Dokumen tersebut membahas tentang fungsi komposisi dan fungsi invers. Fungsi komposisi terbentuk dari dua fungsi f(x) dan g(x) dengan rumus (g o f)(x) atau (f o g)(x). Fungsi invers dari fungsi f ditulis f-1 dan merupakan relasi terbalik dari f. Teorema utama menyatakan bahwa jika f bijektif, maka f-1 o f = f o f-1 = I dimana I adalah fungsi identitas

1. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Mata kulia: selekta
matemaika smp
Nim: 17118002
Dosen pembimbing:
Chika Rahayu,M.Pd
MERI
ARIANTI

2. 3.1.1. Pengertian Fungsi
Fungsi atau pemetaan f dari A ke B adalah pemasangan setiap unsur di A ke tepat
satu unsur di B, dengan A, B himpunan tak kosong. Himpunan A disebut daerah
asal (domain) dilambangkan dengan D dan himpunan B disebut daerah kawan
(kodomain) dilambangka n dengan K. Sementara itu, himpunan semua peta dari
himpunan A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan dengan R. Suatu
fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h.
Misalnya f adalah fungsi yang memetakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis
f : A → B
Contoh:
Diagram dibawah ini adalah pemetaan f: A B dengan daerah asal A={a,b,c}
daerah kawan B={x,y,z}
F(a) =x;f{b} =y;{c} =z, sehingga didapat range (daerah asal) H ={x,y,z}
a
b
c
x
y
z

3. 3.1.2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fu ngsi Satu-Satu
f : A → B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsure yang berbeda di
A memiliki peta yang saling beda. Fungsi satu-satu digambarkan sebagai berikut.
A B
b. Fungsi Pada
f : A → B merupakan fungsi pada (surjektif) jika setiap unsur di B memiliki
prapeta di A. Gambar berikut merupakan contoh fungsi pada.
a
b
c
x
y
z

4. A B
c. Fungsi Satu-Satu dan Pada
f : A → B merupakan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) hanya jika f satu-satu dan
pada.
3.1.3. Jenis-Jenis Fungsi
a. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan
apabila
untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan
konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Diketahui f : R →
R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain: {x | –3 ≤ x < 2}.
Sehingga, gambar grafiknya.
a
b
c
x
y
z

5. Grafik :
b. Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b,
di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Perhatikan
contoh berikut. Diketahui f(x) = 2x + 3, gambar grafiknya
x -3 -2 -1 0 1
F(x) 3 3 3 3 3

6. Grafik :
c. Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2
+ bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
Perhatikan contoh fungsi kuadrat berikut. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3,
gambar grafiknya.
2x+3
x 0 -1½
F(x) 3 0

7. d. Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik
absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. Agar lebih
memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh berikut ini. Fungsi pada R
didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
a. Carilah f(–2), f(0), f(1), f(3).

8. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian: a. Nilai f(–2), f(0), f(1), dan f(3). f(x) = x
f(–2) = –2 f(0) = 0 f(1) = – 1 f(3) = 3
e. Fungsi tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
intervalinterval
yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Diketahui fungsi:

9. -1,jika x -1
0, jika -1<x 2
f(x) 2, jika 2<x 4
3, jika x>4
Tentukan interval dari:
a. f(–2) b. f(0) e. gambar grafiknya. c. f(3) d. f(5) e. gambar grafiknya.
Penyelesaian:
a. f(–2) = –1 b. f(0) = 0 c. f(3) = 2 d. f(5) = 3 e. Gambar grafik

10. f. Fungsi modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Untuk lebih
memahaminya, pelajarilah fungsi berikut berikut. f : x → | x | atau f : x → | ax + b |
f(x) = | x | artinya:
x, jika x≥0
l x l -x, jika x<0
Gambar grafiknya :

11. 3.1.4. Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru
dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi biasa
dilambangkan dengan "o“ (komposisi/bundaran). Fungsi baru yang dapat kita
bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Sifat-sifat Fungsi Komposisi:
- Tidak Komutatif: (g o f)(x) = (f o g)(x)
- Asosiatif: (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
- Fungsi Identitas I(x) = x : (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

12. Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui :
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka
kita dapat menentukan fungsi g. Demikian juga sebaliknya.
Contoh:
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g
(x).
Jawab :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) =
−4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

13. 3.1.5. Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi
f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f :
A→ B adalah f-1: A → B. Dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x)
merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya. Teorema fungsi invers
Misalkan f : A → B adalah fungsi bijektif f-1: B → A menyatakan fungsi invers
dari f yang juga bijektif.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
1. Ubah persamaan y = f (x) kemudian diubah menjadi bentuk x = g(y)
2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y)= g(y)
3. Ubah huruf y menjadi x sehingga [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Grafik fungsi f-1 (x) adalah pencerminan dari grafik fungsi f(x) terhadap garis y =
x
Rumus Fungsi Invers
F(x) =y f’(y)=x

14. 3.1.6. Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi
* Teorema 1: Jika f : A → B bijektif dan f-1 adalah fungsi invers dari f, maka f-1 o
f= f o f-1= I, dengan I fungsi identitas.
*Teorema 2: Jika f : A → B bijektif dan g : B → A bijektif sehingga g o f = f o g = I,
maka g = f-1.
*Teorema 3: Misalkan f : A → B bijektif dan g : B → C bijektif, maka g o f = A →
C bijektif dan fungsi inversnya (g o f)-1 = f-1 o g-1. Sehingga, (f o g o h)-1= h-1 o
g-1 o f-1, jika f, g, dan h bijektif.