada Golongan Darah
Kalau diketahui persentage orang yang bergolongan darah A di suatu
masyarakat 40 % dan golongan darah O 20%, carilah berapa persentase
golongan darah AB dan B.
Jawab: Golongan darah oleh 3 buah alel. Karena itu suku persamaan kuadrat
(pA + qa)2 diubah menjadi : (pIa + qIb + rI0)2
•
•
•
•
•
Ini berarti frekuensi alel Ia ialah p, alel Ib ialah q dan prekuensi alel i ialah r
Frekuensi orang bergolongan darah A adalah
: p2 Ia Ia + 2 prIaI0
Frekuensi orang bergoongan darah B adalah
: q2 IbIb + 2 qr IbI0
Frekuensi orang bergolongan darah AB ialah
: ............. 2 pqIaIb
Frekuensi orang bergolongan darah O ialah
: r2I0I0
Jumlah frekuensi A, B, AB, O = 1= p2 + 2 pr + q2+ 2qr + 2pq + r2

50. Jumlah frekuensi A, B, AB, O = 1 = 𝒑 𝟐 + 𝟐 𝒑𝒓 + 𝒒 𝟐 + 𝟐 𝒒𝒓 + 𝟐 𝒑𝒒 + 𝒓 𝟐
𝒓𝟐 =0
𝒑 𝟐 + 𝟐 𝒑𝒓 + 𝒓 𝟐
r= 𝑶
=A+O
(𝒑 + 𝒓) 𝟐
𝒒 𝟐 + 𝟐 𝒒𝒓 + 𝒓 𝟐
=A+O
=B+O
→ p+r=
𝑨+ 𝑶
(𝒑 + 𝒓) 𝟐
P+ q+r
=B+O
=1
→ p+r=
𝑩+ 𝑶
P=1- (q+r)
→ p=1-
𝑩+ 𝑶
q=1- (p+r)
→ q=1-
𝑨+ 𝑶

51. p = 1 – (q + r) → p = 1 -
𝑨+ 𝑶
q = 1 – (p + r) → q = 1 -
𝑨+ 𝑶
Jika diketahui golongan darah O dan Ab, maka harus dicari dulu r, lalu
salah satu p dan q. Unutk itu perlu persamaan kuadrat
𝒓𝟐 =0
→r=
𝟐 𝒑𝒒 = AB
→p=
p+q+r=1
→ q = 1 – (p + r)
𝑶
𝑨𝑩
𝟐𝒒
= 1 – (p +
p =
𝑨𝑩
𝟐 (𝟏− 𝒑+
𝑶
𝑶 )
p (2(1-(p +
𝟎) ) = AB
p (2 - 2p - 2
𝟎) = AB
→ 2p - 𝟐𝒑 𝟐 - 2 p 𝟎 = AB
𝒑 𝟐 - p (1 -
𝟎 -
𝑨𝑩
𝟐
=0

52. 𝒑 𝟐 - p (1-
𝟎) -
𝑨𝑩
𝟐
=0
Karena O dan AB diketahui,
maka p dapat dicari dari :
𝒑 𝟏,𝟐 =
−𝒃±
𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Dimana untuk di atas:
b=
Pada soal di atas diketahui A dan O, karena itu
soal ini diselesaikan dengancara pertama:
r = 𝟎, 𝟐 = 0,45 (dicari dengan dafrat
logaritma).
q = 1 - 𝑨 + 𝟎 = 1 - 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟐 = 1 0,225 = 0,25 (dibulatkan).
𝟎, 𝟔 =
𝟎) - 1
a=1
c = 𝟏 𝟐 AB
p = 1 – (r+q) = 1 – (0,45 + 0,23) = 1 – 0.68 =
0,32
B = 𝒒 𝟐 + 𝟐 𝒒𝒓 = (𝟎, 𝟐𝟑) 𝟐 + 2.0, 23.0, 45 = 0,26
= 0,26 x 100% = 26%
AB = 𝟐 𝒑𝒒 = 2.0, 0,23 = 0,1472 = 0,15