Dokumen tersebut membahas tentang irisan kerucut, translasi, dan rotasi. Irisan kerucut adalah bangun datar yang diperoleh dengan memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu. Translasi adalah pergeseran titik-titik pada suatu objek, sedangkan rotasi adalah perputaran objek tersebut. Kedua transformasi geometri ini dapat menghasilkan bayangan dari objek asli.

1. 11
Irisan Kerucut, Translasi,
Rotasi

2. A. Pengertian Irisan kerucutA. Pengertian Irisan kerucut
1. Definisi Irisan Kerucut1. Definisi Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperolehIrisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh
dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut gandadengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda
menurut aturan tertentu.menurut aturan tertentu.
2. lingkaran2. lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yangLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentuberjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu
disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jaridisebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari
lingkaran.lingkaran.
IRISAN KERUCUT

3. B. Persamaan LingkaranB. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
Perhatikan gambar di bawah ini !Perhatikan gambar di bawah ini !
Persamaan dalam x dan y yang memenuhiPersamaan dalam x dan y yang memenuhi
pada Gambar di samping adalah :pada Gambar di samping adalah :
X
r
O
Y
O
P (X,Y)
x2
+ y2
= r2

4. Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupunKedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun
di luar limgkaran.di luar limgkaran.
a.a.Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
= r= r22
..
b.b.Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
< r< r22
..
c.c.Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x22
+ y+ y22
> r> r22
..
Contoh:Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !
Jawab:Jawab:
xx22
+ y+ y22
= r= r22
⇔⇔ xx22
+ y+ y22
= 5= 522
⇔⇔ xx22
+ y+ y22
= 25= 25
⇔⇔ rr22
= 169= 169
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12)Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12)
adalah xadalah x22
+ y+ y22
= 169.= 169.

5. 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r
Contoh:Contoh:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan
berjari-jari r = 7 !berjari-jari r = 7 !
Jawab:Jawab:
(x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
⇔⇔ (x – 3)(x – 3)22
+ (y – 6)+ (y – 6)22
= 7= 722
⇔⇔ (x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= 49= 49
Y
r
)
P (X,Y)
r
a
b
X
O
(a,b)
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2

6. 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
kitakita
jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kitajabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita
peroleh bentuk sebagai berikut :peroleh bentuk sebagai berikut :
(x – a)(x – a)22
+ (y – b)+ (y – b)22
= r= r22
xx 22
– 2ax + a– 2ax + a22
+ y+ y 22
– 2by + b– 2by + b22
= r= r22
xx 22
+ y+ y 22
– 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a22
+ b+ b22
= r= r22
xx 22
+ y+ y 22
– 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a22
+ b+ b22
- r- r22
= 0= 0
atau ditulis :atau ditulis :
Dengan :
Pusat lingkaran P( )
Jari-jari lingkaran r =
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
CBA −+ 22
)
2
1
()
2
1
(
BA
2
1
,
2
1
−−

7. Contoh:
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2
+ y 2
+ 6x + 4y – 3 = 0 !
Jawab:
Pusat lingkaran =
Jari-jari lingkaran :
r =
Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.
)2,3()
2
1
,
2
1
( −−=−− PBAP
416349323 22
==++=++

8. 88
Tranlasi
artinya pergeseran

9. 99
Jika translasi T =
memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)
maka x’ = x + a dan y’ = y + b
ditulis dalam bentuk matrik:






b
a






+





=





b
a
y
x
y'
x'

10. 1010
Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
ditranslasi oleh T = 





3
1

11. 1111
Bahasan
(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
0’(1,3)
(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
A’(4,3)
(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
B’(4,8)
X
y
O






=
3
1
T






=
3
1
T






=
3
1
T

12. 1212
Contoh 2
Bayangan persamaan lingkaran
x2
+ y2
= 25
oleh translasi T =
adalah….





 −
3
1

13. 1313
Bahasan
X
P (-1,3)
●
●

14. 1414
Karena translasi T = maka
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2
+ y2
= 25
diperoleh (x’ + 1)2
+ (y’ – 3)2
= 25;
Jadi bayangannya adalah:
(x + 1)2
+ (y – 3)2
= 25





 −
3
1

15. 1515
Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2
+ 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….

16. 1616
Bahasan
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3






b
a

17. 1717
a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah T =
Karena T =
Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6






− 3
6






− 3
6

18. 1818
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2
+ 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2
+ 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2
– 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2
– 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2
– 8x – 3

19. 1919
Rotasi
artinya perputaran
ditentukan oleh
pusat dan besar sudut putar

20. 2020
Rotasi Pusat O(0,0)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar α
berlawanan arah jarum jam
dengan pusat O(0,0) dan
diperoleh bayangan P’(x’,y’)
maka: x’ = xcosα - ysinα
y’ = xsinα + ycosα

21. 2121
Jika sudut putar α = ½π
(rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½π =











 −
=





y
x
y
x
01
10
'
'
01
10





 −

22. 2222
Contoh 1
Persamaan bayangan garis
x + y = 6 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +90o
, adalah….

23. 2323
Pembahasan
R+90
o
berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke: x + y = 6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6

24. 2424
Contoh 2
Persamaan bayangan garis
2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o
, adalah….

25. 2525
Pembahasan
R-90
o
berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks: 











−
=





y
x
01
10
'y
'x

26. 2626
R-90
o
berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

27. 2727
Jika sudut putar α = π
(rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =












−
−
=





y
x
y
x
10
01
'
'
10
01






−
−

28. 2828
Contoh
Persamaan bayangan parabola
y = 3x2
– 6x + 1
setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o
, adalah….

29. 2929
Pembahasan
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2
– 6x + 1
-y’= 3(-x’)2
– 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2
+ 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2
– 6x - 1

30. 3030
SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR