Operazioni sui limiti, funzioni continue, calcolo dei limiti

1. Angela Donatiello 1
FUNZIONI CONTINUE. PUNTI DI DISCONTINUITA’.
OPERAZIONI SUI LIMITI. CALCOLO DI LIMITI
CHE SI PRESENTANO IN FORMA INDETERMINATA
LIMITI NOTEVOLI E APPLICAZIONI

2. Angela Donatiello 2
DEF. di Funzione Continua in un punto x0
Sia y = f(x) una funzione reale di variabile reale
y = f(x) è continua in x0








=
=∃
∃∈
⇔
→
→
)x(f)x(flim)3
finito)x(flim)2
)x(fossia,Dx)1
:
0
xx
xx
0f0
0
0
l
Una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] se e solo
se è continua in ogni punto dell’intervallo.

3. Angela Donatiello 3
Esempio. Determina per quali valori dei parametri a e b la funzione risulta
continua su tutto R.





≥+
<<+−
≤+
==
4xax3
4x112x
1xbx6
)x(fy
Innanzitutto si osserva che per ogni x diverso da 1 e 4 le funzioni sono
certamente continue, in quanto polinomi. Il problema può sorgere negli estremi
degli intervalli in cui è definita a tratti la funzione, ossia in 1 e in 4.
b6bx6lim)x(flim
1x1x
+=+=
−−
→→
b6)1(f +=
1112112xlim)x(flim
1x1x
=+−=+−=
++
→→
5b11b6 =⇒=+⇒
812412xlim)x(flim
4x4x
=+−=+−=
−−
→→
a12ax3lim)x(flim
4x4x
+=+=
++
→→
a12)4(f +=
4a8a12 −=⇒=+⇒

4. Angela Donatiello 4
TIPI DI DISCONTINUITA’
Discontinuità di I specie



<+−
≥−
==
0x2x2
0x3x
)x(fy
33xlim)x(flim
0x0x
−=−=
++
→→
22x2lim)x(flim
0x0x
=+−=
−−
→→
La funzione non è continua in x = 0. Si dice che presenta una discontinuità di
prima specie, in quanto il limite destro e il limite sinistro esistono finiti, ma sono
diversi: 21 ll ≠ finiti
In x = 0 la funzione presenta un salto. Salto = || 21 ll − = 5

5. Angela Donatiello 5
Discontinuità di II specie
Una funzione presenta in x = x0 una discontinuità di II specie se in x0 non
esiste il limite o almeno uno dei due limiti, destro e sinistro, è infinito.
3x
1x2
)x(fy
−
+
==
),3()3,(D +∞∪−∞=
Nel punto 3 la funzione non è definita
+∞=
−
+
=
++
→→ 3x
1x2
lim)x(flim
3x3x
−∞=
−
+
=
−−
→→ 3x
1x2
lim)x(flim
3x3x
Il limite destro e sinistro sono infiniti. Esempio: y = tg x in x = π/2

6. Angela Donatiello 6
Discontinuità di III specie o eliminabile
Una funzione nel punto x = x0 presenta una discontinuità di III specie se esiste
finito il limite della funzione per x che tende a x0, ma o non esiste f(x0) oppure il
limite è diverso da f(x0).



=
≠−
=
1x3
1x5x3
y
25x3lim5x3lim
1x1x
−=−=−
−+
→→
)x(flim3)1(f
1x→
≠=
Costruisco un prolungamento della
funzione f(x)



=−
≠−
=



=
≠
==
1x2
1x5x3
xx
xx)x(f
)x(gy
0
0
l

7. Angela Donatiello 7
OPERAZIONI SUI LIMITI
Teorema 1: )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim
000 xxxxxx →→→
+=+
−∞=+∞−
+∞=+∞+
−∞=∞−∞−
+∞=∞+∞+
l
l
Forma indeterminata: il risultato non è prevedibile a priori
Oss. La somma di funzioni continue è una funzione continua
Teorema 2: )x(flimk)x(kflim
00 xxxx →→
=
)( ∞−+∞ forma indeterminata

