數據分析的基礎概念-99課綱 108課綱之後，誤差改為不確定度 並且導入工業工程概念

1. 2018 TYPT
實驗數據的分析
阿Samn
資料來源：台灣師大物理系、嘉義大學物理系

2. 2018 TYPT
Outline
• 最小刻度與數據判讀
• 有效數字計算
• 誤差(不確定度)分析

3. 2018 TYPT
實驗數據分析
• 瞭解計算數據之統計數量、及學習分析判別並去除不合理之數
據，並給予統計數據有意義之解釋。
• 運用統計的方法，
• 讓我們從多次的測量數據中，估算出 最接近 真值 的數據。 也就是我
們所想要的測量結果。
• 並藉由 誤差的分析，讓我們瞭解我們所做的估算，可信度有多高！並
探討實驗誤差的可能來源。
誤差(不確定度)=測量值一真值

4. 2018 TYPT
實驗數據處理與分析的重點
• 物理量測量重複性質及微量變異性質之認識
• 有效數字、誤差的傳播、測量數據之保留或刪除之判
斷機制
• 重複測量次數越多，整體數據之可信賴度越高
• 物理統計量之表示
（平均值、標準差、變異係數、最大、最小容許值）

5. 2018 TYPT
準確度與精密度
• 準確度:表示測量值和真值(或公認值)的偏差程度。若
偏差小，則準確度高。
• 精密度:表示多次重複測量的結果，彼此之間的偏差
程度，即可重複的程度。
若前後多次重複測量所得的結果皆相近，則稱此實驗
測量的精密度高。

6. 2018 TYPT
最小刻度與數據判讀
• 測量工具皆有標示最小刻度，
• 如一般用之長尺，最小刻度為1毫米（mm）；
• 等臂天平最小刻度為 0.1克（g），
• 電子秤則為 0.5g；
• 一般用之機械式碼錶最小刻度為 0.1秒（s），
• 而電子碼錶則為0.01s。
• 使用測量工具所得之數字可精確判讀到最小刻度。

7. 2018 TYPT
最小刻度與數據判讀
• 若以最小刻度為 1mm 之長尺測量鉛筆長度，經常被
寫成91.3mm ，
• 其中 91mm 係使用者自刻度上之讀數，
• 而 0.3mm部分係使用者對最小刻度 1mm 再行分割
後之估計讀數。

8. 2018 TYPT
最小刻度與數據判讀
• 假設使用電子碼錶測得時差0.82 秒，或使用電子秤
得質量為 674.5 克
• 碼錶顯示0.82 秒，是因真正時差與 0.81、0.83秒相
比較之後，最為接近 0.82 秒，即真正的時差t，可能
是介於 0.815 秒到 0.824 秒之間，經由尾數四捨五入
判斷顯示出0.82 秒。
• 同理電子秤顯示 674.5 克，則表示所測得真正的質量
介於 674.45 克到674.54克之間，經由尾數四捨五入
判斷而得到 674.5 克。

9. 2018 TYPT
最小刻度與數據判讀
• 使用非數字型儀器所得之數據結果必須包含至最小刻
度以下一位，而其中最末一位數字皆是由自行估計而
來；
• 若使用數字顯示儀器 (如電子碼錶及電子秤) 則所得
之數據結果只能寫至最小刻度，因為估計數字是由儀
器內部估計系統估計後再顯示之故。

10. 2018 TYPT
最小刻度與數據判讀
• 如果增加精確值，可藉助更精密的儀器 (如游標尺、
螺旋測微計) 輔助，
• 或對同一現象，以相同測量工具作多次測量再求取平
均值，可得到更精確的測量。

11. 2018 TYPT
有效數字的計算
• 存疑數字參與運算=>不可靠
• 運算中存疑數字只保留最高一位
• 有效數字受測量對象與測量儀器決定

12. 2018 TYPT
有效數字的計算：
• 估計值與正確值或是估計值運算，其結果均視為估計
值
• 加減法：1.38＋0.212
• 乘除法：1.31×2.5
1.38
0.212
1.592

1.31
2.5
655
262
3.275


13. 2018 TYPT
誤差的意義
• 指實驗結果與「已知」真值之間的差
• Ex. 光速=2.99793108m/s
• 某生測出3.05108m/s
• 誤差為(3.05 -2.99793)108m/s =5.207 106m/s
• 不曉得真值為多少，誤差即為平均值的標準偏差
誤差(不準度)=測量值一真值
測量結果=平均值±平均值的標準偏差

