1. 1
Практичне заняття 36
Системи диференціальних рівнянь
Системою ДР називається сукупність ДР, кожне з яких містить незалежну
змінну, шукані функції і їхні похідні.
Систему ДР першого порядку в якій кількість рівнянь дорівнює числу
невідомих функцій і кожне із рівнянь розв’язано відносно похідної називають
нормальною системою ДР, тобто
1 1 1 2
2 2 1 2
1 2
; ; ;..., ,
; ; ;..., ,
..........................................
; ; ;..., .
n
n
n n n
у х f x y y y
у х f x y y y
у х f x y y y
Зауваження. У багатьох випадках системи рівнянь і рівняння вищих
порядків можна привести до нормальної системи введенням нових змінних.
Для систем ДР існують аналогічні поняття як і для ДР: Розв’язком системи
називається множина із n функцій 1 2; ;..., ,ny y y які задовольняють кожному із
рівнянь цієї системи.
Одним із основних методів інтегрування нормальної системи ДР є метод
зведення системи до одного ДР вищого порядку.
Суть метода в послідовному виключенні шуканих функцій 1 2; ;..., ny y y із
рівнянь системи.
Розглянемо метод на прикладі системи двох рівнянь
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
,
.
у х a y a y
у х a y a y
Продиференцюємо по x любе із рівнянь системи, наприклад, перше
1 11 1 12 2.у х a y a y
Підставимо в отримане співвідношення значення 2y (друге рівняння
системи).
Маємо
1 11 1 12 21 1 22 2 ,у х a y a a y a y
2. 2
1 11 1 12 21 1 12 22 2.у х a y a a y а a y
Утворимо систему
1 11 1 12 2
1 11 1 12 21 1 12 22 2
,
.
у х a y a y
у х a y a a y а a y
Із першого рівняння системи виразимо 2y і підставимо в друге рівняння
системи
11
2 1 1
12 12
11
1 11 1 12 21 1 12 22 1 1
12 12
1
,
1
.
а
y у х y
а а
а
у х а у а а у а а у х y
а а
Друге рівняння системи після спрощення набуває вигляду
1 11 22 1 11 22 12 21 1 0.у х а а у х а а а а y
Маємо однорідне рівняння, розв’язком якого є деяка функція
1 1 2; ; .y f x С С
Далі знайдемо 1 1 2; ;y f x С С і підставимо 1y і 1y в перше рівняння
системи, отже
1 1 2
11
2 1 2 1 2
12 12
; ; ,
1
; ; ; ; .
y f x С С
а
y f x С С f x С С
а а
Приклад. Знайти загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь
7 3 ,
5 .
x t x t y t
y t x t y t
Розв’язання. Знайдемо похідну першого рівняння системи
7 3 ,
5 .
x t x t y t
y t x t y t
Потім в перше рівняння системи замість y t підставимо 5x t y t
(права частина другого рівняння системи)
3. 3
7 3 5 ,
5 .
x t x t x t y t
y t x t y t
7 3 15 ,
5 .
x t x t x t y t
y t x t y t
Утворимо систему
7 3 ,
7 3 15 .
x t x t y t
x t x t x t y t
Далі, виразимо y t із першого рівняння останньої системи, тобто
7
3
x t x t
y t
і підставимо результат в друге рівняння; одержимо
7
7 3 15
3
x t x t
x t x t x t
, 2 38x t x t x t .
Маємо однорідне ДР із сталими коефіцієнтами
2 38 0x t x t x t .
Знайдемо цього розв’язок. Запишемо характеристичне рівняння і знайдемо його
корені, тобто
2
2 38 0k k ,
2
4
38 39 0
4 4
p
D q , 1 1 7 6
2
p
k D ,
2 1 7 8
2
p
k D – корені дійсні і різні.
Загальний розв’язок має вигляд
6 8
1 2
t t
х t с е с е
.
Знайдемо 6 8
1 26 8t t
х t с е с е
і підставимо х t і х t в
7
3
x t x t
y t
і визначимо y t , тобто
4. 4
6 8 6 8
1 2 1 27 6 8
3
t t t t
С е С е С е С е
y t
6 8 6 8
1 2 1 27 7 6 8
.
3
t t t t
С е С е С е С е
Маємо 6 8
1 2
13 1
.
3 3
t t
y t С е С е
Отже,
6 8
1 2
6 8
1 2
,
13 1
.
3 3
t t
t t
х t С е С е
y t С е С е
– розв’язок системи.
Завдання для самостійної роботи:
№ 1. Розв’язати системи диференціальних рівнянь зведенням їх до
диференціальних рівнянь другого порядку:
1)
2 ,
3 2 ;
dx
x y
dt
dy
x y
dt
; 2)
5 8 ,
3 3 ;
dx
x y
dt
dy
x y
dt
;
3)
6 3 ,
8 5 ;
dx
x y
dt
dy
x y
dt
; 4)
,
3 ;
dx
x y
dt
dy
x y
dt
.
(Відповідь: 1) 1 2 1 2, 3t t t t
x C e C e y C e C e
;
2) 9 9
1 2 1 2
3 1
,
4 2
t t t t
x C e C e y C e C e
;
3) 2 3 2 3
1 2 1 2
8
,
3
t t t t
x C e C e y C e C e
;
4) 2 2
1 2 1 2 2( ) , ( )t t
x C C t e y C C C t e .)
