урок

1. Тема уроку. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними та
задач за допомогою систем рівнянь з двома змінними.
Мета уроку: узагальнити та систематизувати знання учнів з вивченої
теми; вдосконалювати вміння розв’язувати системи рівнянь з двома
змінними різними методами із використанням їх для розв’язування задач
прикладної спрямованості; розвивати пам’ять, логічне мислення,
комунікативні здібності учнів, навички самоконтролю та самооцінювання;
формувати математичні компетентності, активну життєву позицію;
виховувати увагу, самостійність, інтерес до вивчення математики.
Тип уроку: узагальнення та систематизації
Форми роботи: групова, колективна, індивідуальна.
Обладнання: картки, рисунки, крейда, дошка, мультимедійний
проектор.
Хід уроку
І. Організаційний момент
Сьогодні заключний урок з теми "Системи рівнянь з двома змінними "
пройде під девізом:
Думаємо колективно
Працюємо оперативно
Сперечаємось доказово –
Це для всіх обов’язково!
Працюємо на довірі і тому кожному з вас надається право оцінювати
себе самому на всіх етапах уроку. Отже, кожний з вас має можливість
одержати оцінку за урок.
На картках у вас лежать талони самоконтролю, які ви запоните
протягом уроку і здасте в кінці уроку для виставлення оцінок в журнал.
Талон самоконтролю
Прізвище, ім’я Мозковий штурм 1-2 б.
Розв’язування системи різними
способами
1-3 б.
Самостійна (робота в групах) 1-3 б.
Клас Творчі завдання 1-4 б.
Всього 4-12 б.
Запишіть тему уроку.
Мета нашого уроку узагальнити, систематизувати, поглибити знання та
вміння розв’язувати системи рівнянь з двома змінними; формувати навички

2. їх творчого застосування під час розв’язування задач прикладної
спрямованості.
ІІ. Актуалізація опорних знань
Сторінка теоретична (з метою формування інформаційних
компетентностей)
Перший етап уроку. Розминка "Мозковий штурм" (повна відповідь
оцінюється 2 балами).
1. Коли говорять, що дані рівняння утворюють систему? (Якщо
вимагається знайти спільні розв’язки двох чи кількох рівнянь, говорять, що
ці рівняння утворюють систему).
2. Що називається розв’язком системи рівнянь з двома змінними?
(Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають спільний розв’язок
усіх її рівнянь).
3. Що означає розв’язати систему рівнянь з двома змінними?
(Розв’язати систему рівнянь – це означає знайти множину всіх її розв’язків,
або довести, що їх немає).
4. Назвати основні методи розв’язування системи рівнянь з двома
змінними, які ви знаєте? (Графічний, метод підстановки, метод додавання,
метод зміни змінних).
5. У чому полягає зміст графічного способу розв’язування системи
рівнянь? (Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь полягає 1) в
побудові графіків кожного з рівнянь системи; 2) знаходження точок перетину
цих графіків, якщо вони є; 3) координати точок перетину графіків і є
розв’язком системи; 4) якщо графіки не перетинаються, то система не має
розв’язків).
6. Які переваги та які недоліки графічного способу розв’язування
системи рівнянь з двома змінними? (Графічний спосіб дає можливість
будувати графіки деяких рівнянь і наглядно бачити розв’язки систем, але не
для всіх рівнянь ми можемо будувати графіки, а ще графічний спосіб не
завжди точний, а в більшості випадків, дає можливість знайти наближені
розв’язки систем. Отже, крім графічного існують інші способи).
7. Що є графіком кожного з наведених рівнянь?
а) ;
б) ;
в)

3. г)
д)
ІІІ. Розв’язування систем ( з метою формування компетентностей
продуктивної праці).
Всяка теорія цінна для практики. Переходимо до письмового
розв’язування систем рівнянь з двома змінними.
Іноді корисно розв’язати одну систему рівнянь багатьма способами,
ніж десять систем одним способом.
Отже, пропоную вам розв’язати систему рівнянь, використовуючи
якомога більше способів. Оцінюється це завдання в 3 бали.
Погляньте на екран
Розв’язати систему рівнянь:
а) Цю систему можна розв’язати графічним способом:
Графік І рівняння коло, з центром в початку координат і радіусом 5,
другий – гіпербола (графік функції , вітки якої розміщені в ІІ і IV
координатних кутах, ).
Побудувавши ці графіки в одній системі координат, знаходимо
координати точок їх перетину.
Перевірка показує, що знайдені чотири пари точок є розв’язками
системи.
Відповідь: (4; -3), (3; -4), (-3; 4), (-4; 3).
б) Можна розв’язати цю ж систему рівнянь і не будуючи їх графіків, а ,
наприклад, способом підстановки.
Виразивши з ІІ рівняння змінну y через х і
підставивши цей вираз у І рівняння, дістанемо рівняння з однією змінною х;
, або

