Mata kuliah Aljabar Linear membahas konsep-konsep dasar aljabar linear seperti ruang vektor, subruang, basis vektor, sistem persamaan linear, transformasi linear, dan lain-lain. Materi kuliah terdiri dari delapan bab yang mencakup operasi-operasi pada matriks dan vektor, sistem persamaan linear, konsep ruang vektor dan subruang, serta beberapa aplikasi aljabar linear.

1. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

2. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 2
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
– Ruang Vektor Umum
– Subruang
– Basis dan Dimensi
– Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
Beberapa metode optimasi
Sistem Kontrol
Operation Research
dan lain-lain

3. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 3
Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l  Riil
V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap
2.
3.
4. Terdapat sehingga untuk setiap
berlaku
5. Untuk setiap terdapat sehingga
V
w
v
u 
,
,
V
v
u 

maka
, V
v
u 

v
u u
v 
    w
v
u
w
v
u 




u
u
u 


 0
0
V

0 V
u 
V
u   
u

    0





 u
u
u
u

4. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 4
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap dan k  Riil maka
7.
8.
9.
10.
V
u  V
u
k 
  v
k
u
k
v
u
k 


  u
l
u
k
u
l
k 


      u
kl
u
k
l
u
l
k 

u
u 
.
1

5. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

6. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 6
Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
 
n
n v
u
v
u
v
u
v
u 



 ...,
,
, 2
2
1
1
 
n
ku
ku
ku
u
k ,...,
, 2
1

n
nv
u
v
u
v
u
v
u 



 ...
2
2
1
1
  2
1
u
u
u 

  v
u
v
u
d 

,      2
2
2
2
2
1
1 ... n
n v
u
v
u
v
u 






2
2
2
2
1 ... n
u
u
u 




7. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh :
Diketahui dan
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua
vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
Jarak kedua vektor
 
3
,
2
,
1
,
1

u  
1
,
1
,
2
,
2

v
  v
u
v
u
d 

,
  2
1
u
u
u 
 15
3
2
1
1 2
2
2
2





10
1
1
2
2 2
2
2
2





v
       2
2
2
2
1
3
1
2
2
1
2
1 







   
7
2
1
1
1 2
2
2
2








8. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 8
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  { }
2. W  V
3. Jika maka
4. Jika dan k  Riil maka
W
v
u 
, W
v
u 

W
u  W
u
k 

9. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W  M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B  W
Tulis
dan
maka
0
0
0
0
1. W
O 








  

W









0
0
2
1
a
a
A 








0
0
2
1
b
b
B

10. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 10
Perhatikan bahwa :
Ini menunjukan bahwa
4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil
maka
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.






























0
0
0
0
0
0
2
2
1
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
B
A
W
B
A 

W
ka
ka
kA 









0
0
2
1
W
kA

11. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :









0
0
b
a
A









a
b
B
0
0
Ambil sembarang matriks A, B  W
Pilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (A) = 0

12. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 12
B
A  







a
b
b
a
Perhatikan bahwa :
=
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0

13. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 13
u
1
v 2
v n
v
n
nv
k
v
k
v
k
u 


 ...
2
2
1
1
Sebuah vektor
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
, , … ,
jika vektor – vektor tersebut
dapat dinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

14. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 14
Contoh
u v
a
b
c
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)
a.

15. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 15
































6
2
4
3
1
-
1
0
4
2
2
1 k
k































6
2
4
3
0
1
-
4
1
2
2
1
k
k
a. Tulis
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :
a
v
k
u
k 
 2
1

16. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 16




















0
0
0
2
1
0
2
1
~
6
3
0
6
-
3
-
1
2
1 2
1
2
1
a u
v
u
a



2


dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v

17. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 17
b
v
k
u
k




 2
1
































6
5
1
3
1
-
1
0
4
2
2
1 k
k





























6
5
1
3
0
1
-
4
1
2
2
1
k
k
b. Tulis :
ini dapat ditulis menjadi:

18. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 18






























3
0
0
2
1
0
1
~
6
3
0
3
3
-
0
0
1
~
6
3
0
5
1
-
4
1
1
2 2
1
2
1
2
1
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyai solusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v

19. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 19
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis
c
v
k
u
k




 2
1
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.

20. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 20
1
v
2
v
3
v
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor V
jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangun dan bebas linear
 
n
v
v
v
S ,
...
,
, 2
1

Contoh :
Tentukan apakah
membangun V???

21. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 21































3
2
1
3
2
1
3
1
2
1
0
1
2
1
1
u
u
u
k
k
k
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
Ambil sembarang vektor di R2
3
3
2
2
1
1 v
k
v
k
v
k
u 













3
2
1
u
u
u
u

22. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 22
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Agar SPL itu konsisten
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3

23. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 23
 
n
u
u
u
S ,...,
, 2
1

Misalkan
0
...
1
2
1
1 


 n
nu
k
u
k
u
k
0
1 
k 0
2 
k 0

n
k
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
,...,
adalah himpunan vektor diruang vektor V
JIKA SPL homogen :
,
Jika solusinya tidak tunggal
(Bergantung linear / linearly dependent)
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear

24. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 24
 
2
,
3
,
1


u  
1
,
1
,
1 

a
0
2
1




 a
k
u
k





























 0
0
0
1
2
1
3
1
1
-
2
1
k
k
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh :
Jawab :

25. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 25
~
0
0
0
1
2
1
3
1
1
-











~
0
0
0
1
0
4
0
1
1









 










0
0
0
0
0
1
0
0
1
dengan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

26. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 26











2
3
1
a












1
1
1
b













4
6
2
c
c
k
b
k
a
k 3
2
1
0 
















4
1
2
6
1
3
2
1
1










3
2
1
k
k
k










0
0
0
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Contoh :
Misalkan

27. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 27
~
0
1
0
0
4
0
2
1
1









 










 

0
0
0
0
1
0
2
1
1
c
b
a ,
,
dengan OBE diperoleh :
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi

28. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 28
Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear

29. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 29










































2
1
0
1
,
4
12
8
0
,
0
1
1
0
,
6
3
6
3
M








































 d
c
b
a
k
k
k
k
2
1
0
1
4
12
8
0
0
1
1
0
6
3
6
3
4
3
2
1
Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2
Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau


























d
c
b
a
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
4
3
1
4
3
2
1
3
2
1
4
1
2
4
6
12
3
8
6
3

30. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 30
















































d
c
b
a
k
k
k
k
4
3
2
1
2
4
0
6
1
12
1
3
0
8
1
6
1
0
0
3
dengan menyamakan setiap unsur
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48
• det(MK)  0  SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,d
Jadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0,
det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear.

31. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 31
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :
Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :


































1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
1
0
0
1
juga merupakan basisnya.

32. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 32
















1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
A Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

33. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 33
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :






























2
3
1
,
1
1
1
basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

34. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 34
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A).
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :














































1
3
2
1
,
1
1
2
1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan rank.
Jadi rank dari matriks A adalah 2.

35. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 35
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :





















0
3
0
0
3
0
1
4
2
1
0
1
2
1
1
0
2
2
1
2

36. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 36
















0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
1
0
0
1
b
a
s
r
q
p












































0
1
2
0
1
0
0
1
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.

37. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 37
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :










































0
1
2
0
,
1
0
0
1
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

38. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 38






8
0
3
6






 3
1
2
1






4
2
1
0








2
0
2
4
Latihan Bab 5
1.Nyatakanlah matriks
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
dan
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
,
,
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
membangun polinom orde 2 !

39. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 39





 



 2
2
2
2
c
b
a
cx
bx
a
J
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan
basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}
b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde dua
Jika ya, tentukan basisnya
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor
Polinom orde dua.

40. 13/03/2014 13:12 MA-1223 Aljabar Linear 40
6. Diberikan SPL homogen :
p + 2q + 3 r = 0
p + 2q – 3 r = 0
p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan)
dan tentukan dimensinya.















1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
7. Tentukan rank dari matriks :