Translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi adalah transformasi geometri yang masing-masing memindahkan, memutar, memperbesar/memperkecil, dan mencerminkan suatu objek geometri. Transformasi ini dijelaskan dengan persamaan dan matriks.

1. A. Translasi
Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang
dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili oleh ruas garis berarah
a a
. Jika translasi T = memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’), maka berlaku
b b
hubungan x’ = x + a dan y’ = y + b. Hubungan keduanya dapat dituliskan dalam bentuk :
a
T
b
P(x, y) P’(x + a, y + b)
Contoh Soal 1
3
Tentukan hasil translasi dari titik A(-1, 4) dan B(-5, 1), jika ditranslasikan oleh T = .
2
Jawab :
a
T
b
 A(x, y) A’(x + a, y + b)
3
T
A(-1, 4)
2 A’(-1 + 3, 4 - 2) = A’(2, 2)
a
T
b
 B(x, y) B’(x + a, y + b)
3
T
B(-5, 1)
2 B’(-5 + 3, 1 - 2) = B’(-2, -1)
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

2. Contoh Soal 2
a
Translasi T = memetakan titik P(-1, 3) ke titik P’(4, -2).
b
a. Tentukan a dan b
b. Tentukan hasil translasi titik-titik K(-2,. 3) dan L(0, -5) akibat translasi T di atas.
Jawab :
a
T
a. P(-1, 3)
b P’(-1+a, 3+b)
P’(-1 + a, 3 + b) = P’(4, -2)
-1 + a = 4 dan 3 + b = -2
a=5 b = -5
5
T
5
b. K(-2, 3) K’( -2 + 5, 3 – 5) = K’(3, -2)
5
T
L(0, -5) 5 L’(0 + 5, -5 -5) = L’(5, -10)
B. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah proses memutar bangun geometri terhadap titik tertentu. Titik tertentu tersebut
dinamakan sebagai titik pusat rotasi. Selain titik rotasi, suatu rotasi juga ditentukan oleh arah
sudut rotasi dan besar sudut rotasi.
Titik pusat rotasi adalah titik tetap yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan
besar sudut rotasi.
Arah sudut rotasi, dikatakan positif jika berlawanan dengan arah jarum jam dan arah sudut
rotasi dikatakan negatif jika searah dengan jarum jam.
Besarnya sudut rotasi menentukan jauhnya rotasi.
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

3. 1. Rotasi dengan Titik Pusat O(0, 0)
Perhatikan gambar di samping, oleh karena
y
P’(x’, y’) P(x, y) diputar sebesar berlawanan arah
jarum jam ke titik P’(x’, y’), maka POP’
merupakan juring lingkaran. Dengan
r
demikian OP = OP’ = r.
r P(x, y)
α
O B A x
Pada segitiga POA, x = r cos α dan y = r sin α
Pada segitiga P’OB,
x’ = r cos ( + α)
= r cos cos α – r sin sin α
= x cos – y sin
y’ = r sin ( + α)
= r sin cos α + r cos sin α
= x sin + y cos
Maka diperoleh :
x’ = x cos – y sin
Y’ = x sin + y cos
Jika dibentuk dalam bentuk matriks, maka :
x' cos sin x
, sehingga matriks yang bersesuaian dengan rotasi
y' sin cos y
o cos sin
sebesar pada titik pusat rotasi O(0, 0), yaitu
sin cos
Contoh Soal 3
Tentukan matriks yang bersesuaian dari rotasi sebesar 60o searah jarum jam dengan titik
pusat O(0, 0).
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

4. Jawab :
Rotasi sebesar 60o searah jarum jam berarti = - 60o. Matriks yang bersesuaian dari rotasi
sebesar – 60o dengan titik pusat O(0, 0) adalah :
cos 60 o sin 60 o 1
2
1
2 3
sin 60 o cos 60 o 1
2 3 1
2
2. Rotasi dengan Pusat di Titik P(a,b)
A’(x’ , y’) Perhatikan gambar di samping.
Y
Pada segitiga ALP,
x – a = r cos α
r
y - b = r sin α
A(x , y)
r
y-b
α
P(a, b) K L
x-a
O
X
Pada segitiga A’KP,
PK = x’ – a = r cos ( + α)
= r cos cos α – r sin sin α
= (x –a) cos – (y – b) sin
KA’= y’ – b = r sin ( + α)
= r sin cos α + r cos sin α
= (x – a) sin + (y – b) cos
Dengan demikian, maka diperoleh :
x’ - a = (x – a) cos – (y – b) sin
Y’ - b = (x – a) sin + (y – b) cos
Jika dibentuk dalam bentuk matriks, maka :
x' cos sin x a a
y' sin cos y b b
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