14. 2018 TYPT
誤差種類
• 系統誤差（Systemator
Error）
• 總是產生同樣偏差，總
是產生正誤差或負誤差
• 實驗儀器
• 實驗原理不夠完善
• 環境的影響
• 僅能藉由不同的儀器、
不同的組合重複做出實
驗，進行比較
• 隨機誤差(Random Error)
• 人為因素
• 不預期的因素
• 此誤差非觀測者所能控制，
而是自然界存在的一種必
然現象。
• 只有增加實驗次數，對
相同的物理量取較多次
的實驗數據，並且利用
統計理論來處理，以期
得到較接近真確值。

15. 2018 TYPT
數據的分佈
• 常態分布是一個在數學、物理及工程等領域都非常重
要的機率分佈
每次的測量 就像是 擲骰子遊戲 測量結果 呈現常態分布
每一個待測物理量，我們可以假想
存在一個『真值』（只是不知道）。
如果我們對同一物理量，測量次數
一直增加，則所有測量值的平均值，
將隨著測量次數得增加而越接近 真
值

16. 2018 TYPT
數據的分佈
• 母分佈(Population)：
• 當測量次數等於 無窮多次 時，
測量值的分佈 稱為 母分佈。
• 樣本分佈（Sample）
• 由於我們不可能 無窮多次 的
測量，所測得有限次的測量
屬於 樣本分布
• 有限次數的 算數平均值 是我
們對於真值 所能給（猜）的
最好的估計值。

17. 2018 TYPT
平均值
• 平均值：假定某物理量x的多次測量，則最佳值，即
為平均值
1 2 3 1
n
i
n i
x
x x x x
x
n n
   
 
L

18. 2018 TYPT
偏差（deviation)
• 為了想瞭解測量數據與平均值的偏離程度，
• 定義 ：每一個數據與平均值的差值，稱為偏差
• 但偏差量有正有負，且所有偏差量的總和必為零。

19. 2018 TYPT
平均偏差
• 平均偏差的大小可以指示出實驗所用儀器的精密
度如何。
• 一套精密的儀器得到的數據將只會有很小的平均
偏差。
n
d
n
ddd
D
in 


.....21

20. 2018 TYPT
方差（Variance)
• 偏差平方的平均值
• 實驗的精密度，但是數學計
算上 採用方差 ，比較方便。
• 因為可簡化為
平方的平均值 減去 平均值的
平方

21. 2018 TYPT
標準偏差Standard Deviation
• 標準差代表 所有測量數據與 平均值之間平均的 偏差量（也
就是每一次測量數據的精密度的平均值）。
• 對於母分佈而言（n→∞）時，取方差的平方根（與測量量
相同單位） 定義 母分佈的 標準偏差
• 樣本分佈（有限次數）數據的 標準差定義為
n
xxxxxxxx n
x
22
3
2
2
2
1 )(...)()()( 

2 2 2 2
1 2 3( ) ( ) ( ) ... ( )
1
n
x
x x x x x x x x
n

       



22. 2018 TYPT
數據呈現常態分佈
範圍內的機率為 68.3%。(2:1)
範圍內的機率為 95.4%
(20:1)
範圍內的機率為 99.7%。(350:1)

23. 2018 TYPT
平均標準差standard error of the mean
• 每次(組）多次實驗所得平均值都不會相同。
這些平均值也會形成一種分佈。
• 平均值的標準差 是 平均值可能的誤差範圍
• 精密度

24. 2018 TYPT
測量值表示法
• 說明測量結果的好壞
xx x  
100%x
E
x

 
相對誤差
R＝500Ω± 50Ω
± 50Ω 絕對誤差
±10％ 相對誤差
準確度
容忍度
準確到±10％
容忍±10％的誤差
不確定度-uncertainty
絕對誤差 𝜎𝑥

