1. ESERCIZIO 1. Determinare l’insieme di definizione della funzione
F 𝑥 =
sin3
𝑡
𝑡2 log 𝑡 − 1
𝑥
−𝜋
𝑑𝑡
Stabilire poi per quali valori del parametro reale positivo α
lim
𝑥→−𝜋+
F(𝑥)
𝑥 + 𝜋 𝛼
è finito e non nullo.
ESERCIZIO 2. Determinare, al variare del parametro reale a , l’insieme di definizione 𝐸𝑎
della funzione integrale 𝐹𝑎 .
𝐹𝑎 𝑥 =
sin 1 𝑡
𝑡2 − 6𝑡 + 5 log 1 + 𝑡
𝑥
𝑎
𝑑𝑡 𝑎 ∈ ℝ
ESERCIZIO 3. Determinare i punti stazionari della funzione
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦 + 𝑦3
− 12𝑥 − 15𝑦
e stabilirne la natura.
ESERCIZIO 4. Determinare il raggio di convergenza 𝜌 della seguente serie di potenze e,se
possibile,il comportamento in 𝑥 = ±𝜌.
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑎2𝑛 = 𝑛−𝑛
sin 𝑛𝜋/2 , 𝑎2𝑛+1 = 𝑛 + 6 /𝑛3
.
+∞
𝑛=0

2. ESERCIZIO 5. Calcolare l’integrale doppio su E
𝑥 1 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ; E = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
: 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≥ 𝑥; 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4
ESERCIZIO 6. Per quali valori di 𝛼 ∈ ℝ la funzione
𝑓𝛼 𝑥, 𝑦 =
𝑥 − 𝑦 2
1 + 𝑥 + 𝑦 𝛼
è Lebesgue-integrabile in E = ℝ+
× ℝ+
?
ESERCIZIO 7. Calcolare il flusso del campo F: ℝ3
− 0 → ℝ3
− 0 , F 𝑥 = 𝑥/ 𝑥
3
uscente dalla superficie della regione Ω = 𝑥 ∈ ℝ3
: 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1 .