5. Contoh Soal 4
Tentukan bayangan dari titik A(2, -3) apabila di-rotasi-kan oleh sudut sebesar 90o
berlawanan arah dengan jarum jam dengan pusat titik P(1, -6).
Jawab :
Rotasi sebesar 90o berlawanan arah jarum jam, berarti = 90o
x’ - a = (x – a) cos – (y – b) sin
x’ - a = (x – a) cos – (y – b) sin
x’ – 1 = (2 – 1) cos 90o – [-3 – (-6)] sin 90o
x’ – 1 = 1. 0 – 3. 1
x’ =-2
Y’ - b = (x – a) sin + (y – b) cos
Y’ - b = (x – a) sin + (y – b) cos
y’ – (-6) = (2 – 1) sin 90o + [-3 – (-6)] cos 90o
y’ + 6 = 1. 1 + 3. 0
y’ = - 5
Jadi koordinat bayangan titik A adalah A’(-2, -5)
C. Dilatasi (Perkalian)
Dilatasi atau perkalian adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun. Suatu dilatasi sangat
ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi (faktor skala).
1. Dilatasi dengan Titik Pusat O(0, 0)
y Perhatikan gambar di samping !.
P’(x’, y’)
Misalkan P’(x’, y’) adalah bayangan dari titik P(x, y)
P(x, y) oleh dilatasi dengan faktor skala k dan pusat di titik
O A B
x O(0,0). ∆ OAP ≈ ∆ OBP’, maka :
OB = k OA  x’ = k x
BP’ = k AP  y’ = k y, sehingga jika disajikan dalam
bentuk matriks menjadi :
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

6. x' kx 0 y x' k 0 x
, dari persamaan matriks di samping, maka matriks
y' 0 x ky y' 0 k y
yang bersesuaian dari dilatasi dengan faktor skala k dan pusat di titik O(0,0) adalah
k 0
0 k
2. Dilatasi dengan Titik Pusat P(a,b)
y Perhatikan gambar di samping !.
P’(x’, y’)
Misalkan P’(x’, y’) adalah bayangan dari titik
P(x, y)
y-b P(x, y) oleh dilatasi dengan faktor skala k dan
A(a, b)
pusat di titik A(a,b). ∆ ABP ≈ ∆ ACP’, maka :
B C
x-a
x’ - a AC = k AB  x’ - a = k (x – a)
‘ x
o CP’ = k BP  y’ - b = k( y – b
Contoh Soal 5
Tentukan bayangan titik A(-2, 4) setelah di-dilatasi-kan dengan faktor skala -3 dan
pusatnya P(3, -1).
Jawab :
x’ – a = k(x – a) y’ – b = k(y – b)
x’ – 3 = -3(-2 – 3) y’ –(-1) = -3[4 –(-1)]
x’ = 15+3 y’ + 1 = -3.5
x’ = 18 y’ = -15 – 1
y’ = - 16
Bayangan titik A(-2, 4) berada pada titik A’(18, -16).
D. Refleksi (Pencerminan)
Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada
bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin.
1. Pencerminan terhadap sumbu x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangan yang diperoleh adalah A’(x, -y) seperti
gambar di bawah ini.
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

7. y Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan
A(x, y)
terhadap sumbu x adalah sebagai berikut :
x x' x 1x 0 y x' 1 0 x
y' y 0 x 1y y' 0 1 y
A’(x’, -y) Dari persamaan matriks di atas, diperoleh matriks yang
bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu x
1 0
adalah
0 1
Contoh Soal 6
Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A(3, -1), B(-4, -1) dan C(5, 4) setelah
dicerminkan terhadap sumbu x.
Jawab :
X A' X B' XC' 1 0 XA XB XC
YA' YB ' YC ' 0 1 YA YB YC
X A' X B' X C' 1 0 3 4 5
YA' YB' YC ' 0 1 1 1 4
X A' X B' X C' 3 4 5
YA' YB' YC ' 1 1 4
Jadi, A’(3, 1), B’(-4, 1) dan C’(5, -4)
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

8. 2. Pencerminan terhadap sumbu y
Titik A( x, y) dicerminkan terhadap sumbu y, bayangan yang diperoleh adalah A’(-x, y) seperti
gambar di bawah ini.
Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan
terhadap sumbu y adalah sebagai berikut :
y x' x 1x 0 y x' 1 0 x
A’(-x, y) A(x, y) y' y 0 x 1y y' 0 1 y
Dari persamaan matriks di atas, diperoleh matriks yang
x
bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu y
1 0
adalah
0 1
Contoh Soal 7
Setelah dicerminkan terhadap sumbu y diperoleh bayangan P’(-1, 4) dan Q’(2, -4). Tentukan
koordinat titik P dan titik Q.
Jawab :
' '
X P' XQ 1 0 XP XQ
' '
YP yQ 0 1 YP YQ
1 2 1 0 XP XQ
4 4 0 1 YP YQ
1 2 XP XQ
, diperoleh : XP = 1, YP = 4, XQ = -2, dan YQ = - 4
4 4 YP YQ
Sehingga titik koordinat tersebut adalah P(1, 4) dan Q(-2, 4).
3. Pencerminan terhadap garis y = x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangan yang diperoleh adalah A’(y, x)
seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