4. Рівняння четвертого степеня (біквадратне), заміною зводимо до
квадратного рівняння
, знаходимо його корені
=16; =9
Отже, і . Корені цих рівнянь: ; ; ;
.
Звідси ; ; ;
Відповідь: (4; -3), (-4; 3), (3; -4), (-3; 4).
в) Ще одним з методів розв’язування систем є метод додавання.
Цей метод можна приміняти і при розв’язування систем нелінійних
рівнянь.
Помножимо друге рівняння системи, що розглядається, на 2
Отримаємо:
Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь:
, або . Звідси .
Розв’язком цього рівняння є або
Для розв’язування заданої системи досить розв’язати дві простіші
системи
1) 2)

5. Розв’язуючи ІІ рівняння цих систем одержимо:
; ;
;
Тоді , , ,
Відповідь: (4; -3), (-3; 4), (3; -4), (-4; 3).
г) Можна розв’язати цю систему і IV способом.
Ліву і праву частину ІІ рівняння піднесем до квадрату
Одержимо: .
Для одержаної системи
зручно скористатися теоремою, оберненою до теореми Вієта.
Так, для системи
можна вважати, що і - корені квадратного рівняння
=16; =9
Отже, і .: ; ; ; .

6. Звідси ; ; ;
Відповідь: (4; -3), (-4; 3), (3; -4), (-3; 4).
IV. Систематизація знань, умінь
під час виконання самостійної роботи
Отже, зараз ми узагальнимо вміння розв’язувати системи нелінійних
рівнянь на прикладі.
Але, щоб сьогодні на уроці кожний міг з упевненістю сказати, що він
досяг успіху, необхідно попрацювати над виконанням аналогічних завдань
ще й самостійно. Давня китайська мудрість говорить: "... покажи мені - і я
запам’ятаю, дай мені діяти самому – і я навчусь..."
Уміння працювати самостійно є дуже важливим і в навчанні, і в житті.
Крім того, для досягнення успіху в житті важливим є наявність друзів,
партнерів. Тому цю самостійну роботу ми проведемо у формі
взаємодопомоги – у вас є вибір працювати повністю самостійно або
скористатися допомогою.
"Робота в групах"
Поділимо учнів класу на 4 групи з консультантом у кожній групі.
Кожній команді потрібно розв’язати систему рівнянь вказаним
способом.
Оцінювання цього завдання від 1 до 3 балів
а) Перша група.
Розв’язати систему рівнянь графічним способом:
б) Друга група
Розв’язати систему рівнянь методом підстановки:
в) Третя група
Способом додавання
г) Четверта група
Способом заміни змінних

7. Всі завдання висвітлюються на екрані за допомогою мультимедійного
проектору.
Відповіді записуються в таблицю на дошці одним з представників груп.
Відповіді, занесені в таблицю, звіряються з відповідями на екрані.
Перша група – Відповідь: (1; 0), (0; 1).
Друга група – Відповідь: (2; 10), (-3; 5).
Третя група – Відповідь: (8; 6), (-7; -9).
Четверта група – Відповідь: (2; 3).
Оцінювання в групах проводиться консультантами.
V. Переходимо до слідуючого етапу уроку
Творчі завдання. Оцінюються в 4 бали.
Ви навчилися розв’язувати системи рівнянь з вдома змінними різними
способами і у вас виникли запитання, навіщо вони потрібні.
Можна навести багато прикладів задач з фізики, біології, хімії,
економіки та різних практичних задач, які зводяться до розв’язування систем
рівнянь.
Вам було домашнє завдання підібрати і розв’язати задачі прикладної
спрямованості.
Отже, розв’яжемо запропоновані вами задачі, у яких системи рівнянь з
двома змінними використовуються як математичні моделі реальних ситуацій.
1. Токар мав виготовити до певного строку 264 деталі. Попрацювавши
3 дні, він перейшов на другий верстат і почав перевиконувати денну норму
на 7 деталей. До заданого строку він виготовив 320 деталей. Скільки деталей
виготовляв токар щодня на новому верстаті?
Розв’язання
Нехай токар мав працювати t днів і щодня виготовляти х деталей.
Відомо, що всього він мав виготовити 264 деталі.
Отже,
Відомо також, що за 3 дні на старому верстаті він виготовив 3х
деталей, а за дній на новому верстаті виготовив ще