8. Angela Donatiello 8
Teorema 3: )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim
000 xxxxxx →→→
⋅=⋅



<∞−
>∞+
=+∞⋅
0
0
)(
l
l
l



<∞+
>∞−
=−∞⋅
0
0
)(
l
l
l
Oss. Il prodotto di funzioni continue è una funzione continua.
∞+ ∞−
∞+ ∞+ ∞−
∞− ∞− ∞+
−∞=⋅
+
→
)e)x(ln(lim x
0x
−∞=⋅
+∞→
))x(log)x((loglim
2
13
x
+∞==





⋅
+∞→+∞→
xlimx
x
1
lim
x
2
x
0
x
1
limx
x
1
lim 2x
2
4x
==





⋅
+∞→+∞→
)0( ∞⋅ forma indeterminata

9. Angela Donatiello 9
Teorema 4: Se
l
lll
1
)x(f
1
lim0,R,)x(flim
00 xxxx
=⇒≠∈=
→→
Se 0
)x(f
1
lim)x(flim
00 xxxx
=⇒±∞=
→→
Se +∞=⇒=
→
+
→ )x(f
1
lim0)x(flim
00 xxxx
Se −∞=⇒=
→
−
→ )x(f
1
lim0)x(flim
00 xxxx
Esempi: +∞==
− +
→ +
0
1
3x
1
lim
3x
−∞==
− −
→ −
0
1
3x
1
lim
3x

10. Angela Donatiello 10
Teorema 5: 0)x(glimcon
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim
0
0
0
0 xx
xx
xx
xx
≠=
→
→
→
→
Oss. Il quoziente di funzioni continue in un punto x0 è continua in x0 se
0)x(g 0 ≠




<
>
=
∞±
±
00
00
l
ll
m 


<∞
>∞±
=± 0
0
0 lm
ll






0
0






∞
∞
forme indeterminate
0
x
1
limx
x
1
lim 2x
2
4x
==





⋅
+∞→+∞→
+∞==





⋅
+∞→+∞→
xlimx
x
1
lim
x
2
x
+∞==





⋅
→→ 20x
2
40x x
1
limx
x
1
lim 0xlimx
x
1
lim
0x
2
0x
==





⋅
→→

11. Angela Donatiello 11
Teorema 6: Se
nn
xxxx
)]x(f[lim)x(flim
00
ll =⇒=
→→
Se +∞=⇒+∞=
→→
n
xxxx
)]x(f[lim)x(flim
00
Se





−∞=
+∞=
⇒−∞=
→
→
→ disparin,)]x(f[lim
parin,)]x(f[lim
)x(flim
n
xx
n
xx
xx
0
0
0
Oss. Le funzioni polinomiali sono funzioni continue
0
)(∞ ∞
)1( 0
)0( forme indeterminate
Invece
+
∞+
∞++
=





∞+
= 0
1
)0( +∞=





∞+
=
∞−
∞−+ 1
)0(
( ) ∞±−
0 non è definito in quanto la base non può essere negativa

12. Angela Donatiello 12
Teorema 7:Se parin,)x(flim0,R,)x(flim nn
xxxx 00
llll =⇒>∈=
→→
Se disparin,)x(flimR,)x(flim nn
xxxx 00
lll =⇒∈=
→→
Ora vediamo come risolvere le forme indeterminate per calcolare i limiti

13. Angela Donatiello 13
La forma indeterminata )( ∞−+∞
1) +∞=





+−=∞−+∞=+−
+∞→+∞→ 2
2
x
2
x x
1
x
2
3xlim)(1x2x3lim
Raccolgo il termine di grado massimo
2)
0
)1xx(
1
lim
)1xx(
1xx
lim
)1xx(
)1xx()1xx(
lim)()1xx(lim
2x2
22
x
2
22
x
2
x
=
++
−
=
++
−−
=
=
++
++⋅+−
=∞−+∞=+−
+∞→+∞→
+∞→+∞→
Ricordiamo il prodotto notevole:
22
ba)ba)(ba( −=+−

14. Angela Donatiello 14
La forma indeterminata ( )∞⋅0
010
)senxx(cos
2
x
lim
xcos
senx
x2cos
2
x
lim)0(]tgxx2[cos
2
x
lim
=⋅=
=⋅
π
→
=





