1. 1
Практичне заняття 1
Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші
Диференціальним рівнянням (ДР) називається рівняння, яке містить
похідні або диференціали невідомої функції.
Якщо невідома функція залежить від одного аргументу, то ДР називають
звичайним, а якщо залежить від кількох аргументів, то ДР називають рівнянням
в частинних похідних.
Далі будемо розглядати тільки звичайні ДР.
Найвищий порядок похідної, що входить у ДР, називається порядком цього
рівняння.
Приклад 1. Рівняння 03і 22
yxyxyхyyx звичайні ДР
відповідно першого і другого порядку.
Диференціальне рівняння першого порядку в загальному випадку
записується у вигляді співвідношення
0,, yyxF ,
яке зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію xyy і її похідну y .
Якщо рівняння
0,, yyxF
можна розв’язати відносно y то його записують у вигляді
yxfy ,
і називають диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним
відносно похідної.
Розв’язком диференціального рівняння називається функція, при
підстановці якої в рівняння воно перетворюється в тотожність.
Приклад 2. Показати, що функція xy 2 є розв’язком ДР 0 yyx .
Розв’язання
Знайдемо 2)2( xy і підставимо yy , в ДР: 022 xx .
Отримаємо тотожність: 022 xx , тобто,
2. 2
xy 2 – розв’язок рівняння.
Процес відшукання розв’язку ДР називається його інтегруванням, а
графічне зображення розв’язку ДР — інтегральною кривою.
Інтегрування ДР в загальному випадку приводить до нескінченної
множини розв’язків (вони відрізняються один від одного на сталу величину).
Приклад 3. Аналогічно, як і попередньому прикладі, можна перевірити,
що функція y Сx (С – стала) розв’язок рівняння 0 yyx .
Приклад 4. Показати, що функція 2 2
х у С є розв’язком ДР 0 xyy .
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, заданої неявно. Маємо
022 уух , хуу і підставимо в ДР.
Отримаємо тотожність: 0 хx , тобто, 2 2
х у С – розв’язок рівняння
в неявному вигляді.
Надаючи константі С в y Сx або в 2 2
х у С різних дійсних значень
отримуємо нескінченну множину розв’язків в явному або в неявному вигляді.
Щоб розв’язок ДР набув конкретного, деякого значення, його треба
обмежити деякими додатковими умовами.
Умова, що при 0x х функція хy повинна бути дорівнювати заданому
числу 0y називається початковою умовою.
Початкова умова записується у вигляді:
0yy при 0хx або 00 yхy .
Загальним розв’язком ДР першого порядку називається функція
,y x С , яка містить одну довільну сталу і задовольняє умовам:
1. Функція ,y x С є розв’язком ДР при кожному фіксованому значенні
С.
2. Яка б не була початкова умова 0 0,y х y існує таке значення сталої
0,С С що функція
0,y x С
3. 3
задовольняє даній початковій умові, тобто
0 0 0,y x С .
Частинним розв’язком ДР першого порядку називається функція, яка
отримана із загального розв’язку ,y x С при конкретному значенні сталої
0С С , тобто
0, .y x С
Якщо розв’язок ДР знайдено в неявному виді, тобто у вигляді рівняння
Ф , , 0x y С ,
то такий розв’язок називають загальним інтегралом ДР, а рівняння
0Ф , , 0x y С
називається частинним інтегралом ДР.
Наприклад, функція y Сx – загальний розв’язок ДР 0 yyx , а
2 2
х у С – загальний інтеграл ДР 0 xyy .
Припустимо, що 4,С то
xy 4 і 422
ух
відповідно частинний розв’язок і частинний інтеграл ДР 0 yyx і
0 xyy .
Геометрично функцію ,y x С можна зобразити множиною кривих на
площині Оху. Криві називають інтегральними кривими ДР.
З цієї множини можна виділити криву 0, ,y x С яка проходить через
задану наперед точку 000 , ухМ , тобто задовольняє заданій початковій умові
00 yхy .
Задача відшукання частинного розв’язку ДР, задовольняючого заданій
початковій умов, називається задачею Коші.
Приклад 5. Знайти частинний розв’язок ДР 0 yyx ., який задовольняє
початкову умову 41 y , тобто знайти розв’язок задачі Коші.
4. 4
Розв’язання. В прикладі 3 було перевірено, що функція y Сx є
розв’язком ДР і таких розв’язків безліч, так як , .С Підставимо в
функція y Сx величини 4y і 1х . Отже 4С і частинним розв’язком ДР є
функція xy 4 . Геометрично функція y Сx є множиною прямих, а пряма
xy 4 – пряма із цієї множини, яка проходить через задану наперед точку
4,10М .
