lucidi dell'articolo "Minimax regret solution to linear programming problems with an interval objective function"

1. Minimax regret solution to linear programming problems with
an interval objective function.
Bibliografia
-[1] Inuiguchi, Masahiro, and Masatoshi Sakawa, “Minimax regret
solution to linear programming problems with an interval objective
function”, European Journal of Operational Research 86.3 (1995):
526-536.
-[2] Shimizu, K., and Aiyoshi, E., "Necessary conditions for min-max
problems and algorithms by a relaxation procedure", IEEE Trans.
Automatic Control AC-25 (1980) 62-66.
Università degli studi di Trieste
Relatore: professore Castelli Lorenzo
Studente: Tortora Nicolas
Tesina di Fast Track
a.a. 2019-2020

2. 𝑚𝑎𝑥
∈
𝜆𝑥
Problema di programmazione lineare:
𝑚𝑎𝑥 (λ 𝑥 + λ 𝑥 + ⋯ + λ 𝑥 )
subject to: 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏
…
…
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏
𝑋 = { 𝑥 | 𝐴𝑥 ≤ 𝑏 }
𝐴 ∈ 𝑅 ×
𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑏 ∈ 𝑅 , λ ∈ 𝑅
Funzione obbiettivo a coefficienti in intervalli:
λ 𝑥 + λ 𝑥 + ⋯ + λ 𝑥
???
λ ∈ 𝑇
𝑇 = {𝑐 = 𝑐 , 𝑐 , … , 𝑐 |
problema deterministico
𝑙 ≤ 𝑐 ≤ 𝑢 , 𝑖 = 1, … , 𝑛}
problema stocastico
soluzione esatta
criteri di scelta
criterio di minimaxMasahiro Inuiguchi e Masatoshi Sakawa, 1993

3. Per ogni c fissato, definiamo:
𝑆(𝑐) = { 𝑦 ∈ 𝑋 | 𝑐𝑦 = 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑐𝑥 }
Π𝑆 = 𝑆 𝑐
∈
Insieme delle ‘soluzioni
ottime possibili’
𝑁𝑆 = 𝑆 𝑐
∈
Insieme delle ‘soluzioni
ottime necessarie’
non sempre esistono
possono essercene tante
(scelta finale?)
2.2. soluzione minimax
𝑟 𝑥, 𝑐 = 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
𝑅 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑟 𝑥, 𝑐
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑚𝑎𝑥
∈ , ∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑅 𝑥
errore = distanza tra l’ottimo
ed il valore calcolato in x
massimo errore possibile
(al variare di x)
per ogni c, esiste algoritmo
risolutore (si veda [2]).
Teorema:
Il problema di minMax è equivalente al seguente:
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑚𝑎𝑥
∈ , ∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
dove delta è l’insieme:
Δ = {𝑐 = (𝑐 , 𝑐 , … , 𝑐 ) | 𝑐 = 𝑙 or 𝑐 = 𝑢 , 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}
dim: si vuole mostrare che una soluzione ottima c* di
𝑚𝑎𝑥
∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥 , dati 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑦 ∈ 𝑋, è un elemento di Δ
𝑐∗
=
𝑙 𝑠𝑒 𝑦 − 𝑥 < 0
𝑢 𝑠𝑒 𝑦 − 𝑥 ≥ 0
Dunque, 𝑐∗ ∈ Δ.
𝑚𝑎𝑥
∈
𝜆𝑥
λ ∈ 𝑇 𝑇 = {𝑐 = 𝑐 , 𝑐 , … , 𝑐 |
𝑙 ≤ 𝑐 ≤ 𝑢 , 𝑖 = 1, … , 𝑛}
2.1. Soluzioni ottime possibili e necessarie
(10)