⋅=
π
→
=∞⋅=⋅
π
→
La forma indeterminata 





∞
∞
1) ±∞=
±∞→
=






−






+−
±∞→
=





∞
∞
=
−
+−
±∞→ 2
x3
x
lim
x
1
2x
2x
5
x
4
32x
x
lim
1x2
5x42x3
x
lim
0
x5
1
x
lim
2x
6
53x
2x
3
x
2
12x
x
lim
x63x5
3x22x
x
lim =
±∞→
=






−






+−
±∞→
=





∞
∞
=
−
+−
±∞→

15. Angela Donatiello 15
3
7
3x3
3x7
x
lim
3x
5
33x
3x
2
2x
1
73x
x
lim
53x3
2x3x7
x
lim −=
−
±∞→
=






−






+−−
±∞→
=





∞
∞
=
−
+−−
±∞→
In
generale:








=
<
>∞
=





∞
∞
=
++−+
++−+
±∞→
mn
0b
0a
mn0
mn
0b...1mx1bmx0b
na...1nx1anx0a
x
lim
Il segno di ∞ dipenderà, oltre che dal segno di infinito come punto di accumulazione,
anche dal prodotto dei segni dei coefficienti dei termini di grado massimo.

16. Angela Donatiello 16
2)
2
1
x2
x
lim
x2
|x|
lim
x
1
2x
x
1
1|x|
lim
x
1
2x
x
1
1x
lim
1x2
1x
lim
xx
2
x
2
2
x
2
x
−=
−
==
=






−
+
=






−






+
=





∞
∞
=
−
+
−∞→−∞→
−∞→−∞→−∞→
La forma indeterminata 





0
0
bisogna fattorizzare per semplificare il fattore che induce la forma di indecisione
1)
10
7
5x
2x
lim
)5x)(5x(
)2x)(5x(
lim
0
0
25x
10x3x
lim
5x5x2
2
5x
=
−
−
=
−+
−+
=





=
−
−+
−→−→−→

17. Angela Donatiello 17
2) 





=
+−
−−−
→ 0
0
2x52x2
2x52x3x2
2x
lim
Per scomporre il numeratore applichiamo Ruffini
Pertanto: )1x32x2)(2x(2x52x3x2 ++−=−−−
Per scomporre il denominatore che è di II grado, utilizziamo la formula risolutiva
per determinare le radici e poi ricordiamo che
)2xx)(1xx(acbx2ax −−=++
Radici del denominatore:
2
1
x2x =∨=
)1x2)(2x(
2
1
x)2x(22x52x2 −−=





−−=+−⇒
Il limite diventa pertanto:
5
)1x2(
)1x32x2(
2x
lim
)1x2)(2x(
)1x32x2)(2x(
2x
lim
2x52x2
2x52x3x2
2x
lim =
−
++
→
=
−−
++−
→
=
+−
−−−
→
2 -1 -5 -2
2 4 6 2
2 3 1 0

18. Angela Donatiello 18
LIMITI NOTEVOLI
Ricordiamo 1
x
senx
lim
0x
=
→
xsenx ~ (passaggio all’asintotico)
Da esso derivano altri due limiti notevoli:
0
x
xcos1
lim
0x
=
−
→
2
1
x
xcos1
lim 20x
=
−
→
2
x
2
1
xcos1 ~−
Dimostriamoli:
1)
0
)xcos1(
senx
lim
)xcos1(x
senxsenx
lim
)xcos1(x
xsen
lim
)xcos1(x
xcos1
lim
)xcos1(x
)xcos1)(xcos1(
lim
0
0
x
xcos1
lim
0x0x
2
0x
2
0x0x0x
=
+
=
+⋅
⋅
=
+
=
=
+
−
=
+
+−
=





=
−
→→→
→→→

19. Angela Donatiello 19
2)
2
1
)xcos1(
1
lim
)xcos1(xx
senxsenx
lim
)xcos1(x
xsen
lim
)xcos1(x
xcos1
lim
)xcos1(x
)xcos1)(xcos1(
lim
0
0
x
xcos1
lim
0x0x2
2
0x
2
2
0x20x20x
=
+
=
+⋅⋅
⋅
=
+
=
=
+
−
=
+
+−
=





=
−
→→→
→→→
Applicazioni:
calcoliamo i seguenti limiti in due modi, con il primo metodo evidenzieremo ed
utilizzeremo i limiti notevoli, con il secondo metodo effettueremo il passaggio
all’asintotico:
• 2
senx2x
x5senx
lim
0x
=
+
+
→