8. деталей. А всього він виготовив 320 деталей, тому
.
Лишається розв’язати систему рівнянь:
; ;
Відповідь: на новому верстаті токар виготовляв щодня
деталь.
2. Водонапірний бак наповнюється двома трубами за 1 годину 20
хвилин. Перша труба може наповнити його на 2 години швидше, ніж друга.
За який час кожна труба окремо може наповнити бак?
І і ІІ - за год.
І швидше від ІІ на 2 год.
Розв’язання
Припустимо, що І труба наповнює бак за х годин, а ІІ – за у годин.
Працюючи разом вони наповнюють бак за 1 год 20 хв = години.
Маємо рівняння
, де – частина баку, що наповнює І труба за 1 годину;
– частина баку, що наповнює ІІ труба за 1 годину;

9. – частина баку, що наповнює дві труби разом за 1 годину.
Друге рівняння випливає з того, що І труба може наповнити весь бак
на 2 години швидше, ніж ІІ
.
Маємо систему рівнянь:
Розв’яжемо систему
,
,
– не підходить до умови задачі.
.
Отже, І труба весь бак може наповнити за 2 години, а ІІ – за 4 години.
3. Підвищивши швидкість поїзда на 10 км/год, вдалося скоротити на 1
годину час, що його витрачає він на проходження шляху в 720 км. Визначити
початкову швидкість поїзда.
Розв’язання.
Нехай початкова швидкість v , а час руху поїзда при цій швидкості t,
дістанемо систему:
Це – система двох рівнянь, кожне з яких другого степеня. Розв’яжемо її
відносно v. Перемножимо двочлени в ІІ рівнянні і віднімемо від ІІ рівняння І.
Дістанемо:

10. .
Підставимо це значення у І рівняння, матимемо рівняння
,
–не підходить до умови задачі
Відповідь: початкова швидкість 90 км/год.
4. На ділянці, що має форму прямокутника, один з вимірів якого на 17м
більше від ІІ, зробили прямокутний газон, відстань якого від огорожі скрізь
дорівнює 7м. Знайти площу ділянки, коли відомо, що вона більше від площі
газону на 1414м2
.
Розв’язання:
х – І вимір, у – ІІ вимір.
– І рівняння
Газон буде розміром (х-14) та (у-14)
– ІІ рівняння.
S=49·66=3234(м2
)
Відповідь: площа ділянки 3234 м2
.
Пропоную пройти крутими стежками людської думки, перегорнути
світлі сторінки історії
Вам було завдання. Знайти прізвища видатних українських
математиків, які внесли свій вклад в розвиток математики як науки в різні
часи і познайомити нас з їх біографіями.

11. Розв’язування рівнянь та систем рівнянь є однією з найстародавніших
математичних задач. Найбільшого розвитку ця галузь математики набула аж
в ХІХ столітті, в якій прийняли участь і наші українські математики.
1. Микола Боголюбов народився в Україні і з 1916 року проживав у
Києві. У 1934-1958 роках працював у Київському університеті, а потім в
інституті ядерних досліджень.
2. Георгій Федосійович Вороний народився в с. Журавки Полтавської
губернії (нині Чернігівська область). Займався питаннями розв’язування
рівнянь вищи ступенів, алгоритмом безперервних дробів та іншим.
3. Михайло Пилипович Кравчук (1892 – 1942рр), народився в с. Човиці.
– Найбільше у світі любив Україну, і
Віддавши себе до останку науці...
Його математику, його мрію солодку
Зламали й поклали на поталу катюзі.
Загинув в Сибіру, ліг в землю колимську,
та серцем зболілим летів він сюди –
На рідну, кохану його українську –
Омріяну в снах – землю і вічні сади
В.Васильченко.
4. Михайло Васильович Остроградський народився 24 вересня 1801
року в Полтавській губернії
Талантами багата України!
Хай навіть – відбиваючись від орд,
Долаючи неволю і руїни,
Все є геніїв народжує народ.
Один з них – Михайло Остроградський –
Великий тілом, духом і умом,
Найперший вчений у Краю Козацькім,
Властитель теорем і аксіом.
Його творіння в світі добре знані:
Десятки теорем, і формул, і думки...
Давно немає генія між нами,
Та в пам’яті він житиме віки!
Г. Бевз.
VІ. Підсумок уроку.
Сьогодні ми систематизували матеріал, що стосується розв’язування
систем рівнянь з двома змінними.

12. Протягом уроку всі працювали і виставляли оцінки за вашими
картками самооцінювання, які вам необхідно здати.
VІI. Домашнє завдання.
Повторити §2, №462, 464, 495.
Підготуватись до контрольної роботи.
Творче завдання
Продовжити підбирати задачі з практичним змістом.