25. 2018 TYPT
誤差(不確定度)的傳遞
• 加減過程的誤差(不確定度)的傳遞
• 乘除過程的誤差(不確定度)的傳遞
A A A
B B B
  
  
22
BAx 
A B A B A B      
xA B A B    
𝜎𝑥 = 𝐴 × 𝐵
∆𝐴
𝐴
2
+
∆𝐵
𝐵
2

26. 2018 TYPT
捨去單次測量中不正確的數據
• 例如：測量某物體長度100
次，計算出 平均值與標準差
（非 平均值的標準差）後，
發現 有 3 組數據 落在 3 倍
標準差外，4 組 落在 2倍與
3倍之間， 其餘皆在 平均值
與 標準差之間。
• 數據 落在2 倍標準內的機
率有 4.6%。因此 那四組數
據是合理的。
• 數據 落在 3 倍標準差外的機率
應 小於 千分之三。
• 重新檢討 那三組數據，通常可
以捨去
• 三組數據捨去後，重新計算 平
均值 與 標準差 。
• 再檢視都沒有問題後，並計算
平均值的標準差後，寫出 測量
結果。

27. 2018 TYPT
實驗數據分析流程
1
)(...)()()( 22
3
2
2
2
1



n
xxxxxxxx n
x
3x 
1 2 3 1
n
i
n i
x
x x x x
x
n n
   
 
L
原始數據
平均值
標準偏差
查驗數據是否需要剔除？
合理數據
3x 

28. 2018 TYPT
例題1
• 小英量鉛筆的長度，各次測量的結果如下
• 平均值？
• 標準偏差？
• 平均標準差？
• 記錄方式？
1 2 3 4 5
12.35 12.22 12.31 12.00 12.40
Excel 函數 SEDEV

29. 2018 TYPT
例題2
• 例：假設60個人測量一根銅棒的長度，得到如下的數據
（經整理後列成表格）：
• （為簡便計，假設最小刻度是公分。）
• 平均值？
• 標準偏差？
長度
（cm） 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
數據
個數
1 3 5 7 9 10 9 7 5 3 1

30. 2018 TYPT
例題3
• 例：某生測量單擺週期十次，得數據如下表：
• 問 (a) 那些數據是必須去除的？ (b) 此單擺週期為何？
次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
週期
（秒）
2.54 2.63 2.58 2.65 2.49 2.92 2.46 2.32 2.48 2.60

31. 2018 TYPT
準確度與精密度的關係
• 精密度與準確度之間有直接的關係嗎？
• 精密度高的結果，準確度一定高嗎？
• 準確度高的結果（平均值），精密度一定高嗎？

32. 2018 TYPT
準確度與精密度的關係
1x
4x
2x
3x

33. 2018 TYPT
範例
• 測量的準確度與精密度可以用槍靶來示意，假設下列
各圖中最中心的圓圈代表標準值，越外圈的數值與標
準值相差愈大， 每個黑點代表一次的測量值，下列
關於準確度與精密度的敘述何者正確﹖

34. 2018 TYPT
解說
• (A) 甲實驗的精密度比乙的高
• (Ａ)乙三個數據較靠近故精密度乙＞甲。
• (B) 乙實驗的精密度比丙的高
• (Ｂ)乙三個數據比丙的較分散，故精密度丙＞乙。
• (C) 丙實驗的精密度比甲的高
• (Ｃ)精密度丙＞乙＞甲。
• (D) 丙實驗的準確度比乙的高
• (Ｄ)乙三個數據平均較接近標準值，故準確度乙＞丙。

35. 2018 TYPT
Thank for your
attention

36. 2018 TYPT
兩種的差異
• standard error of the mean
• 顯示 所得平均值的可重覆性程
度，（結果的精密度）。 如果
多組重覆測量 所計算出平均值
的 標準差。其數值可以藉由
增加測量次數而減少，與 成
反比。
• Ex.因此 10000 次測量平均值
的標準差為 100 次測量 的
1/10.
• 為了增加一位有效位數，次數
由 100 增加到 10000. 可真是
不容易。
• standard deviation
• 顯示單一個測量值與平均值間
可能偏差的程度。
• 重複（增加實驗次數）並不會
減少其數值。（單一測量的精
密度）

37. 2018 TYPT
平均標準差 standard error of the mean
• 顯示 所得平均值的可重覆性程度，（結果的精密
度）。
• 如果多組重覆測量 所計算出平均值 的 標準差。其數
值可以藉由 增加測量次數而減少，與 成反比。
• Ex.因此 10000 次測量平均值的標準差為 100 次測量 的
1/10.
• 為了增加一位有效位數，次數由 100 增加到 10000. 可真
是不容易。