1. 1
1
Практичне заняття №34
Метод варіації довільних сталих
Розглянемо ЛНДР 1 2y а x y а x y f x . Його загальним розв’язком є
функція *
y у у . Будемо знаходити частинний розв’язок *
у виходячи із
загального розв’язку 1 1 2 2у С у x С у х однорідного рівняння методом варіації
довільних сталих (метод Лагранжа).
Суть метода в наступному:
1. Замінимо в функції 1 1 2 2у С у x С у х константи 1С , 2С невідомими
функціями 1С х , 2С х і підберемо їх так, щоб функція
*
1 1 2 2у С х у x С х у х була розв’язком неоднорідного рівняння.
Накладемо на шукані функції 1С х і 2С х іще і умову
1 1 2 2 0С х у x С х у х .
Умови, які накладено на 1С х і 2С х приводять до системи:
1 1 2 2
1 1 2 2
0,
.
С х у x С х у х
С х у x С х у х f x
Знайдемо розв’язок 1С х і 2С х даної системи.
1 2
1 2 2 1
1 2
0
y x y x
W х y x y x y x y x
y x y x
, так як 1у x і 2у x
лінійно незалежні,
1
2
2
2
0
С
y x
f x y x
f x y x
,
2
1
1
1
0
С
y x
f x y x
f xy x
.
Отже,
1 2
1 1
1 2 2 1
С f x y x
С x x
y x y x y x y x
,
2 1
2 2
1 2 2 1
С f x y x
С x x
y x y x y x y x
,
1 1С x x dx , 2 2С х x dx .
Функція *
1 1 2 2y х у x x dx у х x dx є частинним розв’язком
лінійного неоднорідного рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння 2
4 3 .х
у у у е
2. 2
2
Розв’язання. Загальний розв’язок рівняння будемо знаходити у вигляді
*
у у у . Характеристичне рівняння однорідного рівняння 4 3 0у у у має
вигляд 2
4 3 0k k , його корені 1 1k і 2 3k .
Отже, 3
1 2
x x
у С e С e – загальний розв’язок однорідного.
Перепозначимо в цьому розв’язку у на *
у , 1С на 1С х , 2С на 2С х , і
знайдемо частинний розв’язок * 3
1 2
х х
у С х е С х е методом варіації довільних
сталих.
Для побудови системи
1 1 2 2
1 1 2 2
0,С х у x С х у х
С х у x С х у х f x
знайдемо 1у х і 2у х :
1
х х
у х е е
, 3 3
2 3 .х х
у х е е
Система набуває вигляду
3
1 2
3 2
1 2
0,
3 .
х х
х х х
С х е С х е
С х е С х е е
Знайдемо її розв’язок:
3
4 4 4
3
3 2
3
х х
х х х
х х
е е
W х е е е
е е
,
1
3
5
2 3
0
3
х
х
С х х
е
е
е е
, 2
3
2
0х
х
С хх
е
е
ее
.
Отже, 1
5
1 4
22
х х
С
х
е е
С x
е
, 2
3
2 4
1
2 2
х
С
х х
е
С x
е е
;
1 3
1
2 2
х
х е
С х е dx С , 2 4
1
2 2
х
х е
С х е dx С
.
Покладемо 3 4 0С С . Маємо
2 2
* 3 21
2 2 22
х х х
х х х
х
е е е
у е е е
е
.
Загальний розв’язок неоднорідного має вигляд 2 3
1 2 .х x x
у е С e С e
3. 3
3
Завдання. Знайти загальний розв’язок диференціальні рівняння методом
варіації довільних сталих.
1. 2
4 4 4 4 1.y y y x x . 2. 2
4 5 15 19 .y y y x x
3. 2
2 3 5 .x
y y y xe 4. 4
6 9 2 3 .x
y y y x e
5. 4 5 145sin2 .y y y x 6. 4 3 8cos 6sin .y y y x x .
7. 4
3 4 10 .x
y y y e
8. 5 4 9 .x
y y y e