4. 2.3. Proprietà della soluzione minimax
Proprietà:
Sotto l’ipotesi che:
i) X sia diverso dall’insieme vuoto
ii) la funzione cy sia limitata
superiormente, per ogni 𝑐 ∈ 𝑇
Allora la soluzione minimax esiste sempre
Teorema 1.
Sia x* una soluzione del problema (10).
Se R(x*) = 0 allora esiste almeno una soluzione
ottima necessaria e x* è una di queste.
Di contro, se esiste almeno una soluzione
ottima necessaria allora x* è una di queste
e R(x*) = 0.
Oss. Molteplici soluzioni minimax sono equivalenti
Oss. x* non è necessariamente punto di estremo di X.
Ovvero: x* non è necessariamente soluzione di base.
Esempio 1.
maximize 1,3 𝑥 + 1,3 𝑥
subject to 45𝑥 + 50𝑥 ≤ 530
50𝑥 + 45𝑥 ≤ 515
0 ≤ 𝑥 ≤ 8, 0 ≤ 𝑥 ≤ 8
x*=(5.34211, 5.50877)
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑚𝑎𝑥
∈ , ∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
(10)

5. 3. Un metodo di decisione finale basato sul criterio di minimax
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑚𝑎𝑥
∈ , ∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥 G insieme di soluzioni
di riferimento
G poliedro convesso, 𝐸 ⊆ 𝐺 ⊆ 𝐹
𝐸 insieme finito di soluzioni possibili;
𝐸 = {𝑦 , … , 𝑦 }
𝐹 combinazione convessa di 𝐸
𝐹 = {𝑦 | 𝑦 = ∑ 𝜆 𝑦 ,
λ ≥ 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑝 }
∑ λ = 1,
Teorema 3.
Il problema (21) è equivalente al seguente:
𝑚𝑖𝑛
∈
𝑚𝑎𝑥
∈ , ∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
(21)
(25)
Viene riscritto il problema (25) come:
minimize r
subject to 𝐴𝑥 ≤ 𝑏
Viene definita la funzione ϕ(𝑥, 𝑦 ) :
ϕ(𝑥, 𝑦 ) = 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥
Algoritmo:
step1. Si pone 𝑐 = 𝑢.
𝑧 = 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑢 𝑦
step 2. Si pone 𝑟 = 0, 𝑘 = 2, 𝑥 = 𝑧
𝑐𝑦 − 𝑐𝑥 ≤ 𝑟, ∀𝑐 ∈ Δ, 𝑗 = 1, … , 𝑝
step 3. Sia 𝑧 una soluzione di massimo
step 4. Sia 𝑐 il coefficiente associato a 𝑧 ,
ovvero 𝑐 soluzione di 𝑚𝑎𝑥
∈
𝑐𝑧 − 𝑐𝑥
step 5. Se ϕ 𝑥 , 𝑧 ≤ 𝑟 , allora l’algoritmo termina.
del problema 𝑚𝑎𝑥
∈
ϕ 𝑥 , 𝑦
La soluzione sarà 𝑥 = 𝑥
step 6. Si risolve il seguente problema:
minimize r,
subject to 𝐴𝑥 ≤ 𝑏
𝑐 𝑧 − 𝑐 𝑥 ≤ 𝑟, j=1,..,k
si pone 𝑥 = 𝑥∗
,
𝑟 = 𝑟∗
k = k+1
Simplesso
Simplesso
assegnamento
condizione if
finitezza di E
finitezza di Δ

6. 4. Un esempio numerico
Dato il seguente problema:
maximize 0,1 𝑥 + 𝑥 + −1,1 𝑥 + −1,1 𝑥 +
+ −3,−1 𝑥 + 0,1 𝑥 + 0,1 𝑥 + 𝑥
subject to 𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 ≤ 40
5𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 + 7𝑥 + 2𝑥 + 7𝑥 ≤ 84
4𝑥 − 𝑥 − 𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 ≤ 18
−3𝑥 − 4𝑥 + 8𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 + 5𝑥 − 𝑥 ≤ 100
12𝑥 + 8𝑥 − 𝑥 + 4𝑥 + 𝑥 + 𝑥 ≤ 40
E insieme delle soluzioni ottime di base al variare di c in Δ
𝑥 = 0, 3.9548, 3.5372, 1.4008, 0, 0.1837, 6.1122, 7.1189

7. 5. Alcune limitazioni del modello
Nell’algoritmo desunto da [2] per
risolvere problemi di minMax
criterio di terminazione ϕ 𝑥 ≤ σ + ϵ
c ∈ 𝑙 , 𝑢 p(c) ??
ϵ 0
(uniforme?)