Lezione sulla soluzione di problemi di controllo ottimale per funzioni continue definite in un intervallo

1. Max e min assoluti
di una funzione continua
in un intervallo
chiuso e limitato

2. Introduzione
Osserviamo che l’unico caso in cui si possa a priori affermare che esistono il
massimo e il minimo assoluto di una funzione in un intervallo I è (per il
teorema di Weierstrass) quando la funzione è continua e l’intervallo è
chiuso e limitato.
Nel caso in cui la funzione sia anche derivabile, il criterio studiato che,
tramite gli zeri e lo studio del segno della derivata prima, permette la
individuazione dei massimi e minimi relativi non è sufficiente perché non è
detto che massimi e minimi relativi siano anche i massimi e i minimi assoluti.

3. Osserviamo, a titolo di esempio, il seguente grafico

4. ……. e anche il seguente grafico

5. Criterio per la ricerca di max o min assoluti se
f:[a,b]R continua
Quindi possiamo concludere che per trovare i punti di max (o min) assoluti per una
funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato dobbiamo seguire il
seguente procedimento:
1) Trovare i punti di max (o min) relativi di f tramite gli zeri e lo studio del segno
della derivata prima (cioè risolvere f '(x)  0
)
2) Individuare gli eventuali punti di non derivabilità della funzione(cioè i punti di
discontinuità della derivata prima, i punti angolosi o cuspidali)
3) Confrontare il valore che la funzione assume agli estremi dell’intervallo di
definizione, nei punti di non derivabilità, nei max (min relativi), cioè
( ), ( ), ( ), ( ), ( )...... C D E f a f b f x f x f x

6. ……. Criterio per la ricerca di max o min assoluti
 Il punto di max assoluto sarà il punto in cui
f assume il valore più grande che sarà
il massimo assoluto della funzione
 Il punto di min assoluto sarà il punto in cui
f assume il valore più piccolo che sarà
il minimo assoluto della funzione

7. Schema risolutivo di un problema di ottimizzazione
1) Individuare la grandezza da ottimizzare, che si chiama funzione obiettivo
2) Individuare la grandezza sulla quale possiamo operare per rendere ottimale la
funzione obiettivo. Tale grandezza sarà la variabile indipendente x per la
quale bisogna stabilire i limiti di variabilità che rendono possibile il
problema.
3) Trovare la funzione obiettivo y=f(x) ,che sarà la variabile dipendente
dalla x, con il relativo insieme di definizione dato dai limiti di variabilità
della x stabiliti precedentemente
4) Calcolare f’(x) e procedere con il criterio precedentemente trovato.