1. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ
Роботу виконала:
Куцитарю Валентина Василівна,
учениця 11-В класу
Кіровоградського обласного
навчально-виховного комплексу
(гімназія-інтернат-школа мистецтв)
Науковий керівник:
Берлін Ольга Анатоліївна,
вчитель математики
2. Метою дослідження є вивчення похідної та
її застосування.
Завдання дослідження:
• навчити школярів застосувати похідну для
дослідження функцій, розв’язання
прикладних задач алгебри та геометрії;
• показати алгоритми застосування
похідної, що значно полегшує розв’язання
багатьох типів задач.
3. Об’єкт дослідження:
1)застосування похідної для дослідження
функцій на монотонність та екстремум;
2)побудова графіків функцій після їх повного
дослідження;
3)знаходження найбільшого та найменшого
значення функції на відрізку.
4. До поняття похідної
прийшли майже одночасно і
різними шляхами І.Ньютон і
Г.Лейбніц. Ньютон виходив
з потреб фізики, розглядав
фізичний зміст похідної.
Функцію він називав
флюентою, а похідну –
флюксією,
функції позначав буквами u,
x, y, z, а їх похідні – тими
самими буквами з крапками
зверху.
5. ослідити функцію – це означає
виявити її властивості:
якщо похідна функції в
кожній точці деякого проміжку
додатна, то функція на цьому
проміжку зростає;
якщо похідна в кожній точці
проміжку від’ємна, то функція –
спадає.
6. 3 x −3 y =sin x −sin y ,
Розв’яжіть систему рівнянь: 3 3
2 x − y =1.
Розв’язання:
Задана система ріносильна системі 3x − sin x = 3 y − sin y,(1)
2 x 3 − y 3 = 1.
Розглянемо фунцію f (t ) = 3t − sin t.
Оскільки f ` (t ) = 3 − cos t > 0 завжди, то на своїй
області визначення (t ∈ R ) функція f(t) є
зростаючою. Тоді перше рівняння системи (1), яке
має вигляд f(x)=f(y), рівносильне рівнянню х=у.
Отже, система (1) рівносильна системі x = y,
2 x 3 − y 3 =1.
Підставляючи 3х=у,в другеy =1.
2 y 3 − y =1 y 3 =1, рівняння системи,
7. Користуючись формулою
f ( x0 +∆ ) ≈ f ( x0 ) + f ` ( x0 ) ⋅∆ .
x x
знайдіть наближене значення 9,06 .
Розв’язаня:
1
Якщо розглянути функцію f ( x) = x , тоf ( x) =
`
.
x0 = 9. f ( x0 ) = x0 = 9 = 3
2 x
Візьмемо
f ` ( x0 ) =
1
=
1 Тоді
1
= . і
2 x0 2 9 6
За формулою (5) маємо:
1
x0 + ∆x = x0 + ⋅ ∆x. ∆x = 0,006 x0 = 9,
2 x0
При 1 і
одержуємо: 9,06 ≈ 3 + ⋅ 0,06 = 3,01.
6
8. 1.Знайдіть проміжки зростання 2
і спадання функції y = x 3 − 3x + 2
Розв”язання.
Рівняння 3x(x-2)=0 має корені
X=0 і x=2. Це – критичні точки.
Область визначення даної функції, множину R вони
розбивають на три проміжки: (−∞;0), (0;2), (2;+∞)
Похідна функції на цих проміжках має відповідно такі
знаки: +, -,+. Отже, дана функція на проміжка(−∞;0) і (2;+∞ )
зростає, а на ;2)
(0 спадає.
9. Висновки:
Розкрили деякі питання застосування
похідної:
1)для дослідження функцій на монотонність
та екстремум;
2)знаходження найбільшого та найменшого
значення функцій,
3)розглянули прикладні задачі на
дослідження функцій, а також задачі на
складання рівнянь дотичної, нормалі та
деяких інших.
10. Висновки:
Розкрили деякі питання застосування
похідної:
1)для дослідження функцій на монотонність
та екстремум;
2)знаходження найбільшого та найменшого
значення функцій,
3)розглянули прикладні задачі на
дослідження функцій, а також задачі на
складання рівнянь дотичної, нормалі та
деяких інших.