20. Angela Donatiello 20
1° metodo: 2
3
6
x
senx
21x
5
x
senx
x
lim
senx2x
x5senx
lim
0x0x
==






+






+
=
+
+
→→
2° metodo: 2
x3
x6
lim
x2x
x5x
lim
senx2x
x5senx
lim
0x0x0x
==
+
+
=
+
+
→→→
poiché per x tendente a zero xsenx ~
• 1
x
tgx
lim
0x
=
→
xtgx ~⇒
Calcoliamolo:
1° metodo: 1
xcos
1
lim
xcosx
senx
lim
x
tgx
lim
0x0x0x
===
→→→
2° metodo: 1
xcosx
x
lim
xcosx
senx
lim
x
tgx
lim
0x0x0x
===
→→→

21. Angela Donatiello 21
•
2
5
x2
x5sen
lim
0x
=
→
1° metodo:
2
5
2
5
x5
x5sen
lim
x2
x5sen
lim
0x0x
=⋅=
→→
in quanto 0x50x →⇒→
2° metodo:
2
5
x2
x5
lim
x2
x5sen
lim
0x0x
==
→→
in quanto x5x5sen ~
•
2
1
xsin
xcos1
lim 20x
=
−
→
1° metodo:
2
1
1
2
1
xsen
x
x
xcos1
lim
xsin
xcos1
lim 2
2
20x20x
=⋅=⋅
−
=
−
→→
2° metodo:
2
1
x
x
2
1
lim
xsin
xcos1
lim 2
2
0x20x
==
−
→→
poiché xsenx ~ e 2
x
2
1
xcos1 ~− per 0x →

22. Angela Donatiello 22
e
x
1
1lim
x
x
=





+
+∞→
limite notevole (generalizzazione del limite di
successione da cui discende la definizione di numero di Nepero)
( ) ex1lim x
1
0x
=+
→
aln
1
x
)x1(log
lim a
0x
=
+
→ aln
x
)x1(loga ~+⇒
1
x
)x1ln(
lim
0x
=
+
→
x)x1ln( ~+⇒
aln
x
1a
lim
x
0x
=
−
→
alnx1ax
~−⇒
1
x
1e
lim
x
0x
=
−
→
x1ex
~−⇒

23. Angela Donatiello 23
Dimostriamoli
1) ( ) e
y
1
1limx1lim
y
y
x
1
0x
=





+=+
+∞→→
Abbiamo effettuato un cambio di variabile e
si è posto
y
1
x
x
1
y =⇒=
inoltre per ∞→⇒→ y0x
2)
aln
1
elog)x1(loglim
x
)x1(log
lim aa
0x
a
0x
x
1
==+=
+
→→
3) 1
eln
1
x
)x1ln(
lim
0x
==
+
→
caso particolare
4)
x
1a
lim
x
0x
−
→
Poniamo )y1(logxy1a1ay a
xx
+=⇒+=⇒−=
0y0x →⇒→

24. Angela Donatiello 24
aln
)y1(log
y
lim
x
1a
lim
a0y
x
0x
=
+
=
−
→→
per il limite precedente
5) 1eln
x
1e
lim
x
0x
==
−
→
caso particolare
Ancora un limite notevole
α=
−+ α
→ x
1)x1(
lim
0x
x1)x1( α−+⇒ α
~
1x)x1( +α+⇒ α
~
Applicazioni
2
1
1e
1x1
lim x0x
=
−
−+
→
3
x
)x31ln(
lim
0x
=
+
→
2
x
1e
lim
x4
0x
=
−
+
→
2
e
2x2
ee
lim
x
1x
=
−
−
→
2
2x
1e
lim
4x2
2x
=
+
−+
−→

25. Angela Donatiello 25
2
1
e1
x2
1
1ln
lim
x
1x
−=
−






+
+∞→
Limite di una funzione composta:
Siano )z(fy = e )x(gz = due funzioni tali che
1) gf Dx,D)x(g ∈∀∈
2) )z(f è continua in 0z ⇒ ))z(g(f))x(glim(f))x(g(flim 0
xx
==
α→α→
3) 0
x
z)x(glim =
α→