Математика

1. Нормальний закон
розподілу

2. План
1. Нормальний закон розподілу. Графіки до нормального
закону розподілу.
1.1 Приклади
2. Визначення медіани, асиметрії і ексцесу.
2.1 Приклади
3. Правило “трьох сигм”
3.1 Приклади

3. e
a
x
x
x
f 2
2
2
)
(
2
1
)
( 





a 
Випадковою величиною Х називають розподіл
нормальних з параметрів і якщо щільність його
ймовірності має вигляд:
1. Нормальний закон розподілу. Графіки до
нормального закону розподілу.

4. Функція нормального закону розподілу:
N ( а : σ )
a – математичне сподівання
σ – середнє квадратичне відхилення
dz
x
x
F
x a
x
e




 2
2
2
)
(
2
1
)
( 


5. Графік функції закону розподілу
a > 0

6. Визначимо інтегральну функцію розподілу і намалюємо
графік
dt
x
F
x a
t
e




 2
2
2
)
(
2
1
)
( 



7. Приклади
1. Випадкові похибки вимірювання підпорядковані нормальному
закону. Систематична похибка вимірювального приладу = 0 , а середнє
квадратичне відхилення похибки – 0,05 мм. Знайти ймовірність того,
що ця похибка за абсолютною величиною буде меншою 0,15 мм.
Розв'язання:
У рівності покладемо
a = 0 (систематична похибка, тобто математичне
сподівання випадкових похибок = 0) ,
)
(
2
)
(


 Ф
a
X
P 


15
,
0

 05
,
0


9973
,
0
49865
,
0
2
)
3
(
2
)
05
,
0
15
,
0
(
2
)
15
,
0
( 




 Ф
Ф
X
P
Таким чином, ймовірність того, що
випадкова похибка вимірювання за
абсолютною величиною буде менша
0,15 мм = 0,9973

8. 2. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом, її
математичне сподівання = 30, а середнє квадратичне відхилення –
10. Знайти ймовірність того, що Х матиме значення з інтервалу
( 10 ; 50 )
Розв'язання:
Згідно умови , , тому за формулою
одержимо:
10


30

a
9544
,
0
4772
,
0
2
)
2
(
2
)
10
30
10
(
)
10
30
50
(
)
50
10
( 








 Ф
Ф
Ф
X
P
Тут використано властивості непарності
інтегральної функції Лапласа Ф ( - х ) = - Ф ( х )
та значення Ф ( 2 ) з таблиці значень цієї функції

9. 2. Визначення медіани, асиметрії й ексцесу.
Медіаною називається значення, для якого виконується
рівність:
P (-∞ < X < Me ) = P (Me < X < - ∞ )
За формулою:
P ( α < x < β ) = F ( β ) – F (α )
F ( Me ) – F (-∞ ) = F ( ∞ ) – F ( Me ) = F ( Me ) + F ( Me ) = F ( ∞ ) + F ( ∞ ) = 1
2 F ( Me ) = 1
F ( Me ) = ½
Для нормального розподілу ВВ: Me = а

10. Асиметрія ( As ) – це відношення центрального моменту третього порядку
до кубу середнього квадратичного відхилення.
As =
- центральний елемент третього порядку


3
3
3
dx
x
f
x
M
x ))
(
)
(
( 3
3 







Для нормального розподілу ВВ: = 0
3

11. Ексцесом ( Es ) теоретичного розподілу називають
характеристику, що обчислюється за наступною формулою:
,
3
4
4




Es
Es=0
)
:
( 
a
N

12. Приклади
X 1 2 3 4 5
p 0,10 0,25 0,40 0,15 0,10
Дано розподіл деякої неперервної випадкової величини:
1
5
1



і
і
p
Знайти асиметрію та ексцес розподілу.

13. Розв'язання:
Знаходимо числові характеристики:
9
,
2
5
,
0
6
,
0
2
,
1
5
,
0
1
,
0
)
( 





  p
x і
і
X
M
6
,
9
5
,
2
4
,
2
6
,
13
1
1
,
0
)
( 2






X
M
19
,
1
41
,
8
6
,
9
9
,
2
6
,
9
)
( 2





X
D
0908
,
1
19
,
1
)
( 

X


14. Знаходимо центральні моменти і :
3
 4

258
,
0
9261
,
0
19965
,
0
0004
,
0
18225
,
0
6859
,
0
1
,
0
)
9
,
2
5
(
15
,
0
)
9
,
2
4
(
4
,
0
)
9
,
2
3
(
25
,
0
)
9
,
2
2
(
1
,
0
)
9
,
2
1
(
))
(
(
3
3
3
3
3
3
3

























  і
і
p
X
M
x

730115
,
3
94481
,
1
219615
,
0
00004
,
0
26244
,
0
30321
,
1
1
,
0
)
9
,
2
5
(
15
,
0
)
9
,
2
4
(
4
,
0
)
9
,
2
3
(
25
,
0
)
9
,
2
2
(
1
,
0
)
9
,
2
1
(
4
4
4
4
4
4

























15. Знаходимо асиметрію:
0
199
.
0
19
,
1
0908
,
1
258
,
0
3
3







S
A
Знаходимо ексцес:
366
,
0
3
19
,
1
730115
,
3
3 2
4
4








k
E
Розподіл заданої випадкової величини незначно
відрізняється від нормального. Крива розподілу притуплена
( ексцес від'ємний ) і витягнута вправо ( має додатне
значення асиметрії ).

16. 3. Правило “трьох сигм”
Якщо абсолютна величина відхилення ВВ від її
математичного сподівання не перевищує потрійного
середньоквадратичного відхилення, то є підстави вважати, що
ВВ розподілена за термальним законом, в іншому випадку ВВ
не розподілена нормально.
1
49865
,
0
2
)
3
(
2
)
3
(
2
)
3
( 






 Ф
Ф
a
x
P




17. 
3

a 
3

a
a
З ймовірністю близької до 1 значення
нормального розподілу ВВ лежать в інтервалі
довжиною 
6

6

18. Приклади
Нормально розподілена випадкова величина має параметри
розподілу: , . Вказати інтервал відхилення випадкової
величини від математичного сподівання, якщо ймовірність попадання
в ці межі складає 0, 9973.
100

a 10


Розв'язання:
Для заданої ймовірності відхилення не
перевищує трьох сигм, тому інтервал буде:
30
100
10
3
100 




19. Дякуємо за увагу!!!
Успіхів!!!