9. y A’(y, x)
y=x Matriks yang bersesuaian dari pencerminan terhadap garis
y = x adalah sebagai berikut :
A(x, y)
x' y 0 x 1y x' 0 1 x
x
y' x 1x 0 y y' 1 0 y
Dari matriks di atas, diperoleh matriks yang bersesuaian
0 1
dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah
1 0
Contoh Soal 8
Tentukan bayangan dari segitiga ABC dengan A(2, 0), B(-3, 1) dan C(0, 4) setelah
dicerminkan oleh garis y = x.
Jawab :
' ' '
XA XB XC 0 1 XA XB XC
' ' '
YA YB YC 1 0 YA YB YC
' ' '
XA XB XC 0 1 2 3 0
' ' '
YA YB YC 1 0 0 1 4
' ' '
XA XB XC 0 1 4
' ' '
, Jadi A’(0, 2), B’(1, -3), dan C’(4, 0)
YA YB YC 2 3 0
4. Pencerminan terhadap garis y = - x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y = -x, bayangan yang diperoleh adalah A’(-y, -x)
seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Matriks yang bersesuaian dari pencerminan garis y = -x
y
y = -x A(x, y) adalah sebagai berikut :
x' y 0 x 1y x' 0 1 x
y' x 1x 0 y y' 1 0 y
x
Dari persamaan matriks di atas, diperoleh matriks yang
A’(-y, -x) bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = -x
0 1
adalah
1 0
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

10. 5. Pencerminan terhadap garis x = h
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis x = h, bayangan yang diperoleh adalah A’(2h –x, y)
seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
y
x=h
Koordinat A’ dari gambar di samping
adalah A’(2h – x, y).
A(x, y) A’(2h – x, y)
h-x ’
x -h
x
Contoh Soal 9
Tentukan bayangan titik A(2, -5) setelah dicerminkan terhadap garis x = -4 !
Jawab :
A(x, y) x= h A’(2h – x, y)
A(2, -5) x= -4 A’[2.(-4) – 2, -5] = A’(-10, -5)
6. Pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan terhadap garis x = k
y
Perhatikan gambar di samping, dengan
x=h x=k
menggunakan rumus refleksi pada x = h
A(x, y) A’(x’, y’) A”(x”, y”) diperoleh A’(2h – x, y). Dengan menggunakan
prinsip yang sama jika A’(2h – x, y) di-refleksi-
kan terhadap garis x = k diperoleh :
x A”*2k – (2h –x), y] = A”[2(k – h) + x, y].
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

11. Contoh Soal 10
Tentukan bayangan titik A(-2, 5) jika direfleksikan pada x = - 3 dilanjutkan pada x = 4
Jawab :
(x = k) ◌ (x = h)
A(x, y) A”[2(k – h) + x, y]
(x = k) ◌ (x = h)
A(-2, 5) A”[2{4 – (-3)} + (-2), 5] = A”(12, 5)
7. Pencerminan terhadap garis y = h
y Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = h, bayangan
A’(x, 2h - y)
yang diperoleh adalah A’(x, 2h – y) seperti terlihat
y’ - h
pada gambar di samping.
y=h
h-y
A(x, y) x
Contoh Soal 11
Bayangan titik A setelah dicerminkan terhadap sumbu y = -3 adalah titik A’(-3, 5). Tentukan
koordinat titik A.
Jawab ;
y=k
A(x, y) A’(x, 2h – y)
y=-3
A(x, y) A’[x, 2(-3) – y] = A’(-3, 5)
A’[x, - 6 – y] = A’(- 3, 5)
x = -3 dan – 6 – y = 5
y = - 11
Sehingga koordinat titik A(- 3, - 11).
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

12. 8. Pencerminan terhadap garis y = h dilanjutkan terhadap garis y = k
y
Perhatikan gambar di samping, dengan
A”(x”, y”)
menggunakan rumus refleksi pada y = h
y=k
diperoleh A’(x, 2h – y). Dengan menggunakan
A’(x’, y’) prinsip yang sama jika A’(x, 2h – y) direfleksikan
y=h terhadap garis y = k, maka diperoleh:
A”[x, 2(k – h) + y].
A(x, y) x
Contoh Soal 12
P(x, y) di-refleksi-kan pada y = -3 dilanjutkan pada y = 4, diperoleh P”(-1, 3). Tentukan x dan
y.
Jawab :
(y = k) ◌ (y = k)
P(x, y) P”[x, 2(k – h) + y]
(y = 4) ◌ (y = 3)
P(x, y) P”[x, 2(4 – (-3)) + y]
P”[x, 2(4 – (-3)) + y] = P”(-1, 3)
x = -1 dan 14 + y = 3
y = -11
Jadi, titik koordinat P adalah P(-1, -11).
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/