1. 2.7.1 Cetakan Postulat Paralel Euclidean Ini bahkan harus
disingkirkan dari Postulat secara keseluruhan; karena itu adalah teorema yang
melibatkan banyak kesulitan. - Proclus (410–485)
EuclidPostulat Kelima . Bahwa, jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus membuat
sudut interior pada sisi yang sama kurang dari dua sudut kanan, dua garis lurus, jika
diproduksi tanpa batas, bertemu di sisi yang sudutnya kurang dari dua sudut kanan.
Postulat SMSG 16 . ( Euclidean Paralel Postulat ) Melalui titik eksternal yang diberikan
paling tidak ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan.
Aksioma Playfair. Melalui titik yang bukan pada garis ada tepat satu garis sejajar dengan
garis yang diberikan.
Aksioma Playfair dinamai sesuai nama John Playfair (1748-1819), seorang ahli fisika dan
matematika Skotlandia, meskipun banyak yang lain telah menggunakannya jauh
sebelumnya. Karena kami telah menunjukkan adanya garis paralel , jelas bahwa Postulat 16
SMSG (Postulat Paralel Euclidean) dan Aksioma Playfair adalah setara. Lebih lanjut,
EuclidPostulat Kelima dan Postulat Paralel Euclidean setara.
Teorema 2.21. Dalam geometri netral,EuclidPostulat
Kelima setara dengan Postulat Paralel
Euclidean. Bukti. Penggunaan pertama
EuclidPostulat Kelima untuk membuktikan Postulat Paralel
Euclidean. Biarkan aku menjadi garis dan P menjadi titik bukan
pada l . Menurut Teorema 2.12 , ada garis unik yang tegak lurus
terhadap garis tertentu melalui titik tertentu; oleh karena itu, ada
titik Q pada l sehingga garis PQ tegak lurus terhadap l . Juga, ada garis
unik k 1 hingga P sehingga garis PQ tegak lurus
terhadap k 1 . Menurut Teorema 2.13 , dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama adalah
paralel; oleh karena itu, k 1sejajar dengan l dan P pada k 1 .
Kita perlu menunjukkan bahwa k 1 adalah garis yang unik sejajar
dengan l melalui P . Biarkan k 2 menjadi garis lain melalui P sehingga k 1 dan k 2 adalah garis
yang berbeda. Biarkan A dan B menjadi titik berbeda
pada k 2 sehingga APB dan B dan Q berada di sisi yang sama dengan k 1 . Biarkan Rberada
di l dan S berada di k 1 sehingga B, R, dan S semua berada di sisi yang sama dari
garis PQ . Oleh karena itu, karena B dan S berada di sisi yang sama dari
garis PQ dan B dan Q berada di sisi yang sama dari garis PS , dengan definisi interior
sudut , Karena garis PQ tegak lurus terhadap l dan
k 1 , dan adalah sudut kanan; yaitu Sejak Karena itu,
2. Oleh karena itu,
sejak B dan R berada di sisi yang sama dari garis PQ dan , oleh Euclid Kelima
Postulat, dan berpotongan pada sisi yang sama seperti B dan R . Oleh karena
itu,
k 1 adalah
garis yang unik sejajar dengan l yang berisi P .
Selanjutnya, gunakan Postulat Paralel Euclidean untuk
membuktikanEuclidPostulat Kelima. Diberi garis BC dan dua
titik A dan D pada sisi yang sama dari garis BC dengan
Kita perlu menunjukkan bahwa
ray BA memotong CD ray . Dengan Postulat Konstruksi Sudut , ada
sinar BE dengan E dan A di sisi yang sama dari garis BC sehingga
Biarkan F menjadi titik sedemikian rupa sehingga EBF , maka dan merupakan pasangan
linier. Karena itu dan bersifat pelengkap. Karenanya,
Oleh (2) dan (3) ,. Karenanya Karena D dan F berada pada sisi berlawanan dari
garis BC , dan merupakan sudut interior alternatif. Oleh karena itu oleh Teorema 2.15 ,
garis EB sejajar dengan garis DC. Dengan (1) dan (2), Oleh karena itu garis AB dan
garis EB adalah garis yang berbeda melalui B . Dengan demikian, oleh Postulat Paralel
Euclidean, garis AB tidak sejajar dengan garis DC. Oleh Teorema 2.7 , karena , kita
memiliki demikian, karena A dan C
berada di sisi yang sama dari
garis EB , dan C berada di sisi yang sama dari garis EB . Karena garis EB dan
garis DC sejajar, garis DC berada di satu sisi garis EB . Karenanya ray BA memotong
3. garis CD . Karena A dan D berada di sisi yang sama dari garis BC , dan berada di sisi
yang sama dari garis BC . Karenanya, ray BA memotong CD ray .//
Ada banyak pernyataan yang setara dengan Postulat Paralel Euclidean, yang dapat
digunakan sebagai aksioma. Kami daftar beberapa dari mereka di bawah ini setelah
latihan. Berapa banyak dari mereka yang dapat Anda tampilkan setara? Latihan meminta
Anda untuk membuktikan satu arah pada beberapa pernyataan dan untuk menemukan contoh
tandingan di Pesawat Setengah Poincaré.
Latihan 2.65. Tunjukkan Half-pesawat Poincaré tidak memuaskan Postulat Paralel
Euclidean. (a) Gunakan perangkat lunak geometri dinamis untuk membuat contoh. (B)
Temukan contoh analitik.
Latihan 2.66. Menunjukkan Half-pesawat Poincaré tidak memuaskanEuclidPostulat
Kelima. (a) Gunakan perangkat lunak geometri dinamis untuk membuat contoh. (B)
Temukan contoh analitik.
Latihan 2.67. (a) Buktikan lima proposisi di bawah ini dengan menggunakan Euclidean
Parallel Postulate danEuclidPostulat Kelima. (Setelah satu proposisi telah terbukti, Anda
dapat menggunakan proposisi itu sebagai bukti dari proposisi lainnya.) (B) Tunjukkan
pesawat Setengah Poincaré tidak memenuhi masing-masing dari lima proposisi. (Dapat
menggunakan perangkat lunak geometri dinamis untuk membuat contoh.)
